专题1.4 整式的除法讲义-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

整式的除法 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 同底数幂的除法 考点梳理 1、同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减． （、是正整数，且，） 要点归纳：底数可以是数字、字母，也可以是单项式或多项式． 2、（）任何不等于零的数的零次幂都等于1 考点02 单项式除以单项式 考点梳理 1、单项式除以单项式法则 两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 2、单项式除以单项式的步骤 把系数相除，所得的结果作为商的因式； 把同底数的幂分别相除，所得的结果作为商的一个因式； 只在被除式里含有的字母，连同其指数作为商的一个因式． 3、单项式混合运算法则 通常情况下，应先乘方，在乘除，最后做加减运算，如有括号，先算括号内的运算． 典例引领 考向01 单项式除以单项式 【例1】计算：______． 对点提升 【对点1】计算 (1) (2) (3) (4)（简便运算） 考点03 多项式除以单项式 考点梳理 1. 定义： 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 2、整式除以单项式的法则 整式除以单项式，先把整式的每一项分别除以单项式，再把所得商相加，用式子表示就是：． 典例引领 考向01 多项式除以单项式 【例1】与单项式的积是的多项式是______． 对点提升 【对点1】先化简，再求值：，其中． 考点04 用科学记数法表示数的除法 典例引领 考向01 用科学记数法表示数的除法 【例1】科学家研究发现，与我们日常生活密不可分的水的一个分子的质量大约是，水中大约有多少个水分子？ 对点提升 【对点1】五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的______倍． 考点05 整式四则混合运算 典例引领 考向01 整式四则混合运算 【例1】对于多项式，Jacob找到合适的系数，使得．问的值是多少？（   ） A．0 B．1 C．5 D．6 E．以上都不是 对点提升 【对点1】计算： (1) (2)（运用乘法公式） (3) (4) 考点06 整式的混合运算 典例引领 考向01 整式的混合运算 【例1】先化简，再求值：，其中． 对点提升 【对点1】先化简．再求值：，其中，满足，． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则的值为（   ） A．1 B．3 C． D．9 3．规定一种新运算：．嘉嘉：．琪琪：若的结果与x的取值无关，则m的值为2．关于嘉嘉和琪琪的说法，下列判断正确的是（   ） A．嘉嘉对，琪琪错 B．嘉嘉错，琪琪对 C．两人都对 D．两人都错 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知关于的整式，其中为正整数，为自然数，，，，为正整数，且满足．下列说法： ①当，时，所有满足条件的整式的值的总和为； ②若规定，，，，均为正整数，则的可能取值有种； ③若，则的所有奇次项系数之和为． 其中正确的个数为（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 8．下面是小亮的作业，他一共做对了（　　） 填空： ①． ②一张纸的厚度为，100张纸的厚度为． ③． ④已知长方形的面积为，长为，则宽为． A．0道题 B．1道题 C．2道题 D．3道题 9．如图，长为x，宽为y的长方形被分割为7块，包括5块形状、大小完全相同的空白长方形和2块阴影长方形Ⅰ，Ⅱ．若每块空白长方形较短的边长为4，则阴影长方形Ⅰ，Ⅱ的周长之和为（    ）        A． B． C． D． 10．定义一种新运算：对于任意有理数和，都有．下列结论正确的是（　　） ①若，则； ②对于任意有理数和，恒成立； ③； ④若异号，则或． A．①③ B．①② C．②③ D．①④ 2、 填空题 11．已知多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少6，则k的值是________． 12．如下图，任意输入一个非零数，则输出数是___________． 13．如图所示，三个大小相同的球恰好放在一个圆柱形盒子里，则三个球的体积之和占整个盒子容积的________（） 14．为培养师生阅读习惯，提高校园书香气息，某学校初中部教师发展中心购进文学、科技、艺体三类书刊共若干本，且文学、科技、艺体三类书刊的数量之比为．一段时间后，根据书刊的受欢迎程度学校对这三类书刊进行了补充，此时这三类书刊的总数量增加了本，并且文学、科技、艺体三类书刊的数量之比变为．又过一段时间后，学校再次补充三类书刊，此时三类书刊的总数量又增加了本，并且文学、科技、艺体三类书刊的数量之比变为．已知第一次购进的三类书刊总数量不超过本，则第一次购进的文学类书刊共有___________本． 15．某科技馆中“数理世界”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题！小东在参观时认真观察，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是_____． 账号： 密码：前四位： 后四位：？ 3、 解答题 16．先化简再求值：，其中，． 17．计算： (1) (2) 18．化简： (1) (2) (3) (4) 19．欢欢在计算时，因抄错运算符号，将乘号错写为加号，得到的结果是． (1)求正确的计算结果B． (2)若，在（1）的条件下，计算的结果． 20．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此．阅读完上述材料后，解决下列问题： (1)计算，商式是______，余式是______； (2)试判断能否被整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； (3)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 整式的除法 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 同底数幂的除法 考点梳理 1、同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减． （、是正整数，且，） 要点归纳：底数可以是数字、字母，也可以是单项式或多项式． 2、（）任何不等于零的数的零次幂都等于1 考点02 单项式除以单项式 考点梳理 1、单项式除以单项式法则 两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 2、单项式除以单项式的步骤 把系数相除，所得的结果作为商的因式； 把同底数的幂分别相除，所得的结果作为商的一个因式； 只在被除式里含有的字母，连同其指数作为商的一个因式． 3、单项式混合运算法则 通常情况下，应先乘方，在乘除，最后做加减运算，如有括号，先算括号内的运算． 典例引领 考向01 单项式除以单项式 【例1】计算：______． 【答案】 【分析】根据单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：． 对点提升 【对点1】计算 (1) (2) (3) (4)（简便运算） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先根据绝对值，零次幂，乘方，负整数指数幂计算，再计算加减即可； （2）先计算积的乘方，同底数幂相乘，再合并同类项； （3）先计算积的乘方，再根据单项式与单项式相乘除计算即可； （4）运用平方差公式进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： ． 考点03 多项式除以单项式 考点梳理 1. 定义： 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 2、整式除以单项式的法则 整式除以单项式，先把整式的每一项分别除以单项式，再把所得商相加，用式子表示就是：． 典例引领 考向01 多项式除以单项式 【例1】与单项式的积是的多项式是______． 【答案】 【分析】用多项式除以单项式即可得到结果． 【详解】解：设所求的多项式为， ∵， ∴． 对点提升 【对点1】先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时， ． 考点04 用科学记数法表示数的除法 典例引领 考向01 用科学记数法表示数的除法 【例1】科学家研究发现，与我们日常生活密不可分的水的一个分子的质量大约是，水中大约有多少个水分子？ 【答案】水中大约有个水分子 【分析】本题考查了用科学记数法表示数的除法的应用，由题意得，即可求解． 【详解】解：因为一个水分子的质量为， 所以水中水分子的个数是（个）， 所以水中大约有个水分子． 对点提升 【对点1】五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的______倍． 【答案】5 【分析】本题考查了科学记数法和单项式除以单项式，先把数据用科学记数法表示，根据题意列出算式，再根据单项式除以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解： ，， ， 阵风战机价格是歼-10C的5倍． 故答案为：5． 考点05 整式四则混合运算 典例引领 考向01 整式四则混合运算 【例1】对于多项式，Jacob找到合适的系数，使得．问的值是多少？（   ） A．0 B．1 C．5 D．6 E．以上都不是 【答案】B 【分析】利用多项式求系数和的方法，通过代入特殊值计算所求结果，不需要逐个展开计算系数，简化运算过程． 【详解】解：， 令代入等式两边， 右边， 左边， ． 对点提升 【对点1】计算： (1) (2)（运用乘法公式） (3) (4) 【答案】(1)9 (2)9 (3) (4) 【分析】（1）根据零指数幂的意义、负整数指数幂的意义，乘方的意义等计算即可； （2）把变形为，然后根据平方差公式计算即可； （3）根据多项式乘以多项式法则、多项式除以单项式法则、合并同类项法则等计算即可； （4）根据平方差公式、单项式乘以多项式法则、合并同类项法则等计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 考点06 整式的混合运算 典例引领 考向01 整式的混合运算 【例1】先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【分析】先根据多项式与多项式的乘法法则、完全平方公式化简，再合并同类项，然后代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 对点提升 【对点1】先化简．再求值：，其中，满足，． 【答案】； 【分析】先根据整式混合运算法则进行化简，然后把，代入求值即可． 【详解】解： ， 把，代入得：原式． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别根据积的乘方，零指数幂，负整数指数幂，单项式除单项式法则计算各选项，判断正误． 【详解】解：A、，原计算正确，符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 2．若，则的值为（   ） A．1 B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】利用积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法法则化简所求式子，再整体代入已知条件计算即可. 【详解】解： ，且 代入得 3．规定一种新运算：．嘉嘉：．琪琪：若的结果与x的取值无关，则m的值为2．关于嘉嘉和琪琪的说法，下列判断正确的是（   ） A．嘉嘉对，琪琪错 B．嘉嘉错，琪琪对 C．两人都对 D．两人都错 【答案】A 【分析】根据新定义的运算分别计算嘉嘉和琪琪的运算，进而判断对错即可． 【详解】解：∵， ∴ ，则嘉嘉的说法正确． ∵的结果与x的取值无关， ∴， ∴，则琪琪的说法错误． 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、，该选项不符合题意； 5．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据积的乘方逆运算、单项式乘单项式、合并同类项、单项式除以单项式法则计算各式即可． 【详解】解：A、，故A选项不符合题意； B、，故B选项不符合题意； C、，正确，故C选项符合题意； D、，故D选项不符合题意． 6．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用积的乘方和幂的乘方、合并同类项、完全平方公式、多项式除单项式法则对各项进行运算即可． 【详解】A、，故A符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意． 7．已知关于的整式，其中为正整数，为自然数，，，，为正整数，且满足．下列说法： ①当，时，所有满足条件的整式的值的总和为； ②若规定，，，，均为正整数，则的可能取值有种； ③若，则的所有奇次项系数之和为． 其中正确的个数为（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意给定条件，逐个验证三个说法，利用枚举法、赋值法计算即可得到结果． 【详解】解：对于①：当时， ∵， ∴， ∵，，是正整数， ∴， ∴， 又∵为自然数， ∴或， 当 时，， ∴，此时当时，， 当 时，， 正整数解共有，，三种，这三种情况对应的的值均为， ∴所有满足条件的整式的值的总和为，故①错误； 对于②：∵，，，，均为正整数， ∴， 又∵，即， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴，，共有种可能取值，故②正确； 对于③： ∵， ∴， 设的所有奇次项系数之和为，所有偶次项系数之和为， ∴，， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 得， ∴，故③正确； 综上，正确的说法有个． 8．下面是小亮的作业，他一共做对了（　　） 填空： ①． ②一张纸的厚度为，100张纸的厚度为． ③． ④已知长方形的面积为，长为，则宽为． A．0道题 B．1道题 C．2道题 D．3道题 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法，负整数指数幂，零指数幂，多项式的除法．逐一检查每道题，第一题指数运算错误，第二题科学记数法计算错误，第三题和第四题正确． 【详解】解：∵① ，∴错误； ∵② ，∴错误； ∵③ ，，，∴正确； ∵④ 宽 = ，∴正确； ∴共做对2道题． 故选：C． 9．如图，长为x，宽为y的长方形被分割为7块，包括5块形状、大小完全相同的空白长方形和2块阴影长方形Ⅰ，Ⅱ．若每块空白长方形较短的边长为4，则阴影长方形Ⅰ，Ⅱ的周长之和为（    ）        A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的混合运算等知识点，明确掌握长方形的周长公式是解题的关键． 设5块形状、大小完全相同的空白长方形的较长边长为z，则，再列出2块阴影长方形Ⅰ、Ⅱ的周长之和的公式求解即可． 【详解】解： 设5块形状、大小完全相同的空白长方形的较长边长为z，则， ∴块阴影长方形Ⅰ、Ⅱ的周长之和为：， 将代入上式中，得出2块阴影长方形Ⅰ、Ⅱ的周长之和为． 故选D． 10．定义一种新运算：对于任意有理数和，都有．下列结论正确的是（　　） ①若，则； ②对于任意有理数和，恒成立； ③； ④若异号，则或． A．①③ B．①② C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算、整式的混合运算，解题的关键是理解新定义运算． 通过逐一验证每个结论的正确性：结论①由绝对值的非负性推导；结论②通过反例证明不成立；结论③考虑a的符号情况；结论④根据a、b异号时分情况讨论即可． 【详解】解：①若，则， ∵， ∴且， ∴且， 解得，故①正确； ②取， 左边： ， 右边： ， ∴左边≠右边，故②错误； ③ ， 当时，，故③错误； ④若a、b异号，设， 当时， ， 当时， ， 当时， ， 故或，故④正确． 综上所述，①④正确， 故选D． 2、 填空题 11．已知多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少6，则k的值是________． 【答案】5 【分析】设多项式除以所得的商为A，余数为m，该多项式除以所得的商为B，余数为n，，，分别令和，得到，，根据题意，由列出方程求解即可． 【详解】解：设多项式除以所得的商为A，余数为m，该多项式除以所得的商为B，余数为n， 则，， 当时，，即， 当时，，即， ∵多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少6， ∴，则， 解得． 12．如下图，任意输入一个非零数，则输出数是___________． 【答案】2 【分析】根据流程图列出运算式子，利用完全平方公式和整式的除法法则计算即可求解． 【详解】解：由题意可得： ． 13．如图所示，三个大小相同的球恰好放在一个圆柱形盒子里，则三个球的体积之和占整个盒子容积的________（） 【答案】 【分析】设球的半径为r，分别求出三个球的体积和盒子的体积，即可求解． 【详解】解：设球的半径为r， 则三个球的体积和为， 盒子的体积为， 故三个球的体积之和占整个盒子容积的． 14．为培养师生阅读习惯，提高校园书香气息，某学校初中部教师发展中心购进文学、科技、艺体三类书刊共若干本，且文学、科技、艺体三类书刊的数量之比为．一段时间后，根据书刊的受欢迎程度学校对这三类书刊进行了补充，此时这三类书刊的总数量增加了本，并且文学、科技、艺体三类书刊的数量之比变为．又过一段时间后，学校再次补充三类书刊，此时三类书刊的总数量又增加了本，并且文学、科技、艺体三类书刊的数量之比变为．已知第一次购进的三类书刊总数量不超过本，则第一次购进的文学类书刊共有___________本． 【答案】 【分析】设第一次购进书刊总数为本，由题意可知，是的倍数，是的倍数，是的倍数，即除以余，除以余．设（、、为整数），解方程可得出除以余，除以余，从而（为整数），进一步得到，结合可得，此时，最后计算出文学类书刊的数量即可． 【详解】解：设第一次购进书刊总数为本，则第二次购进书刊后总数量为本，第三次购进书刊后总数量为本， ∵第一次购进书刊的文学、科技、艺体三类书刊的数量之比为， 又∵，且、、互质， ∴是的倍数， 同理，是的倍数，是的倍数， ∵，， ∴除以余，除以余， 设（、、为整数）， ∵， ∴， ∴是的倍数， 设（为整数），则， ∴是的倍数，即除以余2， 设（为整数）， ∴，即除以余， 同理， ∴是的倍数， ∴除以余， 设（、为整数）， ∴， ∴是的倍数， ∴除以余， 设（为整数）， ∴， ∴， ∵， ∴，此时， ∴第一次购进的文学类书刊共有（本）． 15．某科技馆中“数理世界”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题！小东在参观时认真观察，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是_____． 账号： 密码：前四位： 后四位：？ 【答案】1038 【分析】本题考查积的乘方，幂的乘方，单项式除以单项式，掌握知识点是解题的关键． 根据给定的等式，第一个等式表示表达式的值为2076，第二个等式表示表达式的值为2，需要求第三个表达式的值．通过简化第三个表达式和利用前两个等式的值，计算得到结果． 【详解】解：简化第三个表达式： ， 由已知，，则 ． 故答案为：1038． 3、 解答题 16．先化简再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】先根据完全平方公式，多项式乘以多项式法则，合并同类项法则，多项式除以单项式法则等化简，然后把x、y的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握乘法公式的结构特征，灵活运用公式进行化简运算． （1）先用平方差公式计算，再用完全平方公式展开最后合并同类项； （2）将式子变形为，利用平方差公式和完全平方公式展开化简． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 18．化简： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 19．欢欢在计算时，因抄错运算符号，将乘号错写为加号，得到的结果是． (1)求正确的计算结果B． (2)若，在（1）的条件下，计算的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据错误的运算（加号）求出整式，再通过正确的运算（乘号）计算结果； （2）先求出的表达式，再与进行整式乘法运算． 【详解】（1）解：根据题意，可得， 则正确的计算结果． （2）解： ． 20．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此．阅读完上述材料后，解决下列问题： (1)计算，商式是______，余式是______； (2)试判断能否被整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； (3)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求的值． 【答案】(1)，1 (2)能被整除，理由见解析 (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，理解题中求解方法是解答的关键． （1）仿照题干求解方法求解即可； （2）根据题干求解方法，得到余式为0可得结论； （3）根据题干求解方法和余式为0得到对应系数关系，，进而求得a、b值，代值求解即可． 【详解】（1）解：（1）的商式是，余式是1； 故答案为：，1； （2）解：能被整除，理由如下： （3）解：， 若多项式能被整除，如图， 所以，， 解得，， ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $