精品解析：辽宁沈阳市第五中学2025-2026学年下学期高二4月质量监测数学学科

2025-2026下学期高二4月质量监测数学学科 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 数列满足，则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 2. 盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（   ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 54 B. 90 C. 84 D. 100 4. 一名职业篮球运动员在某场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为，且随机变量，则（ ） A. 7.6 B. 7.4 C. 7.2 D. 7 5. 某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分，得分分及以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一、高二、高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是（ ） A. B. C. D. 6. 数列满足，，若成立，则正整数的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 已知等差数列的前项和为，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列中，，，，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做．下列表述正确的是（ ） A. 甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是 B. 乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是 C. 丙同学随机选择选项，能得分的概率是 D. 丁同学随机至少选择两个选项，能得5分的概率是 10. 已知数列是公差为的等差数列，其前项和为，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 时，取最大值 11. 已知等比数列的前项和，数列的前项积为，则（ ） A. B. C. D. 数列是等差数列 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量的概率分布如表且，则______. 1 2 4 13. 数列满足，n为正整数.若数列是严格增数列，则实数a的取值范围为_________. 14. 已知数列满足，，，若存在正整数m使得恒成立，则______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球 （1）求取出的3个球中有2个白球的概率； （2）设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 16. 已知等比数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. 甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，，，各项目的比赛结果相互独立． （1）若，求甲得4分的概率； （2）要使甲获胜的概率大，求的取值范围． 18. 已知数列的首项，，，，． （1）求证：数列为等比数列； （2）记，若，求最大正整数． 19. 已知数列满足，. （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为. （i）求； （ii）若，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026下学期高二4月质量监测数学学科 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 数列满足，则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，依次计算即得. 【详解】数列中，， . 故选：B 2. 盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（   ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得随机变量服从二项分布，随机变量服从超几何分布，进而根据二项分布求，根据超几何分布求，即可得结果. 【详解】由题意可知：，则，， Y的可能取值为0，1，2， 则，，， 可得， ， 所以. 故选：B. 3. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 54 B. 90 C. 84 D. 100 【答案】D 【解析】 【分析】设出公差后借助等差数列前项和公式计算即可得. 【详解】设等差数列的公差为， 则有，解得， 则. 故选：D. 4. 一名职业篮球运动员在某场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为，且随机变量，则（ ） A. 7.6 B. 7.4 C. 7.2 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】先求出这组数据的分位数为，再利用二项分布的期望公式求解即可. 【详解】把个数据按照从小到大的顺序排序得：，，，，，，，， ，所以这组数据的分位数为第位数字，即， 即，所以. 故选：A. 5. 某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分，得分分及以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一、高二、高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全概率公式计算即可. 【详解】高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是， 其中高一、高二、高三年级人数比为， 根据全概率公式可得：全校“优秀率”为. 故选：C. 6. 数列满足，，若成立，则正整数的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】由可得数列为等差数列，则可得通项公式，从而可得，再利用裂项相消法计算可得，最后解出不等式即可得. 【详解】由，则，即， 又，故数列是以为首项，为公差的等差数列， 故，故； 则， 则， 令，解得，故正整数的最大值为. 故选：D. 7. 已知等差数列的前项和为，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，再解不等式即可. 【详解】因为， 看作关于的二次函数，其图象是过原点的抛物线。 由可知，该抛物线开口向下，所以公差。 又，若，结合可知，与矛盾，故 所以 所以， 所以的取值范围是， 故选：A. 8. 已知数列中，，，，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由整理得到，设，则， ，由求出，利用累加法得到，由对于任意的，，不等式恒成立，得到对于任意的，，不等式恒成立，即对于任意的恒成立，设，则对于任意的恒成立，则，计算此不等式组即为所求. 【详解】，， ，， ，， ， 设，则， ，，， ，， 对于任意的，，不等式恒成立， 对于任意的，，不等式恒成立， 对于任意的恒成立， 设，则对于任意的恒成立， 则，即，解得或. 故实数的取值范围为. 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做．下列表述正确的是（ ） A. 甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是 B. 乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是 C. 丙同学随机选择选项，能得分的概率是 D. 丁同学随机至少选择两个选项，能得5分的概率是 【答案】ABC 【解析】 【分析】分别分析甲、乙、丙、丁四位同学随机选择选项的情况，计算各自能得分的概率，逐一判断即可. 【详解】对于A：甲同学仅随机选一个选项，能得3分的情况为在中选择或， 所以其概率为，故A正确； 对于B：乙同学仅随机选两个选项，能得5分的情况为在中选择， 所以其概率为，故B正确； 对于C：丙同学随机选择选项，能得分的情况为在中选择中的一种， 所以其概率为，故C正确； 对于D：丁同学随机至少选择两个选项，能得5分的情况为在中选择， 所以其概率为，故D错误； 10. 已知数列是公差为的等差数列，其前项和为，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 时，取最大值 【答案】ABCD 【解析】 【分析】根据已知条件，结合等差数列的前项和公式，求出，再结合等差数列的性质，求出，再结合等差数列前项和的定义，即可求解． 【详解】， 则， 故， 所以，故AB正确， ， 则，即，故C正确； 由， 则时，取最大值，故D正确． 故选：ABCD． 11. 已知等比数列的前项和，数列的前项积为，则（ ） A. B. C. D. 数列是等差数列 【答案】AC 【解析】 【分析】根据之间的关系，结合等比数列的定义、等差数列的定义和前项和公式逐一判断即可. 【详解】对于A：由， 由，因为是等比数列，所以有，因此本选项正确； 对于B：由上可知：，所以本选项不正确； 对于C：，所以本选项正确； 对于D：因为常数 ， 所以数列不是等差数列，因此本选项不正确， 故选：AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量的概率分布如表且，则______. 1 2 4 【答案】16 【解析】 【分析】利用概率分布的性质以及条件解方程可得答案. 【详解】由概率分布的性质，有，即， 又由 ，得， 又， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 数列满足，n为正整数.若数列是严格增数列，则实数a的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意列不等式即可求解. 【详解】由题意若数列是严格增数列，则当且仅当，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知数列满足，，，若存在正整数m使得恒成立，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】利用与的关系可得，进而可得，利用作差法找出数列的最大项即可求解. 【详解】，当时，， 当时，， 所以， 所以，时也适合， 所以，， 所以，， ，， 当时，，即， 当时，，即， 所以当时，最大， 即对任意，均有， 所以存在正整数，使得恒成立. 故答案为：8. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球 （1）求取出的3个球中有2个白球的概率； （2）设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）应用超几何分布的概率公式求概率即可. （2）先分别应用超几何分布的概率公式求出对应概率，再写出分布列，再求数学期望即可. 【小问1详解】 所求概率为 【小问2详解】 X可能的取值为0，1，2. ， . 故X的分布列为 0 1 2 故. 16. 已知等比数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设的公比为，根据等比数列通项公式和求和公式求解即可； （2）利用裂项相消即可求解. 【小问1详解】 设的公比为，由，得， 由，得，解得 所以． 【小问2详解】 由，得 所以． 17. 甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，，，各项目的比赛结果相互独立． （1）若，求甲得4分的概率； （2）要使甲获胜的概率大，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接用独立概率乘法求甲恰好赢两局的概率，相加即可； （2）先分析甲获胜的条件是赢至少两局，分别求出赢两局和赢三局的概率，总胜率表达为的一次函数，从而得到不等式，得到，结合得范围. 【小问1详解】 甲得分规则：每个项目胜得分，负得分，总得分可能为， 甲得4分，说明他三局中赢局、输局， 三个项目胜率分别为：， 赢2局的可能情形： 赢第1、2局，输第3局，概率， 赢第1、3局，输第2局，概率， 赢第2、3局，输第1局，概率， 总概率：， 所以：甲得分的概率为； 【小问2详解】 由题意可得个项目一共分，总共分或分者即可取胜， 则甲得分的概率为， 甲得分的概率为， 所以甲得分或分的概率为， 故乙得分或分的概率为， 要使甲获胜的概率大，所以，， 结合概率范围，得. 18. 已知数列的首项，，，，． （1）求证：数列为等比数列； （2）记，若，求最大正整数． 【答案】（1）证明：，， 可得，又， 数列为等比数列，首项为，公比为． （2）99 【解析】 【分析】（1）根据题设可得，进而求证即可； （2）由（1）得，再利用分组求和法求出，进而求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，， ， 由，则， 在定义域内单调递增， 且时，，时，， 所以． 19. 已知数列满足，. （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为. （i）求； （ii）若，，求的取值范围. 【答案】（1） 由，则， 即有，又， 故数列为以为首项，为公差的等差数列， 则，故； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）对左右同除后，结合等差数列定义即可得证，再利用等差数列性质计算即可得的通项公式； （2）（i）借助错位相减法计算即可得；（ii）由题意可得，构造数列，借助作商法可得数列单调性，即可求出数列的最大值，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）， 则， ， 则 ， 则； （ii），即， 整理得，令， 令，解得，又，故， 则数列在时，单调递增，在时，单调递减， 又， 故的最大值为，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $