第二十七章相似单元培优练习题 2025--2026学年人教版九年级数学下册

第二十七章 相似 单元培优练习题 班级： ________姓名：________得分：___________ 一．选择题（每题4分，共40分） 1．如果，则（　　） A． B． C． D． 2．已知△ABC∽△DEF，若，则等于（　　） A． B． C． D． 3．如图，已知△A′B′C′与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：5，下列说法错误的是（　　） A．BC∥B′C′ B．OB′：BB′＝3：5 C．△A′B′C′与△ABC的周长比是3：5 D．△A′B′C′与△ABC的面积比是9：25 4．如图，工人师傅用卡钳测量某个零件的内孔直径AB（），测得CD的长度为6cm，则零件的内孔直径AB的长度为（　　）cm． A．18 B．12 C．10 D．8 5．如图，在4×3的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，点O，B，C，D均为格点，则AB的长为（　　） A． B． C． D． 6．黄金分割是汉字结构遵循的基本美学规律．如图，汉字“十”端庄稳重、舒展美观，横竖笔画交接处的点C恰好是线段AB的黄金分割点（BC＞AC），若AB＝2，则BC的长为（　　） A． B． C． D．无法确定 7．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE，以点E旋转中心将线段AE顺时针旋转90°，得到线段FE，连接AF，FE交边CD于点G，H，则GH的长为（　　） A．3 B． C．2 D． 8．如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若，则（　　） A． B． C． D． 9．如图，放在同一平面直角坐标系中的两个汽球恰好是位似图形，点P、点Q分别是①号②号汽球的扎口，位似中心为点O，位似比是1：2，则P（﹣2，1）的对应点Q的坐标是（　　） A．（﹣2，4） B．（4，﹣2） C．（﹣4，2） D．（2，﹣4） 10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE；②△PCD∽△PDH；③DP2＝PH•PC；④△PFD∽△HPB．其中正确的是（　　） A．①②④ B．①③④ C．①②③④ D．②③ 二．填空题（每题4分，共24分） 11．如图，在△ABC中，点D在线段AB上，DE∥BC交AC于点E，S△ADE＝S四边形DBCE，则　 　 ． 12．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，图中 　 　 对相似三角形． 13．如图，点A、B都在格点上（网格小正方形的边长为1），点C是线段AB与网格线的交点，那么AC的长度为　 　 ． 14．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE交对角线AC于点F，连结BF．若AB＝6，则BF的长为　 　 ． 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是一条角平分线，E为AC上一点，CE＝2，连接BE交AD于点F，若AE＝BE，AF＝3FD，则AE＝ 　 　 ． 16．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，延长BC到点F，使EF＝ED，过点F作FG⊥DE，分别交DE，CD，AB于点M，N，G，连结CM、EN，过点A作AH∥GN交DC于点H，以下结论：①DE＝AH；②CM∥EG；③若E是BC的中点，AB＝2，则；④FN•CD＝DE•CF，其中正确的是　 　 （填序号）． 三．解答题（共7小题，共56分） 17．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△AEF． （1）当点E恰好落在BC延长线上时，求∠FEB的度数． （2）在（1）的条件下连结CF交AE于点D．若AB＝5，AC＝4，求AD的长． 18．如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠ADE＝∠B． （1）求证：△ABD∽△ADE． （2）若AE＝4，AB＝9，且△ADE的面积为8，求△ABD的面积． 19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F． （1）求证：； （2）若AE＝2，ED＝3，BC＝10，求△ABF面积的最大值． 20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为点A（1，﹣2），B（4，﹣1），C（3，﹣3）． （1）请以原点O为位似中心，在位似中心的异侧画出一个△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2：1，点B的对应点B1的坐标为　 　 ； （2）若△ABC内部任意一点P的坐标为（a，b），求出经过（1）的变化后点P的对应点P1的坐标（用含a，b的代数式表示）． 21．如图，一块材料的形状是锐角三角形（△ABC），边BC＝150mm，高AD＝100mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边GH在边BC上，其余两个顶点E，F分别在边AB，AC上，设EG＝xmm，EF＝ymm． （1）写出x与y之间的关系式； （2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值． 22．综合与实践 学校组织“数学文化节”，启航小组承担了校园宣传栏主题展板的设计任务，活动报告如下： 活动任务 设计数学文化节展板 成员 组长：×××组员：×××，×××，××× 基本信息 有两张标准矩形KT板（一种制作展板的常用材料），尺寸为120cm×240cm． 版面规划 用矩形ABCD（AB＜BC）表示整张KT板． 展板一：如图1，在展板上下边缘各留宽为acm的空白，左右边缘各留宽为bcm的空白，中间（即矩形EFGH）为图案区域． 展板二：如图2，在展板上下边缘各留宽为acm的空白，左右边缘各留宽为bcm的空白，中间部分纵向分割成四个全等的矩形图案区域，且每相邻两个矩形区域之间的间隔均为bcm． 问题解决 确定版面图案区域的具体信息，如下：… （1）根据版面规划，若展板一中a＝10，且图案区域与整块展板相似（即矩形EFGH∽矩形ABCD），求b的值； （2）根据版面规划，若展板二中的四个矩形图案区域都与整块展板相似（如矩形MNGH∽矩形ABCD），则的值为　 　 ． 23．已知，在正方形ABCD中，E是边BC上一点，点P在射线AE上，直线BP交正方形ABCD的边于点F，BE＝1，AB＝n，∠BPE＝α． （1）如图1，若α＝90°，求DF的长； （2）若α＝45°． ①如图2，求DF的长（用含n的代数式表示）； ②如图3，P在线段AE的延长线上，BP＝CP，则n＝　 　 ． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A C B B C C C 二．填空题 11．． 12．三． 13．． 14．2． 15．． 16．①③④． 三．解答题 17．解：（1）∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△AEF， ∴∠BAE＝∠CAF＝100°，∠B＝∠AEF，AB＝AE，AC＝AF， 又∵E在BC的延长线上， ∴∠AEB＝∠B＝40°， ∴∠AEF＝40°， ∴∠FEB＝∠FEA+∠AEB＝80°； （2）∵AF＝AC，∠CAF＝100°， ∴∠AFC＝∠ACF＝40°， 由（1）知，∠AEF＝40°， ∴∠AEF＝∠AFD＝40°， ∵∠EAF＝∠FAD ∴△ADF∽△AFE， ∴ ∵AB＝AE＝5，AF＝AC＝4， ∴， 解得：． 18．（1）证明：∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD＝∠DAE． 又∵∠ADE＝∠B， ∴△ABD∽△ADE； （2）解：∵△ABD∽△ADE， ∴， ∴AD2＝AB•AE＝9×4＝36， ∴AD＝6， ∴． ∴． 19．解：（1）证明：作BF的中点M，连接MD， ∵AD是BC边上的中线， ∴DM∥AC，DMCF， ∴∠DAF＝∠ADM，∠AFM＝∠DMF， ∴△AFE∽△DME， ∴， ∴； （2）∵，AE＝2，ED＝3， ∴，AD＝5， ∴S△ABFS△ABC， ∵BC＝10，点D为BC的中点， ∴AD为△ABC的高时，△ABC的面积最大， ∴S△ABC最大BC•AD＝25， ∴S△ABF最大． 答：△ABF面积的最大值为． 20．解：（1）与△ABC的相似比为2：1的△A1B1C1，如图即为所求； 由图可知，点B1（﹣8，2）， 故答案为：（﹣8，2）； （2）∵△A1B1C1与△ABC关于原点O异侧位似，相似比为2：1，点P（a，b）， ∴点P1（﹣2a，﹣2b）． 21．解：（1）在矩形EGHF中，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC． ∵在△ABC中，高AD＝100mm，BC＝150mm， 在矩形EGHF中，EF＝ymm，EG＝xmm， ∴△AEF的高AK＝AD﹣x＝（100﹣x）mm． 根据相似三角形对应高的比等于对应边的比，得， ∴， 整理得． （2）不正确．理由如下： 矩形面积 ， 函数图象的对称轴为直线x＝50． ∵0＜x＜100，函数图象开口向下， ∴当x＝50时，S有最大值，为3750mm2． 又∵当x＝50时，y＝75，x≠y， ∴S最大时矩形EGHF不是正方形， ∴这个说法不正确． 22．解：（1）由题意得AB＝120cm，AD＝240cm． ∵矩形EFGH∽矩形ABCD， ∴， ∵a＝10， ∴EF＝AB﹣2a＝120﹣10×2＝100cm． ∵EH＝AD﹣2b＝（240﹣2b）cm， ∴， 解得b＝20． 答：b的值为20． （2）∵矩形MNGH∽矩形ABCD， ∴， ∴， ∵AD＝240cm，AB＝120cm， ∴， 由图可得，， ∴， ， ﹣4a＝﹣5b， ， 故答案为：． 23．解：（1）∵α＝90°， ∴∠BPE＝∠C＝90°， ∴∠PBE+∠PEB＝∠PBE+∠BFC＝90°， ∴∠AEB＝∠BFC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°， ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴BE＝CF＝1， ∵CD＝AB＝n， ∴DF＝n﹣1； （2）①过点A作AH⊥BF于点H，与CD交于点M，连接EM，过A点作AN⊥AM，与CB的延长线交于点N， ∵∠AHF＝∠D＝90°， ∴∠DAM+∠AFB＝∠DAM+∠AMD＝90°， ∴∠AFB＝∠AMD， 在△ABF和△DAM中， ， ∴△ABF≌△DAM（AAS）， ∴AF＝DM， ∵∠MAN＝∠DAB＝90°， ∴∠BAN＝∠DAM， 在△ABN和△ADM中， ， ∴△ABN≌△ADM（ASA）， ∴BN＝DM，AN＝AM， 设AF＝DM＝BN＝x，则EN＝x+1， ∵∠APH＝∠BPE＝α＝45°，AH⊥BF， ∴∠MAE＝45°， ∴∠BAE+∠DAM＝45°， ∴∠EAN＝∠BAE+∠BAN＝∠BAE+∠DAM＝45°， ∴∠EAN＝∠EAM， 在△EAN和△EAM中， ， ∴△EAN≌△EAM（SAS）， ∴EN＝EM＝x+1， ∵CM＝CD﹣DM＝n﹣x，CE＝BC﹣BE＝n﹣1， 又∵CM2+CE2＝EM2， ∴（n﹣x）2+（n﹣1）2＝（x+1）2， 解得x， ∴DF＝AD﹣AF＝n﹣x＝n； ②延长BP，与DC的延长线交于点M，过点B作BK⊥AP于点K，与CD交于点N，作BH⊥BP，与AD交于点H，连接HN， 则AE， ∵， ∴， ∵∠APB＝45°， ∴BPBK， ∵BP＝CP， ∴∠PBC＝∠PCB， ∵∠BCM＝90°， ∴∠PBC+∠M＝∠PCB+∠PCM＝90°， ∴∠PCM＝∠M， ∴PC＝PM＝PB， ∴BM＝2BP， ∵∠ABC＝∠HBM＝90°， ∴∠ABH＝∠CBM， 在△ABH和△CBM中， ， ∴△ABH≌△CBM（ASA）， ∴BH＝BM， ∵BK⊥AP，∠ABC＝90°， ∴∠ABK+∠BAE＝∠ABK+∠CBN＝90°， ∴∠BAE＝∠CBN， 在△ABE△和△BCN中， ， ∴△ABE≌△BCN（ASA）， ∴BE＝CN＝1， ∵BK⊥AP，∠BPE＝45°， ∴∠PBK＝45°， ∵BH⊥BP， ∴∠MBN＝∠HBN＝45°， 在△BMN和△BHN中， ， ∴△BMN≌△BHN（SAS）， ∴MN＝HN， 设AH＝CM＝x，则DH＝n﹣x，HN＝MN＝x+1，DN＝n﹣1， ∵DH2+DN2＝HN2， ∴（n﹣x）2+（n﹣1）2＝（n+x）2， 解得x， ∴CM， ∵BC2+CM2＝BM2， ∴， 化简得（n﹣1）2＝2， 解得n，或n1（舍）， 故答案为：1． 另一解法： （2）①连接BD与AE交于点G， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝n，AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠ADB＝∠CBD＝45°， ∴△GBE∽△GDA，BD，AE ∴， ∴，EG， ∵∠BPE＝∠GBE＝45°，∠BEP＝∠GEB， ∴△BPE∽△GBE， ∴， ∴BP， EP， ∴PG＝EP﹣EG， ∵∠BPG＝∠BDF＝45°，∠PBG＝∠DBF， ∴△BPG∽△BDF， ∴， ∴， ②连接BD，过点P作PN⊥BC于点N， ∵AD∥BC， ∴△BEK∽△DAK， ∴， ∴， EK， ∵∠KBE＝∠KPB＝45°，∠BKE＝∠CKB， ∴△KBE∽△KPB， ∴， ∴KP， ∴PE＝PK﹣EK， ∵PB＝PC，PE⊥BC， ∴PE∥AB，BE， ∴NEn﹣1，△PEN∽△AEB， ∴，即， 解得，n＝0（舍），n＝1（舍），n＝1． 故答案为1． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/1 23:23:32；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $