精品解析：四川宜宾市叙州区第二中学2026届高三下学期第一次模拟考试数学试题

叙州区二中2025-2026学年下期高2023级四月模拟考试 数学试题 满分150分考试 时间120分钟 一、单选题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1 已知集合，全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 狄利克雷函数与黎曼函数是两个特殊函数，狄利克雷函数，黎曼函数定义在上，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 4. 已知等比数列，则“”是“数列为递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 某班从5名同学中选3名同学分别参加数学、物理和化学知识竞答，已知甲同学不能参加物理和化学知识竞答，其他同学都能参加这三科知识竞答，则不同的安排有（ ） A. 42种 B. 36种 C. 6种 D. 12种 6. 古代祭祀用的礼器中，“笾”是盛放干果的器具，底座常为正四棱台，上承盘体，下接底座．如图，在一个盛满干果的“笾”中，，，若从中取出干果后，干果的高度约下降一半，则剩余的干果的质量约为（ ） A. B. C. D. 7. 曲线是一条形状优美的曲线，若是曲线上任意一点，的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆和双曲线有公共焦点（为左焦点），与在第三象限交于点，直线交轴于点，且平分，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知数据的平均数为M，中位数为N，方差为P，极差为Q，设，得到新数据，则对于所得新数据，下列说法一定正确的是（ ） A. 平均数是3M B. 中位数是 C. 方差是9P D. 极差是 10 已知函数，则（ ） A. 为的一个周期 B. C. 在上单调递增 D. 直线为的一条对称轴 11. 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点．过点的直线与抛物线交于两点，则下列说法正确的是（ ） A B. 若（为坐标原点），则抛物线的方程为 C. 焦点到直线的距离的最大值为 D. 中至多有3个角为锐角 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 13. 若正项数列的前项和为，且，则__________. 14. 已知函数图象关于直线对称，，若，则实数的取值范围是__________. 四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. （1）求角C及边c的值； （2）求的最大值. 16. 诗词是中华文化的瑰宝，蕴含着丰富的文学内涵和美学价值.某学校为了培养学生学习诗词的兴趣，特别组织了一次关于诗词的知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛. （1）初赛采用选一题答一题的方式，每位参赛学生最多有5次答题机会，累计答对3道题或答错3道题即终止比赛，答对3道题则进入决赛，答错3道题则被淘汰.已知学生甲答对每道题的概率均为，且回答各题的结果相互独立. （ⅰ）求甲至多回答了4道题被淘汰的概率； （ⅱ）设甲在初赛答题的道数为X，求X的分布列和数学期望. （2）决赛共答3道题，若答对题目数量不少于2道，则胜出.已知学生甲进入了决赛，他在决赛中前2道题答对的概率相等，均为，3道题全答对的概率为，且回答各题的结果相互独立，设他恰好答对2道题目胜出的概率为，求的最小值. 17. 如图，在四棱锥中，平面，平面平面． （1）证明：； （2）若，且为的重心，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，动点的轨迹 （1）求轨迹的方程； （2）点为坐标原点，过的直线交的右支于两点，过点作直线的垂线，垂足为. ①已知，当最小时，求直线的方程； ②求面积的最小值. 19. 已知函数. （1）若在定义域上恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程的根为， ①求证: ； ②判断数列中是否存在连续三项按某种顺序构成等比数列，并证明你的判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 叙州区二中2025-2026学年下期高2023级四月模拟考试 数学试题 满分150分考试 时间120分钟 一、单选题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再根据补集的概念即可求出. 【详解】由题意得，，解得或，故集合或， 又全集，. 故选：C. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求出，再根据共轭复数和虚部的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 得到，故的虚部为. 故选：A 3. 狄利克雷函数与黎曼函数是两个特殊函数，狄利克雷函数，黎曼函数定义在上，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据狄利克雷函数与黎曼函数的定义求解即可. 【详解】因为， 而为上的无理数，所以， 因为，所以. 故选：D. 4. 已知等比数列，则“”是“数列为递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，由数列的单调性即可求解. 【详解】当时，， 此时，但是，所以数列不是递减数列； 若数列为递减数列，则，所以， 故“”是“数列为递减数列”的必要不充分条件， 故选：B 5. 某班从5名同学中选3名同学分别参加数学、物理和化学知识竞答，已知甲同学不能参加物理和化学知识竞答，其他同学都能参加这三科知识竞答，则不同的安排有（ ） A. 42种 B. 36种 C. 6种 D. 12种 【答案】B 【解析】 【分析】利用分类加法原理来求解即可. 【详解】第一类：三名同学中有甲同学，则不同的安排有：种； 第二类：三名同学中没有甲同学，则不同的安排有：种； 根据分类加法原理可得，共有种， 故选：B. 6. 古代祭祀用的礼器中，“笾”是盛放干果的器具，底座常为正四棱台，上承盘体，下接底座．如图，在一个盛满干果的“笾”中，，，若从中取出干果后，干果的高度约下降一半，则剩余的干果的质量约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用棱台的体积公式求出盛满干果的“笾”的体积、高度下降一半后的体积，再利用比例式求得答案. 【详解】设正四棱台的高为， 则该四棱台的体积， 过正四棱台四条侧棱中点的平面截该棱台所得的两个几何体均为正四棱台， 则截得较小的正四棱台体积， 设剩余的干果的质量约为，依题意，，则， 所以剩余的干果的质量约为. 故选：C 7. 曲线是一条形状优美的曲线，若是曲线上任意一点，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】当时，的图象是以为圆心的半径为的半圆， 当时，的图像是以为圆心的半径为的半圆， 当时，的图象是以为圆心的半径为的半圆， 当时，的图像是以为圆心的半径为的半圆， 最终的曲线如图一 ， 可以理解为点到直线的距离， 是上一点，所以原题等价于求上一点到直线的距离的最小值， 观察图象得在第一象限的部分到直线的距离更近， 对第一象限的圆弧，过圆心作的垂线，垂线长， 到的距离的最小值， 所以的最小值为. 8. 已知椭圆和双曲线有公共焦点（为左焦点），与在第三象限交于点，直线交轴于点，且平分，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆及双曲线的定义，有，可求得，设，再根据角平分线定理得，因此可用表示出，再利用既在内，又在内，在两个三角形中用不同形式表示出，列出方程，即可解得，进而求得离心率. 【详解】 由题可知，，即，，，得. 设，因为平分，由角平分线定理可知， ，即，整理得. 在中，设，根据余弦定理，有： ， 又因为在中，， 故可得，整理得， 解得或（舍去）， 故的离心率. 故选：B. 二、多选题（每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知数据的平均数为M，中位数为N，方差为P，极差为Q，设，得到新数据，则对于所得新数据，下列说法一定正确的是（ ） A. 平均数是3M B. 中位数是 C. 方差是9P D. 极差是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，结合数据的平均数、中位数、方差和极差的定义与计算方法，结合，逐项求解判断，即可得到答案. 【详解】对于A，由数据的平均数为，可得， 新数据的平均数为 ，所以A错误； 对于B，由数据的中位数为， 将新数据从小到大排序，因为，所以新数据的排序和原数据的排序相同， 所以新数据的中位数为，所以B正确； 对于C，由数据的方差为， 设新数据的方差为，因为新数据满足，可得，所以C正确； 对于D，由原数据的极差为，可得， 因为新数据满足，则新数据的极差为，所以D错误. 10. 已知函数，则（ ） A. 为的一个周期 B. C. 在上单调递增 D. 直线为的一条对称轴 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，利用周期性的定义判断即可；对于B，先辅助角公式将括号里的式子化简，然后发现两个式子同时取到最大值，故正确；对于C，通过计算，，故错误；对于D，化简，发现它们相等，所以D正确. 【详解】A： ，所以为的一个周期，A正确； B：，当时， 取到最大值为，也取到最大值为， 所以，B正确； C：由B可知，，所以，所以在上不是单调增，C错误； D：， ， ， ，所以直线为的一条对称轴，D正确； 故选：ABD. 11. 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点．过点的直线与抛物线交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若（为坐标原点），则抛物线的方程为 C. 焦点到直线的距离的最大值为 D. 中至多有3个角为锐角 【答案】ABD 【解析】 【分析】设直线的方程为，联立方程组，由，求解，结合韦达定理和抛物线的性质，可判定A正确；根据向量的数量积的坐标运算，列出方程，求得，可判定B正确；利用距离公式，求得，结合，可判定C错误；根据向量的数量积的计算公式，分别求得和，结合数量积的符号，可得判定D正确. 【详解】对于抛物线，可得其焦点，准线方程为，则， 对于A，设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 可得，解得或， 且， 由抛物线的定义，可得， 因为，可得同号， 又由且，所以，所以A正确； 对于B，由，可得， 因为，，可得，解得， 所以抛物线的方程为，所以B正确； 对于C，由焦点到直线的距离为， 因为，所以，所以C错误； 对于D，不妨设在之间， 由向量， 可得， 因为且，可得， 因为在之间，则,故, 所以,，所以为锐角，为钝角； 又由向量， 可得， 当时，可得，此时为锐角， 而，故也为锐角， 综上可得，所以中至多有3个角为锐角，所以D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式系数之和得出，再利用二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】二项式系数之和为，所以， 因为的展开式的通项公式为： ， 当时，所以， 则展开式中的系数为. 故答案为：40. 13. 若正项数列的前项和为，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正项数列与前项和为的关系，结合题设可得，可得数列是以1为首项，2为公差的等差数列，进而求解即可. 【详解】由，得， 当时，， 两式作差可得：， 则，又，所以， 当时，，解得， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 则. 故答案为：4051. 14. 已知函数的图象关于直线对称，，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】函数关于直线的对称函数求出，根据函数单调性得出的范围即可． 【详解】由图象关于直线对称， 所以, 所以, 即, 解得，则， 所以. 所以，， 可得，则， 所以， 所以， 因为， 由复合函数单调性可知，函数在R上为减函数， 则，即. 故答案为：. 四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. （1）求角C及边c的值； （2）求的最大值. 【答案】（1）， （2）4 【解析】 【小问1详解】 由， 根据余弦定理，得， 因为，则. 由，得， 根据正弦定理，得，则. 【小问2详解】 由（1）知，， 则，即， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为4. 16. 诗词是中华文化的瑰宝，蕴含着丰富的文学内涵和美学价值.某学校为了培养学生学习诗词的兴趣，特别组织了一次关于诗词的知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛. （1）初赛采用选一题答一题的方式，每位参赛学生最多有5次答题机会，累计答对3道题或答错3道题即终止比赛，答对3道题则进入决赛，答错3道题则被淘汰.已知学生甲答对每道题的概率均为，且回答各题的结果相互独立. （ⅰ）求甲至多回答了4道题被淘汰的概率； （ⅱ）设甲在初赛答题的道数为X，求X的分布列和数学期望. （2）决赛共答3道题，若答对题目数量不少于2道，则胜出.已知学生甲进入了决赛，他在决赛中前2道题答对的概率相等，均为，3道题全答对的概率为，且回答各题的结果相互独立，设他恰好答对2道题目胜出的概率为，求的最小值. 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）X的分布列： X 3 4 5 P 数学期望为； （2）. 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）明确甲至多回答了4道题的可能情况即可计算求解； （ⅱ）求出随机变量取值和各取值相应概率即可求分布列，再由数学期望公式即可计算求数学期望值； （2）先求出第3道题答对的概率，接着求出答对2道题目胜出的概率，再利用导数工具即可求的最小值. 【小问1详解】 （ⅰ）甲至多回答了4道题被淘汰则有两种情况，一种是连续答错前3道题，另一种是甲在前三道题中答错两道，且答错第4道， 所以甲至多回答了4道题被淘汰的概率为； （ⅱ）由题可得， ，， 所以X的分布列为： X 3 4 5 P 所以X的数学期望为. 【小问2详解】 由题可得第3道题答对的概率为， 所以学生甲答对2道题目胜出的概率为， 所以， 所以当时，当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. 17. 如图，在四棱锥中，平面，平面平面． （1）证明：； （2）若，且为的重心，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 如图，过点A作于点E． 平面平面，平面平面平面， 平面． 又平面． 又平面平面． 平面平面． 又平面． （2） 【解析】 【分析】（1）过点A作于点E，由面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理和性质定理即可证明； （2）以点B为坐标原点，所在的直线分别为轴，过点B且平行于的直线为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量与平面的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 以点B为坐标原点，所在的直线分别为轴， 过点B且平行于的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 设．① ．② 由①②得． 又为的重心，． 设平面的法向量为，则 ， 令，则 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，动点的轨迹 （1）求轨迹的方程； （2）点为坐标原点，过的直线交的右支于两点，过点作直线的垂线，垂足为. ①已知，当最小时，求直线的方程； ②求面积的最小值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据距离公式列出等式，化简后可得到轨迹方程； （2）①将转化为点到直线的距离，得到共线时最小，求出点坐标，进而得到直线的方程； ②设，联立直线与双曲线的方程，写出韦达定理， 法一：令，求出，得到过定点，表示出的面积；法二：求出直线的方程，设与交于，令，求出，表示出的面积；法三：写出的方程，求出到直线的距离，及，表示出的面积；法四：，得出的面积；由过的直线交的右支于两点求出的取值范围，再利用换元法以及二次函数的性质求出三角形面积的最小值. 【小问1详解】 由，则 两边平方整理得： 【小问2详解】 ① 共线时取等. ，即； ②易知斜率不为0，设，则. 由，则 ， 法一：由，直线，由对称性，直线若过定点必在轴上， 令，则， 解得 又，所以，则 过定点 又过的直线交的右支于两点 解得 令，则 又，则，当时取等号. 的最小值为. 法二：，设与交于，令 ，其它同法一. 法三：， 设点到直线的距离为，则， 而， ，其它同法一. 法四： ，其它同法一. 19. 已知函数. （1）若在定义域上恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程的根为， ①求证: ； ②判断数列中是否存在连续三项按某种顺序构成等比数列，并证明你的判断. 【答案】（1） （2） ①由（1）知，当时，，， 即，，当且仅当时等号成立， 因为方程的根为，所以，且， 则，即， 当时，， 则, 当时，也满足，则. ②数列中不存在连续三项按某种顺序构成等比数列，证明如下： 由，，则， 当时，，则函数在上单调递增， 结合题意，方程有唯一的根为，即， 而， 则，即， 假设成等比数列，则其公比，且， 又，则，， 所以，则， 即，所以， 则，由于， 则，即， 则，则， 由，， 两式相减得， 则，即，这与矛盾， 故数列中不存在连续三项按某种顺序构成等比数列. 【解析】 【分析】（1）转化问题为对于恒成立，设，，利用导数分析其单调性，进而求解即可； （2）①结合（1）可得，，当且仅当时等号成立，进而得到，可得当时，，进而利用裂项相消法求证即可； ②先假设存在，先得到，再结合成等比数列，得到，再由，得到推出矛盾即可求证. 【小问1详解】 由，， 则对于恒成立， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，即， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $