10.1.1 复数的概念 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

10.1 复数及其几何意义 10.1.1 复数的概念 新授课 导入：一个数集连同规定的运算以及满足的运算律叫做个数系. 当问题在当前数系下无法解决时，数学家们会尝试引入新的数扩充数系使问题变得可解. 负整数 正分数 有理数 无理数 实数 正整数 计数 过程 整数 扩充 3 − 5 = ? 3 ÷ 5 = ? 分数 扩充 x2 = 2 0 负分数 扩充 思考：对于方程 x2 + 1 = 0，该如何扩充新的数系才能使方程变得可解呢？ 1. 了解引入复数的必要性； 2. 理解复数的概念及代数形式，掌握实数、虚数、纯虚数之间的关系； 3. 理解两个复数相等的充要条件. 新课讲授 学习目标 课堂总结 3 问题 1：阅读课本25 ~ 26 页“虚数单位”的推导，说说你对“i”的理解？ 知识点 1：复数的概念 为了解决方程 x2 + 1 = 0 在实数系中无解的问题，特此引入一个虚数单位 i，并规定： （1）i 的平方等于 – 1，即 i2 = – 1； （2）i 可与实数进行四则运算，且进行四则运算时，原有运算律依然成立. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 2：运用虚数单位 i 表示下列数： （1）2 与 i 的和； （2）3减去 i ； （3）5与ⅰ的乘积. （1）2 + i ； （2）3 – i ； （3）5i. 小结： ① 实数 a 与 i 的和记作 a + i，且实数 0 与 i 的和为 i； ② 实数 b 与 i 的积记作 bi，且实数 0 与 i 的积为 0，实数 1 与 i 的积为 i； ③ 实数 a 与实数 b 和 i 相乘的结果相加，结果记作 a + bi. 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念生成 一般地，当 a 与 b 都是实数时，称 a + bi 为复数. 复数常用小写字母 z 表示，即 z = a + bi (a，b∈R). 其中 a 称为 z 的实部，b 称为 z 的虚部，分别记作 Re(z) = a，Im(z) = b. 所有复数组成的集合称为复数集，常用大写字母 C 表示，因此 C = { z | z = a + bi，a，b∈R }. 例如：2 + (–3)i ∈C，是实部为 2 且虚部为 – 3 的复数，简写为 2 – 3i； – 1 – 2i ∈C，是实部为 1 且虚部为 2 的复数. 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 2：复数的分类 任意一个复数都由实部与虚部唯一确定，对于复数 z = a + bi (a，b∈R)： （1）当且仅当 b = 0 时，它叫做 实数； （2）当且仅当 b ≠ 0 时，它叫做 虚数； （3）当且仅当 a = 0，b ≠ 0 时，它叫做 纯虚数； （4）当且仅当 a = b = 0 时，它是 实数 0. 例如：复数 3 是一个实数，复数 1 – i 是一个虚数，复数 – 2i 是一个纯虚数. 问题 3：结合上述分类，说一说复数集 C 与实数集 R 之间有什么关系？ C = { z | z = a + bi，a，b∈R }. 新课讲授 学习目标 课堂总结 实数集 R 是复数集 C = { z | z = a + bi，a，b∈R } 的真子集，即 R ⫋ C . 虚数集 纯虚数集 实数集 归纳总结 实数 (b = 0) 复数 虚数 (b ≠ 0) 纯虚数 (a = 0，b ≠ 0) 非纯虚数 (a ≠ 0，b ≠ 0) 复数集 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1 ：分别求实数 x 的取值，使得复数 z = (x – 2) + (x + 3)i （1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数. 典例剖析 分析：因为 x 是实数，所以 z 的实部是 x – 2，虚部是 x + 3；然后由复数 z = a + bi 是实数、虚数与纯虚数的条件可以确定 x 的值. 解：（1）当 x + 3 = 0，即 x = –3 时，复数 z 是实数； （2）当 x + 3 ≠ 0，即 x ≠ –3时，复数 z 是虚数； （3）当 x – 2 = 0 且 x + 3 ≠ 0，即 x = 2 时，复数 z 是纯虚数. 新课讲授 学习目标 课堂总结 判断下列命题是否正确： （1）复数 2 + 3i 的虚部是 3i； （ ） （2）若 a、b 为实数，则 z = a + bi 为虚数； （ ） （3）如 a + bi (b∈R) 的数一定是虚数； （ ） （4）若 b 为实数，则 z = bi 必为纯虚数； （ ） （5）若 a 为实数，则 z = a 一定不是虚数. （ ） √ × × × × 练一练 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 3：两个复数相等 两个复数 z1 与 z2，如果实部与虚部都对应相等，即这两个复数相等，记作 z1 = z2. 如果 a，b，c，d 都是实数，那么 a + bi = c + di ⇔ a = c 且 b = d. 特别地，当 a，b 都是实数时，a + bi = 0 的充要条件是 a = 0 且 b = 0. 注意： ① 两个复数，如果不全是实数，不能比较大小，只能判断是否相等； 例如：2 + i 与 3 + i，2 与 2i 之间都不能大小； ② 不能将虚数与 0 比较大小，即不能说虚数是正数还是负数. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：分别求满足下列关系的实数 x 与 y 的值. （1）(x + 2y) – i = 6x + (x – y)i； （2）(x + y + 1) – (x – y + 2)i = 0. 典例剖析 解：（1）根据复数相等的定义，得 ， 解这个方程组，得 x = ，y = ； （2）由复数等于 0 的充要条件，得 ， 解这个方程组，得 x = ，y = . 新课讲授 学习目标 课堂总结 已知 (2x – 1) + i = y – (3 – y)i，其中 x、y ∈ R，求 x 与 y 的值. 解：根据复数相等的定义，得方程组 ， 解得 分析：根据两个复数相等的充要条件建立关系式求解. 练一练 方法小结： ① 已知两个复数相等，根据复数相等的充要条件列出方程 (组) 求解； ② 当两个复数相等时，应先分清两个复数的实部与虚部，然后让实部与实部相等，虚部与虚部相等. 新课讲授 学习目标 课堂总结 要点概括整合 实数 (b = 0) 复数 虚数 (b ≠ 0) 纯虚数 (a = 0，b ≠ 0) 非纯虚数 (a ≠ 0，b ≠ 0) 复数的相等 新课讲授 课堂总结 学习目标 $