第八章 立体几何初步单元测试卷（提升版）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步单元测试卷（提升版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（   ）． A．E，F，G，H四点共面 B．与是异面直线 C．，，三线共点 D． 【答案】D 【分析】利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；利用平面的基本事实推理判断C；举反例即可判断D. 【详解】对于A，在三棱柱中，分别为的中点， 连接， 由是的中位线，得， 由，且，得四边形是平行四边形， 则，，因此四点共面，A正确； 对于B，因为平面，平面，， 所以与是异面直线，正确； 对于C，延长，相交于点， 由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 而平面平面，则，三线共点，C正确； 对于D，由，且可知，四边形是梯形， 若∠=∠，则梯形是等腰梯形，而题设条件无法得出， 所以D不一定正确. 2．如图，在单位正方体中，任作平面与对角线垂直，使平面与正方体六条棱都有公共点，记截面的面积为，截面周长为，（ ） A．为定值，为定值 B．为定值，不为定值 C．不为定值，不为定值 D．不为定值，为定值 【答案】D 【分析】根据特例可判断面积不是定值，利用几何法可判断周长为定值. 【详解】由正方体的性质可知为正三角形，且其面积为， 当平面过棱，，的中点时，且其面积 由正方体的性质可得此时截面为正六边形，且其面积为， 当与棱的交点向靠近时，截面的面积为趋近， 故截面面积是变动的，下证周长为定值，理由如下： 作平行于，则易得四边形为平行四边形， 所以，， 则，同理可得，， 所以. 故选：D. 3．如图，正三棱柱的所有棱长都相等，则和平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，可得平面，可得为直线和平面所成的角，求解即可. 【详解】取的中点，连接， 由正三棱柱，可得，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面，所以为直线在平面内的射影， 所以为直线和平面所成的角， 设正三棱柱的棱长为2，则可得， ， 在中，. 故和平面所成角的正弦值为. 故选：A 4．已知圆锥的底面圆周在球O的球面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的表面积为（   ） A．12π B．16π C．48π D．9π 【答案】C 【分析】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，球的半径为，根据题意，求得，得到，即球的半径为，结合球的表面公式，即可求解. 【详解】如图所示，设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，球的半径为， 因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，可得，解得， 又因为圆锥的高为，可得，解得， 即圆锥的底面圆的半径为，母线长为，即球的半径为， 所以球的表面积为. 5．如图，正三棱柱的所有棱长都为2，点，，分别在棱，，上，其中，，，则几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】正三棱柱所有棱长为，底面正的面积，高，由题意得：，，. 如图连接，将几何体分为和， ， 梯形的面积. 四棱锥以为底面的高等于三角形的高，所以. 几何体体积为. 6．如图所示的容器由两个共底面的圆锥组成，已知两个圆锥的高之和为10，底面半径为4，且两个圆锥的顶点和底面圆周在同一个球的球面上.在该容器内放置一个球，则这个球的表面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，该容器外接球的半径为5，且外接球的球心为两圆锥顶点连线的中点. 因为圆锥的底面半径为,所以外接球的球心到底面的距离为，则两个圆锥的高分别为和. 所以这两个圆锥对应的母线分别为和. 该容器内放置的球的半径的最大值即为该容器轴截面的内切圆半径，设为. 则，解得. 此时，这个球的表面积最大，最大值为. 7．已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面，则线段的长度的最小值是（    ）    A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】取的中点，的中点，连接，，，.在正方体中，易证平面平面.又平面，动点P在正方形（包括边界）内运动，可确定点在线段上运动.在中，利用三角形知识即可求解线段的长度的最小值. 【详解】    取的中点，的中点，连接，，，，如图所示. 在正方体中， ∵，且， ∴四边形是平行四边形，∴. 又平面，平面，∴平面. ∵，分别是和的中点，∴. 同理可知，∴. 又平面，平面，∴平面. 又，平面，平面， ∴平面平面. ∵平面，动点P在正方形（包括边界）内运动， ∴点在线段上运动. 在中，易求，，为等腰三角形， ∴点为线段的中点时，取得最小值.    此时， 即的最小值为. 故选：A. 【点睛】本题的解题关键是：根据平面分析出动点的运动轨迹，在三角形中利用平面几何即可求解. 8．在三棱锥中，平面，，则三棱锥的体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原几何体可补全为长方体，长方体体积最大则三棱锥体积最大. 【详解】如图，由平面，平面,则， 又，平面，故平面， 从而、、两两互相垂直，从而三棱锥可补全为如图所示的长方体， 设，，，则, ， 由均值不等式（当且仅当时等号成立） 从而，, 即三棱锥的体积的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】BC 【分析】A选项，作出辅助线，得到各边长，结合，求出；B选项，由斜二测法可知；C选项，作出原图形，求出各边，由梯形面积公式得到C正确；D选项，在C基础上，求出各边长，得到周长． 【详解】对于A选项，过点作垂直于轴于点， 因为等腰梯形中，， 所以， 又，所以，故A错误； 对于B选项，由斜二测法可知，故B正确； 对于C选项，作出原图形，可知，，，， 故四边形的面积为，故C正确； 对于D选项，过点作于点， 则， 由勾股定理得， 四边形的周长为，故D错误． 10．如图，已知正方体的棱长为2，和相交于点为的中点，正方体其余各面的中心分别为，下面结论中正确的是（    ） A． B．与所成角的正弦值为 C．点到平面的距离为 D．多面体的内切球半径为 【答案】ACD 【分析】通过几何性质（等边三角形三线合一）、构造辅助线结合余弦定理、等体积法求点面距离、正八面体体积与表面积公式结合内切球半径公式，逐一验证各选项的正确性. 【详解】对于A，因为是等边三角形，且是中点，所以，A正确； 对于B，在正方体右侧补一个同样的正方体， 作的中点，连，， 易得，所以为与所成的角（或补角）， ，，， ， ，B错； 对于C，点是的中点，所以点到平面的距离是点B到平面的距离的一半， 又平面，设垂足为，利用等体积法， ， 高为点到平面的距离，即正方体的棱长 ， ， 底面是等边三角形，边长为，面积为：， 高为点到平面的距离，即，， 令两个体积相等：， 正方体的体对角线，因此：，故， 故点到平面的距离为，C正确； 对于D，易知是正八面体，棱长为， 体积：正八面体可看作两个正四棱锥，底面积，高，， 表面积：每个面是边长为的正三角形，面积，， 对于多面体，内切球半径公式为，，D正确. 11．在正三棱柱中，，E，F，G，H分别为，，，的中点，动点N在四边形内及其边界上运动，则下列说法正确的是（   ） A．，，，四点共面 B．与所成角的余弦值为 C．正三棱柱的外接球表面积为 D．若平面，则动点N的轨迹长度为 【答案】AC 【分析】对于A选项，根据两条平行直线可以确定一个平面判断共面；对于B选项，利用异面直线的定义结合余弦定理解得夹角余弦值；对于C选项，利用几何体外接球的体积公式计算即可；对于D选项，根据面面平行找到动点轨迹计算长度即可判断. 【详解】对于A选项，连接，，如图所示， 因为，，，分别为，，，的中点，所以，，所以，根据两条平行直线可确定一个平面，则，，，四点共面，故A正确； 对于B选项，连接，，如图， 因为，则为与所成角，在中，，，，可知，故B错误； 对于C选项，正三棱柱中，在中，正弦定理可得三角形外接圆半径， 设正三棱柱的外接球半径为，且球心到平面的距离为，所以根据勾股定理可知， ，则球的表面积为，故C正确； 对于D选项，在正三棱柱中，取中点，连接，，， 可知，，平面，平面，所以平面， 平面，平面，所以平面， 又因为，是平面内两条相交直线，因为平面平面， 点在四边形内及其边界上运动，若平面，则在平面内， 动点的轨迹为，故动点的轨迹长度为，故D错误. 故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，在棱长均相等的四棱锥中，为底面正方形的中心，，分别为侧棱，的中点，有下列结论： （1）平面； （2）平面平面； （3）； （4）直线与直线所成角的大小为． 其中正确结论的序号是____________． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】根据题意，得到，利用线面平行的判定定理，证得平面，可判定（1）正确；再证得平面，利用面面平行的判定定理，可判定（2）正确；利用勾股定理，证得，结合，可判定（3）正确；利用异面直线所成角的定义和求法，可判定（4）错误. 【详解】如图所示，连接，因为分别为的中点，可得， 又因为平面，平面，所以平面，所以（1）正确； 因为分别为的中点，可得， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面，所以平面平面，所以（2）正确； 由于四棱锥的棱长均相等，所以，所以， 因为，所以，所以（3）正确． 由于，分别为侧棱，的中点，所以， 因为四边形为正方形，所以， 所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即为或其补角， 又因为三角形为等边三角形，所以，所以（4）错误． 故答案为：（1）（2）（3）. 13．如图，在几何体中，侧棱均垂直于底面ABC，已知，，则该几何体的体积为________． 【答案】 【详解】解法1：分别在上取点N，M，使得，连接，NM，，所以平面平面， 取MN的中点H，连接，因为平面， 所以平面平面，所以， 又因为平面， 所以平面，，， 所求几何体的体积为 解法2：因为在几何体中，侧棱均垂直于底面ABC， 又， 所以可构造一个底面是边长为4的等边三角形，侧棱长为8的正三棱柱， 其中，， 因此，即， 根据三棱柱体积公式，， 故该几何体的体积是． 14．在长方体中，，，点是平面内的动点，且，则的最大值为___________. 【答案】/ 【分析】根据垂直关系，转化为平面内，求得点的轨迹，即可求解的最大值. 【详解】如图，过点作，垂足为点，连结， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，平面， 所以，且，，平面， 所以平面，平面, 所以， 所以点是平面内，以为直径的圆， 的最大值为， 又，，所以，根据等面积可得， 则， 则 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在长方体中，可得， 因为且平面，所以平面， 所以点到平面的距离为. （2）在长方体中，可得, 因为且平面，所以平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面， 所以直线与平面的距离等于点到平面的距离， 所以直线与平面的距离为. （3）在长方体中，可得平面平面， 因为且，平面， 所以平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 16．如图，在四棱锥中，，，， ． (1)在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)棱AD的中点，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证明线线平行，再利用线面平行的判定定理证明线面平行； （2）先由线面垂直得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAB，最后利用面面垂直的判定定理证明面面垂直. 【详解】（1）取棱的中点（平面），点即为所求的一个点. 理由如下： 因为，，所以， 且. 所以四边形是平行四边形，从而. 又平面，平面， 所以平面. （2）由已知，，，平面， 因为，，所以直线与相交， 所以平面. 平面，从而. 因为，， 所以，且. 所以四边形是平行四边形. 所以，所以. 又，平面，所以平面. 又平面， 所以平面⊥平面. 17．如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求四棱锥体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）要证明线面平行，转化为平行四边形，证明线线平行； （2）要证明面面垂直，根据线线，线面垂直关系的转化，转化为证明平面； （3）根据垂直关系，由二面角的大小转化为线线角，从而确定四棱锥的高，确定体积. 【详解】（1）因为且，所以四边形为平行四边形， 则，又平面平面， 所以平面； （2）由平面，平面，得，连接， 由且， 所以四边形为平行四边形，又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，所以，又平面， 所以平面，由平面， 所以平面平面； （3）由平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面，所以， 故为二面角的平面角，即， 在中，，则 18．为了响应全国文明城市的号召，长沙市计划在公园内建造如图所示的正四棱台建筑. (1)若正四棱台的上、下底面的边长分别为6米和10米，高8米.求该正四棱台的侧面积和体积； (2)若正四棱台的上、下底面的边长之和为12米，下底与上底边长之差不超过4米，棱台高2米，设.求的最小值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由台体的体积公式求解该正四棱台的体积即可；先求出正四棱台的侧面的高，再由梯形的面积公式求解即可. （2）设正四棱台上、下底边长分别为，.分别用，表示，，即可表示出，令，则，结合函数的单调性即可得出答案. 【详解】（1）因为正四棱台的上、下底面的边长分别为6和10，高为8， 故正四棱台体积为， 记，分别为棱台上、下底面的中心，分别取，的中点M，N， 连接，，，， 在梯形中，过作于， 由于正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 且，，，所以， 所以， 故该正四棱台的侧面积. （2）设正四棱台上、下底边长分别为，. 由条件可知，，. 此时在等腰梯形中， ，， 所以， 令， 则， 当且仅当时取等号. 19．矩形中，，为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，求解以下问题：      (1)求四棱锥的体积. (2)求二面角的余弦值． (3)在上是否存在点使得平面? 若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2) (3)存在，是线段上靠近点的三等分点 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理推出线面垂直，即得出棱锥的高，代入四棱锥的体积公式即得； （2）先证，平面，得，计算，从而证，得出为二面角的平面角，在中即得余弦值； （3）设交于点，可证，因此只要，就有，进而可得平面. 【详解】（1） 取的中点，连接，在原矩形中，因为，点为的中点，故，因为是等腰三角形，所以. 翻折后，因为平面平面，且平面平面， 根据面面垂直的性质定理得：平面，即是四棱锥的高， 又因为，所以， 又因为， 所以四棱锥的体积. （2）在矩形中，，， ，． 又平面平面，平面，平面平面 平面， 平面，， ． 在中，，， 又，平面，平面，平面平面， 为二面角的平面角， 在中，， ∴二面角的余弦值为． （3）存在．如图所示： 连接、，设交于点， ，且， ． 取的三等分点，使，连接、、，则． 又平面，平面， 平面． 故存在满足条件的点，且是线段上靠近点的三等分点． 2 / 22 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 立体几何初步单元测试卷（提升版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（   ）． A．E，F，G，H四点共面 B．与是异面直线 C．，，三线共点 D． 2．如图，在单位正方体中，任作平面与对角线垂直，使平面与正方体六条棱都有公共点，记截面的面积为，截面周长为，（ ） A．为定值，为定值 B．为定值，不为定值 C．不为定值，不为定值 D．不为定值，为定值 3．如图，正三棱柱的所有棱长都相等，则和平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 4．已知圆锥的底面圆周在球O的球面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的表面积为（   ） A．12π B．16π C．48π D．9π 5．如图，正三棱柱的所有棱长都为2，点，，分别在棱，，上，其中，，，则几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 6．如图所示的容器由两个共底面的圆锥组成，已知两个圆锥的高之和为10，底面半径为4，且两个圆锥的顶点和底面圆周在同一个球的球面上.在该容器内放置一个球，则这个球的表面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面，则线段的长度的最小值是（    ）    A． B．2 C． D．3 8．在三棱锥中，平面，，则三棱锥的体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 10．如图，已知正方体的棱长为2，和相交于点为的中点，正方体其余各面的中心分别为，下面结论中正确的是（    ） A． B．与所成角的正弦值为 C．点到平面的距离为 D．多面体的内切球半径为 11．在正三棱柱中，，E，F，G，H分别为，，，的中点，动点N在四边形内及其边界上运动，则下列说法正确的是（   ） A．，，，四点共面 B．与所成角的余弦值为 C．正三棱柱的外接球表面积为 D．若平面，则动点N的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，在棱长均相等的四棱锥中，为底面正方形的中心，，分别为侧棱，的中点，有下列结论： （1）平面； （2）平面平面； （3）； （4）直线与直线所成角的大小为． 其中正确结论的序号是____________． 13．如图，在几何体中，侧棱均垂直于底面ABC，已知，，则该几何体的体积为________． 14．在长方体中，，，点是平面内的动点，且，则的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 16．如图，在四棱锥中，，，， ． (1)在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由； (2)证明：平面平面． 17．如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求四棱锥体积． 18．为了响应全国文明城市的号召，长沙市计划在公园内建造如图所示的正四棱台建筑. (1)若正四棱台的上、下底面的边长分别为6米和10米，高8米.求该正四棱台的侧面积和体积； (2)若正四棱台的上、下底面的边长之和为12米，下底与上底边长之差不超过4米，棱台高2米，设.求的最小值. 19．矩形中，，为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，求解以下问题：      (1)求四棱锥的体积. (2)求二面角的余弦值． (3)在上是否存在点使得平面? 若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； 2 / 22 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $