精品解析：北京市第十一中学2024-2025学年九年级上学期期末考试数学C卷

北京第十一中学2024－2025学年度九年级上学期期末考试（2025.1） 数学C卷 考试时间：120分钟 满分：100分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．本试卷共4页，共三道大题，22道小题． 3．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（每小题2分，共14分） 1. 若，为方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 2. 函数在平面直角坐标系中图象可能是（ ） A. B. C. D. 3. 对于实数，定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若有两个不相等的实数，满足，则的值可以是（ ） A. B. 20 C. 202 D. 2025 4. 同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如，与，与．在一次制取的实验中，，与的原子个数比为，与的原子个数比为，若实验反应生成了一个分子，则该分子为的概率（ ） A. B. C. D. 5. 如图，线段，，设，分别是，的中点，连接，若，，则（ ） A. 2 B. 1 C. 4 D. 6. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 水温从加热到，需要4min B. 水温下降过程中，与的函数关系式是 C. 在一个加热周期内水温不低于的时间为 D. 上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 7. 某疾病由病毒引起，在人群中的发病率（患病人数与总人数的比）为十万分之一，某检测病毒的仪器的准确率为（即如果一个人患病，若使用该仪器诊断此人，则该仪器概率输出阳性，概率输出阴性；反之，如果他没患病，则该仪器概率输出阴性，概率输出阳性），若用该仪器对甲进行诊断，结果显示为阳性，甲确实患这种疾病的概率大约为（ ） A. 十万分之一 B. 万分之一 C. 十分之一 D. 二、填空题（每小题3分，共21分） 8. 已知二次函数的图像经过点和．则这个二次函数的解析式为_____． 9. 在一个较为封闭的生态系统中，受种内斗争等因素的影响，某种捕食者的捕食效率（以每只捕食者每天捕食猎物的平均数量衡量）与该捕食者的种群密度成反比，与可捕获的猎物的种群密度成正比．已知某年春季平均每只每天能捕获大概4只猎物．到了冬季时，由于一半猎物冬眠，无法被捕获，物种饿死了，此时仍然存活的捕食者中，平均每只每天能捕获大概_____只猎物． 10. 图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为___________． 11. 将一个表面涂满红色正方体的每条棱等分（，n为整数），分割成若干个小正方体，在这些小正方体中任取一个小正方体，只有一面为红色的概率为_____． 12. 如图，中，，以点为圆心、为半径画弧，交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，在内随机取一点，落在阴影部分的概率为_____． 13. 古希腊的埃拉托色尼发现塞恩城夏日正午地面上的石柱是没有影子的，而同一子午线上离塞恩城约h米（地表距离）的亚历山大城地面上高度为一米的石柱却有一段长度为s米的影子．如图所示，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与石柱形成的夹角．若一个锐角的正弦满足，则我们记，称为的反正弦．如．由此可以计算出地球的周长为_____米（结果用以及反正弦函数表示）． 14. 一组数据共2024个，他们平均值和方差都为2024，向该数据中再添加两个数据，使得由这2026个数组成的新数据的平均值和方差仍然是2024，则这两个数可以是_____． 三、解答题（共65分） 15. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 m 7 乙 8 8 7 （1）补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数是 ； （2）表格中的m＝ ； （填“”“=”或“”）； （3）如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，求三家种植户选择同一快递公司概率． 16. 在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系． 【凸透镜光学性质】1．通过凸透镜光心的光线，其传播方向不变．2．平行于主光轴的光线经凸透镜折射后通过焦点，凸透镜的两侧各有一个焦点和，焦点到光心的距离称为焦距，记为． 【物距与像距】如图2，平行于主光轴的光线经凸透镜L折射后与光线的交点为点，过点作主光轴的垂线，垂足为，即可得出物体所成的像． （1）已知（称为物距），（称为像距），（焦距），（它刻画物体的大小），（它刻画物体的像的大小），当时，求证：． （2）证明 17. （1）找到一个首项系数为1，常数项是有理数的一元二次方程，它的一个解是． （2）解方程：． （3）已知，求． 18. 本题目旨在利用二次函数的性质证明柯西不等式：对一切实数，有：……，然后将其应用于统计学． （1）令，将之改写成关于的至多二次的函数的形式，即，求． （2）由恒成立，写出之间的关系，并证明式，并给出式取等条件． （3）设是一组由构成的数据组，是一组由构成的数据组，且对每个都落在抛物线上， 定义为数据组的平均值，为数据组的平均值． 证明：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，T的顶点为，． （1）若，直接写出点A、B、C的坐标A_____，B_____，C_____以及抛物线的对称轴的表达式：__________； （2）直接写出T关于原点对称抛物线的表达式（用含参数t的式子表示）：_____ （3）用代数方法（而不是看图或求导）证明以下两个命题等价： i．在直线的右侧，y随着x的增大而减小． ii．． （4）若，设M是抛物线上介于点C和点B之间的一点，求的面积的最大值，并指出此时点M的坐标． （5）附加题 是否存在上的点P，以及垂直于的直线，使得抛物线上所有点到点P和直线的距离相等？如果没有，请证明，否则指出这个点和直线的表达式并证明． 20. 考虑“对钩函数”，记它的图像为．已知在上．一条直线叫做的切线（或者说直线与相切），如果联立与的表达式所得的关于是一元二次方程，且有两个相同的解，此时直线与有唯一的公共点，叫做切点． （1）求的表达式． （2）用代数方法（而不是看图或求导）证明：当时，随着增大而增大． （3）设为，过点有的几条切线？找出它（们）． （4）如果点满足．证明：过点有两条直线与相切． （5）附加题是否是轴对称图形？如果是的话，写出其全部对称轴，并证明关于其中一条对称轴对称．否则，证明不是轴对称图形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京第十一中学2024－2025学年度九年级上学期期末考试（2025.1） 数学C卷 考试时间：120分钟 满分：100分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．本试卷共4页，共三道大题，22道小题． 3．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（每小题2分，共14分） 1. 若，为方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代入求值，理解一元二次方程解的概念，掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据题意可得，，代入计算即可求解． 【详解】解：∵，为方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：C ． 2. 函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据a的不同情况分类讨论进行分析即可得到答案． 【详解】解：∵， 当时，函数的图象开口向下；对称轴，在y轴的左侧；，图象交y轴的正半轴； 故A不符合题意，B符合题意； 当时，函数的图象开口向上；对称轴，在y轴的右侧；，图象交y轴的正半轴； 故C、D不符合题意． 故选：B． 3. 对于实数，定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若有两个不相等的实数，满足，则的值可以是（ ） A. B. 20 C. 202 D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算和一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键．根据题意得到关于的一元二次方程，然后求得根的判别式的值，再根据有两个不相等的实数，满足，求出的取值范围，再选择即可． 详解】解：， ， 整理得， 有两个不相等的实数，满足， ，且， ，且， 只有选项A符合， 故选：A ． 4. 同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如，与，与．在一次制取的实验中，，与的原子个数比为，与的原子个数比为，若实验反应生成了一个分子，则该分子为的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查利用树状图或列表计算概率，列出表格，由表格可知，生成了一个分子共有种结果，每种结果都是等可能的，一个分子为共有种结果，然后根据概率公式求解即可． 【详解】根据题意可知， 生成了一个分子共有种结果，每种结果都是等可能的，一个分子为共有种结果． 一个分子为的概率． 故选：D 5. 如图，线段，，设，分别是，的中点，连接，若，，则（ ） A. 2 B. 1 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质，证得，可得，进而求得，，据此即可求得答案． 【详解】解：如图所示，设和交于点． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，分别是，的中点， ∴，． ∵， ∴． ∴ ． ∵， ∴ ． 故选：B 6. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 水温从加热到，需要4min B. 水温下降过程中，与的函数关系式是 C. 在一个加热周期内水温不低于的时间为 D. 上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．根据题意和图象，先求得函数的解析式，进而反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，所需时间为：，故A选项说法正确，不合题意； B、由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项说法正确，不合题意； C、当水温升至时，用时， 当水温降至时，，解得：， ∴在一个加热周期内水温不低于时间为，故C选项说法错误，符合题意； D、在中，令，则， 即：每20分钟，饮水机重新加热， ∴上午10点接通电源，当天时饮水机是第二次加热， 把代入，得：， 即：时的水温为，不低于，故D选项说法正确，不合题意； 故选：C． 7. 某疾病由病毒引起，在人群中的发病率（患病人数与总人数的比）为十万分之一，某检测病毒的仪器的准确率为（即如果一个人患病，若使用该仪器诊断此人，则该仪器概率输出阳性，概率输出阴性；反之，如果他没患病，则该仪器概率输出阴性，概率输出阳性），若用该仪器对甲进行诊断，结果显示为阳性，甲确实患这种疾病的概率大约为（ ） A. 十万分之一 B. 万分之一 C. 十分之一 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查条件概率的实际应用，根据患病人群和健康人群中出现阳性的情况，求出实际发病率，再结合发病率与仪器准确率以及概率公式求解即可． 【详解】解： ， ∴甲确实患这种疾病的概率大约为万分之一， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共21分） 8. 已知二次函数的图像经过点和．则这个二次函数的解析式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解二次函数解析式，将点和代入得到三元一次方程组，再解方程组求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点和． ∴将点和代入， 则，解得 ∴二次函数解析式为 故答案为：． 9. 在一个较为封闭的生态系统中，受种内斗争等因素的影响，某种捕食者的捕食效率（以每只捕食者每天捕食猎物的平均数量衡量）与该捕食者的种群密度成反比，与可捕获的猎物的种群密度成正比．已知某年春季平均每只每天能捕获大概4只猎物．到了冬季时，由于一半猎物冬眠，无法被捕获，物种饿死了，此时仍然存活的捕食者中，平均每只每天能捕获大概_____只猎物． 【答案】 3 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数，熟练掌握正比例函数和反比例函数图象和性质，是解题的关键 捕食效率与捕食者密度成反比，与猎物密度成正比，根据春季数据确定比例关系，再计算冬季变化后的捕食效率． 【详解】解：设捕食效率，其中为比例常数． 春季时，，即． 冬季时，可捕获猎物密度，捕食者密度， 代入公式得． 故答案为：3． 10. 图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为___________． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故答案为：40． 11. 将一个表面涂满红色的正方体的每条棱等分（，n为整数），分割成若干个小正方体，在这些小正方体中任取一个小正方体，只有一面为红色的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单几何概率，熟练掌握正方体体积公式，面积公式，概率意义，几何概率计算，是解题的关键． 小正方体总个数为，只有一面涂红色的小正方体个数为，概率为两者之比． 【详解】解：将正方体每条棱等分后，小正方体总个数为． 只有一面涂红色的小正方体位于每个面的中心部分， 每个面有个，共6个面， ∴总数为． 故任取一个小正方体，只有一面为红色的概率为． 故答案为：． 12. 如图，中，，以点为圆心、为半径画弧，交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，在内随机取一点，落在阴影部分的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算、含30度角的直角三角形、勾股定理，求出，根据三角函数求出；利用扇形的面积公式，根据“阴影部分的面积=扇形的面积+扇形的面积-直角三角形的面积”计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ∴落在阴影部分的概率为． 故答案为：． 13. 古希腊的埃拉托色尼发现塞恩城夏日正午地面上的石柱是没有影子的，而同一子午线上离塞恩城约h米（地表距离）的亚历山大城地面上高度为一米的石柱却有一段长度为s米的影子．如图所示，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与石柱形成的夹角．若一个锐角的正弦满足，则我们记，称为的反正弦．如．由此可以计算出地球的周长为_____米（结果用以及反正弦函数表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反正弦概念的理解与勾股定理的应用，解题关键是理解题意，正确求出的表达式．本题利用勾股定理求出后即可求解． 【详解】解：如图，∵高度为一米的石柱有一段长度为s米的影子, ∴米，米， ∴米， ∴， ∴， ∵同一子午线上石柱离塞恩城约h米（地表距离）， ∴地球周长为， 故答案为：． 14. 一组数据共2024个，他们的平均值和方差都为2024，向该数据中再添加两个数据，使得由这2026个数组成的新数据的平均值和方差仍然是2024，则这两个数可以是_____． 【答案】和 【解析】 【分析】本题考查了平均值和方差的定义，根据平均值和方差的定义，通过设添加的两个数为a和b，利用新数据的平均值和方差与原数据相同，列出关于a和b的方程，求解得到a和b的值． 【详解】解：因为添加两个数后，新数据的平均值和方差仍为2024， 所以原始数据总和为，平方偏差和为． 设添加两个数和， 由平均值不变，可得， 解得， 由方差不变，可得， 解得， 令， 则， 解得， 所以， 因此， 故答案为：和． 三、解答题（共65分） 15. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 m 7 乙 8 8 7 （1）补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数是 ； （2）表格中的m＝ ； （填“”“=”或“”）； （3）如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，求三家种植户选择同一快递公司的概率． 【答案】（1），见解析 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据频数之和等于样本容量，计算甲快递公司在配送速度为9的人数可补全频数直方图，利用圆心角计算公式计算即可． （2）根据中位数与方差的定义即可求解； （3）画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出A，B，C三家农产品种植户选择同一快递公司的结果数，然后利用概率公式求解． 本题考查了列表法与树状图法，方差、中位数，直方图．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析和求概率． 【小问1详解】 解：根据频数之和等于样本容量， 得甲快递公司在配送速度为9的人数为：（人） 补全频数直方图如下： 根据题意，得． 【小问2详解】 解：甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，7，8，9，9，9，10．一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为7、8， 故中位数， 故答案为：． 根据题意，得 ． 得 ． ， 故答案为：． 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知共有8种可能结果，其中三家种植户选择同一快递公司的有2种结果， ∴三家种植户选择同一快递公司的概率为． 16. 在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系． 【凸透镜光学性质】1．通过凸透镜光心的光线，其传播方向不变．2．平行于主光轴的光线经凸透镜折射后通过焦点，凸透镜的两侧各有一个焦点和，焦点到光心的距离称为焦距，记为． 【物距与像距】如图2，平行于主光轴的光线经凸透镜L折射后与光线的交点为点，过点作主光轴的垂线，垂足为，即可得出物体所成的像． （1）已知（称为物距），（称为像距），（焦距），（它刻画物体的大小），（它刻画物体的像的大小），当时，求证：． （2）证明 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，一元二次方程的应用，解题关键是理解题意，发现相似三角形，并能够利用根与系数的关系构造一元二次方程求解． （1）分别证明和，得到和，进而得到，变形后即可求解； （2）先利用得到，令，得出u和v是方程的两个根，利用根的判别式即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴即， ∵， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴， 两边同时除以， ∴ ∴； 小问2详解】 证明：∵， ∴即， 令， ∴， ∴u和v是方程的两个根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 17. （1）找到一个首项系数为1，常数项是有理数的一元二次方程，它的一个解是． （2）解方程：． （3）已知，求． 【答案】（1）（答案不唯一）； （2） 或 ； （3） 【解析】 【分析】本题考查根与系数关系，用换元法解方程，掌握解方程的方法是解题的关键； （1）设一元二次方程为，令根据求出，再根据求出b即可； （2）令则原式可化为，分和两种情况求解即可； （3）令 ，将方程转化为解方程即可． 【详解】解：（1）设一元二次方程， 令，则一元二次方程为， ∵， 由，得， 由得，即， ∴一元二次方程为（答案不唯一）； （2）解： 令，则原式可化为， 当时，即时，等式成立； 当时， 等号两边同时除以t得即， 解得， ∵， ∴，即， ∴； ∴方程的解为或； （3）令 ，则，，或，， ∴ 方程两边同除以 得即 两边平方消去根号得， 化简得 ， ∴． 18. 本题目旨在利用二次函数的性质证明柯西不等式：对一切实数，有：……，然后将其应用于统计学． （1）令，将之改写成关于的至多二次的函数的形式，即，求． （2）由恒成立，写出之间的关系，并证明式，并给出式取等条件． （3）设是一组由构成的数据组，是一组由构成的数据组，且对每个都落在抛物线上， 定义为数据组的平均值，为数据组的平均值． 证明：． 【答案】（1），，； （2），证明见解析，取等条件是当所有时；存在实数 使得 对所有 成立 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，二次函数判别式，算术平均数，合并同类项，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据完全平方公式，将展开，合并同类项，变形为即可解答； （2）分和两种情况讨论，根据二次函数判别式解答即可； （3）将代入，化简整理得，再根据化简得，即，再代入即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ， ， ∴，，； 【小问2详解】 解：∵恒成立， ∴， 证明：∵对所有实数t恒成立，且， 若时，即，此时不等式为，不等式成立； 若时，即二次函数，即， 计算判别式 ∴， ， 即即式成立； 取等条件是：当所有时；或存在实数使得对所有  成立； 【小问3详解】 解：∵，， 由 即 ∵， ∴代入， 即． 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，T的顶点为，． （1）若，直接写出点A、B、C的坐标A_____，B_____，C_____以及抛物线的对称轴的表达式：__________； （2）直接写出T关于原点对称的抛物线的表达式（用含参数t的式子表示）：_____ （3）用代数方法（而不是看图或求导）证明以下两个命题等价： i．在直线的右侧，y随着x的增大而减小． ii．． （4）若，设M是抛物线上介于点C和点B之间的一点，求的面积的最大值，并指出此时点M的坐标． （5）附加题 是否存在上的点P，以及垂直于的直线，使得抛物线上所有点到点P和直线的距离相等？如果没有，请证明，否则指出这个点和直线的表达式并证明． 【答案】（1），，， （2） （3）证明见详解 （4）， （5）存在，，直线，证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出T的顶点及抛物线对称轴的表达式，设，将推出点A，B的坐标，进而得到a的值，最终求得点C的坐标； （2）根据题意设，，利用原点中心对称的性质设关于原点对称的点为，关于原点对称的点为，关于原点对称的点为，而新抛物线的开口向上，设该抛物线的解析式为，将对称的点代入解析式即可求得a的值，从而得到抛物线的表达式； （3）先得出抛物线对称轴及，从而得出抛物线的增减性，分别分析命题i和命题ii，通过推理证明得出另一命题是否成立，从而得出两个命题互相等价； （4）过点M作x轴的平行线，交y轴于点D，过点B作y轴的平行线，交于点E，过点C作交于点F，由得出抛物线解析式，再设，利用割补法得出面积的表达式，通过计算得出表达式为开口向下的二次函数，进而求得面积最大值及点M的坐标； （5）设对称轴为直线，直线的方程为，点P坐标为，由抛物线上任意一点到点P和直线距离相等得出，通过计算得出等式对所有x成立，各次幂系数必须相等，进而求得h，k，c的值，并得到点P坐标及直线的方程，再将已求结果代入进行证明，此时得出抛物线T表达式，说明两式相等． 【小问1详解】 解：∵， ∴T的顶点为， ∴抛物线对称轴的表达式为：， 设， ∵，抛物线与x轴相交于A、B两点， 则，， ∴，， 把代入， 得， ∴， ∴， ∴， ∴故答案为：，，，． 【小问2详解】 解：抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，T的顶点为，， ∴，， ∴关于原点对称的点为，关于原点对称的点为，关于原点对称的点为， ∵抛物线T的开口向下， ∴， ∴关于原点对称的抛物线的开口向上， 设该抛物线的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴， 故答案为：． 【小问3详解】 证明：由抛物线的开口向下得：， ∴对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大，当，y随x的增大而减小， 对于命题i：假设命题i成立，则对于所有，必有y随x的增大而减小， 由抛物线T的增减性可知，当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小，故假设成立， 即命题ii成立， 对于命题ii：若，则直线位于对称轴右侧或重合于对称轴， ∴对于任意，则有， ∴当时，抛物线T的y随x的增大而减小， ∴在直线的右侧，y随x的增大而减小， 即命题i成立， 综上所述，命题i与命题ii两个命题等价． 【小问4详解】 解：如图，过点M作x轴的平行线，交y轴于点D，过点B作y轴的平行线，交于点E，过点C作交于点F， ∴四边形为矩形， 当时，抛物线， 设， ∴， ∴， ∴ ， 当时，面积的最大值为， ∴． 【小问5详解】 解：由题意知，对称轴为直线，其垂线为水平线， ∴设直线的方程为，点P坐标为， ∵抛物线上任意一点到点P和直线距离相等， ∴， 整理得：， ∵抛物线， ∴将T代入方程①右侧得：， ∴方程变为：， 将右侧展开为多项式形式得：， 方程左右两侧按x的幂次排列： 左侧：， 右侧：， ∵等式对所有x成立，各次幂系数必须相等， ∴项系数：，解得：， x项系数：，代入②得：，解得：， 常数项：， 代入②，③得：，解得：， 由方程②得：， 代入方程④得：，解得：， ∴， ∴点P坐标为，直线的方程为， 证明：对于抛物线上任意一点，代入和，直线，计算距离， ∴到点P的距离：，到直线的距离：， ∴， ∴， 整理得：， ∴两式相等，符合抛物线表达式定义． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，二次函数顶点式表达，中心对称的性质，二次函数与面积的最值问题，二次函数对称轴等知识点，解题关键是掌握数形结合的方法． 20. 考虑“对钩函数”，记它的图像为．已知在上．一条直线叫做的切线（或者说直线与相切），如果联立与的表达式所得的关于是一元二次方程，且有两个相同的解，此时直线与有唯一的公共点，叫做切点． （1）求的表达式． （2）用代数方法（而不是看图或求导）证明：当时，随着增大而增大． （3）设为，过点有的几条切线？找出它（们）． （4）如果点满足．证明：过点有两条直线与相切． （5）附加题是否是轴对称图形？如果是的话，写出其全部对称轴，并证明关于其中一条对称轴对称．否则，证明不是轴对称图形． 【答案】（1） （2）见解析 （3）过点有1条切线，切线方程 （4）见解析 （5）不是轴对称图形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用点在函数图象上代入求值； （2）设，令，，证明即可； （3）设过的切线方程为，通过联立方程并利用判别式为0，求得的值，得到切线； （4）设过的切线方程为，通过联立方程并利用关于x的一元二次方程判别式为0得到关于切点个数的条件，再利用关于的一元二次方程判别式大于0的结论，得到关于切线个数的结论； （5）设上一点的坐标为，容易得到是中心对称图形，对称中心为原点，设对称轴直线上一点，求得过的两条切线与的切点连线的中点坐标，判断中心不在对称轴上即可． 【小问1详解】 解：∵点在“对钩函数”的图象上， 代入得，解得， ∴的表达式为． 【小问2详解】 证明：设，令，， 则 ． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴当时，随着增大而增大． 【小问3详解】 解：设过的切线方程为， 联立，得， 整理为关于的方程：)． ∵直线与相切， ∴该方程有唯一解， 即判别式， 解得或． 当时，方程变为，无解，舍去； 当时，方程为，解得，代入得， ∴切点为，切线方程为，故过点有1条切线． 【小问4详解】 证明：设过的切线方程为， 联立，得， 整理为关于的方程：． ∵直线与相切， ∴判别式． 关于的方程：的判别式． ∵， ∴， ∴， ∴， 故关于的方程有两个不同的实数解，即过点有两条直线与相切； 【小问5详解】 证明：设上一点的坐标为，则它关于原点对称的点的坐标也在上， ∴是中心对称图形，对称中心为原点． 假设是轴对称图形，则对称轴必过原点， 设对称轴直线为，直线上一点， 设过的切线方程为，切点分别为，它们应该关于对称轴对称， 联立，得， 整理为关于的方程：， ∴，， ∴， ∴， 则切点连线中点坐标为， ∵， ∴对称轴直线不存在， 即不是轴对称图形． 【点睛】本题综合考查函数性质的研究与应用，包括待定系数法求解析式、利用不等式的性质比较大小、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系等知识，涉及代数证明、方程联立与判别式分析，关键是利用函数性质与代数运算结合，解决函数图象的相关问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $