第八章《立体几何初步》同步单元必刷卷（基础卷）-2025-2026学年高一数学下学期人教A版必修第二册

**基本信息** 第八章《立体几何初步》基础单元卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖空间几何体、线面关系等核心知识，适配单元复习，强化空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|圆台母线、斜二测画法、球与圆锥体积比|基础概念辨析，如第1题考查圆台母线计算| |多选|3/18|多面体概念、空间直线位置关系|概念辨析，如第9题辨析三棱柱、棱台定义| |填空|3/15|组合体体积、异面直线所成角|空间计算，如第13题求正方体中异面直线所成角正弦值| |解答|5/77|圆锥体积与侧面展开、线面垂直与平行、二面角|综合应用，如第15题结合圆锥体积、侧面最短距离及内切球表面积，第19题求二面角正弦值，体现空间观念与推理能力|

第八章《立体几何初步》同步单元必刷卷（基础卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知一个圆台的上、下底面半径分别为，高为，则该圆台的母线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图所示，圆台的轴截面是一个等腰梯形，母线的长度就是线段的长度， 由于圆台的上、下底面半径分别为，高为，因此等腰梯形的上底、下底分别为，高为， 则，即，故B正确. 2．如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 【答案】D 【详解】由题设，A错； 由斜二测画法知，，，， 易知原四边形为直角梯形，， 所以， 四边形的周长为，面积为，B、C错，D对． 3．已知球的半径为R，圆锥的底面半径也为R，母线长为2R，则球与圆锥的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别利用球的体积公式、圆锥的体积公式计算对应体积，再求比值即可得到结果. 【详解】根据球的体积公式，可得，已知圆锥底面半径为，母线长， 可得圆锥的高， 所以，得， ，即球与圆锥的体积之比为. 4．下列说法中正确的是（    ） A．分别在两个平面内的直线是平行直线或异面直线 B．一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条也相交 C．过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行 D．和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线 【答案】C 【详解】对于A，分别在两个平面内的直线可能平行，可能异面，也可能相交，故A错误； 对于B，一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条可能相交，也可能异面，故B错误； 对于C，直线与平面位置关系有三种：在平面内、相交、平行，过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行，故C正确； 对于D，和两条异面直线都相交的两条直线可能相交，也可能异面直线，故D错误. 5．已知两条不同直线，，两个不同平面，，下列命题中正确的是（ ） A．若，，则； B．若，，，，则； C．若，，则； D．若，，，则或与异面 【答案】D 【详解】对选项A：根据线面平行的判定定理，平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，才可推出该直线与此平面平行， 该选项未说明，当时也满足且，故A错误； 对选项B：根据面面平行的判定定理，一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，才可推出两平面平行， 该选项未说明与为相交直线，若，则与可能相交，故B错误； 对选项C：若，则与内的直线无公共点，位置关系为平行或异面，不一定平行，故C错误； 对选项D：若，则与无公共点，因此分别在两平面内的直线、也无公共点，无公共点的两条直线位置关系为平行或异面，故D正确. 6．如图，在三棱柱中，侧棱底面,是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（    ） A．与是异面直线 B．平面 C． D．平面 【答案】C 【详解】对于A：与都在平面内，不是异面关系，故A错误； 对于B：假设平面成立，则有, 而由题可知，即与不垂直， 因此假设不成立，故与平面不垂直，故B错误； 对于C：由题可知该三棱柱为直三棱柱，故平面,平面, . 在正三角形中，是的中点，故. 又平面, 平面又平面, 故C正确； 对于D：取的中点，连接，分别是的中点，故 又，. 因此四点共面，平面, 因此与平面不平行. 故D错误. 故选：C. 7．已知在正方体中，点O为底面ABCD的中心，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，取正方形的中心为E，连接OE，，易知，∴异面直线与所成的角为或其补角. 不妨设正方体的棱长为2，连接，易得，，，∴， 故直线与所成角的余弦值为. 故选：A 8．如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，平面将棱台分成两部分，则三棱锥和四棱锥的体积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知正三角形面积比为边长比的平方， 又因为正三棱台上、下底面边长为和， 因此上下底面积比， 设上底面积，则下底面积， 设棱台的高，即上下底面的距离为， 根据棱台体积公式可得： ， 又因为在上底面，到下底面的距离就是棱台的高， 因此：， ， 因此体积比：. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法不正确的是（   ） A．有两个面是平行且全等的三角形，其他的面都是平行四边形的多面体是三棱柱 B．有两个面相似，其他的面都是梯形的多面体是棱台 C．底面是多边形，侧面都是三角形的多面体是棱锥 D．一个棱柱至少有六个顶点 【答案】ABC 【分析】据棱柱、棱台、棱锥的结构特征逐项判断即可求解. 【详解】 如图所示，上图中的多面体有两个面是平行且全等的三角形，其他的面都是平行四边形，但不是棱柱，故选项A不正确； 如图所示，上图中的多面体有两个面相似，其他的面都是梯形，但不是棱台，故选项B不正确； 如图所示，上图中的多面体底面是多边形，侧面都是三角形，但不是棱锥，故选项C不正确； 顶点最少的棱柱为三棱柱，有六个顶点，故选项D正确. 故选：ABC. 10．下列说法错误的是（     ） A．空间中两条直线的位置关系有平行、垂直和异面三种 B．若空间中两条直线没有公共点，则这两条直线异面 C．和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线 D．若两条直线分别是长方体的相邻两个面的面对角线所在的直线，则这两条直线可能相交，也可能异面 【答案】ABC 【分析】根据空间中两直线的位置关系逐项验证即可求解. 【详解】对于A，空间中两直线的位置关系有三种：平行、相交和异面，故A错误； 对于B，若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面或平行，故B错误； 对于C，和两条异面直线都相交的两直线是异面直线或相交直线，故C错误； 对于D，如图，在长方体中， 当所在直线为，所在直线为时，与相交， 当所在直线为，所在直线为时，与异面， 若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线， 则这两直线可能相交，也可能异面，故D正确.    11．如图所示，在正方体中，为棱中点，点是棱上的一个动点（不包括端点），平面交棱于点，则下列说法正确的是（    ）    A．直线与是异面直线 B．存在点，使得为直角 C．若点是棱上的中点，则直线与所成的角为 D．平面平面 【答案】ACD 【分析】选项A，直线、既不平行也不相交，为异面直线；选项B，假设，通过证明线面垂直发现需要在端点处，因此不存在；选项C，通过线线平行将的夹角转化为的夹角，进而求解夹角；选项D，利用线面垂直的性质得，进而推导出面面垂直. 【详解】选项A，直线、直线，两直线不平行、无交点、不在同一平面， 符合异面直线定义，A正确； 选项B，若，则， 在正方体中平面，平面， 所以，此时，、平面， 则平面，又平面， 故当且仅当点与点重合时成立，此时有， 即点在点处，不符合题意，B错误； 选项C，为中点时，连接， 因为分别为的中点，所以， 在正方体中，所以有， 则的夹角可转化为的夹角， 因为为等边三角形，所以， 即的夹角为，C正确；    选项D，由正方体性质可得平面，又平面，则， 又，且都在平面内，所以平面， 又平面，所以，同理可得， 又且都在平面内，故平面， 又平面，故平面平面，D正确.    三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体，，， 则该组合体的体积为_______________； 【答案】/ 【分析】根据题意，利用锥体和柱体的体积公式，列式计算，即可求解. 【详解】因为该组合体的上半部分是正四棱锥 ，下半部分是长方体， 正四棱锥的高为1， 且， 所以该组合体的体积为：. 13．如图，在正方体中，是的中点，求与两条异面直线所成角的正弦值为________    【答案】 【分析】构造平行线，将异面直线转化为相交直线，在利用余弦定理求解夹角余弦值，最后求解正弦值即可. 【详解】    如图，作//，易知是的中点，连接，故即为所求角， 设正方体的棱长为，由勾股定理得，， 在中，由余弦定理得， 易知，故. 故答案为： 14．边长是的正三角形ABC内接于体积是的球O，则球面上的点到平面ABC的最大距离为_____. 【答案】/ 【分析】先求出的外接圆半径及球的半径，进而求出球心距，由于球面上的点到平面ABC的最大距离为球半径加球心距，即可得到答案． 【详解】边长是的正三角形ABC的外接圆半径＝．因为球的体积为，所以半径＝． ∴球心到平面ABC的距离＝ ． ∴球面上的点到平面ABC的最大距离为＝ ． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．一个圆锥体石膏如图所示，其中S是圆锥的顶点，AB是圆锥底面的一条直径，C是SA的中点，且该圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形． (1)求该圆锥体石膏的体积； (2)若有一只昆虫绕着圆锥体石膏的侧面从B点爬行至C点，求昆虫爬行的最短距离； (3)将该圆锥体石膏打磨成一个球体石膏（损耗忽略不计），求打磨的球体石膏表面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题目条件求得圆锥底面圆半径和高，进而根据圆锥体积公式进行求解； （2）通过展开圆锥侧面，得到B到C的最短距离为线段BC的长度，结合弧长的公式进行求解； （3）将圆锥内切球的半径等价为圆锥轴截面三角形内切圆的半径，结合球体的表面积公式进行求解. 【详解】（1）设为底面圆的半径，为圆锥的高， 因为是边长为8的等边三角形， 所以，， 因此圆锥体石膏的体积. （2）圆锥底面圆的周长，圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长， 设扇形圆心角为，扇形的半径就是圆锥的母线长为8， 所以，解得，即侧面展开图为半圆，如下图所示， ，，，， 所以到的最短距离， 即昆虫爬行的最短距离为. （3）圆锥内可打磨出的最大球体就是圆锥的内切球，此时球的半径最大，表面积也最大， 因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以等边三角形的内切圆半径就是圆锥内切球的半径， 设圆锥内切球的半径为，， 此时球的表面积. 16．如图，在正四棱台中，，，为边上一点，且，为棱上的动点（含端点）． (1)求四棱台的体积； (2)在边上求一点，使得平面，并说明理由； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2)为边上满足的点，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据已知条件得到上下底面正方形的边长，再结合侧棱长求出正四棱台的高，最后代入棱台体积公式计算体积即可. （2）当时满足要求，先可证得，再结合线面平行的判定定理即可推出平面. （3）将侧面和侧面展开到同一平面内，根据两点之间线段最短，可知的最小值就是展开平面中线段的长度，用余弦定理即可计算得结果. 【详解】（1）由题意可知，下底边长 ，上底边长， 上下底面均为正方形，故，， 上下底面中心与同底面各顶点的距离差为： ， 设棱台高为，由勾股定理：，得， 由棱台体积公式可得： . （2）由，,可得， 因为且，故得，则， 如图，若在边上取点，满足，连接, 则因且,故得，则, 故,又因不在平面内，平面,故得平面. 即在边上存在点满足，使得平面. （3）如图将平面沿展开，使平面与平面共面， 因为棱上的动点，的最小值即图中的线段之长. 因，，可得， 则，由余弦定理， 即，故的最小值为. 17．在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面，，，点在直线上. (1)求证：平面平面； (2)在直线上找一点，使得平面，并求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）连接交于，过作交于，连接，，可证明平面，利用几何关系即可求出的长. 【详解】（1）四边形是直角梯形，， ， 又平面平面， ，且平面平面， 又平面平面平面； （2）连接交于，过作交于，连接，. 由平面平面，得平面可得， 又，直角中，，所以. 18．如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上．    (1)若为中点，求证：平面； (2)若，求证； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接交于点，先证明，再由线面平行判定定理证明结论； （2）取的中点，连接，再由线面垂直判定定理可证平面，从而得证； （3）取的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值； 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为是正方形，所以为中点， 所以在中，为中位线，， 又平面，平面，平面；    （2）取的中点，连接， 因为为正三角形，所以， 又，则， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以； （3）取的中点，因为为中点， 所以在中，为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得， 又，所以为锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 19．已知在四棱锥 中，底面是矩形，平面，分别是的中点，且 (1)求证: 平面 (2)求点A到平面的距离. (3)求平面与平面所成锐二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直，再证线线垂直，最后可证明线面垂直； （2）利用等体积法可求点到面的距离； （3）作出二面角的平面角，再利用几何法求出正弦值. 【详解】（1）由平面，平面， 所以， 又由底面是矩形，则， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又由为的中点，所以， 又因为平面，所以平面； （2） 连接，由平面，平面，所以， 又因为，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，所以 又因为是中点，所以， 则，， 由等体积法可得点A到平面的距离满足： ； （3） 延长相交于点，再过点作的垂线，垂足为，连接， 因为平面，，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，又因为平面， 即，又由于， 所以平面与平面所成锐二面角的平面角就是， 因为，分别是的中点， 所以,即， 所以， 平面与平面所成锐二面角的正弦值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章《立体几何初步》同步单元必刷卷（基础卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知一个圆台的上、下底面半径分别为，高为，则该圆台的母线长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 3．已知球的半径为R，圆锥的底面半径也为R，母线长为2R，则球与圆锥的体积之比为（   ） A． B． C． D． 4．下列说法中正确的是（    ） A．分别在两个平面内的直线是平行直线或异面直线 B．一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条也相交 C．过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行 D．和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线 5．已知两条不同直线，，两个不同平面，，下列命题中正确的是（ ） A．若，，则； B．若，，，，则； C．若，，则； D．若，，，则或与异面 6．如图，在三棱柱中，侧棱底面,是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（    ） A．与是异面直线 B．平面 C． D．平面 7．已知在正方体中，点O为底面ABCD的中心，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，平面将棱台分成两部分，则三棱锥和四棱锥的体积比是（     ） A． B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法不正确的是（   ） A．有两个面是平行且全等的三角形，其他的面都是平行四边形的多面体是三棱柱 B．有两个面相似，其他的面都是梯形的多面体是棱台 C．底面是多边形，侧面都是三角形的多面体是棱锥 D．一个棱柱至少有六个顶点 10．下列说法错误的是（     ） A．空间中两条直线的位置关系有平行、垂直和异面三种 B．若空间中两条直线没有公共点，则这两条直线异面 C．和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线 D．若两条直线分别是长方体的相邻两个面的面对角线所在的直线，则这两条直线可能相交，也可能异面 11．如图所示，在正方体中，为棱中点，点是棱上的一个动点（不包括端点），平面交棱于点，则下列说法正确的是（    ）    A．直线与是异面直线 B．存在点，使得为直角 C．若点是棱上的中点，则直线与所成的角为 D．平面平面 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体，，， 则该组合体的体积为_______________； 13．如图，在正方体中，是的中点，求与两条异面直线所成角的正弦值为________    14．边长是的正三角形ABC内接于体积是的球O，则球面上的点到平面ABC的最大距离为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．一个圆锥体石膏如图所示，其中S是圆锥的顶点，AB是圆锥底面的一条直径，C是SA的中点，且该圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形． (1)求该圆锥体石膏的体积； (2)若有一只昆虫绕着圆锥体石膏的侧面从B点爬行至C点，求昆虫爬行的最短距离； (3)将该圆锥体石膏打磨成一个球体石膏（损耗忽略不计），求打磨的球体石膏表面积的最大值． 16．如图，在正四棱台中，，，为边上一点，且，为棱上的动点（含端点）． (1)求四棱台的体积； (2)在边上求一点，使得平面，并说明理由； (3)求的最小值． 17．在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面，，，点在直线上. (1)求证：平面平面； (2)在直线上找一点，使得平面，并求的长. 18．如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上．    (1)若为中点，求证：平面； (2)若，求证； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 19．已知在四棱锥 中，底面是矩形，平面，分别是的中点，且 (1)求证: 平面 (2)求点A到平面的距离. (3)求平面与平面所成锐二面角的正弦值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $