第八章 立体几何初步单元测试卷（基础版）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步单元测试卷（基础版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形ABCD的面积是（    ）    A． B． C．8 D．16 2．已知是两个平面，是两条直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 4．将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 6．在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 7．已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（   ） A．体积为 B．表面积为 C．两条母线的夹角的最大值为 D．过顶点的截面面积的最大值为2 8．如图，圆柱（，O分别为上、下底面的圆心）的轴截面是边长为2的正方形，E是下底面圆周上不同于A，D的动点，则点A到平面的最大距离是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中正确的是（   ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B．六条棱长均相等的四面体是正四面体 C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥 D．长方体是直四棱柱，也是正四棱柱 10．如图，在四面体中，是的中点，是的中点，点在线段上，且．下列结论正确的是（   ） A． B．直线与异面 C．直线与异面 D．平面 11．在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（   ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．三棱锥的体积为定值 D．球面经过，，，四点的球的半径最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．用一个平面将正方体分为两个几何体，这两个几何体共有20个顶点，则这两个几何体共有______条棱． 13．在正四棱台中，，，则该棱台的体积为______. 14．如图1所示，在平面四边形中，，，，将沿折叠，得到图2中的三棱锥，使二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，为四边形的斜二测直观图，其中，，． (1)求平面四边形的面积及周长； (2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 16．在正方体中，E，F分别为，的中点，，，如图． (1)求证：D，B，E，F四点共面； (2)作出直线与平面的交点R的位置． 17．如图，在圆柱中，AC，分别为圆O，圆的直径，，，为圆柱的母线. (1)求证：平面平面； (2)若圆O的半径为2，，，点P为的中点，求三棱锥的体积. 18．如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，点满足. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线与底面所成角的正弦值. 19．已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点. (1)求证： 平面； (2)求证：平面. (3)求三棱锥的体积. 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 立体几何初步单元测试卷（基础版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形ABCD的面积是（    ）    A． B． C．8 D．16 【答案】A 【分析】根据斜二测画法的规则，由直观图的特征推出原平面图形的形状及相关边长，再利用梯形面积公式计算原平面图形的面积． 【详解】在直观图中作，垂足分别为E，F， 则，所以，    由斜二测画法可知原平面图形如下：    将原平面图形上底，下底，高代入公式， 可得四边形ABCD的面积． 2．已知是两个平面，是两条直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】若，则或，A错误； 若，，所以或，B错误； 若，直线只垂直于平面内的一条直线，无法得到，C错误； ，则平面内存在直线l与直线平行，则，可得,D正确. 3．圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形的面积公式求出圆锥的底面半径r，再利用圆锥的侧面积公式即可得出结果. 【详解】根据题意，设圆锥的底面半径为r，因为圆锥的轴截面为等边三角形， 所以圆锥的母线长，，解得， 所以圆锥的侧面积为. 4．将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用球和正四棱台的体积相等直接计算即可． 【详解】球的体积为，设铁锭的高为， 则正四棱台的体积为， 由，可得，解得. 5．如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过补形，得到正六棱柱，继而得到即为直线与所成的角或其补角．设，从而得到为正三角形，故，从而得到所求. 【详解】如图，将直四棱柱补成正六棱柱， 连接，，显然， 则即为直线与所成的角或其补角． 设，则， 又， 则， 解得， 又， ， 则为正三角形，从而， 则直线与所成的角为． 6．在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，，则，所以， 将直三棱柱补成长方体，如下图所示：    所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球， 即直径为， 因此，该直三棱柱的外接球的表面积为． 7．已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（   ） A．体积为 B．表面积为 C．两条母线的夹角的最大值为 D．过顶点的截面面积的最大值为2 【答案】D 【分析】先算出母线长，结合体积公式、表面积公式计算后可判断AB的正误，求出轴截面的顶角值后可判断CD的正误. 【详解】对于A，圆锥的体积为，故A错误； 对于B，圆锥的母线长为， 故圆锥的表面积为，故B错误； 对于C，设圆锥轴截面顶角为，则， 而为锐角，故，故，故两条母线的夹角的最大值为，故C错误； 对于D，设两条母线的夹角为，则过顶点的截面面积为 而，故当，，故D正确. 8．如图，圆柱（，O分别为上、下底面的圆心）的轴截面是边长为2的正方形，E是下底面圆周上不同于A，D的动点，则点A到平面的最大距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点E作AD的垂线， 垂足为F，求证平面，接着过点F作BC的垂线，垂足为G，连接EG，求证， 设，，结合 求出点A到平面的距离即可分析求解. 【详解】如图，过点E作AD的垂线， 垂足为F，连接AE， 由题意知平面平面，平面，故平面， 过点F作BC的垂线，垂足为G，则，连接EG， 又，平面， 所以平面，所以由得平面， 又平面，所以即， 连接 OE， 设，其中，则由题， 又平面，平面，所以， 所以， 连接 AO，设点A到平面的距离为d， 则由 得即， 所以，所以， 显然当即时点A到平面的距离d取得最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中正确的是（   ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B．六条棱长均相等的四面体是正四面体 C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥 D．长方体是直四棱柱，也是正四棱柱 【答案】BC 【分析】依据棱柱定义判断选项A，依据正四面体的定义判断选项B，一个棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和可以，判断C，依据正四棱柱的定义判断选项D. 【详解】有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱.而满足选项A条件的几何体可能是组合体，如图所示，故A错误， 四个面都是等边三角形的四面体是正四面体，故六条棱长均相等的四面体是正四面体，故B正确； 一个棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和，即，故C正确； 当长方体有一组相对面是正方形时是正四棱柱，若长方体相对面没有正方形时，则不是正四棱柱，D错误. 10．如图，在四面体中，是的中点，是的中点，点在线段上，且．下列结论正确的是（   ） A． B．直线与异面 C．直线与异面 D．平面 【答案】BCD 【分析】根据线线垂直、异面直线的定义即可判断ABC，根据线面平行的判定定理即可判断D. 【详解】对于A，由题干条件不能确定垂直关系，A错误； 对于B：结合图形,由异面直线定义知直线与异面，B正确； 对于CD，取的中点，且是的中点，所以且， 取的四等分点，使，且， 所以，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，且平面，平面，与相交， 所以平面，直线与异面，故CD正确． 11．在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（   ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．三棱锥的体积为定值 D．球面经过，，，四点的球的半径最小值为 【答案】ACD 【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C，利用等体积法，即可求解；对D，建立空间直角坐标系，设，球心，半径为，利用球的性质可得，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，，易知， 又平面，平面，所以平面. 又是中点，所以，又平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面， 所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误； 对于C，因为平面，点是棱的中点， 则，所以C正确； 对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为， 则，设，球心，半径为， 由，得到，解得，， 所以，又，且，所以当时，取到最小值，最小值为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．用一个平面将正方体分为两个几何体，这两个几何体共有20个顶点，则这两个几何体共有______条棱． 【答案】24 【详解】由欧拉定理， 可知切割后两个几何体的顶点数，棱数和面数应该满足，，则， 其中，原正方体6个面，切割后新增2个面，所以， 代入得：，即：这两个几何体共有24条棱. 13．在正四棱台中，，，则该棱台的体积为______. 【答案】/ 【分析】根据正棱台的特征，构造直角三角形，解出正棱台的高，代入公式即可求解. 【详解】如图所示： 取正棱台上下底面中心，连接过点作的平行线，交于点， 因为，所以 在直角三角形中，， 故正四棱台的高为， 根据棱台体积计算公式，. 14．如图1所示，在平面四边形中，，，，将沿折叠，得到图2中的三棱锥，使二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为________． 【答案】 【分析】取的中点E，由已知可得为二面角的平面角，利用余弦定理求出，利用勾股定理的逆定理可得为直角三角形，则得的中点O为三棱锥的外接球的球心，即可得到外接球的半径，进而求出表面积. 【详解】 如图，取的中点E，连接， 已知，，所以，， 又，所以，， 所以为二面角的平面角，其余弦值为， 在中，由余弦定理得 ， 即，则， 所以为直角三角形， 则的中点O为三棱锥的外接球的球心， 外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球表面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，为四边形的斜二测直观图，其中，，． (1)求平面四边形的面积及周长； (2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 【答案】(1)5，7； (2)， 【分析】（1）把直观图还原为原平面图形，得四边形是直角梯形，由此求出平面四边形的面积和周长； （2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，计算它的体积和表面积即可． 【详解】（1）把直观图还原为原平面图形，则四边形是直角梯形，其中，，，，如图所示： 所以平面四边形的面积为， 周长为； （2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体， 则旋转体的体积等于圆柱的体积与圆锥的体积之和， 即， 表面积为． 16．在正方体中，E，F分别为，的中点，，，如图． (1)求证：D，B，E，F四点共面； (2)作出直线与平面的交点R的位置． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）说明，再由两条相交直线可以确定平面即可求证； （2）利用公理2说明三点在两个平面的交线上即可. 【详解】（1）由于和在同一个平面内且不平行，故必相交． 如图，设交点为O，因为F为的中点，所以且，即是的中位线，则． 同理直线与也相交，设交点为，则，故与O重合． 由此可证得，故D，B，F，E四点共面． （2）设平面为．由于， 所以，A，C，四点共面（设为）． 因为，，所以． 又，，所以， 所以． 同理可证得，从而有． 连接，交于点R，因为， 所以与平面的交点就是与的交点． 所以与的交点R就是所求的交点． 17．如图，在圆柱中，AC，分别为圆O，圆的直径，，，为圆柱的母线. (1)求证：平面平面； (2)若圆O的半径为2，，，点P为的中点，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据题意，分别证得平面和平面，结合面面平行的判定定理，即可证得平面平面； （2）由平面，得到三棱锥的体积等于三棱锥的体积，利用，结合锥体的体积公式，即可求解. 【详解】（1）证明：如图所示，连接，由四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面，所以平面平面. （2）解：由平面及（1）知平面， 所以点P到平面的距离等于点到平面的距离， 所以三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 因为，因为为圆的直径，可得， 又因为，，所以，， 且，， 所以， 所以三棱锥的体积为. 18．如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，点满足. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线与底面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过平行线将异面直线的夹角转化为同一平面内相交直线的角，然后利用余弦定理求解即可； （2）根据向量关系得点P的位置，可得点到平面的距离为，利用余弦定理求得，然后根据线面角的定义求解即可. 【详解】（1）因为底面是边长为2的菱形，，所以， 因为底面，底面， 所以， 所以， 因为，所以异面直线与所成角为， 在中，， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. （2）因为点满足，所以点为的四等分点且靠近点C， 所以点到平面的距离为， 在中，，又， 所以， 所以， 所以直线与底面所成角的正弦值为. 19．已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点. (1)求证： 平面； (2)求证：平面. (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，，证明，结合线面平行的判定定理即可求证； （2）首先证明面，可得，，结合线面垂直的判定定理即可求证； （3）利用由（2）可知平面，可得点到平面的距离为，根据点为的中点，从而得到点到平面的距离，利用即可求解. 【详解】（1）如图， 连接，， 四边形为矩形，为的中点， 与交于点，且为的中点， 又点为的中点，， 又平面，且平面， 平面. （2）直三棱柱满足，， 又点为的中点，且面，面， 所以，， 又，面， 平面. （3）由图可知， ，，， 又三棱柱为直三棱柱，且， . ，，点为的中点， 所以. 由（2）可知平面. 所以点到平面的距离为， 又点为的中点， 所以点到平面的距离为， . 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $