精品解析：江苏南京师范大学附属中学2025-2026学年高一第二学期3月月考数学试卷

南京师大附中高一年级第二学期3月月考 数学试卷 一、选择题 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 若，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 若x，y满足，则正确的有（ ） ①，②，③，④ A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 6. 已知函数的图象如图所示，将的图象向左平移个单位到函数的图象，若函数的在区间，上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，满足，且，则向量和向量的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A. 或 B. 不存在，使得 C. 若，则 D. 已知，且，则或3 10. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 在上先单调递增后单调递减 C. 方程根的个数可能为3个 D. 函数值中有最小值，也有最大值 11. 数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的倍角公式，即，称为第一类切比雪夫多项式.第一类切比雪夫多项式的前几项为：，，，，，，…，探究上述多项式，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 若函数在区间，内恰有20个零点，则这20个零点的和为100π 三、填空题 12. 已知为锐角，且，则______. 13. 已知为单位向量，，满足，则的最小值为_____. 14. 已知实数，满足：，，则______. 四、解答题 15. 如图，有一块矩形铁皮，其中百米，百米（其中，常数）.阴影部分是一个半径为3百米的扇形，为专属儿童活动区域.投资商打算其余部分划出一块矩形区域改造为餐饮区，其边分别落在与上，同时点在弧上.设，矩形的面积为S万平方米. （1）求S关于的函数表达式； （2）当时，求S的最小值，并求出当S取得最小值时，所对应的的值. 16. 已知函数，其中且. （1）若，证明：关于x的方程在区间上恒有解； （2）若对，都存在以，，为边长的三角形，求整数的值. 17. 已知向量，，函数. （1）若函数，求的单调增区间； （2）若，求x，y的值； （3）若，函数在，上恰有2026个零点，求所有满足题意的n的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京师大附中高一年级第二学期3月月考 数学试卷 一、选择题 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的补集的概念以及交集运算即可求解. 【详解】由题意，，所以. 2. 若，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意得：，再解不等式组即可得答案. 【详解】解：要使函数有意义，则满足， 解不等式得：，即：. 所以函数的定义域为：. 故选：A. 【点睛】本题考查对数型函数的定义域求解，是基础题. 3. 已知平面向量，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，，，向量在上的投影向量为. 4. 若，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数、对数的单调性，以及三角函数特殊值，即可得出结果. 【详解】解：， ，， ， ∴， 故选：A. 5. 若x，y满足，则正确的有（ ） ①，②，③，④ A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式计算可判断①、②、③；取特值举出反例可判断④. 【详解】因为， 则可变形为， 即有，解得， 当且仅当时，， 当且仅当时，，故①错误，②正确； 可变形为， 整理得，当且仅当时，等号成立，故③正确； 当，时，，符合题意， 此时有，故④错误. 故正确的有②③. 6. 已知函数的图象如图所示，将的图象向左平移个单位到函数的图象，若函数的在区间，上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合函数的图象得到，进而求得的解析数，利用三角函数的相关性质，即可求解． 【详解】由函数， 又由函数的图象可得，可得，则， 所以， 因为，即， 可得，所以， 又因为，所以，所以， 将的图象向左平移个单位到函数， 因为，可得， 又因为， 要使得函数的值域为，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 7. 已知向量，，满足，且，则向量和向量的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，故，. 因为，故即，故， 从而，同理， 而， 故. 8. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， 所以或， 即或. 由于，故. 二、多选题 9. 关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A. 或 B. 不存在，使得 C. 若，则 D. 已知，且，则或3 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用判别式、根与系数关系列方程或不等式，结合基本不等式及分式型函数性质求参数范围，判断各项的正误. 【详解】由题意或，A对， 且，则，B对， 由，则，且，故， 在上单调递减，所以，C对， 由，则，可得或 又，则无解，故无解，D错. 10. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 在上先单调递增后单调递减 C. 方程根的个数可能为3个 D. 函数值中有最小值，也有最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】由偶函数定义可证A正确；结合的形式可证B正确；结合不等式性质易证，由复合函数性质可求的单调区间，画出大致图象，可证C错误，D正确. 【详解】，,故，函数为偶函数，A正确； 由不等式变形式可得，即，当且仅当，即时取等号，故在时取到最大值，时，时，，若，则，同时平方得，化简得，即，显然恒成立，故只有时才取到唯一最小值1，令 ，由对勾函数性质可知，当时，在上单增，在递减，根据复合函数同增异减性质，在上单增，在递减，故，，当时，无限接近1，但始终比1大，函数大致图象为： 故方程根的个数可能为2个，4个，1个，故C错，D正确. 故选：ABD 11. 数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的倍角公式，即，称为第一类切比雪夫多项式.第一类切比雪夫多项式的前几项为：，，，，，，…，探究上述多项式，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 若函数在区间，内恰有20个零点，则这20个零点的和为100π 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角变换公式求解三倍角公式后可判断A，利用可求判断B，利用三倍角公式求出后判断C，利用三角变换公式化简后可求在上的零点和，从而可求零点之和判断D. 【详解】 ，A正确； ，所以， 即，即，解得，B错误； ， 故，C正确； . 令，得或， 若，在上或； 若，则，其中舍去， 该方程在上有2个实根，因为在该区间内的图象关于直线对称， 所以这两根之和为2π， 所以在上有4个零点，记为，，，， 其中，，，， 这4个零点和， 故个零点可分成组，相邻两组零点和的差为， 故个零点的和为，D正确. 三、填空题 12. 已知为锐角，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系求出和的值，根据正切的二倍角公式代入求解即可. 【详解】因为为锐角，且， 所以，则， 所以. 13. 已知为单位向量，，满足，则的最小值为_____. 【答案】2 【解析】 【分析】根据数量积和向量相减模的几何意义，构造图形，并建立坐标系，转化为两点间距离的最小值问题. 【详解】设，，，， ，得点在直线上， ，所以点在以点为圆心，1为半径的圆上， , 所以的最小值为2. 14. 已知实数，满足：，，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】由同构思想和函数单调性得，结合已知即可得解. 【详解】∵，∴， 又，∴，即， 又函数在定义域上单调递增，所以，， ∴. 四、解答题 15. 如图，有一块矩形铁皮，其中百米，百米（其中，常数）.阴影部分是一个半径为3百米的扇形，为专属儿童活动区域.投资商打算其余部分划出一块矩形区域改造为餐饮区，其边分别落在与上，同时点在弧上.设，矩形的面积为S万平方米. （1）求S关于的函数表达式； （2）当时，求S的最小值，并求出当S取得最小值时，所对应的的值. 【答案】（1），； （2）的最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或. 【解析】 【分析】（1）先利用三角函数表示出点到、的距离，进而得到和的长度，推导出关于的函数表达式； （2）先将函数表达式化简，再利用三角函数的相关公式求最值，进而得到对应的的值. 【小问1详解】 （1）过作，垂足为E，可得，， 所以，， 即矩形的面积，； 【小问2详解】 由（1）知：矩形的面积， 故 ， 因为，又，则， 所以， 当时，矩形的面积S取得最小值，即， 此时，所以， 解得或， 所以的最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或. 16. 已知函数，其中且. （1）若，证明：关于x的方程在区间上恒有解； （2）若对，都存在以，，为边长的三角形，求整数的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）或2. 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式及对数函数的性质证明即可. （2）利用两边之和大于第三边即即可求解. 【小问1详解】 当时，. 方程等价于，即. 设,且， 因为，则，. 又在区间上的图像连续不断， 所以存在使得， 即在上有解， 即方程在区间上恒有解. 【小问2详解】 因为，当且仅当时取等，若，则，不符合题意. 所以 ， ∵，所以， 令，则，函数在上单调递增， ∴，∴的值域为， 即，. ∵，以，，为边总能围成三角形， ∴即， 即，即， 又n为正整数， ∴或2. 17. 已知向量，，函数. （1）若函数，求的单调增区间； （2）若，求x，y的值； （3）若，函数在，上恰有2026个零点，求所有满足题意的n的值. 【答案】（1） （2），，. （3） 【解析】 【分析】（1）由平面向量数量积的坐标运算得，从而求出，根据余弦函数的单调性求解； （2）由题意化简得，则，，再由正余弦函数性质求解； （3）利用三角函数恒等变形和参变分离得在上恰有2026个解，下面分，，，和进行求解. 【小问1详解】 所以， 令，， 所以的单调增区间为. 【小问2详解】 由题意， 即， 即， 即， 即， 则，. 因为，所以， 则或， 即或，. 因为，所以，. 综上，，，. 【小问3详解】 ， 又，则， 因为函数在上恰有2026个零点， 所以在上恰有2026个解， 令，，， 则在上单调递减，取值范围为； 在上单调递减，取值范围为； 只需考虑， 当时，在上有且仅有一解， 且在区间内，所以在内有且只有一个零点. 若在上恰有2026个零点，则. 当时，在上有两解， 其中一个为π，另一个在区间内，所以在内有且只有一个零点. 同理，在内有且只有一个零点. 若在上恰有2026个零点， 则. 当时，在上有两解， 一个在区间内，另一个在区间内， 所以在内有两个零点. 若在上恰有2026个零点，则. 当时，在上有两解， 其中一个为0，另一个在区间内，所以在内有且只有一个零点. 同理，在内有且只有一个零点. 若在上恰有2026个零点，则. 当时，在上有且仅有一解， 且在区间内，所以在内有且只有一个零点. 若在上恰有2026个零点，则. 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $