第二十七章相似单元练习 2025-2026学年人教版九年级数学 下册

人教版九年级下册数学第二十七章相似单元练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，，，则的长（    ）    A．8 B．9 C．10 D．12 2．如图，在△ABC中，D、E分别是、上的点，且，若，，则（ ） A． B． C． D． 3．如图，，是△ABC边上的两个点，请你再添加一个条件，使得，则下列选项不成立的是（    ） A． B． C． D． 4．已知△ABC的三边长分别为4、6、8，与它相似的的最短边长为6，则的最长边的长为（　　） A．8 B．12 C．10 D．9 5．如图为某农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3 m，踏板DE长为1.6 m，支撑点A到踏脚D的距离为0.6 m，现在踏脚着地，则捣头点E上升了(    ) A．0.6 m B．0.8 m C．1 m D．1.2 m 6．如图所示，点分别是的中点，下面的说法中，错误的是（） A．△ABC与是位似图形 B．△ABC与的相似比为 C．△ABC与的周长之比为 D．△ABC与的面积之比为 7．已知，则下面结论成立的是( ) A． B． C． D． 8．如图，在△ABC中，，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点，．点处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．定义：我们知道，凸四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这个凸四边形叫做“自相似四边形”． 如图，点A、B、C是正方网格中的格点，在网格中确定格点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是“自相似四边形”，符合条件的格点D的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．如图，在中，，M是边延长线上一点，交的于点D，E为延长线上一点，且，是中点，连接，下列结论中：①；②；③若，则；④；⑤，正确结论的序号是（    ） A．①②③④⑤ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①②④⑤ 二、填空题 11．线段a、b、c、d成比例，其中，，，则______． 12．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，∠A= ∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，则添加的条件可以是_________________. 13．如图，电灯P在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，，点P到的距离是，则点P到的距离是 _____ m． 14．阳光下，高为4m的旗杆在地面上的影长为7m，此时测得一建筑物在地面上的影长为21m，则建筑物的高度为________． 15．如图，在中，，且，，则的值是______． 三、解答题 16．如图，在中，点是边上的一点. （1）请用尺规作图法，在内，求作，使，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求的值. 17．如图，点、、分别在等边的三边、、上，且，求证：． 18．如图，在中，是边上的高，点在上，过作的平行线分别与，交，两点，过点作于点，过点作于点，设，，当四边形为正方形时，试求此正方形的边长． 19．如图，在矩形ABCD，E是边CB上的一点，AF⊥DE于点F， （1）求证：△AFD∽△DCE； （2）若AF=6，DF=2，CD=9，求CE的长． 20．项目化学习 项目主题：学科融合——用数学的眼光观察世界． 项目背景：学习完相似三角形的性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜的成像规律． 项目素材： 素材一：凸透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后经过焦点． 素材二：如图①，科学小组的同学们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图②，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜的光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． 项目任务： (1)像的长度为__________厘米； (2)已知光线AP平行于主光轴l，且经过凸透镜折射后通过焦点F， ①求证：； ②求凸透镜焦距OF的长． 21．已知是一段圆弧上的两点，且在直线的同侧，分别过这两点作的垂线，垂足为 是上一动点，连接，且. （1）如图①，如果，且，求的长; （2）如图②，若点恰为这段圆弧的圆心，则线段之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明.再探究:当分别在直线两侧且，而其余条件 不变时，线段之间又有怎样的等量关系?请直接写出结论，不必证明. 22．已知为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于． (1)如图1，当绕点旋转到于时，与的和与之间数量关系为______； (2)如图2，当点在线段上时，绕点旋转到和不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由； (3)如图3，这种情况下，的数量关系是______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《人教版九年级下册数学第二十七章相似单元练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B B B A D D A 11．1或4或9 12．∠B=∠DEF（或∠ACB=∠F或AB∥DE或AC∥DF或，任写一个即可） 13．6 14．12m 15． 16．(1)如图所示； (2)∵， ∴. ∴. 17解：是等边三角形， ， ， ， ， ． 18．∵四边形为正方形，且， ∴ 设，则 ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 即此正方形的边长为． 19．解：（1）在矩形ABCD中，∠C=∠ADC=90°， ∵AF⊥DE， ∴∠AFD=∠C=90°， ∴∠DAF+∠ADF=90°，∠ADF+∠EDC=90°， ∴∠DAF=∠EDC， ∴△AFD∽△DCE； （2）由（1）△AFD∽△DCE， ∴， ∵AF=6，DF=2，CD=9， ∴， ∴. 20．（1）解：， ， ，， ， ， 解得． 故答案为：． （2）①证明：光线AP平行于主光轴l， ， ， ， ， ， ， ； ②解：，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， 由①，知， ， ， ， ， ， 解得， 所以凸透镜焦距OF的长为厘米． 21．（1）根据两角对应相等证明Rt△ABE∽Rt△ECD，然后根据相似三角形的对应边的比相等求得CD的长，再运用勾股定理就可计算出AD的长； （2）可以证明Rt△ABE≌Rt△ECD，得到对应线段相等，根据图形就可得到线段之间的和差关系． 详解：（1）∵AB⊥l于B，DC⊥l于C， ∴∠ABE=∠ECD=90°． ∵∠BEA+∠AED+∠CED=180°，且∠AED=90°， ∴∠CED=90°-∠BEA． 又∵∠BAE=90°-∠BEA， ∴∠BAE=∠CED． ∴Rt△ABE∽Rt△ECD． ∴． ∵BE：EC=1：3 BC=16， ∴BE=4，EC=12． 又∵AB=6， ∴CD===8． 在Rt△AED中，由勾股定理得 AD==2． （2）（i）猜想：AB+CD=BC． 证明：在Rt△ABE中，∵∠ABE=90° ∴∠BAE=90°-∠AEB， 又∵∠AEB+∠AED+∠CED=180°，且∠AED=90°， ∴∠CED=90°-∠AEB． ∴∠BAE=∠CED． ∵DC⊥BC于点C， ∴∠ECD=90°． 由已知，有AE=ED， 在Rt△ABE和Rt△ECD中， ∠ABE=∠ECD=90°，∠BAE=∠CED，AE=ED，， ∴Rt△ABE≌Rt△ECD（AAS）． ∴AB=EC，BE=CD． ∴BC=BE+EC=CD+AB，即AB+CD=BC． （ii）当A，D分别在直线l两侧时，线段AB，BC，CD有如下等量关系： AB-CD=BC（AB＞CD）或CD-AB=BC（AB＜CD）． 点睛：此题考查了圆的有关知识、相似三角形的性质和判定以及全等三角形的性质和判定． 22．（1）解：当绕D点旋转到时， ∴， ∴四边形是矩形． ∴，， ∵为边的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 设的边长， ∴正方形的边长为． ∴，， 即； （2）解：（1）中的结论成立； 过点D作，，则， 又∵， ∴，， ∵D为边的中点， 同理可得：四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得：， ∴． （3）解：如图，连接， ∵，，D为边的中点， ∴，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴ ， ∴． 故、、的关系是：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $