精品解析：河南南阳市镇平县第一高级中学2025-2026学年高三下学期二模检测（一）数学试卷

2025-2026学年高三下学期二模检测（一） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6 3. 在三棱锥中，底面，，，.若的面积为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）. A. B. C. D. 4. 若函数的定义域内存在，使得成立，则称为“互补函数”．下列函数为“互补函数”的是（　　） A. B. C. D. 5. 口袋内有大小、质地相同的红球2个，黄球、蓝球各1个．依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知正项数列的前项和满足，若，记表示不超过的最大整数，则（ ） A. 37 B. 38 C. 39 D. 40 7. 已知函数的部分图象如图所示，为图象与轴交点且满足为等边三角形，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，为椭圆的右顶点，连接交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若复数满足，则在复平面对应的点是 D. 若是关于的方程的一个根，则 10. 某工厂有3个生产车间加工同一型号的零件，已知第1，2，3号车间加工的零件数之比为.在某次产品抽检中，1号车间的合格率为80%，2号车间的合格率为70%，3号车间的合格率为75%，从该工厂随机抽取一个零件.记事件“该零件合格”，事件“该零件由号车间加工”，则（ ） A. B. 与均不相互独立 C. D. 若从这次抽检的合格零件中随机抽取一个，则该零件来自1号车间的概率最大 11. 已知直线与双曲线交于，两点，，是的左，右焦点，为坐标原点，且，，则下列结论正确的是（     ） A. 的离心率为 B. C. 到的距离为 D. 到和的距离之和为 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围是 __________ ． 13. 已知函数，，若成立，则的最小值为______． 14. 已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为4，已知，过的平面分别交其他侧棱于，，则四棱锥的体积为__________. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，角，，的对边分别为，，，若，且的面积为. （1）求的值； （2）若，求边上的高. 16. 记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列. （1）求的通项公式； （2）数列满足，求数列的前n项和. 17. 在平面直角坐标系中，抛物线，直线，且l与C交于P，Q两点.构造点列如下：设的坐标为，直线，与C的另一个交点分别为，，直线与x轴的交点为.设点的坐标为. （1）若的面积为，求l的斜率； （2）用，表示直线的方程； （3）设的面积为，求的最大值. 18. 如图，在斜三棱柱中，侧面底面，是等腰直角三角形，，是边长为2的等边三角形. （1）求点到平面的距离； （2）求二面角的正弦值. 19. 已知函数，其中． （1）证明：当时，； （2）当时，证明：对任意，； （3）若是的极小值点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三下学期二模检测（一） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将集合化简，再利用交集定义求解出. 【详解】由题得集合， 又，所以. 故选：D. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算及共轭复数、虚部的概念求解即可. 【详解】因为， 所以，所以的虚部为3. 故选：C 3. 在三棱锥中，底面，，，.若的面积为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算三角形外接圆的半径，再求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积. 【详解】设是等腰三角形的外心， 由，， ， 设三角形外接圆半径为，由正弦定理得， 设三棱锥外接球球心为，半径为，则， 所以外接球的表面积为. 故选：D 4. 若函数的定义域内存在，使得成立，则称为“互补函数”．下列函数为“互补函数”的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐项计算定义域内是否存在，使得成立即可得. 【详解】对A：令，则，若，则，矛盾， 故不是“互补函数”，故A错误； 对B：令，则，存在如，使其成立， 故是“互补函数”，故B正确； 对C：令，则，由， 则时，，矛盾，故不是“互补函数”，故C错误； 对D：令，则，由， 则，矛盾，故不是“互补函数”，故D错误. 故选：B. 5. 口袋内有大小、质地相同的红球2个，黄球、蓝球各1个．依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件， “第一次摸到蓝球”为事件，“第一次摸到黄球”为事件， 则， 所以. 6. 已知正项数列的前项和满足，若，记表示不超过的最大整数，则（ ） A. 37 B. 38 C. 39 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】根据和的关系，消去，可得数列是等差数列，求出，再根据放缩和裂项相消法即可求出，从而根据新定义解出. 【详解】因为， 当时，，，． 当时，由及， 即，所以， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列， 因此，则， ， 又当时，， ， 对于， ， 即， ． 故选：B. 7. 已知函数的部分图象如图所示，为图象与轴交点且满足为等边三角形，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出相邻两条对称轴方程，进而求出值. 【详解】观察图象得，正的高为，则，又，因此， 线段中垂线方程分别为，即是函数图象相邻两条对称轴， 则函数的最小正周期，所以. 故选：C 8. 已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，为椭圆的右顶点，连接交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线的性质得到，利用相似三角形的性质得到，再结合余弦定理得到，进而得到，最后构建齐次方程求解离心率即可. 【详解】如图，连接，因为为椭圆的上顶点，所以， 因为，所以，故， 解得，设，，则， ，由余弦定理有， 即，解得， 因为，所以， 化简得，即， 整理得，解得，故B正确. 故选：B． 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若复数满足，则在复平面对应的点是 D. 若是关于的方程的一个根，则 【答案】CD 【解析】 【分析】结合模长公式和复数的乘方运算，举反例判断AB，根据复数的四则运算及复数的几何意义可判断C，得到为方程的另一个根，根据韦达定理即可判断D. 【详解】若，则不一定成立，比如， 满足，但，不满足，A选项错误； 比如，满足， 由复数定义可知，两个复数不能比大小，故大小无法判断，B选项错误； ， 所以在复平面对应的点是，C选项正确； 若是关于的方程的一个根， 则为方程另一个根， 故，即，D选项正确. 故选：CD 10. 某工厂有3个生产车间加工同一型号的零件，已知第1，2，3号车间加工的零件数之比为.在某次产品抽检中，1号车间的合格率为80%，2号车间的合格率为70%，3号车间的合格率为75%，从该工厂随机抽取一个零件.记事件“该零件合格”，事件“该零件由号车间加工”，则（ ） A. B. 与均不相互独立 C. D. 若从这次抽检的合格零件中随机抽取一个，则该零件来自1号车间的概率最大 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，结合互斥事件的概率加法，以及条件概率的计算公式，逐项求解，即可求解. 【详解】由题意得：，，， 可得， 则，所以A正确； 由，则，所以与相互独立， 所以B错误； 因为，所以， 所以，所以C正确； 由题意这次零件抽检中，1号、2号、3号车间生产零件合格数之比为， 所以从这次抽检的合格零件中随机抽取一个， 则该零件来自1号车间的概率为， 该零件来自2号车间的概率为， 该零件来自3号车间的概率为， 所以该零件来自3号车间的概率最大，故D错误. 故选：AC. 11. 已知直线与双曲线交于，两点，，是的左，右焦点，为坐标原点，且，，则下列结论正确的是（     ） A. 的离心率为 B. C. 到的距离为 D. 到和的距离之和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据余弦定理求出双曲线的离心率，根据斜率的定义求出，根据点到直线的距离公式判断C，结合图形根据几何性质判断D. 【详解】如图，设的焦距为，由对称性知，又 得，所以，，又， 得，故，A正确； 在中，有，故 在中，， 所以，B正确； 到的距离为，C错误； 分别过，作，与垂直，垂足分别为，， 由为的中点知，到的距离为， 同理到的距离为，所以到和的距离之和为，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围是 __________ ． 【答案】 【解析】 【分析】利用极化恒等式得出数量积的表达式，再由的取值范围计算可得结果. 【详解】由动点关于圆心对称可得，且， 易知, 所以， 因此. 13. 已知函数，，若成立，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】令，求出，构造函数利用函数导数求最值即可. 【详解】若成立，由， 设， 则由， ， 所以 设， 所以， 由与在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 令， 所以当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以的最小值， 故答案为：. 14. 已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为4，已知，过的平面分别交其他侧棱于，，则四棱锥的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据正四棱锥的性质与共面向量基本定理求得，结合图形，利用三棱锥与三棱锥的关系求出，同理求出即得答案. 【详解】如图，设，连接，设交点为，则点正四棱锥的底面中心，连接， 因，则. 易得，而，， 代入可得，整理得， 因在同一个平面上，由共面向量基本定理，可得， 解得，即. 因，而， 对于三棱锥与三棱锥，共顶点，且， 则； 对于三棱锥与三棱锥，共顶点，且， 则. 故. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，角，，的对边分别为，，，若，且的面积为. （1）求的值； （2）若，求边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平方关系求得，结合三角形面积公式求解； （2）由已知条件结合正弦定理求得，再根据余弦定理求得，利用三角形面积公式求得答案. 【小问1详解】 因为，，所以， 又的面积，所以， 所以. 【小问2详解】 由正弦定理得，则，所以， 由余弦定理，，解得， 即，又的面积， 解得，即边上的高为. 16. 记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列. （1）求的通项公式； （2）数列满足，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据等差数列的定义写出的表达式，再利用得到递推关系，最后累乘求出通项公式. (2)先化简的表达式，再用错位相减法求出数列的前项和. 【小问1详解】 由得，又是公差为的等差数列，故，即； 当时，，两式相减得， 累乘得：， 所以通项公式为：. 【小问2详解】 由，代入得：，用错位相减法求： ， ， 两式相减得：， 整理后得：. 17. 在平面直角坐标系中，抛物线，直线，且l与C交于P，Q两点.构造点列如下：设的坐标为，直线，与C的另一个交点分别为，，直线与x轴的交点为.设点的坐标为. （1）若的面积为，求l的斜率； （2）用，表示直线的方程； （3）设的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求出，再求点到直线的距离，由列方程，由此求得直线的斜率； （2）设直线上的任意一点为，再求，，即可表示出直线的方程，再利用化简即可； （3）联立直线与抛物线方程，求出的坐标，再结合第（2）问化简直线的方程，求出和坐标，再通过构造等比数列求出的通项公式以及利用面积公式求出并化简，最后利用的范围即可求出的最大值. 【小问1详解】 设，联立，得， 则， 则 ， 又点到直线的距离， 则， 解得，满足，所以直线的斜率. 【小问2详解】 因，在抛物线上，则， 设直线上的任意一点为， 则，， 则直线的方程为， 则， 则，即， 故直线的方程为. 【小问3详解】 直线的方程为，直线的方程为， 联立，得， 则，则，同理可得， 则，， 则由（2）可得，直线的方程为， ， 又点到直线的距离为， 则 又直线与轴的交点为，则，则， 因及以上递推关系可知，，则， 则， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，故， 则， 故， 因，则当时，有最大值. 18. 如图，在斜三棱柱中，侧面底面，是等腰直角三角形，，是边长为2的等边三角形. （1）求点到平面的距离； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法一：利用等体积法可求点到平面的距离；法二：建立空间直角坐标系，利用向量法求得点到平面的距离； （2）法一：作出二面角的平面角，进而利用直角三角形的性质可求二面角的正弦值.法二：利用向量法可求二面角的正弦值. 【小问1详解】 取中点，连接，. 由题意，易得，，， 法一：因为侧面底面，侧面底面， 所以平面.所以是三棱锥的高. 又因为在中，， 而，， 所以为等腰三角形，且边上的高等于， 所以， 记点到平面的距离为， 由，得， 即，于是得. 法二：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立坐标系， 易知，，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 所以，令，得，， 得到平面的一个法向量， 又因为， 所以点到平面的距离等于. 【小问2详解】 法一：设点在平面上的投影为，的中点为，连接和， 因为是边长为2的等边三角形， 所以，且， 而平面，平面， 所以，平面，， 所以平面，平面， 所以， 因此为二面角的平面角， 在中，. 法二：由（1）可知为平面的一个法向量， 又由（1）知平面的法向量为， 所以， 因此二面角的正弦值为，即为. 19. 已知函数，其中． （1）证明：当时，； （2）当时，证明：对任意，； （3）若是的极小值点，求实数的取值范围． 【答案】（1）设，则， 所以在上单调递增，当时， ， 即. （2）设， 因为当时，，由（1）可知， 所以 ， 所以 在上单调递增，即， 即，得证. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数证明不等式，设，由导数得在上单调递增，则当时， ，得证； （2）利用导数证明不等式，设，由导数结合（1）中结论，并使用由局部到整体的思想，可得，进而可得 在上单调递增，即，得证； （3）由题意得，令，求导，当时，则，取，根据导数及函数是偶函数讨论即可求解，当时，，根据导数讨论即可判断. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得， 令，， （ⅰ）当，即时，取， 所以，当时，，结合（1）可知， 函数的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以函数是偶函数， 故当时，， 因为，所以 是的极小值点，符合题意； （ⅱ）当时，因为，且在区间上连续可导， 又因为， 所以函数是定义在上的偶函数， 故存在，使得对任意，都有 ， 所以函数在区间上单调递减， 当时，，当时，， 所以 是的极大值点，不符合题意； 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $