专题05二元一次方程组的概念与解法专项训练(11大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题05二元一次方程组的概念与解法专项训练 题型01. 二元一次方程的定义与解 题型02.二元一次方程组的定义与解的判断 题型03.已知方程组的解求参数 题型04代入消元法解方程组 题型05. 加减消元法解方程组 题型06 二元一次方程组的特殊解法 题型07. 错解复原问题 题型08.构造方程组求解 题型09. 由方程组解的情况求参数 题型10同解方程组问题 题型11.新定义运算 解答题7题 知识点01:二元一次方程组相关概念 1. 二元一次方程 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 一般形式：ax+by=c（a0,b0） 解的特征：二元一次方程有无数个解，每个解都是一对有序数对 (x,y)。 2. 二元一次方程组 定义：由两个二元一次方程（或一个二元一次方程与一个一元一次方程）组成的方程组。 方程组的解：使方程组中两个方程都成立的未知数的值，即两个方程的公共解，通常只有唯一一组解。 解的检验：将 (x,y) 代入两个方程，若都成立，则是方程组的解。 知识点02:代入消元法 核心思路：用一个未知数表示另一个未知数，代入另一方程消去一个未知数，转化为一元一次方程。 知识点03:加减消元法 核心思路：通过方程两边同乘一个数，使某个未知数的系数互为相反数或相等，再将两方程相加 / 减，消去该未知数。 知识点04:核心结论与拓展 1. 解的情况（期中拓展） 对于方程组 ： 若 ，则有唯一解； 若 ，则无解； 若 ，则有无数组解。 2. 已知解求参数 方法：将方程组的解 (x,y) 代入原方程组，得到关于参数的新方程（组），解出新方程（组）即可求出参数。 3. 特殊题型处理 错解复原：将错解代入看错的方程，结合原方程，联立求参数； 同解方程组：两个方程组的公共解，可先解出其中一个方程组的解，再代入另一组求参数。 核心易错点 · 概念易错：漏看 “整式、两个未知数、次数为 1”，错判二元一次方程。 · 解的检验：只代一个方程，没验证两个方程。 · 代入消元：移项忘变号，代入漏括号，不回代。 · 加减消元：漏乘常数项，加减符号搞错。 · 书写错误：解不加大括号，步骤不规范。 · 参数问题：代入计算出错，错解 / 同解题型搞反条件。 题型01. 二元一次方程的定义与解 1．下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的识别，解题关键是掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、方程含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1，是二元一次方程，故选项符合题意； B、方程中的次数是2，不满足所有含未知数的项的次数都是1，不是二元一次方程，故选项不符合题意； C、方程中项的次数是2，不是二元一次方程，故选项不符合题意； D、方程含有三个未知数，不是二元一次方程，故选项不符合题意； 故选：A． 2．若是关于x，y的方程的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】将方程的解代入原方程，变形即可得到所求代数式的值． 【详解】解：∵是关于，的方程的解， ∴将代入，得：， 等式两边同乘，得：． 3．已知是关于的二元一次方程，则___________． 【答案】3 【分析】根据二元一次方程的定义，可知x和y的次数均为1，据此得到关于m，n的方程，求解得到m和n的值，再计算即可． 【详解】解：根据二元一次方程的定义，可得， 解方程组得， ∴． 4．已知是方程的一组解，则______． 【答案】10 【分析】将方程的解代入原方程得到, 再对所求代数式变形, 整体代入计算即可． 【详解】解：∵是关于、的方程的一组解， 代入得：， ． 5．若是关于、的二元一次方程，则的值是（    ） A．1 B．任何数 C．2 D．1或2 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义求解，需要满足x，y的次数为1，x，y的系数不为0，据此列等式和不等式即可求出m的值． 【详解】解：∵原方程是关于x，y的二元一次方程， ∴需要满足两个条件： ① x的次数为1，即， 即或， 解得或； ② y的系数不能为0，即，得， ∴综上，. 6．长沙某学校为了响应“双减”政策，大力推行课后服务课程，丰富学生的课后生活，开设了剪纸、戏曲、舞龙、武术、围棋个特色传统文化课程，每位同学至少选择一门特色课程，但是每位同学不能重复选择同一门课程．现对甲、乙、丙、丁、戊位同学的选课情况进行统计发现，甲、乙、丙、丁、戊分别选了、、、、门课程，而在这位同学中剪纸、戏曲、舞龙、武术、围棋分别被选了、、、、次，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．通过两种角度计算选课总次数建立等式，结合、的取值范围确定其值，进而求出的值即可． 【详解】解：按同学选课数统计总次数为， 按课程被选次数统计总次数为， 又两种统计方式的总次数相等， ，即， 单门课程最多被位同学各选次，故， ，得， 又每位同学至少选门课程，故， ，代入得， ， 故选：． 题型02.二元一次方程组的定义与解的判断 7．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二元一次方程组需满足：方程组中共含有两个未知数，每个方程都是整式方程，且未知数的最高次数为1，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、该方程组含有三个未知数，不符合二元一次方程组定义，故错误； B、该方程组中的次数为2，不是一次方程，不符合定义，故错误； C、该方程组中的次数为2，不是一次方程，不符合定义，故错误； D、该方程组共含有两个未知数，两个方程均为一次整式方程，符合二元一次方程组定义，故正确； 8．已知是二元一次方程的三个解，是二元一次方程的三个解，则二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的解的定义．根据两个二元一次方程的公共解是二元一次方程组的解进行判断即可． 【详解】解：是二元一次方程的三个解， 是二元一次方程的三个解， ∴是二元一次方程和的公共解， ∴二元一次方程组的解为， 故选：C． 9．已知方程组 ，则的值是 ______． 【答案】34 【分析】把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：34． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，整体代入法求代数式的值，运用|整体思想是解答本题的关键． 10．已知方程，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】所求二元一次方程只需满足是它的解即可，据此构造方程即可． 【详解】解：∵所求方程与所给方程组成的方程组的解为， ∴所求方程的解为， ∵， ∴是符合要求的二元一次方程． 11．二元一次方程的一个解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将各选项中，的值代入原方程，取方程左边方程右边的选项即可． 【详解】、当时，方程左边右边，此选项符合题意； 、当时，方程左边右边，此选项不符合题意，排除； 、当时，方程左边右边，此选项不符合题意，排除； 、当时，方程左边右边，此选项不符合题意，排除； 故选：． 【点睛】此题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 题型03.已知方程组的解求参数 12．若关于，的二元一次方程有一个解是，则_____． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程的解，灵活运用方程的解的定义是解题的关键．根据二元一次方程解的定义，将解代入方程，进而求出字母的值． 【详解】把，代入方程， 得， 即， 移项得， 即， 两边同除以， 得． 故答案为：． 13．若方程组的解为，则被“◯”和“■”遮挡的两个数分别是（  ） A．7，9 B．9，7 C．1， D．，1 【答案】A 【分析】先将x代入完整的方程求出y，得到■的值，再将x和y代入第一个方程求出○的值，即可得到结果． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴将代入，得， 解得：，即， 再将代入，得， ∴被遮挡的两个数分别是和． 14．已知方程组的解是，则方程组的解为______． 【答案】 【分析】将已知解代入原方程组得到系数的关系，再将待求方程组与该关系对比，得到对应未知数的值． 【详解】解：把代入已知方程组， 得 ， ∵题目中方程组为， ∴其解为． 15．已知 ​是方程的解，则a的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵​是方程的解， ∴ 解得： 题型04代入消元法解方程组 16．解方程组时，把①代入②，得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：①代入②，得，即. 17．由，得到用x表示y的式子为______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的变形，掌握移项的运算法则即可求解，将含的项整理到一侧，其余项移到另一侧即可得到结果． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 18．形如的式子称为二阶行列式，其运算法则为：，例如．若，，则_________． 【答案】2 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，由新定义可得方程组，求解可得， 的值．再由新定义运算即可求得答案． 【详解】根据题意，可得 解得 所以． 故答案为：2 19．已知M，N都为整式 ①若，且，则或； ②若，，当，时，则； ③若（，，为非负整数），且，则所有满足条件的整式M的和为； 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】对于①，由题意，，即，根据绝对值意义得出，求出，进而得出，最后根据，进行求解即可； 对于②，联立方程组，由第二个方程解出，代入第一个方程得：，再化简求解； 对于③，由于为非负整数且，所有可能的取值及所有可能整式为：若和为0：则；若和为1：则或或；若和为2：或或或或或，再进行合并同类项计算． 【详解】解：对于①，由题意，，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴不符合题意， ∴原方程无解，故①错误； 对于②，联立方程组， 由得：， 代入得：， 化简得，即，故②正确； 对于③，为非负整数且， 所有可能的组合整式为： 若：则； 若：则或或； 若：或或或或或， 则所有满足条件的整式M的和为：，故③正确； 综上，正确的有2个，故B正确． 题型05. 加减消元法解方程组 20．解方程组 ，得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：得， 21．已知、满足方程组，则的值为______． 【答案】1 【分析】利用加减消元法求解即可． 【详解】解： 上式减下式得，． 22．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值是______． 【答案】 【分析】将方程组的两个方程作差，得到含的的表达式，再根据列方程求解即可． 【详解】解： ，得： ∵， ∴， 解得：． 23．已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变． 其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】先解得方程组的解，根据题意逐一解答判断即可． 【详解】解：， 得， 解得， 把代入，得， 故方程组的解为， ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，得， 解得，结论正确； ②当时，方程组的解为， 方程， 而， 故方程组的解也是方程的解， 故结论正确； ③由，得，是定值， 故无论取什么实数，的值始终不变，结论正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了解方程组，相反数的性质，方程同解，定值问题，熟练掌握解方程组是解题的关键． 题型06 二元一次方程组的特殊解法 24．已知二元一次方程组则的值为______ 【答案】2 【分析】直接由②+①即可得出答案． 【详解】原方程组为， 由②+①得．解得． 故答案为：2． 【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是学会观察，并用整体法求解． 25．已知关于a、b的二元一次方程组，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，把两个方程的左右两边分别相加即可求解． 【详解】 ，得 因此，的值为， 故选B． 26．若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【分析】将第二个方程组中的和分别作为一个整体，参照第一个方程组的解即可得到结果． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 所以，关于，的二元一次方程组的解为． 27．已知关于x，y的方程组，给出下列说法： ①当时，方程组的解也是的解； ②若，则； ③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数； ④x，y都为自然数的解有5对． 以上说法中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】将代入原方程组得，解得，经检验得是的解，故①正确；方程组两方程相加得，根据，得到，解得，故②正确；根据，，得到，得到，从而得到无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确；根据，得到x，y都为自然数的解有共5对，故④正确． 【详解】解：将代入原方程组得， 解得， 将代入方程左右两边， 左边，右边， ∴当时，方程组的解也是的解，故①正确； 方程组得， 若，则，解得，故②正确； ∵，， ∴两方程相加得， ∴， ∴ 无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确； ∵， ∴x，y都为自然数的解有共5对， 故④正确． 故选：D 【点睛】本题考查了消元法解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，二元一次方程的自然数解等知识，理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质和等量代换是解题关键． 题型07. 错解复原问题 28．解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的错解问题，熟练掌握消元法是解题关键． 将与代入可得，然后解方程组可得的值，然后求出，然后代入计算即可得． 【详解】解：把与代入得：， 得， 将代入①得， 把代入得：， 解得：， 则． 故答案为：． 29．甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙因抄错解得，则______． 【答案】 【分析】甲的正确解满足原方程组，可先求出的值，乙仅抄错，其解满足方程组中第一个方程，代入第一个方程，得到关于、的二元一次方程组，求解得到、后，计算即可． 【详解】解：把代入，得， 解得； 把代入，得， ∴，解得， ∴． 30．对于代数式，小明分别计算了当时该代数式的值，得到以下四个结论，嘉淇发现其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（   ） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的求值、解方程组，通过假设每个结论错误，验证其余三个结论是否一致，找出唯一矛盾的情况． 【详解】解：假设①错误，则②、③、④正确： 联立②和③：， 解得，，代入④得，矛盾，故①不可能错误． 假设②错误，则①、③、④正确： 联立①和③：， 解得，，代入④得，④正确，代入②得，仅②错误，符合题意． 假设③错误，则①、②、④正确： 联立①和②：， 解得，，代入④得，矛盾，故③不可能错误． 假设④错误，则①、②、③正确： 联立①和②：， 解得，，代入③得，矛盾，故④不可能错误． 综上，错误的结论是②． 故选：B． 题型08.构造方程组求解 31．下表中的每一对x，y的值都是二元一次方程的一个解，则表中“？”表示的数为________　 x 2 1 0 …… ？ y 2 4 6 8 …… 102 【答案】 【分析】代入原方程，可得出关于a，b的二元一次方程组，解之可得出a，b的值，进而可得出原方程为，再代入，即可求出表中“？”表示的数． 【详解】解：将，代入原方程得：， 解得：， ∴原方程为， 当时，， 解得：， ∴表中“？”表示的数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，代入二元一次方程的两组解，求出a，b值是解题的关键． 32．在关系式中，当时，，当时，，则a，b的值是（） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用代入法得到关于的二元一次方程组，用消元法解方程组即可得到结果． 【详解】解：∵当时，，当时，， 将两组值代入，可得方程组， 用②①得：， 化简得， 将代入①得：， 解得， ∴，． 33．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于__________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组，解方程组得出，再求出的值，即可解答． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 34．已知为整式，且，其中为正整数，为自然数，令．下列说法： ①若时，和满足，则； ②不存在和的值，使； ③若时，，，则满足条件的所有整式的和为．其中正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查新定义整式，涉及整式运算、解方程组等知识，读懂题意，理解题中新定义的整式运算法则，根据不同说法，代值验证即可得到答案．理解题中新定义整式是解决问题的关键． 【详解】解：当时，， 和满足， 解得， ， 故①正确； 若，则， 即， ， 当时，， 即存在和的值，使， 故②错误； 若时，满足条件的所有整式的和为， 由可知，只能取或， 当时，，则， ，解得， 为正整数， 或， 即或； 当时，，则， ，解得， 为正整数， 或， 当时，则，方程组无满足条件的解； 当时，则，即； ； 满足条件的所有整式的和为， 故③错误； 综上所述，正确的说法是①，共1个， 故选：C． 题型09. 由方程组解的情况求参数 35．如果实数满足方程组那么________． 【答案】1 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的解及解二元一次方程组，掌握整体思想是解本题的关键． 将两个二元一次方程相减即可得到，再整体代入即可求值． 【详解】解：方程组， 由①-②得：， 那么． 故答案为：． 36．若二元一次方程组的解满足方程，则k为（   ） A．2020 B．2022 C．2024 D．2026 【答案】B 【分析】本题利用加减消元法，将方程组两个方程相加凑出的含的表达式，再结合已知条件求解． 【详解】解：， 将得， 整理得， 两边同除以得， ， ， ． 37．已知关于x，y的二元一次方程组的解均为整数，若k为正整数，则满足条件的k值个数为________． 【答案】3 【详解】解：， 由②得， 将代入①得， 整理得，即， ∵关于x，y的二元一次方程组的解均为整数， ∴或， 解得或或13或， ∵k为正整数， ∴或或13，共3个． 38．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的一个解；②当x与y互为相反数时，；③不论a取什么实数，的值始终不变；④若，则．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．利用二元一次方程的解及方程组的解定义判断即可． 【详解】解：①当时，方程组为 ①②得， 解得： 将代入②得， 解得： 方程组的解为：， ∴是方程的一个解，符合题意； ②关于，的方程组 ①②得， 解得： 将代入②得， 方程组的解为：， 当当x与y互为相反数时，， 解得：，故②不符合题意； ③，不论取什么实数，的值始终不变，③符合题意； ④当时，方程组的解为：， 则，④不符合题意． 所以以上四种说法中正确的有①③． 故选：B． 题型10同解方程组问题 39．已知关于，的方程组与方程组同解，则________，________． 【答案】 1 8 【分析】本题考查两个方程组同解求参数，先联立不含参数的方程和 解出x和y，再代入含参数的方程求a和b． 【详解】解：联立方程 ， 解得 ， 把 代入 ，得， 解得 故答案为 1，8． 40．已知关于的方程组与方程组同解，则_____． 【答案】81 【分析】先联立不含参数的方程和 解出x和y，再代入含参数的方程求a和b，即可． 【详解】解：联立方程 ， 解得 ， 把 代入 得， 解得 ， ∴． 41．已知方程组和方程组有相同的解，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个方程组有相同的解，说明该解同时满足所有方程，因此先联立不含参数的方程求出公共解，再将公共解代入含参数的方程，得到关于的方程组即可求解． 【详解】解：根据题意，联立不含参数的方程得 ， ①+②得，解得， 把代入①得 ，解得， 把代入和得： ， 将代入得，解得 把代入得 ， 所以，即选项A符合题意． 题型11.新定义运算 42．对于有理数x、y，定义新运算：，其中是常数，例：．已知，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是得出关于a、b的方程组，难度一般，根据题意求出，即可求解． 【详解】由题意得：，解得 ∴ 故选：C． 43．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．针对x，y，m，n的取值．三人的说法如下． 甲：若，则； 乙：的值一定是2； 丙：若，则． 下列判断正确的是（   ）    A．甲对，乙错 B．乙和丙都错 C．乙对，丙错 D．甲、乙、丙都对 【答案】D 【分析】此题主要考查了整式的加法，先用m，n表示x，y的式子，结合，逐一判断即可． 【详解】解：由题意得 ②①得，解得 把 代入①得，解得， 所以， 因为 ， 甲：时，，解得，正确； 乙：，正确； 丙：则，即，正确； 故选D. 44．对于任意实数x，y，定义运算，其中a，b为常数，符号右边的运算是通常意义的加、乘运算，现已知，且，则值为（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 【答案】D 【分析】根据定义及，可得二元一次方程组，求解得到a和b的值，即可求解得到的值． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用和新定义的运算，构造二元一次方程组是解题的关键． 45．对于任意实数、，定义新运算：，．例如：时，． (1)若，求、的值； (2)若关于、的方程组（为常数）的解也满足方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算以及二元一次方程组，能够根据题意列出二元一次方程组是解题关键； （1）根据定义新运算得出关于x、y的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得； （2）解：∵， ∴， 得到， ∵， ∴，解得． 解答题 46．已知二元一次方程． (1)写出它所有的正整数解：________________________________． (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为 【答案】(1)或或 (2)（答案不唯一） 【分析】（1）将方程变形为用表示的形式，结合为正整数的条件，确定的取值范围，再代入求出对应的． （2）根据给定的方程组的解，构造一个二元一次方程，使该解满足这个方程． 【详解】（1）解：由方程，得． 当时，； 当时，； 当时，． 故方程所有的正整数解为或或 （2）解：∵把代入式子，得， ∴满足条件的二元一次方程可以是（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二元一次方程的正整数解及方程组的解，掌握用一个未知数表示另一个未知数，结合正整数条件确定取值、构造满足特定解的二元一次方程是解题的关键． 47．已知下列四对数值：①②③④ (1)哪几对是方程的解？ (2)哪几对是方程的解？ (3)哪几对是方程组的解？ 【答案】(1)②④是方程的解． (2)③④是方程的解． (3)④是方程组的解． 【分析】本题考查二元一次方程的解和二元一次方程组的解，方程（组）的解是满足方程（组）的未知数的值，掌握该知识点是解题的关键． （1）把各对数值依次代入进行验证，能够使方程成立的未知数的值即为方程的解； （2）把各对数值依次代入进行验证，能够使方程成立的未知数的值即为方程的解； （3）两方程的公共解即为方程组的解，据此即可解答题目. 【详解】（1）解：将代入，不成立； 将代入，成立； 将代入，不成立； 将代入，成立； 故②④是方程的解． （2）解：将代入，不成立； 将代入，不成立； 将代入，成立； 将代入，成立； ③④是方程的解． （3）解：由（1）（2），可知，④是两个方程公共解 所以④是方程组的解． 48．已知关于、的方程组的解是 (1)求、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了根据方程组的解求参数的值，求代数式的值，求一个数的平方根．列出关于、的二元一次方程组是解题的关键． （1）把，代入方程组，得出关于，的方程组，解方程组求出、的值； （2）将、的值代入求出的值，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：∵关于、的方程组的解是， 把，代入，得， 解得：， 故，． （2）解：将，代入，得， ∵的平方根是， 故的平方根是． 49．解方程组： (1)；（代入消元） (2)．（加减消元） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把①代入②得，解得， 把代入①得， ∴原方程组的解为； （2）解： 得，解得， 把代入②得，解得， ∴原方程组的解为． 50．已知是二元一次方程组的解． (1)求，的值； (2)小华在求方程组的解时发现，若将（1）中求得的，代入化简整理之后求解，容易出错．如果把看成一个整体设为，把看成一个整体设为，通过换元便可得与类似的方程组，由于是二元一次方程组的解，于是即，解得． 请参考小华同学的方法，解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程组解的定义，代入求解即可； （2）借助所学的换元法求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程组得， 解得； （2）解：设，， 则原方程组可整理为， 解得， 即， 解得． 51．下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组：． 解：，得，③…第一步 ，得，…第二步 ．…第三步 将代入①，得，…第四步 所以，原方程组的解为．…第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法；以上求解步骤中，第一步的依据是 ． (2)第 步开始出现错误． (3)直接写出该方程组的正确解： ． 【答案】（1）消元；等式的性质 （2）二 （3） 【分析】（1）根据二元一次方程组的解法即可解题； （2）第二步计算错误； （3）根据消元法继续计算即可． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做消元法；以上求解步骤中，第一步的依据是等式的性质； （2）解：第二步出现错误，应得到； （3）解：将代入①，得， ∴原方程组的解为． 52．我们把关于x，y的两个二元一次方程与叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组叫作共轭二元一次方程组． (1)若关于x，y的二元一次方程组为共轭二元一次方程组，则 ， ； (2)若二元一次方程中x，y的值满足表格：则这个方程的共轭二元一次方程是 ； x 2 0 y 0 1 (3)发现：若共轭二元一次方程组的解是，则m，n之间的数量关系是 ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）由定义得到方程组，再解方程组即可； （）将，； ，，代入方程中，求出这个二元一次方程，即可写出这个方程的共轭二元一次方程； （）将方程组的解代入，再由加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：是共轭二元一次方程组， 则， 解得； （2）解：将，； ，，代入方程中， ，， ∴， ∴二元一次方程是， ∴共轭二元一次方程是； （3）解：∵的解为， ∴， 得， ∴， ∵， ∴， 即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05二元一次方程组的概念与解法专项训练 题型01. 二元一次方程的定义与解 题型02.二元一次方程组的定义与解的判断 题型03.已知方程组的解求参数 题型04代入消元法解方程组 题型05. 加减消元法解方程组 题型06 二元一次方程组的特殊解法 题型07. 错解复原问题 题型08.构造方程组求解 题型09. 由方程组解的情况求参数 题型10同解方程组问题 题型11.新定义运算 解答题7题 知识点01:二元一次方程组相关概念 1. 二元一次方程 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 一般形式：ax+by=c（a0,b0） 解的特征：二元一次方程有无数个解，每个解都是一对有序数对 (x,y)。 2. 二元一次方程组 定义：由两个二元一次方程（或一个二元一次方程与一个一元一次方程）组成的方程组。 方程组的解：使方程组中两个方程都成立的未知数的值，即两个方程的公共解，通常只有唯一一组解。 解的检验：将 (x,y) 代入两个方程，若都成立，则是方程组的解。 知识点02:代入消元法 核心思路：用一个未知数表示另一个未知数，代入另一方程消去一个未知数，转化为一元一次方程。 知识点03:加减消元法 核心思路：通过方程两边同乘一个数，使某个未知数的系数互为相反数或相等，再将两方程相加 / 减，消去该未知数。 知识点04:核心结论与拓展 1. 解的情况（期中拓展） 对于方程组 ： 若 ，则有唯一解； 若 ，则无解； 若 ，则有无数组解。 2. 已知解求参数 方法：将方程组的解 (x,y) 代入原方程组，得到关于参数的新方程（组），解出新方程（组）即可求出参数。 3. 特殊题型处理 错解复原：将错解代入看错的方程，结合原方程，联立求参数； 同解方程组：两个方程组的公共解，可先解出其中一个方程组的解，再代入另一组求参数。 核心易错点 · 概念易错：漏看 “整式、两个未知数、次数为 1”，错判二元一次方程。 · 解的检验：只代一个方程，没验证两个方程。 · 代入消元：移项忘变号，代入漏括号，不回代。 · 加减消元：漏乘常数项，加减符号搞错。 · 书写错误：解不加大括号，步骤不规范。 · 参数问题：代入计算出错，错解 / 同解题型搞反条件。 题型01. 二元一次方程的定义与解 1．下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．若是关于x，y的方程的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 3．已知是关于的二元一次方程，则___________． 4．已知是方程的一组解，则______． 5．若是关于、的二元一次方程，则的值是（    ） A．1 B．任何数 C．2 D．1或2 6．长沙某学校为了响应“双减”政策，大力推行课后服务课程，丰富学生的课后生活，开设了剪纸、戏曲、舞龙、武术、围棋个特色传统文化课程，每位同学至少选择一门特色课程，但是每位同学不能重复选择同一门课程．现对甲、乙、丙、丁、戊位同学的选课情况进行统计发现，甲、乙、丙、丁、戊分别选了、、、、门课程，而在这位同学中剪纸、戏曲、舞龙、武术、围棋分别被选了、、、、次，那么等于（    ） A． B． C． D． 题型02.二元一次方程组的定义与解的判断 7．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 8．已知是二元一次方程的三个解，是二元一次方程的三个解，则二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 9．已知方程组 ，则的值是 ______． 10．已知方程，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为：______． 11．二元一次方程的一个解是（    ） A． B． C． D． 题型03.已知方程组的解求参数 12．若关于，的二元一次方程有一个解是，则_____． 13．若方程组的解为，则被“◯”和“■”遮挡的两个数分别是（  ） A．7，9 B．9，7 C．1， D．，1 14．已知方程组的解是，则方程组的解为______． 15．已知 ​是方程的解，则a的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 题型04代入消元法解方程组 16．解方程组时，把①代入②，得（   ） A． B． C． D． 17．由，得到用x表示y的式子为______． 18．形如的式子称为二阶行列式，其运算法则为：，例如．若，，则_________． 19．已知M，N都为整式 ①若，且，则或； ②若，，当，时，则； ③若（，，为非负整数），且，则所有满足条件的整式M的和为； 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 题型05. 加减消元法解方程组 20．解方程组 ，得（    ） A． B． C． D． 21．已知、满足方程组，则的值为______． 22．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值是______． 23．已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变． 其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 题型06 二元一次方程组的特殊解法 24．已知二元一次方程组则的值为______ 25．已知关于a、b的二元一次方程组，则的值为（    ） A． B． C． D． 26．若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为______． 27．已知关于x，y的方程组，给出下列说法： ①当时，方程组的解也是的解； ②若，则； ③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数； ④x，y都为自然数的解有5对． 以上说法中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型07. 错解复原问题 28．解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则____． 29．甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙因抄错解得，则______． 30．对于代数式，小明分别计算了当时该代数式的值，得到以下四个结论，嘉淇发现其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（   ） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 题型08.构造方程组求解 31．下表中的每一对x，y的值都是二元一次方程的一个解，则表中“？”表示的数为________　 x 2 1 0 …… ？ y 2 4 6 8 …… 102 32．在关系式中，当时，，当时，，则a，b的值是（） A．， B．， C．， D．， 33．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于__________． 34．已知为整式，且，其中为正整数，为自然数，令．下列说法： ①若时，和满足，则； ②不存在和的值，使； ③若时，，，则满足条件的所有整式的和为．其中正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 题型09. 由方程组解的情况求参数 35．如果实数满足方程组那么________． 36．若二元一次方程组的解满足方程，则k为（   ） A．2020 B．2022 C．2024 D．2026 37．已知关于x，y的二元一次方程组的解均为整数，若k为正整数，则满足条件的k值个数为________． 38．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的一个解；②当x与y互为相反数时，；③不论a取什么实数，的值始终不变；④若，则．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 题型10同解方程组问题 39．已知关于，的方程组与方程组同解，则________，________． 40．已知关于的方程组与方程组同解，则_____． 41．已知方程组和方程组有相同的解，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 题型11.新定义运算 42．对于有理数x、y，定义新运算：，其中是常数，例：．已知，，那么（   ） A． B． C． D． 43．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．针对x，y，m，n的取值．三人的说法如下． 甲：若，则； 乙：的值一定是2； 丙：若，则． 下列判断正确的是（   ）    A．甲对，乙错 B．乙和丙都错 C．乙对，丙错 D．甲、乙、丙都对 44．对于任意实数x，y，定义运算，其中a，b为常数，符号右边的运算是通常意义的加、乘运算，现已知，且，则值为（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 45．对于任意实数、，定义新运算：，．例如：时，． (1)若，求、的值； (2)若关于、的方程组（为常数）的解也满足方程，求的值． 解答题 46．已知二元一次方程． (1)写出它所有的正整数解：________________________________． (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为 47．已知下列四对数值：①②③④ (1)哪几对是方程的解？ (2)哪几对是方程的解？ (3)哪几对是方程组的解？ 48．已知关于、的方程组的解是 (1)求、的值； (2)求的平方根． 49．解方程组： (1)；（代入消元） (2)．（加减消元） 50．已知是二元一次方程组的解． (1)求，的值； (2)小华在求方程组的解时发现，若将（1）中求得的，代入化简整理之后求解，容易出错．如果把看成一个整体设为，把看成一个整体设为，通过换元便可得与类似的方程组，由于是二元一次方程组的解，于是即，解得． 请参考小华同学的方法，解方程组． 51．下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组：． 解：，得，③…第一步 ，得，…第二步 ．…第三步 将代入①，得，…第四步 所以，原方程组的解为．…第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法；以上求解步骤中，第一步的依据是 ． (2)第 步开始出现错误． (3)直接写出该方程组的正确解： ． 52．我们把关于x，y的两个二元一次方程与叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组叫作共轭二元一次方程组． (1)若关于x，y的二元一次方程组为共轭二元一次方程组，则 ， ； (2)若二元一次方程中x，y的值满足表格：则这个方程的共轭二元一次方程是 ； x 2 0 y 0 1 (3)发现：若共轭二元一次方程组的解是，则m，n之间的数量关系是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $