北京市密云区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷

北京市密云区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的。 1．（2分）抛物线y＝（x﹣2）2+5的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5） 2．（2分）窗棂（即窗格）作为中国传统建筑的重要构件，承载着丰富的文化象征．窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成了种类繁多的优美图案．下列窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（2分）用配方法解方程x2+6x＝2，变形后结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝11 B．（x﹣3）2＝8 C．（x+3）2＝11 D．（x+3）2＝8 4．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长BO交⊙O于点E，连接CE，若∠DCE＝20°，则∠A的度数为（　　） A．90° B．110° C．135° D．160° 5．（2分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示，则下列结论正确的是（　　） x … ﹣3 ﹣1 0 3 4 6 … y … ﹣7 0 2 2 0 ﹣7 … A．抛物线开口方向向上 B．当x＞0时，y随x的增大而减小 C．抛物线的对称轴是直线 D．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2 6．（2分）如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△COD可以由△AOB旋转得到，则正确的旋转方式为（　　） A．△AOB绕点O顺时针旋转45° B．△AOB绕点O逆时针旋转90° C．△AOB绕点D逆时针旋转45° D．△AOB绕点D顺时针旋转90° 7．（2分）在比分胶着的关键时段，罚球往往是锁定胜局或追平比分的关键手段，罚球命中率的高低对篮球比赛的结果影响很大．如表是对甲、乙两位球员罚球训练时投篮命中情况的统计： 投篮次数 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 甲 命中次数 6 14 22 31 38 45 53 60 68 75 命中频率 0.600 0.700 0.733 0.775 0.760 0.750 0.757 0.750 0.756 0.750 乙 命中次数 7 15 23 31 37 47 56 63 73 80 命中频率 0.700 0.750 0.767 0.775 0.740 0.783 0.800 0.788 0.811 0.800 下面推断合理的是（　　） A．投篮达到200次时，乙球员命中的次数一定为160次 B．由于甲球员命中频率的平均值是0.733，所以甲球员“投篮命中”的概率是0.733 C．随着投篮次数的增加，乙球员命中的频率总在0.800附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计乙球员“投篮命中”的概率是0.800 D．投篮40次时，甲、乙两位球员都命中31次，所以两人“投篮命中”的概率都是0.775 8．（2分）如图，将抛物线y＝﹣x2+1在x轴和x轴上方的部分记作W1，将W1沿x轴翻折记作W2，W1和W2构成的图形记作W，关于图形W，给出如下四个结论，其中错误的是（　　） A．图形W上任意一点到原点的距离都不超过1 B．图形W恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C．图形W所围成的区域的面积大于2且小于π D．图形W的周长大于2π 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．（2分）若抛物线y＝x2+c经过点A（0，3），则c＝　 　 ． 10．（2分）“同时掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子的点数相同”，这个事件是　 　 事件（填“必然”“不可能”或“随机”）． 11．（2分）将一元二次方程x（x﹣3）﹣1＝4化成一般形式为　 　 ． 12．（2分）已知点C在线段AB上，且AC＝3，BC＝4，以点C为圆心r为半径作圆，若点A、点B只有一个点在圆内，则r的值可以为　 　 （任意写出一个满足题意的值即可）． 13．（2分）已知P（x1，2），Q（x2，2）两点都在抛物线y＝x2﹣5x+1上，那么x1+x2＝　 　 ． 14．（2分）如图1，一个含30°的直角三角形的最短边的长为4．用六块与其全等的直角三角形拼成图2所示的大正六边形，其内部空隙为一个小正六边形，则小正六边形的边心距OA的长为 　 　 ． 15．（2分）如图，某度假村有一块长40 m、宽22 m的矩形泳池区域．为方便管理，需划分出核心游泳区（两个全等矩形）和等宽的池边步道（含入口和出口），若核心游泳区的总面积为600 m2，求池边步道的宽度（单位：m）．设池边步道的宽度为xm，根据题意列方程为　 　 ． 16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（0，1）．以点O为圆心，OA长为半径作弧交x轴于点C，点D为弧AC上的一个动点．线段BD绕点B逆时针旋转90°得到线段BF，连接CF，点D在弧AC上从点A运动到点C的过程中，有如下四个结论： ①当OD⊥AC时，点D恰为弧AC的中点； ②线段DF长的取值范围是； ③点D与点F运动路径的长度均为π； ④线段CF长的最小值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是　 　 ． 三、解答题（本题共68分，其中17-22每题5分，23-26每题6分，27、28题每题7分） 17．（5分）解方程：x2﹣6x+8＝0． 18．（5分）已知x＝2是关于x的方程的一个根，求m（m﹣2）的值． 19．（5分）已知二次函数y＝x2+mx﹣2的图象经过点（3，﹣5）． （1）求该二次函数的表达式； （2）当﹣1≤x≤3时，直接写出y的最大值． 20．（5分）数学课上，老师提出如下问题： 已知：∠BAC，D、E分别为AB、AC边上的点． 求作：∠DOE，使∠DOE＝2∠BAC． 小玉的作法： ①分别以点A、点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M、N两点，作直线MN； ②分别以点A、点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F、H两点（点F在点H的上方），作直线FH与直线MN相交于点O； ③以点O为圆心，OA的长为半径作圆，连接OD和OE． 所以∠DOE为所求作，即∠DOE＝2∠BAC． 根据小玉设计的尺规作图过程，解决问题： （1）使用直尺和圆规补全作图（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：由作法①、②可得： 直线MN和直线FH分别是线段AD、AE的垂直平分线， ∴OA＝　 　 ＝　 　 ， ∵以点O为圆心，OA的长为半径作圆， ∴点D、点E均在⊙O上， ∴∠DOE＝2∠BAC（　 　 ）（填推理的依据）． 21．（5分）围棋起源于中国，古代称为弈，是一种策略性两人棋类游戏．其执棋原则为：黑棋先下子，白棋后下子，然后由对弈双方轮流下子．为了确定由谁执黑棋，亭亭和小宇在某次对弈前约定如下规则： 将1枚白棋和2枚黑棋装入不透明的围棋罐中，摇匀．亭亭先从棋罐中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回，接匀；然后小宇再从棋罐中随机摸出一枚棋子，记下颜色．若摸出的两枚棋子颜色不同由亭亭执黑棋，若摸出的两枚棋子颜色相同由小宇执黑棋． 请判断这个规则对双方是否公平？并用画树状图或列表的方法说明你的结论． 22．（5分）已知关于x的一元二次方程kx2+（2k﹣1）x+k﹣1＝0（k≠0）． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为0，求方程的另一个根． 23．（6分）林业部门用喷灌设备给草坪浇水，如图1，喷灌设备有一个垂直于地面的喷头，从中喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．建立图2所示的平面直角坐标系xOy，喷头OA的竖直高度为0.3m，喷出的水流在与喷头OA的水平距离4m处达到最高点B，点B距地面的竖直高度为2.7m．为避免行人经过草坪时不被喷出的水流淋到，行人与喷头OA的水平距离应超过多少米？（其中，结果精确到0.1m） 24．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交AC延长线于点E，交BC于点F，连接OF． （1）求证：OF∥AB； （2）若DE＝4，CE＝2，求AB的长． 25．（6分）某高效记忆训练营对新学员开展提升记忆力的培训．在完成有关记忆方法的理论学习后，新学员先接受为期T日（T可取0，1或2）的记忆强化训练，然后开始每日记忆测试．测试内容为：1分钟内观看并记忆一组无序数字并立即默写．记一名新学员在测试阶段的第x日每分钟正确默写的数字量为y．根据测试经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当T＝0和T＝2时，部分数据如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 T＝0时y的值 0 6 7 9 10 14 17 20 21 23 T＝2时y的值 0 20 25 28 m 33 35 37 38 39 T＝2时，从测试阶段的第2日起，一名新学员每日比前一日多记忆的数字量（即：日增长量）逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系xOy中描出该T值下各数对（x，y）所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接．得到曲线∁T.当T＝1时，曲线C1如图所示． （1）观察曲线C1，当整数x的值为 　 　 时，y的值首次超过20； （2）写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出T＝2时的曲线C2； （3）完成理论学习后，为调动新学员培训的积极性，该训练营在强化训练和记忆测试阶段组织了竞赛比拼．小明和小雯也积极参与到活动之中． ①若新学员单日每分钟至少记忆30个数字可获得“记忆达人”称号，根据上述函数关系，小明最早在完成理论学习后的第 　 　 日可获得“记忆达人”证书； ②竞赛规定新学员在完成理论学习后的3日内记忆数字个数的总数最多可获得“最佳学员”称号，若小雯希望获得此称号，根据上述函数关系，在这3日中小雯应先进行 　 　 日的强化训练． 26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝mx2﹣4mx+4m﹣2（m≠0）． （1）求该抛物线顶点A的坐标； （2）若直线y＝x﹣2与抛物线的一个交点B的横坐标为4，过点P（a，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝x﹣2于点N． ①当a＝5时，求MN的长； ②当点M在点N的下方，且线段MN的长随OP的长的增大而增大时，求a的取值范围． 27．（7分）在△ABC中，BC长为定值，∠ACB＝45°，∠BAC＝α（0°＜α＜135°），点B关于直线AC的对称点为点D，连接AD、CD，过点A作AD的垂线交直线BC于点E． （1）如图1，当0°＜α＜45°时，求证：AB＝AE； （2）如图2，当90°＜α＜135°时． ①依据题意，补全图2； ②用等式表示线段CD、CE与CA之间的数量关系，并证明． 28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于⊙C及其外部一点P，给出如下定义：过点P作⊙C的一条切线，将点P绕这条切线与⊙C的切点旋转90°得到点P′，若点P′可以落在以此切点为端点的⊙C的直径上，则称点P为⊙C关于切点的“及径点”． （1）如图，⊙O的半径为1． ①在点中，⊙O关于切点的“及径点”是　 　 ； ②点P（m，n）在直线y＝x﹣3上，且点P是⊙O关于切点的“及径点”，求点P横坐标m的取值范围； （2）已知点T（t，0），⊙T的半径为2，直线y＝2x+2与x轴、y轴分别交于A，B两点．若线段AB上所有的点都是⊙T关于切点的“及径点”，直接写出t的取值范围． 北京市密云区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C B C B C D 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的。 1．（2分）抛物线y＝（x﹣2）2+5的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5） 【分析】由抛物线的顶点式可求得答案． 【解答】解： ∵y＝（x﹣2）2+5， ∴顶点坐标为（2，5）， 故选：B． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）． 2．（2分）窗棂（即窗格）作为中国传统建筑的重要构件，承载着丰富的文化象征．窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成了种类繁多的优美图案．下列窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 3．（2分）用配方法解方程x2+6x＝2，变形后结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝11 B．（x﹣3）2＝8 C．（x+3）2＝11 D．（x+3）2＝8 【分析】利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【解答】解：x2+6x＝2， x2+6x+9＝2+9， ∴（x+3）2＝11． 故选：C． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 4．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长BO交⊙O于点E，连接CE，若∠DCE＝20°，则∠A的度数为（　　） A．90° B．110° C．135° D．160° 【分析】根据直径所对的圆周角为90°得∠BCE＝90°，进而得∠BCD＝70°，再根据圆内接四边形的对角互补得∠A+∠BCD＝180°，据此即可得出∠A的度数． 【解答】解：∵BE是⊙O的直径， ∴∠BCE＝90°， ∵∠DCE＝20°， ∴∠BCD＝∠BCE﹣∠DCE＝70°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∴∠A＝180°﹣∠BCD＝180°﹣70°＝110°． 故选：B． 【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，理解直径所对的圆周角为90°，圆内接四边形的对角互补是解决问题的关键． 5．（2分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示，则下列结论正确的是（　　） x … ﹣3 ﹣1 0 3 4 6 … y … ﹣7 0 2 2 0 ﹣7 … A．抛物线开口方向向上 B．当x＞0时，y随x的增大而减小 C．抛物线的对称轴是直线 D．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2 【分析】依据题意，根据表格数据求出对称轴是直线x＝＝，从而结合二次函数的性质逐个判断可以得解． 【解答】解：由题意，根据表格数据可得，对称轴是直线x＝＝，故C正确，符合题意． ∴在x＜时，y随x的增大而增大；在x＞时，y随x的增大而减小，故B错误，不合题意；当x＝时，函数取最大值，最大值大于2，故D错误，不合题意． ∴抛物线开口向下，故A错误，不合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 6．（2分）如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△COD可以由△AOB旋转得到，则正确的旋转方式为（　　） A．△AOB绕点O顺时针旋转45° B．△AOB绕点O逆时针旋转90° C．△AOB绕点D逆时针旋转45° D．△AOB绕点D顺时针旋转90° 【分析】由点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，可知∠BOD＝90°，所以将△AOB绕点O逆时针旋转90°可以得到△COD，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上， ∴∠BOD＝90°， ∵△COD可以由△AOB旋转得到， ∴∠BOD是旋转角， ∴正确的旋转方式为△AOB绕点O逆时针旋转90°， 故选：B． 【点评】此题重点考查旋转的性质，正确理解旋转角的概念并找出图中的旋转角是解题的关键． 7．（2分）在比分胶着的关键时段，罚球往往是锁定胜局或追平比分的关键手段，罚球命中率的高低对篮球比赛的结果影响很大．如表是对甲、乙两位球员罚球训练时投篮命中情况的统计： 投篮次数 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 甲 命中次数 6 14 22 31 38 45 53 60 68 75 命中频率 0.600 0.700 0.733 0.775 0.760 0.750 0.757 0.750 0.756 0.750 乙 命中次数 7 15 23 31 37 47 56 63 73 80 命中频率 0.700 0.750 0.767 0.775 0.740 0.783 0.800 0.788 0.811 0.800 下面推断合理的是（　　） A．投篮达到200次时，乙球员命中的次数一定为160次 B．由于甲球员命中频率的平均值是0.733，所以甲球员“投篮命中”的概率是0.733 C．随着投篮次数的增加，乙球员命中的频率总在0.800附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计乙球员“投篮命中”的概率是0.800 D．投篮40次时，甲、乙两位球员都命中31次，所以两人“投篮命中”的概率都是0.775 【分析】根据统计表的数据解答即可． 【解答】解：由题意得， 投篮达到200次时，乙球员命中的次数约为：200×0.800＝160（次），但不一定为160次，故选项A推断不合理； 甲球员“投篮命中”的概率是0.750，故选项B推断不合理； 随着投篮次数的增加，乙球员命中的频率总在0.800附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计乙球员“投篮命中”的概率是0.800，故选项C推断合理； 投篮40次时，实验的次数不够多，不能说明两人“投篮命中”的概率都是0.775，故选项D推断不合理． 故选：C． 【点评】本题考查利用频率估计概率，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定． 8．（2分）如图，将抛物线y＝﹣x2+1在x轴和x轴上方的部分记作W1，将W1沿x轴翻折记作W2，W1和W2构成的图形记作W，关于图形W，给出如下四个结论，其中错误的是（　　） A．图形W上任意一点到原点的距离都不超过1 B．图形W恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C．图形W所围成的区域的面积大于2且小于π D．图形W的周长大于2π 【分析】根据题意，画出图形W，再对所给选项依次进行判断即可． 【解答】解：图形W如图所示， 由图形W可知， 图形W上任意一点到原点的距离都不超过1， 故A选项不符合题意； 由图形W可知， 图形W经过的整点有（1，0），（﹣1，0），（0，1），（0，﹣1），共计4个， 故B选项不符合题意； 如图所示， 边长为的正方形在图形W内部，半径为1的圆在图形W外部， 所以图形W所围成的区域的面积大于2且小于π， 故C选项不符合题意； 如图所示， 因为图形W在半径为1的圆的内部， 则图形W的周长小于2π． 故D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换及二次函数图象上点的坐标特征，能根据题意画出图形W是解题的关键． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．（2分）若抛物线y＝x2+c经过点A（0，3），则c＝　3　 ． 【分析】依据题意，由抛物线y＝x2+c经过点A（0，3），则3＝0+c，进而可以得解． 【解答】解：由题意，∵若抛物线y＝x2+c经过点A（0，3）， ∴3＝0+c． ∴c＝3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 10．（2分）“同时掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子的点数相同”，这个事件是　随机　 事件（填“必然”“不可能”或“随机”）． 【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，据此进行判断即可． 【解答】解：同时掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子的点数可能相同，也可能不相同， 则“同时掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子的点数相同”，这个事件是随机事件， 故答案为：随机． 【点评】本题考查随机事件，熟练掌握相关定义是解题的关键． 11．（2分）将一元二次方程x（x﹣3）﹣1＝4化成一般形式为x2﹣3x﹣5＝0　 ． 【分析】将方程展开并移项，化为一元二次方程的一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0），即可作答． 【解答】解：∵x（x﹣3）﹣1＝4， ∴x2﹣3x﹣1﹣4＝0，即x2﹣3x﹣5＝0， 故答案为：x2﹣3x﹣5＝0． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般式，熟知一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0），这种形式叫一元二次方程的一般形式是解题的关键． 12．（2分）已知点C在线段AB上，且AC＝3，BC＝4，以点C为圆心r为半径作圆，若点A、点B只有一个点在圆内，则r的值可以为　3.6（答案不唯一）　 （任意写出一个满足题意的值即可）． 【分析】设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r，②点P在圆上⇔d＝r，③点P在圆内⇔d＜r，由此即可求解． 【解答】解：∵AC＝3，BC＝4， ∴点A在圆内，点B在圆上或圆外， ∴3＜r≤4， ∴r的值可以为3.6（答案不唯一）． 故答案为：3.6（答案不唯一）． 【点评】本题考查点与圆的位置关系，关键是掌握点与圆位置关系的判定方法． 13．（2分）已知P（x1，2），Q（x2，2）两点都在抛物线y＝x2﹣5x+1上，那么x1+x2＝　5　 ． 【分析】根据题意，得出点P和点Q关于抛物线的对称轴对称，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为点P和点Q的纵坐标都是2，且两点都在抛物线y＝x2﹣5x+1上， 所以点P和点Q关于该抛物线的对称轴对称． 因为抛物线的对称轴为直线x＝， 则， 所以x1+x2＝5． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，能根据题意得出点P和点Q关于抛物线的对称轴对称是解题的关键． 14．（2分）如图1，一个含30°的直角三角形的最短边的长为4．用六块与其全等的直角三角形拼成图2所示的大正六边形，其内部空隙为一个小正六边形，则小正六边形的边心距OA的长为 　2　 ． 【分析】由题易得小正六边形边长为4，进而即可得解． 【解答】解：由题可知含30°的直角三角形的最短边的长为4，则其斜边为8， 则图2所示的小正六边形边长为4， 如图，连接OB、OC， 则∠BOC＝60°， ∵OB＝OC， ∴△BOC为等边三角形， ∴OB＝BC＝4， ∴OA＝OB•sin60°＝2， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了含有30°直角三角形的性质、正多边形相关知识是解题的关键． 15．（2分）如图，某度假村有一块长40 m、宽22 m的矩形泳池区域．为方便管理，需划分出核心游泳区（两个全等矩形）和等宽的池边步道（含入口和出口），若核心游泳区的总面积为600 m2，求池边步道的宽度（单位：m）．设池边步道的宽度为xm，根据题意列方程为　（40﹣x）（22﹣x）＝600　 ． 【分析】依据题意，池边步道的宽度为xm，则核心游泳区可看成长为（40﹣x）m，宽为（22﹣x）m的长方形，根据核心游泳区的占地面积为600m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：由题意，∵池边步道的宽度为xm， ∴核心游泳区可看成长为（40﹣x）m，宽为（22﹣x）m的长方形， ∴（40﹣x）（22﹣x）＝600． 故答案为：（40﹣x）（22﹣x）＝600． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（0，1）．以点O为圆心，OA长为半径作弧交x轴于点C，点D为弧AC上的一个动点．线段BD绕点B逆时针旋转90°得到线段BF，连接CF，点D在弧AC上从点A运动到点C的过程中，有如下四个结论： ①当OD⊥AC时，点D恰为弧AC的中点； ②线段DF长的取值范围是； ③点D与点F运动路径的长度均为π； ④线段CF长的最小值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是　①③④　 ． 【分析】①根据垂径定理即可判断结论①正确； ②利用勾股定理和等腰直角三角形的性质，分别求出DF的最小值和最大值即可判断结论②错误； ③过点B作BO′⊥OA，使BO′＝OB，连接OD，O′F，先证明△OBD≌△O′BF（SAS），可得OD＝O′F＝2，进而可得点F的运动轨迹为以O′为圆心，2为半径的圆的，再利用弧长公式即可判断结论③正确； ④设O′C′交x轴于E，则CF≥O′C﹣O′F，当点F，C，O′三点共线时，CF＝O′C﹣O′F＝O′C﹣2为最小值，再利用勾股定理即可判断结论④正确． 【解答】解：①如图， ∵半径OD⊥弦AC， ∴点D为弧AC的中点，故结论①正确 ②当点D与点A重合时，BD＝BA＝1， 由旋转得BF＝BD，∠DBF＝90°， ∴DF＝BD＝，此时DF最小； 当点D与点C重合时，BD＝＝＝， 由旋转得BF＝BD，∠DBF＝90°， ∴DF＝BD＝，此时DF最大； ∴线段DF长的取值范围是≤DF≤，故结论②错误； ③如图，过点B作BO′⊥OA，使BO′＝OB，连接OD，O′F， 由旋转得BF＝BD，∠DBF＝90°， ∴∠OBF+∠DFB＝∠OBF+∠OBO′，即∠OBD＝∠O′BF， ∴△OBD≌△O′BF（SAS）， ∴OD＝O′F＝2， ∴点F的运动轨迹为以O′为圆心，2为半径的圆的， 由的长＝＝π，＝×2π×2＝π，可知点D与点F运动路径的长度均为π，故结论③正确； ④如图，设O′C′交x轴于E，连接O′C，O′F， 则CF+O′F≥O′C， ∴CF≥O′C﹣O′F， 当点F，C，O′三点共线时，CF＝O′C﹣O′F＝O′C﹣2为最小值， 在Rt△CO′E中，O′E＝1，CE＝3， ∴O′C＝＝＝， ∴线段CF长的最小值为﹣2，故结论④正确； 故答案为：①③④． 【点评】本题考查了圆的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，旋转变换的性质，弧长公式的运用等；找出点F的运动轨迹是解题关键． 三、解答题（本题共68分，其中17-22每题5分，23-26每题6分，27、28题每题7分） 17．（5分）解方程：x2﹣6x+8＝0． 【分析】先把方程左边分解，使原方程转化为x﹣2＝0或x﹣6＝0，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：（x﹣2）（x﹣4）＝0， x﹣2＝0或x﹣4＝0， 所以x1＝2，x2＝4． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 18．（5分）已知x＝2是关于x的方程的一个根，求m（m﹣2）的值． 【分析】根据x＝2是关于x的方程的一个根，将x＝2代入方程变形即可求得所求式子的值． 【解答】解：∵x＝2是关于x的方程 的一个根， ∴×22﹣2m+m2＝0， ∴m2﹣2m＝﹣1， ∴m（m﹣2）＝m2﹣2m＝﹣1， ∴m（m﹣2）＝﹣1． 【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用方程的思想解答． 19．（5分）已知二次函数y＝x2+mx﹣2的图象经过点（3，﹣5）． （1）求该二次函数的表达式； （2）当﹣1≤x≤3时，直接写出y的最大值． 【分析】（1）利用待定系数法进行计算即可； （2）根据二次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）将点（3，﹣5）代入y＝x2+mx﹣2得， 9+3m﹣2＝﹣5， 解得m＝﹣4， 所以二次函数的表达式为y＝x2﹣4x﹣2； （2）由（1）知， 二次函数的表达式为y＝x2﹣4x﹣2＝（x﹣2）2﹣6， 因为﹣1≤x≤3， 则2﹣（﹣1）＝3，3﹣2＝1，且3＞1， 所以当x＝﹣1时，y取得最大值为3． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的最值，熟知待定系数法及二次函数的图象与性质是解题的关键． 20．（5分）数学课上，老师提出如下问题： 已知：∠BAC，D、E分别为AB、AC边上的点． 求作：∠DOE，使∠DOE＝2∠BAC． 小玉的作法： ①分别以点A、点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M、N两点，作直线MN； ②分别以点A、点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F、H两点（点F在点H的上方），作直线FH与直线MN相交于点O； ③以点O为圆心，OA的长为半径作圆，连接OD和OE． 所以∠DOE为所求作，即∠DOE＝2∠BAC． 根据小玉设计的尺规作图过程，解决问题： （1）使用直尺和圆规补全作图（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：由作法①、②可得： 直线MN和直线FH分别是线段AD、AE的垂直平分线， ∴OA＝OD ＝OE ， ∵以点O为圆心，OA的长为半径作圆， ∴点D、点E均在⊙O上， ∴∠DOE＝2∠BAC（　同弧所对的圆心角是圆周角的两倍　 ）（填推理的依据）． 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）利圆周角定理证明即可． 【解答】（1）解：图形如图所示： （2）证明：由作法①、②可得： 直线MN和直线FH分别是线段AD、AE的垂直平分线， ∴OA＝OD＝OE， ∵以点O为圆心，OA的长为半径作圆， ∴点D、点E均在⊙O上， ∴∠DOE＝2∠BAC（同弧所对的圆心角是圆周角的两倍）， 故答案为：OD，OE，同弧所对的圆心角是圆周角的两倍． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 21．（5分）围棋起源于中国，古代称为弈，是一种策略性两人棋类游戏．其执棋原则为：黑棋先下子，白棋后下子，然后由对弈双方轮流下子．为了确定由谁执黑棋，亭亭和小宇在某次对弈前约定如下规则： 将1枚白棋和2枚黑棋装入不透明的围棋罐中，摇匀．亭亭先从棋罐中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回，接匀；然后小宇再从棋罐中随机摸出一枚棋子，记下颜色．若摸出的两枚棋子颜色不同由亭亭执黑棋，若摸出的两枚棋子颜色相同由小宇执黑棋． 请判断这个规则对双方是否公平？并用画树状图或列表的方法说明你的结论． 【分析】画出树状图，分别求出亭亭执黑棋和小宇执黑棋的概率即可求解． 【解答】解：画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中摸出的两枚棋子颜色不同的结果数为5，摸出的两枚棋子颜色相同的结果数为4， 则摸出的两枚棋子颜色不同的概率为，摸出的两枚棋子颜色相同的概率为， ∵≠， ∴这个规则对双方不公平． 【点评】此题考查了频率的计算，游戏的公平性、用列表法或树状图法，熟知列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件是解题的关键． 22．（5分）已知关于x的一元二次方程kx2+（2k﹣1）x+k﹣1＝0（k≠0）． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为0，求方程的另一个根． 【分析】（1）证明Δ＞0即可； （2）把x＝0代入方程求出k的值，然后将k的值代入方程，再根据根与系数的关系求另一个根即可． 【解答】（1）证明：a＝k，b＝2k﹣1，c＝k﹣1， ∵b2﹣4ac＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣1） ＝4k2﹣4k+1﹣4k2+4k ＝1＞0， ∴原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程有一个根为0， ∴将x＝0代入方程：kx2+（2k﹣1）x+k﹣1＝0得： k×02+（2k﹣1）×0+k﹣1＝0， 解得：k＝1． ∴原方程为：x2+x＝0． 设方程的另一个根为x1，根据根与系数的关系：0+x1＝﹣， ∴x1＝﹣1， ∴方程的另一个根为：x＝﹣1． 【点评】此题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握根的判别式和根与系数的关系是关键． 23．（6分）林业部门用喷灌设备给草坪浇水，如图1，喷灌设备有一个垂直于地面的喷头，从中喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．建立图2所示的平面直角坐标系xOy，喷头OA的竖直高度为0.3m，喷出的水流在与喷头OA的水平距离4m处达到最高点B，点B距地面的竖直高度为2.7m．为避免行人经过草坪时不被喷出的水流淋到，行人与喷头OA的水平距离应超过多少米？（其中，结果精确到0.1m） 【分析】根据题意可得：点A（0，0.3），顶点B（4，2.7），然后根据待定系数法求抛物线解析式，从而进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：点A（0，0.3），顶点B（4，2.7）， 设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+2.7， 把A（0，0.3）代入y＝a（x﹣4）2+2.7中得：0.3＝16a+2.7， 解得：a＝﹣， ∴y＝﹣（x﹣4）2+2.7， 当y＝0时，0＝﹣（x﹣4）2+2.7， 解得：x1＝4+3，x2＝4﹣3， ∴为避免行人经过草坪时不被喷出的水流淋到，行人与喷头OA的水平距离应超过8.2米． 【点评】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 24．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交AC延长线于点E，交BC于点F，连接OF． （1）求证：OF∥AB； （2）若DE＝4，CE＝2，求AB的长． 【分析】（1）易证Rt△ODF≌Rt△OC（HL），可得∠COF＝∠DOF＝＝∠A，即可得证； （2）在Rt△ODE中，利用勾股定理建立方程求出半径，再证△ECF∽△EDO，求出CF，可得BC，进而得解． 【解答】（1）证明：∵DE是圆O的切线， ∴∠ODF＝90°＝∠ACB， 在Rt△ODF和Rt△OCF中， ， ∴Rt△ODF≌Rt△OC（HL）， ∴∠COF＝∠DOF＝， ∵∠A＝， ∴∠A＝∠COF， ∴OF∥AB； （2）解：设半径为r，则OD＝OC＝r， ∵CE＝2， ∴OE＝OC+CE＝r+2， 在Rt△DOE中，OD2+DE2＝OE2， ∴r2+16＝（r+2）2， ∴r＝3， ∵∠E＝∠E，∠FCE＝∠ODE＝90°， ∴△ECF∽△EDO， ∴，即， ∴CF＝， ∵OF∥AB， ∴， ∴，则BC＝3， 在Rt△ABC中，AB＝＝3． 【点评】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 25．（6分）某高效记忆训练营对新学员开展提升记忆力的培训．在完成有关记忆方法的理论学习后，新学员先接受为期T日（T可取0，1或2）的记忆强化训练，然后开始每日记忆测试．测试内容为：1分钟内观看并记忆一组无序数字并立即默写．记一名新学员在测试阶段的第x日每分钟正确默写的数字量为y．根据测试经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当T＝0和T＝2时，部分数据如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 T＝0时y的值 0 6 7 9 10 14 17 20 21 23 T＝2时y的值 0 20 25 28 m 33 35 37 38 39 T＝2时，从测试阶段的第2日起，一名新学员每日比前一日多记忆的数字量（即：日增长量）逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系xOy中描出该T值下各数对（x，y）所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接．得到曲线∁T.当T＝1时，曲线C1如图所示． （1）观察曲线C1，当整数x的值为 　3　 时，y的值首次超过20； （2）写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出T＝2时的曲线C2； （3）完成理论学习后，为调动新学员培训的积极性，该训练营在强化训练和记忆测试阶段组织了竞赛比拼．小明和小雯也积极参与到活动之中． ①若新学员单日每分钟至少记忆30个数字可获得“记忆达人”称号，根据上述函数关系，小明最早在完成理论学习后的第 　6　 日可获得“记忆达人”证书； ②竞赛规定新学员在完成理论学习后的3日内记忆数字个数的总数最多可获得“最佳学员”称号，若小雯希望获得此称号，根据上述函数关系，在这3日中小雯应先进行 　1　 日的强化训练． 【分析】（1）找C1图象上y的值首次超过20时的x值； （2）根据第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，第5日比第3日多试制5个合格产品，可知第4日比第3日多3个合格产品，即得；运用表格数据在平面直角坐标系描点画出函数图象； （3）①根据单日每分钟至少记忆30个数字，结合图象即可判断得解； ②依据题意，由小雯获得“最佳学员”称号的强化天数需在“完成理论学习后的3日内”（总天数T+x≤3）使记忆数字总数最多，结合T＝2、T＝1、T＝0，从而可以得解． 【解答】解：（1）由曲线C1看出，当整数x的值为3时，y的值首次超过20， 故答案为：3； （2）∵T＝2日的强化训练时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在测试阶段的第3日单日记忆的数字量28个，第5日单日记忆的数字量33个， ∴相差33﹣28＝5（个）， 把5分成两个接近的数，5＝3+2， ∴第4日增加3个，第5日增加2个， ∴m＝28+3＝31， 画出T＝2时的曲线C2： （3）①T＝0：y最大为23，无法满足；T＝1：曲线C1显示x＝9时y≈30，总天数为1+9＝10日； T＝2：x＝4时，y＝31≥30，总天数为2+4＝6日． 因此，小明最早在完成理论学习后的第6日获得证书． 故答案为：6； ②小雯获得“最佳学员”称号的强化天数需在“完成理论学习后的3日内”（总天数T+x≤3）使记忆数字总数最多： T＝2：强化2天，测试1天（x＝1），总数为20； T＝1：强化1天，测试2天（x＝2），总数约为10+15＝25； T＝0：强化0天，测试3天（x＝3），总数为6+7+9＝22， 总数最大为25，对应强化天数T＝1， 因此小雯应先进行1日的强化训练． 故答案为：1． 【点评】本题考查了表格法与图象法表示函数．熟练掌握函数表示的表格法与图象法，根据表格信息画函数图象，函数的图象和性质，函数的增减性质，求函数值或自变量的值，是解题的关键． 26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝mx2﹣4mx+4m﹣2（m≠0）． （1）求该抛物线顶点A的坐标； （2）若直线y＝x﹣2与抛物线的一个交点B的横坐标为4，过点P（a，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝x﹣2于点N． ①当a＝5时，求MN的长； ②当点M在点N的下方，且线段MN的长随OP的长的增大而增大时，求a的取值范围． 【分析】（1）配成顶点式即可得解； （2）易得m＝1，则抛物线解析式为y＝x2﹣4x+2， ①当a＝5时，则M（5，7），N（5，3），即可得解； ②由题知M（a，a2﹣4a+2），N（a，a﹣2），则MN＝a﹣2﹣（a2﹣4a+2）＝﹣a2+5a﹣4，且1＜a＜4，画出函数图象即可得解． 【解答】解：（1）y＝mx2﹣4mx+4m﹣2＝m（x﹣2）2﹣2， ∴顶点A（2，﹣2）； （2）当x＝4时，则y＝4﹣2＝2， ∴B（4，2）， 将点B（4，2）代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2可得m＝1， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+2， ①当a＝5时，则M（5，7），N（5，3）， ∴MN＝7﹣3＝4； ②由题知M（a，a2﹣4a+2），N（a，a﹣2）， ∵点M在点N的下方， ∴MN＝a﹣2﹣（a2﹣4a+2）＝﹣a2+5a﹣4， 且a2﹣4a+2＜a﹣2， ∴1＜a＜4， 记W＝﹣a2+5a﹣4（1＜a＜4），则其图象如图， 函数W的对称轴为直线x＝， 由图象可知当位于对称轴左侧时，W随a的增大而增大， ∴1＜a≤． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 27．（7分）在△ABC中，BC长为定值，∠ACB＝45°，∠BAC＝α（0°＜α＜135°），点B关于直线AC的对称点为点D，连接AD、CD，过点A作AD的垂线交直线BC于点E． （1）如图1，当0°＜α＜45°时，求证：AB＝AE； （2）如图2，当90°＜α＜135°时． ①依据题意，补全图2； ②用等式表示线段CD、CE与CA之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）法一：设∠CAB＝α，导角可得∠E＝45°+α＝∠ABE，即可得证； 法二：过A作AM⊥BC于点M，过A作AN⊥CD于点N，易证△AME≌△AND（ASA），可得AE＝AD＝AB； （2）①依据题意画图即可； ②过A作AF⊥AC交CD于点F，先证△ACF为等腰直角三角形，再证△ACE≌△AFD（ASA），即可得解． 【解答】（1）证明：法一：设∠CAB＝α， ∵点B关于直线AC的对称点为点D， ∴AD＝AB，∠CAD＝∠CAB＝α， ∵∠ACB＝45°， ∴∠ABE＝∠ACB+∠CAB＝45°+α， ∵AD⊥AE， ∴∠DAE＝90°， ∴∠BAE＝∠DAE﹣∠CAB﹣∠CAD＝90°﹣2α， 在△ABE中，∠E＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝45°+α， ∴∠E＝∠ABE， ∴AB＝AE； 法二：过A作AM⊥BC于点M，过A作AN⊥CD于点N， 则∠AME＝∠AMB＝∠AND＝90°， ∵点B关于直线AC的对称点为点D， ∴CB＝CD，AB＝AD，∠ACB＝∠ACD＝45°， ∴AC平分∠BCD， ∴AM＝AN， ∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°， ∴∠MAN＝90°， ∵AD⊥AE， ∴∠DAE＝90°， ∴∠MAE＝∠DAN＝90°﹣∠MAD， 在△AME和△AND中， ， ∴△AME≌△AND（ASA）， ∴AE＝AD， ∴AB＝AE； （2）解：①补全图形如图； ②CD＝CA+CE； 证明：如图，过A作AF⊥AC交CD于点F， 由（1）知∠ACD＝∠ACB＝90°， ∴△ACF为等腰直角三角形， ∴AC＝AF，CF＝， ∵AD⊥AE， ∴∠DAE＝90°， ∴∠CAE＝∠DAF＝90°﹣∠EAF， ∵∠ACB＝∠AFE＝45°， ∴∠ACE＝∠AFD＝135°， 在△ACE和△AFD中， ， ∴△ACE≌△AFD（ASA）， ∴DF＝CE， ∴CD＝CF+DF＝+CE． 【点评】本题主要考查了对称的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于⊙C及其外部一点P，给出如下定义：过点P作⊙C的一条切线，将点P绕这条切线与⊙C的切点旋转90°得到点P′，若点P′可以落在以此切点为端点的⊙C的直径上，则称点P为⊙C关于切点的“及径点”． （1）如图，⊙O的半径为1． ①在点中，⊙O关于切点的“及径点”是P2，P4 ； ②点P（m，n）在直线y＝x﹣3上，且点P是⊙O关于切点的“及径点”，求点P横坐标m的取值范围； （2）已知点T（t，0），⊙T的半径为2，直线y＝2x+2与x轴、y轴分别交于A，B两点．若线段AB上所有的点都是⊙T关于切点的“及径点”，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）①利用⊙C关于切点的“及径点”的定义逐一判断即可； ②利用⊙C关于切点的“及径点”的定义找出临界值即可得出结论； （2）利用分类讨论的思想方法和利用⊙C关于切点的“及径点”的定义找出临界值即可得出结论． 【解答】解：（1）①∵P1（﹣1，0）在⊙O上，不符合在⊙O外的条件， ∴P1（﹣1，0）不是⊙O关于切点的“及径点”； ∵P2（2，1）与⊙O相切于点（0，1），P2（2，1）到切点的距离为2＝⊙O的直径2， ∴P2（2，1）绕这条切线与⊙C的切点（0，1）旋转90°得到点P′（0，﹣1），在以此切点为端点的⊙O的直径上， ∴点P2为⊙C关于切点的“及径点”． 过点P3（2，2）作圆O的一条切线，切点为A，连接OA，OP3，如图， ∴O＝2， ∴A＝＞⊙O的直径2， ∴点P3（2，2）绕这条切线与⊙C的切点旋转90°得到点P′，落在以此切点为端点的⊙O的直径延长线上， ∴点P3（2，2）不是⊙O关于切点的“及径点”； 过点P4（0，﹣）作圆O的一条切线，切点为B，连接OB，如图， 则OB⊥P4B， ∴OP4＝， ∴＝＜⊙O的直径2， ∴点P4绕这条切线与⊙C的切点旋转90°得到点P′，落在以此切点为端点的⊙O的直径上． 综上，⊙O关于切点的“及径点”是：P2，P4． 故答案为：P2，P4； ②令x＝0，则y＝﹣3， ∴直线y＝x﹣3与y轴交于（0，﹣3）， 令y＝0，则x＝3， ∴直线y＝x﹣3与x轴交于（3，0），如图， 过直线y＝x﹣3的点P1（2，﹣1），P2（1，﹣1）分别作⊙O的切线，切点分别为A（1，0），B（0，﹣1）， 则P1A＝2，P2B＝2，OA⊥P1A，OB⊥P2B， ∴点P1（2，﹣1），P2（1，﹣1）为⊙O关于切点的“及径点”， ∴当点P落在线段P1P2上时，点P是⊙O关于切点的“及径点”， ∴点P横坐标m的取值范围1≤m≤2； （2）t的取值范围为﹣4≤t＜﹣1或﹣1＜t≤2﹣1． 令x＝0，则y＝2， ∴直线y＝2x+2与y轴交于B（0，2）， ∴OB＝2， 令y＝0，则x＝﹣1， ∴直线y＝2x+2与x轴交于A（﹣1，0）， ∴OA＝1， ①当点T（t，0）在点A的左侧时，过点B作⊙T的切线，切点为C，连接TC，如图， 则TC⊥BC，TC＝OB＝2， ∴四边形OBCT为矩形， ∴OT＝BC， ∴当BC＝2CT＝4时，线段AB上所有的点都是⊙T关于切点的“及径点”， ∴OT＝4，点A在⊙T的外部， ∴﹣4≤t＜﹣3； ②当点T（t，0）在点A的右侧时，过点B作⊙T的切线，切点为C，连接TC，如图， 则TC⊥AC，TC＝2， 当AC＝2TC＝4时，AT＝＝＝2，点A恰在过点C的圆T的直径的另一个端点处， ∴此时线段AB上所有的点都是⊙T关于切点的“及径点”， ∴OT＝2﹣1， ∴t≤2﹣1． 当⊙T与线段AB相切于点M时，连接TM，如图， 则TM⊥AB，TM＝2， ∴∠AOB＝∠TMB＝90°， ∵∠BAO＝∠TAM， ∴△BAO∽△TAM， ∴， ∵AB＝＝， ∴， ∴AT＝， ∴AT＝﹣1， ∴t＞﹣1． ∴﹣1＜t≤2﹣1． 综上，若线段AB上所有的点都是⊙T关于切点的“及径点”，t的取值范围为﹣4≤t＜﹣3或﹣1＜t≤2﹣1． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理，点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度，一次函数的梯形与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $