专题06二元一次方程组应用与三元一次方程组专项训练(14大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题06二元一次方程组应用与三元一次方程组专项训练 题型01.实际与几何问题列方程组(高频) 题型02.和差倍分问题(高频) 题型03.分配问题(高频) 题型04.行程问题(高频) 题型05.工程问题(高频) 题型06.销售利润问题(高频) .题型07.方案选择问题(高频) 题型08.几何问题(高频) 题型09.三元一次方程组的定义及解(高频) 题型10.年龄问题(低频) 题型11.数字问题(低频) 题型12.图表信息问题(低频) 题型13.三元一次方程的应用(低频) 题型14.古代与其他应用问题(低频) 知识点01.解题 “万能四步法” 1.审：读懂题意，找出两个等量关系 2.设：设两个未知数（直接设 / 间接设） 3.列：根据等量关系列出二元一次方程组 4.解 + 验 + 答：解方程组→检验是否符合题意→规范作答 口诀：一审二设三列四解，检验作答不能缺 知识点02:常见等量关系 基础常考类 (1)和差倍分：A±B=总量；A=B×倍数±相差量 (2)购物问题：单价 × 数量 = 总价；甲总价 + 乙总价 = 总花费 (3)配套问题：甲数量 × 配套比 = 乙数量（固定比例，如 1 配 2 则甲 ×2 = 乙） (4)数字问题：两位数 = 10× 十位数字 + 个位数字；三位数 = 100× 百位数字 + 10× 十位数字 + 个位数字；数字间满足题干和 / 差 / 倍关系 (5)年龄问题：核心年龄差始终不变；几年前年龄 = 现年龄 - 年数，几年后年龄 = 现年龄 + 年数；不同时间点，两人年龄满足题干和 / 倍 / 差关系 拓展高频类 (6)行程问题：核心（路程 = 速度 × 时间） 相遇：总路程 = 甲路程 + 乙路程；追及：快路程 = 慢路程 + 初始距离 顺逆：顺速 = 本身速度 + 水 / 风速；逆速 = 本身速度 - 水 / 风速 (7)工程问题：核心（工作量 = 效率 × 时间，无总量设为 1） 合作：甲工作量 + 乙工作量 = 总工作量；合作效率 = 甲效率 + 乙效率 (8)浓度问题：核心（溶质 = 溶液 × 浓度；溶液 = 溶质 + 溶剂） 混合：混合前溶质和 = 混合后溶质；混合前溶液和 = 混合后溶液 稀释.加浓：稀释时溶质不变.加浓时溶剂不变 (9)利润问题：核心（利润 = 售价 - 进价；利润率 = 利润 ÷ 进价） 打折：折后价 = 原价 × 折扣；总利润 = 甲利润 + 乙利润 (10)几何问题：紧扣周长.面积公式（如长方形：周长 = 2 (长 + 宽)、面积 = 长 × 宽），结合图形间和差.倍数关系 (11) 方案问题 核心：根据两种方案，列两个等量关系（总价/总数量相等） 方案1总价 = 单价1×数量1 + 单价2×数量2 方案2总价 = 单价1×数量3 + 单价2×数量4 关键提醒 1.必须找到两个独立等量关系，才能列方程组 2.设未知数要带单位，结果要检验合理性 3.最后一步一定要写答 知识点03:三元一次方程组的解法 1. 核心概念 定义：含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程组。 解：使三个方程都成立的三个未知数的值，是一组有序数对 (x,y,z)。 2. 核心解法：消元思想 思路：三元 → 二元 → 一元，逐步消去未知数。 常用方法： 代入消元法：用一个未知数表示另外两个，代入消元。 加减消元法：通过方程变形，消去一个未知数，转化为二元一次方程组。 步骤： (1)选一个未知数，消去两次，得到两个二元一次方程。 (2)解二元一次方程组，得到两个未知数的值。 (3)回代求第三个未知数，写出方程组的解。 期中高频易错点 1.建模易错：找错等量关系，或漏写一个方程。 2.检验易错：忘记检验解是否符合实际意义（如人数、长度不能为负数）。 3.消元易错：三元消元时漏乘常数项，或加减符号错误。 4.书写易错：作答不完整，或解的格式不规范。 题型01.实际与几何问题列方程组(高频) 1．某工厂用机器人组装两种零件；A零件和B零件已知每组装1个A零件需消耗4枚螺丝，组装1个B零件需消耗1枚螺丝．某天机器人组装的A零件数量比B零件少2个，共消耗了42枚螺丝．设组装A零件的数量为x个，B零件的数量为y个，则所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设组装A零件的数量为个，B零件的数量为个，根据题意得出方程组即可． 【详解】解：设组装A零件的数量为个，B零件的数量为个， ∵每组装1个A零件消耗4枚螺丝，每组装1个B零件消耗1枚螺丝，总消耗螺丝为42枚， ∴可得第一个方程：， 又∵A零件数量比B零件少2个， ∴可得第二个方程：， 因此所列方程组为． 2．如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意列方程组正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图示可得：矩形的宽可以表示为，宽又是75厘米，故，矩形的长可以表示为，或，故，整理得，联立两个方程即可．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽． 【详解】解：根据图示可得， 故选：B． 3．甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带的钱数为，乙带的钱数为，根据题意列方程组得________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意找出两个等量关系，即可列出方程组，第一个等量关系为甲得到乙10钱后，甲的钱数比乙剩余钱数多5倍，即甲的钱数是乙剩余钱数的6倍，第二个等量关系为乙得到甲10钱后，两人钱数相等． 【详解】解：设甲带的钱数为，乙带的钱数为， 甲得到乙的钱后，甲的钱数为，乙剩余的钱数为， 由甲的钱数比乙剩余的钱数多倍，可得， 乙得到甲的钱后，乙的钱数为，甲剩余的钱数为， 由此时两人钱数相等，可得， 因此可得方程组． 4．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为_____ ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据图示找出数量关系是解题的关键． 设小长方形的长为x，宽为y，根据图示可以列出方程组． 【详解】解：根据图示可以列出方程组为： ． 故答案为：． 5．某工厂安排工人生产两种零件．已知生产个零件需甲材料、乙材料；生产个零件需甲材料、乙材料．现共有甲材料、乙材料． (1)设生产零件个，零件个，列出关于的方程组； (2)求零件各生产多少个恰好把材料用完． 【答案】(1) (2)零件个，零件个 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用． 根据甲、乙两种材料的总用量建立等量关系得到二元一次方程组，解方程组得到零件的个数． 【详解】（1）解：∵设生产零件个，零件个， ∴根据甲材料总用量：生产个零件需甲材料，生产个零件需甲材料，总共有， 乙材料总用量：生产个零件需乙材料，生产个零件需乙材料，总共有， 可列方程组为：； （2）解：解方程组得：， ∴零件个，零件个． 6．在长方形中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 【答案】小长方形的长为，宽为 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，关键是通过观察图形，找出大长方形的长和宽与小长方形的长、宽之间的等量关系． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 根据图形中的等量关系，得， 解得 答：小长方形的长为8，宽为2． 题型02.和差倍分问题(高频) 7．为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的，如果5只饭碗摞起来的高度为，9只饭碗摞起来的高度为，李老师家碗橱每格的高度为，则李老师一摞碗最多只能放___________只． 【答案】14 【分析】一只碗的高度是x cm，每摞起来一只碗增加y cm， ，即可求出答案． 【详解】解：一只碗的高度是x cm，每摞起来一只碗增加y cm， 则； 解得：， ∴(30-6)，， ∴李老师一摞碗最多只能放13+1=14（只）， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是根据题意，找出合适的等量关系，列方程组和不等式求解． 8．在一个停车场，停了小轿车和摩托车一共32辆，这些车一共有108个轮子，则该停车场小轿车和摩托车的辆数分别为（    ） A．21，11 B．22，10 C．23，9 D．24，8 【答案】B 【解析】略 9．某校组织学生参加植树活动，已知七年1班有28人在甲处植树，七年2班有21人在乙处植树．现调七年3班20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处人数的2倍，问应调往甲处多少人？ 【答案】应调往甲处人 【分析】设调往甲处的人数为x人，调往乙处的人数为y人，根据一共有20人调往甲、乙两处，且支援后甲处植树的人数是乙处人数的2倍建立方程组求解即可． 【详解】解：设调往甲处的人数为x人，调往乙处的人数为y人， 由题意得，， 解得， 答：应调往甲处18人． 10．某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表： 牛奶（箱 咖啡（箱 金额（元 方案一 20 10 1100 方案二 30 15 __________ (1)采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 __元； (2)若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元； ①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？ ②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 箱（直接写出答案）． 【答案】(1)1650 (2)①牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元；②6 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用： （1）设牛奶一箱元，咖啡一箱元，由题意得：，再由，即可求解； （2）①设牛奶一箱元，咖啡一箱元，由题意列出方程组，求解即可；②设牛奶与咖啡总箱数为箱，则打折的牛奶箱数为箱，设原价咖啡为箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱，由题意列出方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设牛奶一箱元，咖啡一箱元， 由题意得：， （元）， 故答案为：1650； （2）解：①①设牛奶一箱元，咖啡一箱元， 由题意得：， 解得：， 答：牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元； ②设牛奶与咖啡总箱数为，则打折的牛奶箱数为箱， 打折牛奶价格为：（元，打折咖啡价格为：（元）， 即打折咖啡价格与牛奶原价相同， 设原价咖啡为箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱， 由题意得：， 整理得：， ∴ 、均为正整数， ∴是正整数， ∴a必须是20的倍数， ，或， ， ，， 即此次按原价采购的咖啡有6箱， 故答案为：6． 题型03.分配问题(高频) 11．我校在举办“书香文化节”的活动中，将x本图书分给了y名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本，则_______． 【答案】310 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键． 根据题意，列出关于图书总数x和学生数y的二元一次方程组，并通过求解方程组得到x的值． 【详解】由题意，得方程组： 解得， 故答案为：310． 12．某工厂生产大型汽油桶，汽油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片构成现工厂共有名工人，其中每名工人每天可制作圆形铁片个或长方形铁片个为了使每天生产的铁片数量刚好配套成油桶，应如何安排工人进行生产？设安排人制作圆形铁片，人制作长方形铁片，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据两个等量关系列方程组，一是总工人人数为42，二是配套时2个圆形铁片配1个长方形铁片，即圆形铁片总数量是长方形铁片总数量的2倍，据此整理得到方程组． 【详解】∵安排x人制作圆形铁片，y人制作长方形铁片，总共有42名工人， ∴， ∵每个油桶需要2个圆形铁片和1个长方形铁片，刚好配套时，圆形铁片总数量是长方形铁片总数量的2倍， 又∵x人每天生产圆形铁片共个，y人每天生产长方形铁片共个， ∴， 等式两边同时除以2，整理得， ∴可得方程组． 13．如图一张规格为的大纸板有两种剪裁方式分别可得到型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成横式和竖式两种无盖长方体纸盒（盖在上方）．已知一张大纸板可以恰好裁成8张型长方形纸板或者恰好裁成12张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要A型长方形纸板 张，制作一个竖式纸盒需要A型长方形纸板 张． (2)若用7张大纸板裁成型长方形纸板，用2张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，求的最大值． 【答案】(1)3，4 (2)可制作横式纸盒8个，竖式纸盒8个 (3)m的最大值为16 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用， 对于（1），观察几何体可得答案； 对于（2），设可制作横式纸盒x个，竖式纸盒y个，根据题意列出方程组，求出解； 对于（3）, 设制作横式纸盒和竖式纸盒均为m个，表示出A形纸板需要张，B形纸板需要张，再根据题意列出不等式，求出解集． 【详解】（1）解：制作一个横式纸盒需要A型长方形纸板3张，制作一个竖式纸盒需要A型长方形纸板4张. 故答案为：3，4； （2）解：设可制作横式纸盒x个，竖式纸盒y个，根据题意，得 ， 解得， ∴可制作横式纸盒8个，竖式纸盒8个； （3）解：∵制作横式纸盒和竖式纸盒均为m个， ∴A形纸板需要张，B形纸板需要张， ∴， 解得， ∴m的最大值为16． 14．年，中国航天事业迈向全新高度，一系列深空探测任务紧锣密鼓筹备中．在酒泉卫星发射中心的航天器调配区，一场关乎任务成败的资源协调正在进行．这里集结了用于执行不同任务的“天问”系列行星探测器和“神舟”系列载人飞船共艘．每艘“天问”需名航天工程师保障，每艘“神舟”需名工程师协同．现调配名工程师就绪，求“天问”与“神舟”各有多少艘？ 【答案】“天问”有艘，“神舟”为艘 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意并根据等量关系列出方程是关键． 设“天问”有艘，“神舟”有艘，根据题意可列方程组，求解即可． 【详解】解：设“天问”有艘，“神舟”有艘， 根据题意，得， 解得， 答：“天问”有艘，“神舟”为艘． 题型04.行程问题(高频) 15．小刚去距县城的景点游玩，先乘车，后步行，全程共用了．已知汽车的速度为，小刚步行的速度为，则小刚乘车的路程为______，步行的路程为______． 【答案】 27 1 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．设小刚乘车路程为千米，步行路程千米，根据题意可得等量关系：①步行路程＋乘车路程＝28千米；②汽车行驶千米时间＋步行千米的时间＝1小时，根据题意列出方程组即可． 【详解】解：设小刚乘车路程为千米，步行路程千米， 由题意得：， 解得：． 故答案为：27，1． 16．甲、乙二人分别从相距的，两地出发，相向而行．如图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意所列的方程组正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据路程速度时间结合两次运动的情形，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设甲的速度是，乙的速度是， 根据题意所列的方程组为：， 故选：D． 17．李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地． (1)两人每小时分别行进多少千米？ (2)相遇后经过多长时间刘伟到达地？ 【答案】(1)李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米 (2)相遇后经过刘伟到达A地 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用． （1）设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）根据路程速度时间解答即可． 【详解】（1）解：设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 答：李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米； （2）解：， 答：相遇后经过刘伟到达A地． 18．如图，已知点、在数轴上表示的数分别是、64，动点从点出发，以每秒若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点从点出发，以每秒若干个单位长度的速度向左匀速运动，若点、同时出发．则出发后12秒相遇；若点先出发7秒，则点出发10秒后与点相遇． (1)求动点、运动的速度分别是多少？ (2)若点、同时出发，设运动时间为， ①动点在数轴上对应的数为______，动点在数轴上对应的数为_____； ②求为何值时，点与点恰好相距14？ 【答案】(1)动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度 (2)①，；②为10秒或14秒时，点与点恰好相距14 【分析】（1）先求出，设动点运动的速度是每秒个单位长度，动点运动的速度是每秒个单位长度，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）①由（1）得动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度，结合点、在数轴上表示的数分别是、64，列代数式即可； ②根据题意列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 设动点运动的速度是每秒个单位长度，动点运动的速度是每秒个单位长度， 则， 解得， 答：动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度． （2）解：①因为动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度，点、在数轴上表示的数分别是、64， 所以动点在数轴上对应的数为，动点在数轴上对应的数为； ②由题意得， 化简整理得， 所以或， 解得或14， 答：为10秒或14秒时，点与点恰好相距14． 题型05.工程问题(高频) 19．某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工________米，乙工程队每天施工________米． 【答案】 44.5 42.5 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，由题意，得： ，解得：， 答：甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米； 故答案为：，． 20．甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条长的公路，甲队每天修建，乙队每天修建，一共用15天完成． (1)小红同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组请写出小红所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示________________，y表示________________．该方程组中□处的数应是________，△处的数应是________． (2)小芳同学的思路是想设甲队一共修建了公路，乙队一共修建了公路．下面请你按照小芳的设想列出方程组，并求出乙队修建的天数． 【答案】(1)甲队修路的天数，乙队修路的天数，15，335 (2)方程组为，7天 【分析】（1）利用工作总量=工作效率×工作时间，结合题意列出方程组，即可解决问题； （2）利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲、乙两队完成米公路的修建任务，列出关于、二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：∵甲队每天修建，乙队每天修建，一共用天完成， 则小红所列方程组为 ∴小红所列方程中表示甲队修建公路的天数，表示乙队修建公路的天数，该方程组中□处的数应是，△处的数应是． 故答案为：甲队修路的天数，乙队修路的天数，，． （2）解：方程组为 解得 所以乙队修建了（天）． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系及小红所列的方程，找出小红所列方程中未知数，表示的意义；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 21．某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨．该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)1辆型车和1辆型车都装满物资，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆型车的租金为150元，1辆型车的租金为120元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费． 【答案】(1)1辆A型车装满物资一次可运4吨，1辆B型车装满物资一次可运3吨 (2)有3种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用4辆A型车，5辆B型车；方案3：租用7辆A型车，1辆B型车 (3)租用7辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1170元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨”，可列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可； （2）根据租用的两种车一次可运31吨物资且每辆车都装满，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金=每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，可求出选择各租车方案所需租车费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设1辆A型车装满物资一次可运吨，1辆型车装满物资一次可运吨， 依题意，得：， 解得：． 答：1辆A型车装满物资一次可运4吨，1辆型车装满物资一次可运3吨． （2）解：依题意，得：， ∴． ∵，均为正整数， ∴或或， 所以该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用1辆A型车，9辆型车； 方案2：租用4辆A型车，5辆型车； 方案3：租用7辆A型车，1辆型车． （3）解：方案1所需租金为（元）； 方案2所需租金为（元）； 方案3所需租金为（元）． ∵ ∴方案3最省钱，即租用7辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1170元． 22．2025年是中国人工智能发展从技术突破迈向全面赋能的关键一年．某汽车制造厂采用了甲、乙两种型号智能机器人进行车身焊缝．已知1台甲型机器人和3台乙型机器人同时工作1小时可完成68米焊缝，3台甲型机器人和2台乙型机器人同时工作1小时可完成92米焊缝． (1)每台甲、乙两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝？ (2)该工厂同一时间内计划部署甲、乙两种机器人共20台，若要确保每小时完成360米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台甲型机器人？ 【答案】(1)甲型机器人每小时完成20米焊缝，乙型机器人每小时完成16米焊缝 (2)10台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用．理解题意列出正确的方程和不等式是解题的关键． （1）设每台甲型机器人每小时完成米焊缝，每台乙型机器人每小时完成米焊缝，根据已知条件列出方程组，即可解答； （2）设该工厂同一时间内需要部署台甲型机器人，则部署台乙型机器人，根据题意列出不等式，即可解答． 【详解】（1）解：设每台甲型机器人每小时完成米焊缝，每台乙型机器人每小时完成米焊缝， 由题意，得， 解得， 答：每台甲型机器人每小时完成米焊缝，每台乙型机器人每小时完成米焊缝． （2）设该工厂同一时间内需要部署台甲型机器人，则部署台乙型机器人， 由题意，得， 解得． 答：该工厂同一时间内至少需要部署台甲型机器人． 题型06.销售利润问题(高频) 23．某书店销售甲、乙两种图书，如果原价买这两种图书共需要元书店推销时甲种图书打八折，乙种图书打七五折，结果买两种图书共少用元则原来甲种图书需要______元 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设原来甲种图书需要元，乙种图书需要元，根据“原价买这两种图书共需要元，打折后买两种图书共少用元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设原来甲种图书需要元，乙种图书需要元， 根据题意得：， 解得：， ∴原来甲种图书需要元． 故答案为：． 24．第十二届世界运动会于年月日至日在四川成都举行，某经销店调查发现：吉祥物“蜀宝”和“锦仔”深受青少年喜爱．已知购进3个“蜀宝”比购进个“锦仔”多用元；购进个“蜀宝”和个“锦仔”共用元．该商店决定购进“蜀宝”和“锦仔”各个，其总费用为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．先设出两种吉祥物的单价，根据题意列方程组，求解单价后计算总费用即可． 【详解】解：设个“蜀宝”进价为元，个“锦仔”进价为元， 根据题意得， 将两个方程相加，得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴总费用为元． 25．某商店购进两种商品共件， 商品每件进价元， 商品每件进价元，总进价为元． (1)求两种商品各购进多少件？ (2)若商品每件售价元， 商品每件售价元，全部售完后，该商店共获利多少元？ 【答案】(1)商品购进件， 商品购进件； (2)元． 【分析】（）设商品购进件，商品购进件，根据题意得，然后解方程即可； （）分别求出商品的获利，然后相加即可． 【详解】（1）解：设商品购进件，商品购进件， 根据题意得： ， 解得：， 答：商品购进件，商品购进件； （2）解：获利：（元），获利：（元）， 总获利：（元）． 26．某专卖店销售“冰墩墩”和“雪容融”玩偶．学校为奖励同学，欲从该专卖店购买个玩偶作为奖品，如果购买个“冰墩墩”和个“雪容融”，共需花费元；如果购买个“冰墩墩”和个“雪容融”，共需花费元． (1)求每个“冰墩墩”和“雪容融”玩偶的售价各为多少元？ (2)学校在购买好之后，该专卖店还剩下个“冰墩墩”和个“雪容融”，专卖店将这些玩偶中的一部分按套装销售(个“冰墩墩”和个“雪容融”为个套装，每套价格为元)，其余按原价销售，当这个玩偶全部售出后，共计收入元．问套装销售了多少套？ 【答案】(1)每个“冰墩墩”售价元，每个“雪容融”售价元； (2)套装销售了套． 【分析】（1）设每个“冰墩墩”玩偶售价元，每个“雪容融”玩偶售价元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设套装销售了套，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设每个“冰墩墩”玩偶售价元，每个“雪容融”玩偶售价元． 解得 答：每个“冰墩墩”售价元，每个“雪容融”售价元； （2）设套装销售了套，则 解得 答：套装销售了套． 题型07.方案选择问题(高频) 27．为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有_____种． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设长度的导线为x根，长度的导线为y根，根据一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论． 【详解】解：设长度的导线为x根，长度的导线为y根， 根据题意得：， 整理得： ， ∵x、y为正整数， ∴或或或， ∴截取方案共有4种， 故答案为：4． 28．今年，明华中学开展了以迎接新生为主题的演讲活动，计划拿出240元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，解题关键是根据总价等量关系列出方程，结合，为正整数的条件求出所有可行方案． 【详解】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品，，均为正整数， 根据题意得 整理得 . ∵，均为正整数， ∴，，，，，， ∴购买方案共有种． 29．王洋准备租车把一批梨子运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满梨子一次可运货17吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满梨子一次可运货24吨．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆甲型车和1辆乙型车都装满梨子一次可分别运货多少吨？ (2)现有30吨梨子，王洋计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆（均为正整数），一次运完，且恰好每辆车都装满梨子，请你帮他设计共有多少种租车方案？ (3)若1辆甲型车需租金180元/次，1辆乙型车需租金150元/次，请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆甲型车装满梨子一次可运货4吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货3吨 (2)共有2种租车方案，方案1：租用3辆甲型车，6辆乙型车；方案2：租用6辆甲型车，2辆乙型车 (3)租用6辆甲型车和2辆乙型车最省钱，最少租车费用为1380元 【分析】（1）设1辆甲型车装满梨子一次可运货x吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货y吨，根据用2辆甲型车和3辆乙型车装满梨子一次可运货17吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满梨子一次可运货24吨，列出方程组，解方程组即可； （2）根据一次运完30吨梨，列出方程，求出方程的正整数解即可； （3）分别求出两种方案的租金，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设1辆甲型车装满梨子一次可运货x吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货y吨， 依题意，得：， 解得：． 答：1辆甲型车装满梨子一次可运货4吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货3吨． （2）解：依题意，得：， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴当时，；当时，． ∴共有2种租车方案，方案1：租用3辆甲型车，6辆乙型车；方案2：租用6辆甲型车，2辆乙型车． （3）解：方案1所需租金（元）； 方案2所需租金（元）． ∵， ∴租用6辆甲型车和2辆乙型车最省钱，最少租车费用为1380元． 30．某商场用相同的价格分三次购进A型和B型两种型号的电视机，前两次购进情况如下表： A型（台） B型（台） 总进价（元） 第一次 20 30 90000 第二次 10 20 55000 (1)求该商场购进A型和B型电视机的单价各为多少元？ (2)已知商场第三次购进A型和B型电视机总进价为20500元，共有多少种进货方案？ (3)在（2）的情况下，商场A型电视机的标价为每台2000元，B型电视机的标价为每台3750元，不考虑其他因素，为了促销，A型电视机打九折、B型电视机打八折销售．若将第三次购进的电视机全部售出，通过计算说明，购进时哪种进货方案可获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A型电视机单价为1500元，B型电视机单价为2000元 (2)共有3种进货方案 (3)购进A型电视机3台，B型电视机8台时，获得最大利润，且最大利润为8900元 【分析】 （1）设A型电视机单价为x元，B型电视机单价为y元，根据表格中的数据，列出方程组，解方程组即可； （2）设商场第三次购进A型电视机m台，则购进B型电视机n台，根据商场第三次购进A型和B型电视机总进价为20500元，列出方程，求出方程的整数解即可； （3）分别求出三种方案的利润，然后进行比较，得出答案即可． 【详解】（1）解：设A型电视机单价为x元，B型电视机单价为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：A型电视机单价为1500元，B型电视机单价为2000元； （2）解：设商场第三次购进A型电视机m台，购进B型电视机n台，根据题意得： ， 整理得：， ∵m、n为整数， ∴，，， ∴共有3种进货方案； （3）解：当购进A型电视机3台，B型电视机8台时，可获利润： （元）； 当购进A型电视机7台，B型电视机5台时，可获利润： （元）； 当购进A型电视机11台，B型电视机2台时，可获利润： （元）； ∵， ∴购进A型电视机3台，B型电视机8台时，获得最大利润，且最大利润为8900元． 题型08.几何问题(高频) 31．用一根长为的绳子围成一个长比宽多的长方形，若这个长方形的长为，宽为，则根据题意可得的方程组为________． 【答案】 【分析】根据题意提取两个等量关系，一是长比宽多，二是长方形周长等于绳长，根据等量关系列二元一次方程组即可． 【详解】解：∵长比宽多， ∴， ∵绳子长度为围成的长方形的周长， ∴， ∴可得方程组为． 32．在长为、宽为的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，则每个小长方形花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图形可看出：小长方形的个长一个宽，小长方形的个宽一个长，设出长和宽，列出方程组即可得答案． 【详解】设小长方形的长为，宽为， 由题意得， 解得， 小长方形的长为，宽为， 小长方形的面积为． 33．综合与实践 【主题】探究大球、小球数量与水面高度的变化关系． 【素材】如图． ①若干个体积相同的大球和体积相同的小球； ②原始水面高度是的高为的圆柱形烧杯． 【实践操作】如图． 步骤一：将3个小球放入烧杯中，测得此时水面高度为； 步骤二：将步骤一的小球取出，放入2个大球，测得此时水面高度也为．（误差均忽略不计） 【实践探索】 (1)放入一个小球水面升高 ； (2)若放入大球、小球共10个，要使水面高度为，求放入大球和小球的个数． 【答案】(1)2 (2)放入4个大球，6个小球 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题时要能读懂题意，找到相等关系是关键． （1）根据“3个小球使水面上升”列式计算； （2）设放入x个大球，y个小球，根据放入大球、小球共10个，使水面上升到，进而可列方程组求解． 【详解】（1）解：由题意，根据图中数据可得，． 故答案为：2； （2）解：由步骤二可知，放入一个大球水面升高， 设放入x个大球，y个小球， 根据题意，得， 解得， 答：放入4个大球，6个小球． 34．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“系数补角”． 【概念理解】 (1)若，在，，中，的“系数补角”是 ； 【初步认识】 (2)在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图1，点为平面内一点，连接，，，若是的“系数补角”，求的大小． 【问题解决】 (3)连接．点、为直线与直线间的动点（点、不在直线上），， ．是的“系数补角”，此时的度数？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）设的“系数补角”是，由“系数补角”定义列方程即可得出； （2）过作，利用平行线的内错角相等得出，设，，则①，由“系数补角”定义得②，联立方程求解即可； （3）设，，则，，根据、的位置（异侧 / 同侧），结合平行线性质，用、表示和，代入“系数补角”的关系，求解，即可得的度数． 【详解】（1）解：设的“系数补角”是， ∵， ∴，即， 解得， ∴的“系数补角”是； （2）解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，， ∴①， 由条件可知，即②， 联立①②得，， 解得， ∴； （3）解：由“系数补角”定义可知， 设，，则，， 当点、在直线异侧时， 此时，， 同（2）中方法可得，， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点、在线段同侧时， 同理可知∠，， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上，的度数为或． 题型09.三元一次方程组的定义及解(高频) 35．三元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用代入消元法，逐步消元求解三元一次方程组即可． 【详解】解：， 将①代入②，得 解得， 将①和代入③，得 解得， 将代入①，得， 原方程组的解为． 36．三元一次方程组的解是______． 【答案】 【详解】解： 将三个方程左右两边分别相加，得：， 整理得：， 用④分别减去①②③消元： 得：； 得：； 得：； 所以原方程组的解为． 37．已知方程组，则 ___________． 【答案】 【分析】利用加减消元法表示出，，即可解答； 【详解】解：， 得③， 得，化简得， 把代入①式，得，解得， ∴， 即． 38．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用绝对值与平方的非负性，几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，由此列出三元一次方程组，通过解方程组求出x、y、z的值，再匹配选项即可． 【详解】解： ∵ 绝对值和平方数均为非负数，即，， 又∵ ∴ 可得方程组： ① 解由(1)(2)组成的二元一次方程组： 给(2)式两边同乘3得： (4)， (1)+(4)得：， 解得， 将代入(2)式得：， 解得， ② 将，代入(3)式得：， 解得， ∴ 方程组的解为， 故选：B． 题型10.年龄问题(低频) 39．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组，弄清题意，找准等量关系是解题的关键． 由“10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍”可知，由“10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍”可知，进而列方程组即可． 【详解】解：设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，由题意可得： 故选：B 40．一名学生问老师：“你今年多大了？”老师风趣地说“我像你这样大的时候，你才2岁；你到我这么大时，我已经38岁了”，则今年老师的岁数是 _____． 【答案】26 【分析】设今年老师的岁数是x岁，学生的岁数是y岁，根据学生今年年龄减年龄差等于2，老师今年年龄加年龄差等于38，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设今年老师的岁数是x岁，学生的岁数是y岁， 依题意得：， 解得：． 故答案为：26． 【点睛】本题考查二元一次方程组，设出恰当的未知数，准确抓住数量关系列出方程组是解题的关键． 41．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄． 【答案】妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁． 【分析】设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据“今年妹妹和哥哥的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍和哥哥的年龄相加等于爸爸的年龄”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁， 依题意，得： ， 解得： ． 答：妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 题型11.数字问题(低频) 42．在信息加密传输中，发送方将明文加密成密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，若某种加密规则为：明文m，n对应的密文为，．例如，明文1，2对应的密文是，7．若接收方收到密文6，2，则解密后得到的明文是_______． 【答案】， 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，关键是理解题意知道传送密码和接收密码的关系列出二元一次方程组求解． 根据题意列出方程组，然后求解即可． 【详解】根据题意得， 解得 ∴解密后得到的明文是，． 故答案为：，． 43．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需要根据题意找出两个等量关系，正确用代数式表示两位数，再列出方程组，两位数等于10乘十位数字加个位数字．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，十位数字为， 由“十位数字与个位数字的和是8”可得第一个方程． ∵原两位数为，数字对调后组成的新两位数为， ∴由“这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数”可得第二个方程 ． ∴所列方程组为． 故选：D． 44．一个两位数比它个位上的数字与十位上的数字之和的5倍大2．若将它个位上的数字与十位上的数字互换位置，则新得到的数比原来的数大9．求这个两位数． 【答案】这个两位数是67 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，表示出两位数． 设这个两位数十位上的数字为，个位上的数字为，分别表示出两个两位数，然后根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设这个两位数十位上的数字为，个位上的数字为． 根据题意，得 解得 故这个两位数是． 45．（新定义）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，，所以． (1)计算：，． (2)若s，t都是“相异数”，其中，（，都是正整数），规定：，当时，求k的最大值． 【答案】(1)， (2)k的最大值为 【分析】本题考查了新定义运算和二元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列式计算和列出关于未知数的方程． （1）根据“相异数”的定义列式计算即可； （2）由，，结合，即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合 的定义式，即可求出、的值，将其代入，即可得出k值． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：∵s，t都是“相异数”，其中， ， ， ， ， ， ，都是正整数， ∴或或或或或或， 是“相异数”，，， 是“相异数”，，， 所以满足条件的有或或或， 所以或或或． 因为，所以的最大值为． 故答案为：． 题型12.图表信息问题(低频) 46．小明打算购买笑脸和爱心两种气球，同一种气球的价格相同．第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为______元． 【答案】18 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解题的关键． 根据题意直接列出二元一次方程组，再整理得到的值，即可解题． 【详解】解：设一个笑脸气球的价格为元，一个爱心气球的价格为元， 由图知，， 由①②得：， 整理得：， 第三束气球的价格为元． 故答案为：． 47．在的方格中填数，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，若填在图中的数字如图，则，的值是（      ） 3 2 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，根据题意列出方程组，难度一般．根据每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，可得出方程组，解出即可． 【详解】解：由题意可知， 解得 故选：B． 48．灵宝苹果和孟津梨都是河南著名的农产品，某超市购进灵宝苹果和孟津梨进行销售． 信息一：该超市用2700元购进灵宝苹果和孟津梨共300千克． 信息二：这两种水果的进价、售价如下表所示： 水果 进价/（元/千克） 售价/（元/千克） 灵宝苹果 7 10 孟津梨 10 14 (1)该超市购进灵宝苹果和孟津梨各多少千克？ (2)若该超市销售完灵宝苹果时，孟津梨还剩下，将剩余孟津梨打折出售，全部售完后，共获利1044元，求剩余孟津梨打了几折． 【答案】(1)该超市购进灵宝苹果100千克，购进孟津梨200千克 (2)九五折 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用． （1）设该超市购进灵宝苹果千克，则购进孟津梨千克，根据表格信息建立方程求解即可． （2）设剩余孟津梨打折，根据获利1044元建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设该超市购进灵宝苹果千克，则购进孟津梨千克． 根据题意，列方程为． 解得． （千克）． 答：该超市购进灵宝苹果100千克，购进孟津梨200千克． （2）解： 设剩余孟津梨打折． 根据题意，列方程为 ． 解得． 答：剩余孟津梨打了九五折． 题型13.三元一次方程的应用(低频) 49．如图，两个天平都平衡，则与1个“●”质量相等的“”的个数为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据图中物体的质量和天平的平衡情况，设出未知数，列出方程组解答． 【详解】 解：设1个“”， “”，“”的质量分别为， ∴， ∴， ∴， 即：与1个“”质量相等的“”的个数为2； 故选C． 50．如图是一正方体的展开图，若正方体相对面所表示的数相等，则______． 【答案】1 【分析】此题主要考查了三元一次方程组的应用，以及正方体相对两个面上的文字．根据相对的两个面的代数式的值相等可得方程组，再解方程组即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 故答案为：1． 51．有甲、乙、丙三种货物，若购买3件甲货物、7件乙货物、1件丙货物，共需64元；若购买4件甲货物、10件乙货物、1件丙货物，共需79元．现购买甲、乙、丙三种货物各1件，共需（    ） A．33元 B．34元 C．35元 D．36元 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，根据系数特征进行整体加减消元，直接求解目标表达式．设甲、乙、丙每件价格分别为元、元、元，根据条件列出方程组，通过加减消元法整体求解的值． 【详解】解：设购买甲货物每件需元，乙货物每件需元，丙货物每件需元． ∵ 得： 得： ∴ ∴ 故购买甲、乙、丙各一件共需34元． 故选：B． 52．为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码，，时，则接收方对应收到的密码为，，．双方约定：，，，例如发出，，，则收到，，． (1)当发送方发出一组密码为，，时，则接收方收到的密码是多少？ (2)当接收方收到一组密码，，时，则发送方发出的密码是多少？ 【答案】(1)接收方收到的密码是，，． (2)发送方发出的密码是，，． 【分析】（1）根据发送方与接收方密码的约定关系，计算出，，即可； （2）根据发送方与接收方密码的约定关系，列出关于，，的方程组，通过解方程组求出发送方发出的密码． 本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是根据发送方与接收方密码的对应关系，准确列出方程组，并熟练运用代入消元法求解方程组． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， 答：接收方收到的密码是，，． （2）由题意得， 解得， 答：发送方发出的密码是，，． 题型14.古代与其他应用问题(低频) 53．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据五只雀六只燕共重16两，可得第一个方程：，互换其中一只后，一方剩余只雀和只燕，另一方剩余只雀和只燕，二者重量相等，可得第二个方程：，即可得到答案． 【详解】解：设雀每只两，燕每只两， ． 54．利用两块长方体测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图所示，则桌子的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设桌子的高度为，长方体木块的长为，宽为，根据图①和图②分别列出方程，联立求解即可得出桌子的高度． 【详解】解：设桌子的高度为，长方体木块的长为，宽为， 由图①②可得：， 整理得， 解得， 即桌子的高度为， 故选：C． 55．根据所给信息，可知每只小猫______元，每只小狗______元．买   一共要元，买 一共要元． 【答案】 【分析】设每只小猫元，每只小狗元，根据题意得，然后解方程组即可． 【详解】解：设每只小猫元，每只小狗元， 根据题意得：，解得：， ∴每只小猫元，每只小狗元． 56．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则的值是（   ） A．0 B．8 C．10 D． 【答案】D 【分析】在正方形框内填入数字，由题中幻方规律列出关于的二元一次方程组，对每一个方程恒等变形得出关于的方程求解即可得到答案． 【详解】解：设正方形框内所填数字为，如图所示： 则由题意得， 由①得， 由②得， ， 解得， 将代入得． 57．某地政府需将一批150吨的物资运往外地，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/每辆） 5 8 10 汽车运费（元/每辆） 400 500 600 (1)全部物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车______辆来运送． (2)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10600元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (3)该地政府打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为17辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？ 【答案】(1)7 (2)需甲车型14辆，乙车型10辆 (3)甲车型2辆，乙车型5辆，丙车型10辆 【分析】（1）根据用总物资数减去甲型车8辆，乙型车5辆可以运送的物资数，再由丙型车每辆运送10吨物资即可求解； （2）设需甲型车辆，乙型车辆，列出方程组即可求解； （3）设用甲型车辆，乙型车辆，则丙型车辆，根据，，，均为正整数，即可求解． 【详解】（1）解：（辆）． （2）解：设需甲型车辆，乙型车辆， 由题意得， 解得， ∴需甲型车14辆，乙型车10辆． （3）解：设用甲型车辆，乙型车辆，则丙型车为辆， 由题意得，， 整理得， ∵，，均为正整数， ∴， ∴，， ∴用甲型车2辆，乙型车5辆，丙型车10辆． 58．《九章算术》在“方程”章中记载有“方程术”．“方”指数据左右并排，其形方正，“程”指考查相关数据构成的比率关系．具体何为“方程术”呢？请欣赏《九章算术》中的问题： 今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？ 译文：今有牛5头、羊2头，共值金10两；牛2头、羊5头，共值金8两．问：牛、羊每头各值金多少？ (1)列二元一次方程组解决以上问题． (2)依“方程术”解，将“牛5头、羊2头，共值金10两”列在右方，“牛2头、羊5头，共值金8两”列在左方，用右牛数遍乘左方各数（“遍乘”）得到左方新数，将所得左方各新数减去右方对应数的适当倍数，直到左方第一位数为0为止（“直除”），如图1所示． 左方未减尽之数，用上面的数作除数，下面的数作被除数，所得的商即为每头羊值金数（“羊1头，值金两”）． ①在上述“方程术”推算“羊值金几何”的过程中，“遍乘”和“直除”体现了解二元一次方程组的______思想（填“消元”或“分类”）； ②依“方程术”解，采用“遍乘”和“直除”推算“牛值金几何”的过程如图2所示，请在图中填写数据． 【答案】(1)牛每头值金两，羊每头值金两 (2)①消元；②数据如图 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及消元思想，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设牛每头值金两，羊每头值金两，根据有牛头、羊头，共值金10两；牛头、羊头，共值金两；列出二元一次方程组，解方程即可； （2）①根据题意即可得出结论； ②根据“方程术”推算即可． 【详解】（1）解：设牛每头值金两，羊每头值金两，由题意得， ， 解得：， 答：牛每头值金两，羊每头值金两． （2）解：① “遍乘”是用一个数去乘方程两边，“直除”是通过相减消去一个未知数，这体现了解二元一次方程组的消元思想． 故答案为：消元． ②因为右方羊的数量是，左方羊的数量是，所以用右羊数遍乘左方各数， 左方原来牛、羊、金，遍乘后：牛，羊，金，得到遍乘后的左方数据为牛、羊10、金16，右方数据不变（牛、羊、金10）， 然后进行直除，要消去羊，右方羊是，左方羊是10，，用左方各数减去右方对应数的倍． 牛：；羊：；金： ． 所以最终图填写如下： , 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06二元一次方程组应用与三元一次方程组专项训练 题型01.实际与几何问题列方程组(高频) 题型02.和差倍分问题(高频) 题型03.分配问题(高频) 题型04.行程问题(高频) 题型05.工程问题(高频) 题型06.销售利润问题(高频) .题型07.方案选择问题(高频) 题型08.几何问题(高频) 题型09.三元一次方程组的定义及解(高频) 题型10.年龄问题(低频) 题型11.数字问题(低频) 题型12.图表信息问题(低频) 题型13.三元一次方程的应用(低频) 题型14.古代与其他应用问题(低频) 知识点01.解题 “万能四步法” 1.审：读懂题意，找出两个等量关系 2.设：设两个未知数（直接设 / 间接设） 3.列：根据等量关系列出二元一次方程组 4.解 + 验 + 答：解方程组→检验是否符合题意→规范作答 口诀：一审二设三列四解，检验作答不能缺 知识点02:常见等量关系 基础常考类 (1)和差倍分：A±B=总量；A=B×倍数±相差量 (2)购物问题：单价 × 数量 = 总价；甲总价 + 乙总价 = 总花费 (3)配套问题：甲数量 × 配套比 = 乙数量（固定比例，如 1 配 2 则甲 ×2 = 乙） (4)数字问题：两位数 = 10× 十位数字 + 个位数字；三位数 = 100× 百位数字 + 10× 十位数字 + 个位数字；数字间满足题干和 / 差 / 倍关系 (5)年龄问题：核心年龄差始终不变；几年前年龄 = 现年龄 - 年数，几年后年龄 = 现年龄 + 年数；不同时间点，两人年龄满足题干和 / 倍 / 差关系 拓展高频类 (6)行程问题：核心（路程 = 速度 × 时间） 相遇：总路程 = 甲路程 + 乙路程；追及：快路程 = 慢路程 + 初始距离 顺逆：顺速 = 本身速度 + 水 / 风速；逆速 = 本身速度 - 水 / 风速 (7)工程问题：核心（工作量 = 效率 × 时间，无总量设为 1） 合作：甲工作量 + 乙工作量 = 总工作量；合作效率 = 甲效率 + 乙效率 (8)浓度问题：核心（溶质 = 溶液 × 浓度；溶液 = 溶质 + 溶剂） 混合：混合前溶质和 = 混合后溶质；混合前溶液和 = 混合后溶液 稀释.加浓：稀释时溶质不变.加浓时溶剂不变 (9)利润问题：核心（利润 = 售价 - 进价；利润率 = 利润 ÷ 进价） 打折：折后价 = 原价 × 折扣；总利润 = 甲利润 + 乙利润 (10)几何问题：紧扣周长.面积公式（如长方形：周长 = 2 (长 + 宽)、面积 = 长 × 宽），结合图形间和差.倍数关系 (11) 方案问题 核心：根据两种方案，列两个等量关系（总价/总数量相等） 方案1总价 = 单价1×数量1 + 单价2×数量2 方案2总价 = 单价1×数量3 + 单价2×数量4 关键提醒 1.必须找到两个独立等量关系，才能列方程组 2.设未知数要带单位，结果要检验合理性 3.最后一步一定要写答 知识点03:三元一次方程组的解法 1. 核心概念 定义：含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程组。 解：使三个方程都成立的三个未知数的值，是一组有序数对 (x,y,z)。 2. 核心解法：消元思想 思路：三元 → 二元 → 一元，逐步消去未知数。 常用方法： 代入消元法：用一个未知数表示另外两个，代入消元。 加减消元法：通过方程变形，消去一个未知数，转化为二元一次方程组。 步骤： (1)选一个未知数，消去两次，得到两个二元一次方程。 (2)解二元一次方程组，得到两个未知数的值。 (3)回代求第三个未知数，写出方程组的解。 期中高频易错点 1.建模易错：找错等量关系，或漏写一个方程。 2.检验易错：忘记检验解是否符合实际意义（如人数、长度不能为负数）。 3.消元易错：三元消元时漏乘常数项，或加减符号错误。 4.书写易错：作答不完整，或解的格式不规范。 题型01.实际与几何问题列方程组(高频) 1．某工厂用机器人组装两种零件；A零件和B零件已知每组装1个A零件需消耗4枚螺丝，组装1个B零件需消耗1枚螺丝．某天机器人组装的A零件数量比B零件少2个，共消耗了42枚螺丝．设组装A零件的数量为x个，B零件的数量为y个，则所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意列方程组正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带的钱数为，乙带的钱数为，根据题意列方程组得________． 4．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为_____ ． 5．某工厂安排工人生产两种零件．已知生产个零件需甲材料、乙材料；生产个零件需甲材料、乙材料．现共有甲材料、乙材料． (1)设生产零件个，零件个，列出关于的方程组； (2)求零件各生产多少个恰好把材料用完． 6．在长方形中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 题型02.和差倍分问题(高频) 7．为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的，如果5只饭碗摞起来的高度为，9只饭碗摞起来的高度为，李老师家碗橱每格的高度为，则李老师一摞碗最多只能放___________只． 8．在一个停车场，停了小轿车和摩托车一共32辆，这些车一共有108个轮子，则该停车场小轿车和摩托车的辆数分别为（    ） A．21，11 B．22，10 C．23，9 D．24，8 9．某校组织学生参加植树活动，已知七年1班有28人在甲处植树，七年2班有21人在乙处植树．现调七年3班20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处人数的2倍，问应调往甲处多少人？ 10．某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表： 牛奶（箱 咖啡（箱 金额（元 方案一 20 10 1100 方案二 30 15 __________ (1)采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 __元； (2)若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元； ①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？ ②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 箱（直接写出答案）． 题型03.分配问题(高频) 11．我校在举办“书香文化节”的活动中，将x本图书分给了y名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本，则_______． 12．某工厂生产大型汽油桶，汽油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片构成现工厂共有名工人，其中每名工人每天可制作圆形铁片个或长方形铁片个为了使每天生产的铁片数量刚好配套成油桶，应如何安排工人进行生产？设安排人制作圆形铁片，人制作长方形铁片，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 13．如图一张规格为的大纸板有两种剪裁方式分别可得到型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成横式和竖式两种无盖长方体纸盒（盖在上方）．已知一张大纸板可以恰好裁成8张型长方形纸板或者恰好裁成12张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要A型长方形纸板 张，制作一个竖式纸盒需要A型长方形纸板 张． (2)若用7张大纸板裁成型长方形纸板，用2张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，求的最大值． 14．年，中国航天事业迈向全新高度，一系列深空探测任务紧锣密鼓筹备中．在酒泉卫星发射中心的航天器调配区，一场关乎任务成败的资源协调正在进行．这里集结了用于执行不同任务的“天问”系列行星探测器和“神舟”系列载人飞船共艘．每艘“天问”需名航天工程师保障，每艘“神舟”需名工程师协同．现调配名工程师就绪，求“天问”与“神舟”各有多少艘？ 题型04.行程问题(高频) 15．小刚去距县城的景点游玩，先乘车，后步行，全程共用了．已知汽车的速度为，小刚步行的速度为，则小刚乘车的路程为______，步行的路程为______． 16．甲、乙二人分别从相距的，两地出发，相向而行．如图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意所列的方程组正确的是 （    ） A． B． C． D． 17．李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地． (1)两人每小时分别行进多少千米？ (2)相遇后经过多长时间刘伟到达地？ 18．如图，已知点、在数轴上表示的数分别是、64，动点从点出发，以每秒若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点从点出发，以每秒若干个单位长度的速度向左匀速运动，若点、同时出发．则出发后12秒相遇；若点先出发7秒，则点出发10秒后与点相遇． (1)求动点、运动的速度分别是多少？ (2)若点、同时出发，设运动时间为， ①动点在数轴上对应的数为______，动点在数轴上对应的数为_____； ②求为何值时，点与点恰好相距14？ 题型05.工程问题(高频) 19．某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工________米，乙工程队每天施工________米． 20．甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条长的公路，甲队每天修建，乙队每天修建，一共用15天完成． (1)小红同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组请写出小红所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示________________，y表示________________．该方程组中□处的数应是________，△处的数应是________． (2)小芳同学的思路是想设甲队一共修建了公路，乙队一共修建了公路．下面请你按照小芳的设想列出方程组，并求出乙队修建的天数． 21．某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨．该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)1辆型车和1辆型车都装满物资，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆型车的租金为150元，1辆型车的租金为120元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费． 22．2025年是中国人工智能发展从技术突破迈向全面赋能的关键一年．某汽车制造厂采用了甲、乙两种型号智能机器人进行车身焊缝．已知1台甲型机器人和3台乙型机器人同时工作1小时可完成68米焊缝，3台甲型机器人和2台乙型机器人同时工作1小时可完成92米焊缝． (1)每台甲、乙两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝？ (2)该工厂同一时间内计划部署甲、乙两种机器人共20台，若要确保每小时完成360米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台甲型机器人？ 题型06.销售利润问题(高频) 23．某书店销售甲、乙两种图书，如果原价买这两种图书共需要元书店推销时甲种图书打八折，乙种图书打七五折，结果买两种图书共少用元则原来甲种图书需要______元 24．第十二届世界运动会于年月日至日在四川成都举行，某经销店调查发现：吉祥物“蜀宝”和“锦仔”深受青少年喜爱．已知购进3个“蜀宝”比购进个“锦仔”多用元；购进个“蜀宝”和个“锦仔”共用元．该商店决定购进“蜀宝”和“锦仔”各个，其总费用为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 25．某商店购进两种商品共件， 商品每件进价元， 商品每件进价元，总进价为元． (1)求两种商品各购进多少件？ (2)若商品每件售价元， 商品每件售价元，全部售完后，该商店共获利多少元？ 26．某专卖店销售“冰墩墩”和“雪容融”玩偶．学校为奖励同学，欲从该专卖店购买个玩偶作为奖品，如果购买个“冰墩墩”和个“雪容融”，共需花费元；如果购买个“冰墩墩”和个“雪容融”，共需花费元． (1)求每个“冰墩墩”和“雪容融”玩偶的售价各为多少元？ (2)学校在购买好之后，该专卖店还剩下个“冰墩墩”和个“雪容融”，专卖店将这些玩偶中的一部分按套装销售(个“冰墩墩”和个“雪容融”为个套装，每套价格为元)，其余按原价销售，当这个玩偶全部售出后，共计收入元．问套装销售了多少套？ 题型07.方案选择问题(高频) 27．为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有_____种． 28．今年，明华中学开展了以迎接新生为主题的演讲活动，计划拿出240元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 29．王洋准备租车把一批梨子运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满梨子一次可运货17吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满梨子一次可运货24吨．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆甲型车和1辆乙型车都装满梨子一次可分别运货多少吨？ (2)现有30吨梨子，王洋计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆（均为正整数），一次运完，且恰好每辆车都装满梨子，请你帮他设计共有多少种租车方案？ (3)若1辆甲型车需租金180元/次，1辆乙型车需租金150元/次，请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 30．某商场用相同的价格分三次购进A型和B型两种型号的电视机，前两次购进情况如下表： A型（台） B型（台） 总进价（元） 第一次 20 30 90000 第二次 10 20 55000 (1)求该商场购进A型和B型电视机的单价各为多少元？ (2)已知商场第三次购进A型和B型电视机总进价为20500元，共有多少种进货方案？ (3)在（2）的情况下，商场A型电视机的标价为每台2000元，B型电视机的标价为每台3750元，不考虑其他因素，为了促销，A型电视机打九折、B型电视机打八折销售．若将第三次购进的电视机全部售出，通过计算说明，购进时哪种进货方案可获利润最大？最大利润是多少元？ 题型08.几何问题(高频) 31．用一根长为的绳子围成一个长比宽多的长方形，若这个长方形的长为，宽为，则根据题意可得的方程组为________． 32．在长为、宽为的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，则每个小长方形花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 33．综合与实践 【主题】探究大球、小球数量与水面高度的变化关系． 【素材】如图． ①若干个体积相同的大球和体积相同的小球； ②原始水面高度是的高为的圆柱形烧杯． 【实践操作】如图． 步骤一：将3个小球放入烧杯中，测得此时水面高度为； 步骤二：将步骤一的小球取出，放入2个大球，测得此时水面高度也为．（误差均忽略不计） 【实践探索】 (1)放入一个小球水面升高 ； (2)若放入大球、小球共10个，要使水面高度为，求放入大球和小球的个数． 34．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“系数补角”． 【概念理解】 (1)若，在，，中，的“系数补角”是 ； 【初步认识】 (2)在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图1，点为平面内一点，连接，，，若是的“系数补角”，求的大小． 【问题解决】 (3)连接．点、为直线与直线间的动点（点、不在直线上），， ．是的“系数补角”，此时的度数？ 题型09.三元一次方程组的定义及解(高频) 35．三元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 36．三元一次方程组的解是______． 37．已知方程组，则 ___________． 38．若，则（   ） A． B． C． D． 题型10.年龄问题(低频) 39．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 40．一名学生问老师：“你今年多大了？”老师风趣地说“我像你这样大的时候，你才2岁；你到我这么大时，我已经38岁了”，则今年老师的岁数是 _____． 41．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄． 题型11.数字问题(低频) 42．在信息加密传输中，发送方将明文加密成密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，若某种加密规则为：明文m，n对应的密文为，．例如，明文1，2对应的密文是，7．若接收方收到密文6，2，则解密后得到的明文是_______． 43．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 44．一个两位数比它个位上的数字与十位上的数字之和的5倍大2．若将它个位上的数字与十位上的数字互换位置，则新得到的数比原来的数大9．求这个两位数． 45．（新定义）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，，所以． (1)计算：，． (2)若s，t都是“相异数”，其中，（，都是正整数），规定：，当时，求k的最大值． 题型12.图表信息问题(低频) 46．小明打算购买笑脸和爱心两种气球，同一种气球的价格相同．第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为______元． 47．在的方格中填数，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，若填在图中的数字如图，则，的值是（      ） 3 2 A．， B．， C．， D．， 48．灵宝苹果和孟津梨都是河南著名的农产品，某超市购进灵宝苹果和孟津梨进行销售． 信息一：该超市用2700元购进灵宝苹果和孟津梨共300千克． 信息二：这两种水果的进价、售价如下表所示： 水果 进价/（元/千克） 售价/（元/千克） 灵宝苹果 7 10 孟津梨 10 14 (1)该超市购进灵宝苹果和孟津梨各多少千克？ (2)若该超市销售完灵宝苹果时，孟津梨还剩下，将剩余孟津梨打折出售，全部售完后，共获利1044元，求剩余孟津梨打了几折． 题型13.三元一次方程的应用(低频) 49．如图，两个天平都平衡，则与1个“●”质量相等的“”的个数为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 50．如图是一正方体的展开图，若正方体相对面所表示的数相等，则______． 51．有甲、乙、丙三种货物，若购买3件甲货物、7件乙货物、1件丙货物，共需64元；若购买4件甲货物、10件乙货物、1件丙货物，共需79元．现购买甲、乙、丙三种货物各1件，共需（    ） A．33元 B．34元 C．35元 D．36元 52．为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码，，时，则接收方对应收到的密码为，，．双方约定：，，，例如发出，，，则收到，，． (1)当发送方发出一组密码为，，时，则接收方收到的密码是多少？ (2)当接收方收到一组密码，，时，则发送方发出的密码是多少？ 题型14.古代与其他应用问题(低频) 53．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 54．利用两块长方体测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图所示，则桌子的高度为（    ） A． B． C． D． 55．根据所给信息，可知每只小猫______元，每只小狗______元．买   一共要元，买 一共要元． 56．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则的值是（   ） A．0 B．8 C．10 D． 57．某地政府需将一批150吨的物资运往外地，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/每辆） 5 8 10 汽车运费（元/每辆） 400 500 600 (1)全部物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车______辆来运送． (2)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10600元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (3)该地政府打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为17辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？ 58．《九章算术》在“方程”章中记载有“方程术”．“方”指数据左右并排，其形方正，“程”指考查相关数据构成的比率关系．具体何为“方程术”呢？请欣赏《九章算术》中的问题： 今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？ 译文：今有牛5头、羊2头，共值金10两；牛2头、羊5头，共值金8两．问：牛、羊每头各值金多少？ (1)列二元一次方程组解决以上问题． (2)依“方程术”解，将“牛5头、羊2头，共值金10两”列在右方，“牛2头、羊5头，共值金8两”列在左方，用右牛数遍乘左方各数（“遍乘”）得到左方新数，将所得左方各新数减去右方对应数的适当倍数，直到左方第一位数为0为止（“直除”），如图1所示． 左方未减尽之数，用上面的数作除数，下面的数作被除数，所得的商即为每头羊值金数（“羊1头，值金两”）． ①在上述“方程术”推算“羊值金几何”的过程中，“遍乘”和“直除”体现了解二元一次方程组的______思想（填“消元”或“分类”）； ②依“方程术”解，采用“遍乘”和“直除”推算“牛值金几何”的过程如图2所示，请在图中填写数据． , 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $