四川省宜宾市普通高中2026年高三下学期第二次诊断性测试数学试题

宜宾市普通高中2023级第二次诊断性测试 数学 （考试时间：120分钟；全卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后、用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动、用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线 的焦点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若向量在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. 1 C. D. 3 4. 双曲线 的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列满足对任意的，都有．若，则（ ） A. 8 B. 18 C. 20 D. 27 6. 已知，且，则（） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，， ，，则（ ） A. 8 B. C. 12 D. 8. 已知，若，存在，使得成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 赓续绵延长江情，携手共谱新篇章．2026年央视春晚宜宾分会场筹备期间，某中学向全校学生征集“立上游-新宜宾”主题宣传文案，共收到500篇作品．由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于m分为优秀，若征文得分X（单位：分）近似服从正态分布，且及格率为80%，则下列说法正确的是（ ） A. 随机取1篇征文，则评分在内的概率为0.6 B. 已知优秀率为20%，则 C. 越大，的值越小 D. 越小，评分在的概率越大 10. 定义在上的函数，对都有，且 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列单调递减 C. D. 数列的前n项和为，则 11. 已知正三棱台，上底面边长为2，下底面ABC边长为6，侧棱长为4，点在侧面内（包含边界）运动，且，Q为上一点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 正三棱台的高为 B. 高为，底面半径为的圆柱可以放进该棱台内 C. 点P的轨迹长度为 D. 过点的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数z满足，则复数______． 13. 等比数列的前n项和为，若，，则 ________． 14. 已知在圆锥中，高长为，底面圆的直径长为，点为母线的中点．过点用平行于母线的平面去截圆锥，得到的截口曲线是抛物线，则该抛物线的焦点到点的距离为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知 的内角A、B、C的对边分别为，满足． （1）求A； （2）设点D为上一点，是 的角平分线，且 、 ，求的长度． 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在C上， 轴，且． （1）求C的方程； （2）过点的直线交C于不同的两点A、B，于点H，证明：直线HB过定点． 17. 某大学进行强基计划测试，已知有6名学生进入最后面试环节，且这6名学生全都来自A、B、C三所学校，其中A、B、C三所学校参加面试的学生人数比为．该大学要求所有面试考生面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码k由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟（假定相邻两名考生之间面试时无缝衔接），面试完成后自行离场． （1）求面试号码为3的学生来自A校的概率； （2）记随机变量X表示从1号学生开始面试到A校最后一名学生完成面试所用的时间，求X的分布列与数学期望； （3）求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试，B、C两校都还有学生未完成面试）的概率． 18. 在四棱锥 中，四边形为矩形， 为锐角三角形， ，， ，为棱的中点，平面与平面的交线为 ，直线与 相交于点． （1）求线段长度的最小值； （2）若异面直线与 所成角为． （ⅰ）求平面 与平面夹角的余弦值； （ⅱ）求三棱锥的外接球的表面积． 19. 已知函数 ． （1）判断函数 在区间上极值点的个数，并说明理由； （2）将函数在区间上的极值点从小到大排列，形成数列，数列满足：． 证明：（ⅰ） ； （ⅱ）． 宜宾市普通高中2023级第二次诊断性测试 数学 （考试时间：120分钟；全卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后、用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动、用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 若直线斜率不为，则设直线，，， 联立，得， 则， 得 ，， 因为，则， 则直线 的方程为， 令，得， 则直线HB过定点； 若直线斜率为，则直线HB为轴，过点； 故直线HB过定点. 【17题答案】 【答案】（1）； （2） 15 20 25 30 ； （3）. 【18题答案】 【答案】（1） （2）； 【19题答案】 【答案】（1）有两个极值点，理由如下： 因为 ，所以. 设 ， ， 当时，因为 ， ，在 上单调递减， 得 ，所以在 上无零点， 当时，因为 ，，在 上单调递增， 且 ， ，所以在 上有唯一零点， 当 ，因为 ， ，所以在 上单调递减， 因为 ， ，所以在 上有唯一零点. 综上，函数在区间 上有两个零点且在零点左右函数符号发生改变， 故函数在区间 内恰有两个极值点. （2） （ⅰ）证明如下： 由（1）可知，在 无极值点， 在 有极小值点，即为，在 有极大值点，即为， 同理可得，在 有极小值点，在 有极值点， 由 得， 因为，所以， 因为 ， ， ， ， 所以 ，， 因为 ， 由函数 在 单调递增，得 ， 所以 ， （ⅱ）证明如下： 同理 ， ， ， 由于 在 上单调递减得， 所以 ，且 ， ， 当为偶数时，从开始相邻两项配对，每组和均为负值， 即 ， 当为奇数时，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，多出最后一项也是负值， 即 ， 综上，对一切， 成立，得 ， 又 ，所以 ， 则 ， 所以 ，即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $