精品解析：辽宁沈阳市第一中学2025-2026学年高二下学期第一次阶段反馈数学试卷

2025-2026学年度（下）沈阳市第一中学 第一次阶段反馈 高二年级数学试卷 命题人：高二数学组 校对人：高二数学组 考试时间：120分钟 考试分数：150分 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题 1. 某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在100-120之间的考生约有（ ）（参考数据：若，则有） A. 1360人 B. 1570人 C. 2720人 D. 3410人 【答案】A 【解析】 【详解】由成绩 近似服从正态分布，得， 则 ，则， 所以分数在100-120之间的考生约有1360人. 2. 已知等差数列的前n项和为，若和的等差中项为6，则（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【详解】设等差数列的公差为， 由题意得，， 则. 3. 通过下表5组数据得到的经验回归方程为，则的值为（ ） 2 3 4 5 6 0.67 0.56 0.47 0.39 0.31 A. B. 0.08 C. D. 0.09 【答案】C 【解析】 【分析】求解，利用经验回归直线经过样本中心点，建立关于的方程并求解即可. 【详解】根据题意可得，， 由，可得， 解得：. 4. 已知实数列为等比数列，其中，是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由韦达定理判断出，，再根据等比数列的性质求出并判断它的正负即可得解. 【详解】因为，是方程的两根， 所以由韦达定理可得，所以，. 因为为等比数列，所以，解得. 若，则，不符合要求，故. 5. 已知随机变量，且，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布特性求出的值，再根据二项分布的方差公式求出，最后代入题中所给等式求解即可． 【详解】正态分布关于均值对称，又， 可得，所以，又， 所以， 由此可得，解得． 6. 对于数列，定义为数列的“优值”，现已知数列的“优值”，记数列的前项和为，则（ ） A. 2027 B. C. 2029 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“优值”定义结合作差法求出，根据等差数列的前项和公式求出，代入求解即可. 【详解】由，得，① ，② ①-②得，即，， 所以． 7. 如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，则小球落入（ ）号格子的概率最大. A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用n次独立重复试验中，小球掉入号格子的概率为，设小球掉入k号格子的概率最大，则，再利用组合数公式，结合题目已知条件进行求解. 【详解】小球下落需要10次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为， 小球掉入0号格子，需要向左10次，则概率为； 小球掉入1号格子，需要向左9次，向右1次，则概率为； 小球掉入2号格子，需要向左8次，向右2次，则概率为； 小球掉入3号格子，需要向左7次，向右3次，则概率为； 依此类推，小球掉入号格子，需要向左 次，向右k次，概率为， 设小球掉入k号格子的概率最大，显然 ， 则，即， 即 解得， 又k为整数，， 则小球落入7号格子的概率最大. 故选：C 8. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则错误的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，即可判断ABC，然后逐一列举，即可判断D. 【详解】由题意可知，要使得次传球后球在甲手中，则第次球必定不在甲手中， 所以，，即， 因为 ，则，所以，， 则数列是以为首项，以为公比的等比数列，故B正确； 则，即， 对于A，，故A正确； 对于C，由，可得，故C错误； 对于D，若第4次传球后球在甲手中，则第3次传球后球必不在甲手中，设甲，乙，丙对应于 ， 则不同的传球方式有：①，②， ③，④，⑤， ⑥，故共有6种情况，故D正确. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（    ） A. 数据，，，，，的分位数为 B. 若随机变量，且，则 C. 若数据的平均数为2，则数据的平均数为0 D. 在独立性检验中，的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小 【答案】AC 【解析】 【详解】A选项：由，可知数据的分位数为从小到大排列的第二个数，即为；故A正确； B选项：由正态分布的对称性可知，， 即，解得，B选项错误； C选项：数据的平均数为2，则数据的平均数为，C选项正确； D选项：在独立性检验中，的观测值越大，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小，D选项错误. 10. 已知等差数列的公差为 ，其前项和为，且，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】由，得或， 即或，显然，故B正确； 则，故A正确； 对于C，当时，有， 此时，等差数列为递增数列，则，故C错误； 对于D，当时，有， 解得，则，故D正确. 11. 若数列的前n项和为，首项 ，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. 当n为偶数时， D. 数列的前n项和为，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由条件求出，即可判断A；由条件证明是等比数列，进而求出数列的通项公式，即可判断B，C；利用分组求和，错位相减求和及并项求和求出，进而求出，即可判断D. 【详解】因为 ，故A正确； 由，可得， 即.又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. 所以当n为偶数时，，故B错误，C正确； 由上可得. 令数列的前项和为，则， 即①， 两边同时乘以3可得②， 用①的两边减去②的两边可得 ，所以. 令数列的前项和为，则. 所以 所以 ，故D错误. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题 12. 设公差不为0的等差数列的前n项和为，，若，，成等比数列，则____________ 【答案】## 【解析】 【分析】综合运用等差数列与等比数列性质即可求解. 【详解】，， 设数列公差为， 由，，成等比数列可得 ，即, 解得，，或 (舍)， . 13. 已知不透明盒子中装有4个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数字2，0，2，6，每次随机抽取1个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4次，记 为抽到数字2，0，6的次数的最大值，则 的数学期望______． 【答案】 【解析】 【详解】由题设，每次抽取的概率为，抽取的概率为，抽取的概率为. 可取， 当 时，4次中有两个元素各出现两次，或者4次中三个都出现，其中有一个元素出现两次，其余两个元素各出现一次， 故， 当 时，4次中有一个元素抽到4次，故， 故， 故 的分布列如下： 故. 14. 如图，由观测数据的散点图可知，与 的关系可以用模型拟合，设，利用最小二乘法求得关于的回归方程为．已知，，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】先通过对数变换将非线性回归转化为线性回归，求出变换后变量的样本中心点，再根据回归直线过样本中心点列出方程，解出回归系数. 【详解】由可得，由可得 ， 由回归方程必过样本中心点，即过点，所以，解得． 故答案为：. 四、解答题 15. 某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下： 企业 研发投入（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数（件） 3 5 7 6 9 10 11 （1）现从这7家企业中随机抽取1家.记事件：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件：抽到的企业“专利产出数超过8件”. （i）求条件概率的值； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由； （2）从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望. 【答案】（1）（i）； （ii）不相互独立，理由如下： 法1：利用条件概率： ，， ， 所以，不相互独立. 法2：利用独立性定义： ，， ， 所以，不相互独立. （2） X 0 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）（i）已知和，用条件概率公式计算. （ii）法1：比较和判断；法2：验证与是否相等判断. （2）利用超几何分布概率公式计算概率得分布列，再用期望公式求. 【小问1详解】 （i），， . （ii）事件M与N不相互独立，理由略 【小问2详解】 这7家企业中，专利产出数大于6的企业有4家，所以 的所有可能取值为 ， （ 服从超几何分布，） ，， ，， 故 的分布列为： X 0 1 2 3 P 故 的数学期望. 16. 已知数列 的前n项和，，数列 满足. （1）求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）证明如下： 由，得（）， 当时，（）， ∴，化为， ∵，∴， 即当时，， 令，可得，即． 又， ∴数列是首项和公差均为1的等差数列． 于是，∴． （2） 【解析】 【分析】（1）当时，可得，当时，，即可推出，可得，即可求证数列是等差数列，求出的通项公式，进而可得数列的通项公式； （2）由（1）知，求出，利用错位相减法和分组求和法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，∴， 故. 令， ∴， ∴， ∴，∴. 17. 某超市正在销售一种饮品，销售人员发现日销售量与当日的气温有关，随着气温的升高，销售量也有明显的增加，如表是该超市连续五天的日销售情况： 温度 温度变量 1 2 3 4 5 销售量/万份 0.3 0.3 0.5 0.9 1 其中，温度变量对应的销售量为. （1）建立销售量关于温度变量的一元线性回归模型，并估计温度在区间时该饮品的日销售量. （2）为了了解消费群体中男､女对该饮品的喜欢程度，销售人员随机采访了220名消费者，将他们的意见进行统计，得到了列联表为： 喜欢 一般 合计 女 90 20 110 男 70 40 110 合计 160 60 220 依据小概率值的独立性检验，分析对饮品的喜欢程度是否与性别有关联？ （3）超市销售该饮品一个阶段后，统计了100天的日销售量，将100个样本数据分成，，，，（单位：千份）五组，并绘制了如图的频率分布直方图.根据频率分布直方图估计这100天的日均销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）. 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），1.2万份； （2）认为对饮品的喜欢程度与性别有关； （3）6300份. 【解析】 【分析】（1）求出，，，代入得到，求出，销售量关于温度变量的线性回归方程，代入，求出，从而得到温度在区间时的该饮品的日销售量. （2）先进行零假设为：对饮品的喜欢程度与性别相互独立，即对饮品的喜欢程度与性别无关联，利用公式求出，进行比较得到结论； （3）设这100天的日均销售量为，求出，从而得到这100天的日均销售量. 【小问1详解】 ， ， ，所以， ，销售量关于温度变量的线性回归方程为， 当. 所以温度在区间时的该饮品的日销售量估计为1.2万份. 【小问2详解】 零假设为：对饮品的喜欢程度与性别相互独立，即对饮品的喜欢程度与性别无关联. . 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对饮品的喜欢程度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01. 【小问3详解】 设这100天的日均销售量为， 则，所以这100天的日均销售量为6300份. 18. 记各项均为正数的数列的前项和为，已知． （1）证明：数列为等差数列； （2）记，数列的前项和为，若存在正整数，使得，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析. （2） 【解析】 【分析】（1）先求首项，然后通过递推作差得到等差数列的证明. （2）将数列代入，通过裂项相消求得，代入不等式，分离参数，转化为最值问题求解. 【小问1详解】 因为，所以当时，， 因为，整理得，所以. 又，所以.当，， 展开移项化简，因式分解 ， 因为各项均为正数，所以 ，所以， 数列是以为首项，为公差的等差数列，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，所以. , 要使，即，整理得， 因为在上递减，所以当时取得最大值为. 因为存在正整数，使得，所以，所以. 19. 在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择： 方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. （1）物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； （2）物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种. 记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率. 【答案】（1） （2）（i），， 设第n次物流选择方案A，B，C为事件，，，第n次物流提前送达为事件， 则，，，因为 ，所以， 所以. 由②根据全概率公式 ， 注意到，， 而， 所以 ， 同理 . 注意到 ， 且 ，所以 ， 故为定值， 即 是以为首项，为公比的等比数列. （ii）能 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式进行求解即可； （2）（i）利用全概率公式，结合等比数列的定义进行求解即可； （ii）根据（i）的结论，结合指数函数的单调性进行求解即可. 【小问1详解】 设选择方案A，B，C分别为事件A，B，C，物流提前送达为事件Z， 则， ，，， . 【小问2详解】 （i）由①知道. 由②根据全概率公式 ， . （ii）由（i）可求， 同理 ， 所以， 联立解得，， 所以. 随着的增大，增大，注意到，所以当 时，， 因此从第2次起，智能自适应调度系统能逐步提高物流提前送达的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（下）沈阳市第一中学 第一次阶段反馈 高二年级数学试卷 命题人：高二数学组 校对人：高二数学组 考试时间：120分钟 考试分数：150分 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题 1. 某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在100-120之间的考生约有（ ）（参考数据：若，则有） A. 1360人 B. 1570人 C. 2720人 D. 3410人 2. 已知等差数列的前n项和为，若和的等差中项为6，则（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 3. 通过下表5组数据得到的经验回归方程为，则的值为（ ） 2 3 4 5 6 0.67 0.56 0.47 0.39 0.31 A. B. 0.08 C. D. 0.09 4. 已知实数列为等比数列，其中，是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量，且，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 对于数列，定义为数列的“优值”，现已知数列的“优值”，记数列的前项和为，则（ ） A. 2027 B. C. 2029 D. 7. 如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，则小球落入（ ）号格子的概率最大. A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则错误的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种 二、多选题 9. 下列说法正确的是（    ） A. 数据，，，，，的分位数为 B. 若随机变量，且，则 C. 若数据的平均数为2，则数据的平均数为0 D. 在独立性检验中，的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小 10. 已知等差数列的公差为 ，其前项和为，且，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 11. 若数列的前n项和为，首项 ，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. 当n为偶数时， D. 数列的前n项和为，则 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题 12. 设公差不为0的等差数列的前n项和为，，若，，成等比数列，则____________ 13. 已知不透明盒子中装有4个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数字2，0，2，6，每次随机抽取1个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4次，记 为抽到数字2，0，6的次数的最大值，则 的数学期望______． 14. 如图，由观测数据的散点图可知，与 的关系可以用模型拟合，设，利用最小二乘法求得关于的回归方程为．已知，，则________． 四、解答题 15. 某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下： 企业 研发投入 （万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数（件） 3 5 7 6 9 10 11 （1）现从这7家企业中随机抽取1家.记事件：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件：抽到的企业“专利产出数超过8件”. （i）求条件概率的值； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由； （2）从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望. 16. 已知数列 的前n项和，，数列 满足. （1）求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式； （2）求数列的前n项和. 17. 某超市正在销售一种饮品，销售人员发现日销售量与当日的气温有关，随着气温的升高，销售量也有明显的增加，如表是该超市连续五天的日销售情况： 温度 温度变量 1 2 3 4 5 销售量/万份 0.3 0.3 0.5 0.9 1 其中，温度变量对应的销售量为. （1）建立销售量关于温度变量的一元线性回归模型，并估计温度在区间时该饮品的日销售量. （2）为了了解消费群体中男､女对该饮品的喜欢程度，销售人员随机采访了220名消费者，将他们的意见进行统计，得到了列联表为： 喜欢 一般 合计 女 90 20 110 男 70 40 110 合计 160 60 220 依据小概率值的独立性检验，分析对饮品的喜欢程度是否与性别有关联？ （3）超市销售该饮品一个阶段后，统计了100天的日销售量，将100个样本数据分成，，，，（单位：千份）五组，并绘制了如图的频率分布直方图.根据频率分布直方图估计这100天的日均销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）. 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 记各项均为正数的数列的前项和为，已知． （1）证明：数列为等差数列； （2）记，数列的前项和为，若存在正整数，使得，求的取值范围． 19. 在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择： 方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. （1）物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； （2）物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种. 记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $