第一章整式的乘除 讲义 导学案2025-2026学年 北师大版 七年级数学 下册

01 整式乘除的应用 课程导航 模块 内容 整式乘除 熟练掌握整式乘除的运算法则（单项式乘除、多项式乘除） 能运用降次思想求代数式的值 能解决整式乘法中含参问题（对比系数求参数） 整式乘除的几何应用 能用整式表示几何图形的面积 能通过面积关系建立整式等式并化简 能利用拼图验证整式恒等式 整式乘除的数论应用 理解位值原理，能用整式表示多位数 能根据题意列出整式方程，解决两位数乘法规律问题 能利用整式乘法验证数字规律 学科网（北京）股份有限公司 预学新知01 模块01 整式乘除 知识回顾 单项式与单项式相乘： 一般地，单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂（同底数幂）分别相乘． 单项式与多项式相乘： 单项式与多项式相乘，根据乘法分配律，把单项式与多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 多项式与多项式相乘（握手原则） 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 单项式除以单项式： 把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式 多项式除以单项式： 用多项式中的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 例1 降次 1.= ________． 1. 已知 ，则代数式 ________. 练1 某同学想计算（）的值．遇到这样的问题，该同学从简单的情况入手，具体探究过程如下，请回答下面的问题． 【特殊探究】 ________；________； ________．… 【一般结论】通过探究可以得到：________．（） 【具体应用】利用上述结论，解决以下问题 （1）计算：________ （2）若，求a的值． 例2 含参问题 1.若 ，则 = ________． 2.若 ，则 ________. 例3 无关项与不含问题 1.若 的积中不含 的二次项，则常数 =________. 2.若 的展开式中不含 项和 项，则 =________. 模块02 模块02 整式乘除的几何应用 例4 1、 用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； 2、用含a，b的代数式表示铺设的草坪的面积．（结果化为最简形式）    3、如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个边长为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．用含有a、b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； 4、如图，将6张长为a，宽为b的矩形纸板无重叠地放置在一个矩形纸盒内，盒底未被覆盖的两个矩形面积分别记为S1、S2，当S2＝2S1时，则a与b的关系为（　　） A． a＝0.5b B．a＝b C．a＝1.5b D．a＝2b 练4 挪威数学家阿贝尔，年轻时就利用阶梯形，发现了一个重要的恒等式——阿贝尔公式：如图是一个简单的阶梯形，可用两种方法把图形分割成为三个长方形．利用它们之间的面积关系，可以得到：（    ） A． B． C． D． 例5 期中重点 如图1，有足够多的边长为的小正方形（A类），长为、宽为的长方形（类）以及边长为的大正方形（类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式． 例如图2可以解释的等式为． (1)图3可以解释的等式为 ________； (2)要拼成一个长为，宽为的长方形，那么需用A类卡片________张，类卡片 ________张，类卡片 ________张； (3)用5张类卡片按图4的方式不重叠地放在长方形内，未被遮盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设右下角与左上角的阴影部分的面积之差为S，，若S的值与无关，试探究与的数量关系，并说明理由． 练5 通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．现有如图1所示边长为a的正方形纸片，边长为b的正方形纸片，长宽分别为a、b的长方形纸片若干， 取部分纸片摆成如图2所示的一个长方形，根据这个长方形的面积可以得到的等式是：； (1)请利用若干图1所示纸片，摆出图形来说明：当a，b都不为0时，（画图并写出过程） (2)小明同学用图1中边长为a的正方形纸片x张，边长为b的正方形纸片y张，长宽分别为a、b的长方形纸片z张，拼出一个面积为的长方形，则 ________， ________， ________． 整式乘除的数论应用 模块03 知识精讲 位值原理： 一个数字的值由其本身和所在位置共同决定。每个位置有一个“位值”（如个位1、十位10、百位100），数字乘以位值再相加就得到整个数。 示例： 用位值原理解释 35 + 47 = 82。 35 = 3×10 + 5，47 = 4×10 + 7，相加得 (3+4)×10 + (5+7) = 7×10 + 12 = 7×10 + 1×10 + 2 = (7+1)×10 + 2 = 8×10 + 2 = 82。 常用解题步骤： 1. 用位值原理表示数 根据数的位数，将其写成整式形式。例如： 两位数：，a为十位数字，b为个位数字， 三位数：依此类推。 2. 根据题意列出整式运算 将题目中的运算（如乘法、除法、乘方等）用这些整式表示。 例如：“一个两位数乘以3等于另一个两位数”可写为 3. 展开并整理等式 4. 利用数字范围进行推理 每个数位上的数字必须是0~9的整数，且最高位不能为0。结合这些限制条件，对方程进行整数解分析，通常需要枚举或讨论。 范例： 观察下列式子： 1 2 3 利用多项式的乘法验证你所发现的规律。验证： 左边 因为 原式，即右边。 例6 观察下列式子： ① ② ③ (1)请你依照上面的书写格式，再写一个符合上述规律的等式________________________； (2)用字母表示上述式子的规律； (3)利用多项式的乘法验证你所发现的规律． 练6 【课本134页活动1：个位数字是5的两位数平方的规律】 我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： ； ； ； …… (1)填空：_____________________ (2)设个位数字是5的两位数中十位上数字为，请用含的式子表示题中等式蕴含的一般规律，并证明得到的规律： (3)小航同学在上面探究的基础上，发现十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积也存在一定的规律，如：．．．．设第一个因数十位数上数字为，个位数上数字为，请你用含的式子表示这个规律________，并用这个规律计算：． 极限挑战 定义：若多项式满足（其中是常数，且），则称多项式为“和谐多项式群”，常数叫做多项式的“和谐值”．例如多项式满足，那么多项式叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，的“和谐值”． (1)试判定多项式是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理由； (2)若多项式为“和谐多项式群”（其中是常数，且），“和谐值”为． ①试说明满足的数量关系； ②设，请用含、的代数式表示； (3)若，，为“和谐多项式群”，，满足（，为常数），“和谐值”为，求出所有符合条件的的值． 思维导图 $