期中考试卷02（范围：第1～3章）2025-2026学年北师大版数学七年级下册

2025-2026学年七年级数学下学期期中模拟卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版新教材 1—3章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列事件中，是必然事件的是（   ） A．明天一定是晴天 B．车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 C．13个人中至少有两个人生肖相同 D．任意买一张电影票，座位号是3的倍数 【答案】C 【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件，随机事件指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．明天是晴天，是随机事件，不符合题意； B．车辆随机到达路口遇到绿灯，是随机事件，不符合题意； C．生肖共有12种，因此13个人中至少有两个人生肖相同，是必然事件，符合题意； D．任意买一张电影票座位号是3的倍数，是随机事件，不符合题意． 2．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方、零指数幂的运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：选项A： 合并同类项时，系数相加，字母和对应指数不变，，A错误． 选项B： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，B正确． 选项C： 积的乘方等于各因式乘方的积，，，C错误． 选项D： 任何非零数的次幂都等于，，D错误． 3．国家统计局2026年1月19日发布数据．初步核算，2025全年国内生产总值1401879亿元，按不变价格计算，比上年增长．经济社会发展主要目标任务圆满实现，“十四五”胜利收官．“十四五”时期，中国经济总量先后突破110万亿元、120万亿元、130万亿元、140万亿元，实现“四连跳”．将数据1400000亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据科学记数法的表示形式为，其中，为整数，的绝对值与小数点移动的位数相同，即可求解． 【详解】解：． 4．如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是直线，被所截得的内错角 B．与是对顶角 C．和互为补角 D．与是直线，被直线所截得的同旁内角 【答案】C 【分析】根据内错角、对顶角、补角、同旁内角的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、与是直线，被所截得的内错角，原说法正确，不符合题意； B、与是对顶角，原说法正确，不符合题意； C、和是同旁内角，不一定互为补角，原说法不正确，符合题意； D、与是直线，被直线所截得的同旁内角，原说法正确，不符合题意． 5．下列式子中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平方差公式为，适用条件为：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解： A．，存在相同项，相反项与，符合条件，可以用平方差公式计算． B．，存在相同项，相反项与，符合条件，可以用平方差公式计算． C．，存在相同项，相反项与，符合条件，可以用平方差公式计算． D．，不符合平方差公式的适用条件，不能用平方差公式计算． 6．如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即），根据光的反射可知，，其原理如图2所示，若，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平角的定义求出，由平行线的性质求出，即可得到，最后根据即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．水的物态变化使自然界有了露、雾、霜、冰等千姿百态的奇观．其中雾和露是空气中的水蒸气形成的液化现象；霜是空气中的水蒸气凝华形成的冰晶，属于凝华现象；而冰则是水的凝固现象；为了熟知水的物态变化，小强制作了四张除图案不同，形状、大小、材质完全相同的卡片，从中任意抽取出一张卡片，属于液化现象的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定属于液化现象的有几张卡片，再由概率公式求解即可． 【详解】解：总共有四张卡片，属于液化现象的有甲和丁两张卡片， ∴从中任意抽取出一张卡片，属于液化现象的概率是． 故选：A． 8．综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：）的数据后，计算每片叶子的长宽比，绘制出折线统计图如下： 根据以上信息，下列说法错误的是（ ） A．枇杷树叶长宽比为2的频率最大 B．核桃树叶的长宽比大约为 C．小明测量一片核桃叶的长为，小明断定它的宽一定为 D．小亮同学收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片枇杷树叶 【答案】C 【分析】此题考查用样本估计总体、频率等知识，根据题目给出的数据判断即可． 【详解】解：A、10片枇杷树叶的长宽比中出现次数最多的是2，故枇杷树叶长宽比为2的频率最大，故选项正确，不符合题意； B、∵， ∴核桃树叶的长宽比大约为，故选项正确，不符合题意； C、核桃树叶的长宽比大约为，是个估计值， 不是准确值， 小明测量一片核桃叶的长为，它的宽不一定为，故选项错误，符合题意； D、∵枇杷树叶长宽比约为：，小亮同学收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片枇杷树叶， 又∵， ∴该树叶更有可能是枇杷树树叶．故选项正确，不符合题意； 故选：C． 9．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（    ） A．49 B．50 C．51 D．52 【答案】B 【点睛】观察图形可知，阴影部分的面积可以看作是 的面积与 的面积之和，得出阴影面积为 ，利用完全平方公式求出 的值即可求解． 【详解】解：由图可知，阴影部分的面积 又 ， ． 10．如图，已知，点E，F分别在上，点在的上方，连接．点在与之间，连接，连接并延长至点，满足，，设，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定与性质，添加平行线是解答的关键． 设，，作，，则，利用平行线的性质，结合图形中的角的数量关系列方程求得，进而由求解即可． 【详解】解：设，， 则，， ∴，， 如图，作，， ∵， ∴， ∴，，，， ∵，， ∴，解得， ∴，即， 故选：C． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是___________ 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定定理，解题的关键是理解“推平行线”过程中同位角的关系与两直线平行的联系． 观察图形，明确与为同位角；分析“推平行线”时与的关系（保持相等）；依据同位角相等，两直线平行的判定定理，得出该方法的依据． 【详解】解：“推平行线”法中，通过直尺和三角板的移动，使与保持相等，而与是同位角．根据平行线的判定定理，当同位角相等时，两条直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 12．苏州园林的铺地中经常会有文字符号图案，通过艺术加工，诉说着园主的心愿，狮子林中就有一块“太极八卦”图样的地砖，如图，正八边形中心与“太极图”圆心重合，“太极图”黑色部分与白色部分关于正八边形的中心成中心对称，向这块“太极八卦”地砖内扔一颗小石子，恰好落在黑色部分的概率为____________． 【答案】 【分析】由对称性可知黑色部分与白色部分面积相等，进而求概率即可． 【详解】解：“太极图”黑色部分与白色部分关于正八边形的中心成中心对称， 黑色部分与白色部分面积相等， 故恰好落在黑色部分的概率为． 13．如果规定表示多项式，表示多项式，则计算的结果是__________． 【答案】 【分析】根据题目中规定的运算方式列式计算即可． 【详解】解：由题意，得 ． 14．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等．若的展开式中不含的项，则的值为______． 【答案】 【分析】先确定的展开式形式，再根据展开式中不含的项得到，再解方程求解即可． 【详解】解：∵“杨辉三角”第三行的系数为：1，2，1， 第四行的系数为：1，3，3，1， 第五行的系数为：1，4，6，4，1， 第六行的系数为：1，5，10，10，5，1， 第七行的四系数为：1，6，15，20，15，6，1， ∴， ∴ 展开式中项为：， ∵展开式中不含的项， ∴， 解得． 15．如图，直线AB，CD相交于点O，，，OB平分．给出下列结论，其中正确的结论是__________．（填序号） ①当时，；②OD平分；③与相等的角有3个；④． 【答案】①③④ 【分析】根据同角的余角相等可得，再根据余角以及角平分线的意义即可判断①；结合题意无法证明为的角平分线，即可判断②；根据角平分线的定义，可得，由对顶角相等得出，利用同角的余角相等可得，即可判断③；根据平角的定义以及，即可判断④． 【详解】解：， ， ， ∴， ， ， ， 当时，， ∴， ∵平分， ∴，故①正确，符合题意； 不能证明， 无法证明为的角平分线，故②错误，不符合题意； 平分， ． 直线，交于点， ． ， ∴， ， 与相等的角至少有3个，故③正确，符合题意； ，， ，故④正确，符合题意． 综上，正确的结论有①③④． 16．如图，，点E和点F分别在和上，点G在和之间，连接和．，过点E作射线，过点F作射线．且，，点P和点Q分别在和上，连接，，则n的值是______． 【答案】 【分析】分别过点，，作，，，表示出，求出，即可解答． 【详解】解：如图，分别过点，，作，，， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．计算: (1) (2) 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）先算绝对值，乘方，再把各项相加即可； （2）先算同底数幂乘法，积的乘方，同底数幂除法，再把各项相加即可． 【详解】（1）解： （2）解： 18．先化简，后求值 ，其中， 【答案】，15 【分析】先根据完全平方公式，多项式乘多项式，合并同类项计算中括号内的运算，再根据整式的除法将式子化简，再代入x，y的值求解即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 19．某商场有一种游戏，规则是：在一只装有8个红球和若干个白球（每个球除颜色外其余都相同）的不透明的箱子中，随机摸出1个球，摸到红球就可获得一瓶饮料．工作人员统计了参加游戏的人数和获得饮料的人数．（见下表） 参加游戏的人数 200 300 400 500 获得饮料的人数 39 63 82 99 获得饮料的频率 (1)计算并完成表格； (2)估计获得饮料的概率为________（精确到） (3)请你估计袋中白球的数量． 【答案】(1)见解析 (2) (3)32 【分析】（1）用获得饮料的人数除以参加游戏的人数即可得； （2）根据（1）中的频率进行估计即可； （3）利用估计的概率和概率公式进行求解即可． 【详解】（1）解：，，，， 填表如下： 参加游戏的人数 200 300 400 500 获得饮料的人数 39 63 82 99 获得饮料的频率 （2）解：观察表格可知随着参加人数的增加，获得饮料的频率逐渐稳定在附近， 所以估计获得饮料的概率为； （3）解：设袋中有白球x个， 根据题意，得， 解这个方程，得， 经检验，是所列方程的解， 答：估计袋中有32个白球． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是了解大量反复试验中某个事件发生的频率能估计概率． 20．如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图①__________ 图②__________； (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：____________________（用字母a、b表示）； 【应用】 (3)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，则的值为___________； ②计算：； 【拓展】 (4)计算 【答案】(1)， (2) (3)12； (4) 【分析】（1）图①根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积差即可求解，图②根据阴影部分的面积等于一个大长方形的面积即可求解； （2）根据图①与图②的面积相等即可得； （3）①根据（2）的乘法公式即可求解；②利用两次（2）的乘法公式即可求解； （4）每一项运用（2）的乘法公式即可求解． 【详解】（1）解：图①阴影部分的面积等于两个正方形的面积差，即，图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，则其面积为． （2）解：由图①与图②的面积相等可得到乘法公式：． （3）解：①． ②． （4）解：原式 ． 21．在如图所示的方格纸中，横竖线的交点称为格点，A，B，C，E为格点．（利用方格纸作图，画出的点、线用铅笔描粗描黑） (1)过点E画直线； (2)在线段上找一点P，使得点P与点E距离最短，在图中作出点P，此时最短蕴含的数学道理是______； (3)点Q为图中的格点，点Q与点E不重合，满足的点Q有______个．请在图中标注出来． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；垂线段最短 (3)4，见解析 【分析】（1）先确定的方向（从到是向右 3 格、向上 3 格），再从点出发，按相同方向（向右 3 格、向上 3 格）找到格点，连接直线即可； （2）过点作的垂线，此时最短，依据是：垂线段最短； （3）要使，则点必须在与平行且到的距离等于点到的距离的两条直线上，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：点P是过E作的垂线的垂足，此时最短， 依据是：垂线段最短； （3）解：要使，则点必须在与平行且到的距离等于点到的距离的两条直线上，在图中，这样的格点（不与重合）共有,,,共4个. 22．如图，已知直线，点在上，直线交于点，点是上的一点，连接，的平分线交线段于点． (1)若，求的度数． (2)已知射线平分，，请你补全图形． ①若，，试求的度数． ②探究和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）根据角平分线的定义可得，进而根据平行线的性质，即可求解； （2）①设，根据已知得出，，根据是的平分线，得出，进而可得，根据，得出，进而表示出，即可求解； ②是的平分线，射线平分，得出，根据平行线的性质，，等量代换，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴, ∴； （2）解：如图， ①设， ∵， ∴，， ∴ ∵是的平分线， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 解得： ∵射线平分， ∴， ∴ ②∵是的平分线，射线平分， 即 ∵ ∴ ∴ 23．端午节是我国传统节日之一，每年端午处处飘扬着美食香气，弥漫着火热气氛．某餐馆制成了一个如图1所示的转盘（十二等份）游戏，取名为“开心大转盘”．端午假期期间到店用餐可参与游戏：到店用餐者可自由转动转盘一次，若指针指向字母“A”，则打八折；若指针指向字母“B”，则打九折；若指针指向字母“C”，则不打折．（指针指向分隔线上，重新转）      (1)若小辰跟随家人到该店用餐，付款时不打折的概率是________； (2)若该店为了吸引更多顾客，请你帮忙重新设计转盘，利用如图2所示的转盘，使得打八折的概率是；打九折的概率是；不打折的概率是．（在十二等份扇形中标明字号A，B，C） 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有12种等可能的结果，其中指针指向字母“C”的结果有7种，利用概率公式可得答案． （2）结合概率公式可得转盘中字母“A”有6个，字母“B”有5个，字母“C”有1个，由此画图即可． 【详解】（1）解：由题意知，共有12种等可能的结果，其中指针指向字母“C”的结果有7种， ∴付款时不打折的概率是； 故答案为； （2）解：由题意得：转盘中字母“A”有6个，字母“B”有5个，字母“C”有1个，所以所画图形如图所示： 24．阅读下面材料，完成相应的任务： 阿贝尔是近代数学发展的先驱，他年轻时利用阶梯图形，发现了重要的恒等式——阿贝尔公式．如右图，用两种方法将一个二级阶梯图形分别分割成两个长方形，按图1的方法割成该阶梯图形的面积为；按图的方法，长方形①的面积为，长方形②的面积为，根据图、图面积相等，可得到二级阶梯图形对应的阿贝尔公式： 任务： (1)推理验证：材料中的阿贝尔公式可用代数运算验证，请补全如下说理过程 因为，左边（图）的面积 右边（图）的面积______________； 左边（图）的面积右边（图2）的面积 所以，__________________________________． (2)类比探究：如图，用两种方法将一个三级阶梯图形分别分割成三个长方形． ①图中长方形的长为，宽为______________； ②由图、图面积相等，可得三级阶梯图形对应的阿贝尔公式为：___________． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）根据图，得图的面积为：的面积加上的面积；根据左边等于右边，即可； （2）如图，得长方形的长为：；根据图的面积为：，图的面积为等于长方形的面积加长方形的面积加长方形的面积，即可． 【详解】（1）如图： 图的面积：； ∵ ； ∴图、图面积相等， ∴． 故答案为：；． （2）如图可知 长方形的宽度为：； 如图，图所示： 图的面积为：； 图的面积为：； ∵图的面积等于图的面积， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握把长方形的面积分成小长方形的面积之和，进行计算． 25．已知：，点为平面内一点，点在上，点在上，连接、，平分交于． (1)如图1，，，则______； (2)如图2，延长交于点，若，，求； (3)当点在下方，若，，请将图形补充完整，并求出的度数，交于点． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）过点作，由平行线的性质可得出因为平分,可以得出，再由平行线的性质推出；（2）过点作，使，设，则，由平行线的性质可得出，，由是角平分线可以求得，最后根据平角的定义求出;(3)本题分两种情况讨论：当在左侧时, 过点作,设，则,根据平分线定义，推出，再有平行线性质得出，求出，最后得出；当在右侧时，过点作，设，则,由平行线的性质得出，因为平分，所以，由得出,再由平行线的性质得出，. 【详解】（1）解：过点作，使       ，， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， （2）解：过点作，使，   ，， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， . （3）解：①当在左侧时，过点作，使，   ，， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 平分， ， ， ，， ， ， ②当在右侧时，过点作，使，   ，， ， ， 设，则， ， ， ，， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 或 答：的度数为 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，角度的计算，关键要理解并且会应用平行线的性质求角度，还要注意分类讨论的思想. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期期中模拟卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版新教材 1—3章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列事件中，是必然事件的是（   ） A．明天一定是晴天 B．车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 C．13个人中至少有两个人生肖相同 D．任意买一张电影票，座位号是3的倍数 2．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．国家统计局2026年1月19日发布数据．初步核算，2025全年国内生产总值1401879亿元，按不变价格计算，比上年增长．经济社会发展主要目标任务圆满实现，“十四五”胜利收官．“十四五”时期，中国经济总量先后突破110万亿元、120万亿元、130万亿元、140万亿元，实现“四连跳”．将数据1400000亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是直线，被所截得的内错角 B．与是对顶角 C．和互为补角 D．与是直线，被直线所截得的同旁内角 5．下列式子中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即），根据光的反射可知，，其原理如图2所示，若，则的度数为（） A． B． C． D． 7．水的物态变化使自然界有了露、雾、霜、冰等千姿百态的奇观．其中雾和露是空气中的水蒸气形成的液化现象；霜是空气中的水蒸气凝华形成的冰晶，属于凝华现象；而冰则是水的凝固现象；为了熟知水的物态变化，小强制作了四张除图案不同，形状、大小、材质完全相同的卡片，从中任意抽取出一张卡片，属于液化现象的概率是（   ） A． B． C． D． 8．综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：）的数据后，计算每片叶子的长宽比，绘制出折线统计图如下： 根据以上信息，下列说法错误的是（ ） A．枇杷树叶长宽比为2的频率最大 B．核桃树叶的长宽比大约为 C．小明测量一片核桃叶的长为，小明断定它的宽一定为 D．小亮同学收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片枇杷树叶 9．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（    ） A．49 B．50 C．51 D．52 10．如图，已知，点E，F分别在上，点在的上方，连接．点在与之间，连接，连接并延长至点，满足，，设，则的度数为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是___________ 12．苏州园林的铺地中经常会有文字符号图案，通过艺术加工，诉说着园主的心愿，狮子林中就有一块“太极八卦”图样的地砖，如图，正八边形中心与“太极图”圆心重合，“太极图”黑色部分与白色部分关于正八边形的中心成中心对称，向这块“太极八卦”地砖内扔一颗小石子，恰好落在黑色部分的概率为____________． 13．如果规定表示多项式，表示多项式，则计算的结果是__________． 14．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等．若的展开式中不含的项，则的值为______． 15．如图，直线AB，CD相交于点O，，，OB平分．给出下列结论，其中正确的结论是__________．（填序号） ①当时，；②OD平分；③与相等的角有3个；④． 16．如图，，点E和点F分别在和上，点G在和之间，连接和．，过点E作射线，过点F作射线．且，，点P和点Q分别在和上，连接，，则n的值是______． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．计算: (1) (2) 18．先化简，后求值 ，其中， 19．某商场有一种游戏，规则是：在一只装有8个红球和若干个白球（每个球除颜色外其余都相同）的不透明的箱子中，随机摸出1个球，摸到红球就可获得一瓶饮料．工作人员统计了参加游戏的人数和获得饮料的人数．（见下表） 参加游戏的人数 200 300 400 500 获得饮料的人数 39 63 82 99 获得饮料的频率 (1)计算并完成表格； (2)估计获得饮料的概率为________（精确到） (3)请你估计袋中白球的数量． 20．如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图①__________ 图②__________； (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：____________________（用字母a、b表示）； 【应用】 (3)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，则的值为___________； ②计算：； 【拓展】 (4)计算 21．在如图所示的方格纸中，横竖线的交点称为格点，A，B，C，E为格点．（利用方格纸作图，画出的点、线用铅笔描粗描黑） (1)过点E画直线； (2)在线段上找一点P，使得点P与点E距离最短，在图中作出点P，此时最短蕴含的数学道理是______； (3)点Q为图中的格点，点Q与点E不重合，满足的点Q有______个．请在图中标注出来． 22．如图，已知直线，点在上，直线交于点，点是上的一点，连接，的平分线交线段于点． (1)若，求的度数． (2)已知射线平分，，请你补全图形． ①若，，试求的度数． ②探究和之间的数量关系，并说明理由． 23．端午节是我国传统节日之一，每年端午处处飘扬着美食香气，弥漫着火热气氛．某餐馆制成了一个如图1所示的转盘（十二等份）游戏，取名为“开心大转盘”．端午假期期间到店用餐可参与游戏：到店用餐者可自由转动转盘一次，若指针指向字母“A”，则打八折；若指针指向字母“B”，则打九折；若指针指向字母“C”，则不打折．（指针指向分隔线上，重新转）      (1)若小辰跟随家人到该店用餐，付款时不打折的概率是________； (2)若该店为了吸引更多顾客，请你帮忙重新设计转盘，利用如图2所示的转盘，使得打八折的概率是；打九折的概率是；不打折的概率是．（在十二等份扇形中标明字号A，B，C） 24．阅读下面材料，完成相应的任务： 阿贝尔是近代数学发展的先驱，他年轻时利用阶梯图形，发现了重要的恒等式——阿贝尔公式．如右图，用两种方法将一个二级阶梯图形分别分割成两个长方形，按图1的方法割成该阶梯图形的面积为；按图的方法，长方形①的面积为，长方形②的面积为，根据图、图面积相等，可得到二级阶梯图形对应的阿贝尔公式： 任务： (1)推理验证：材料中的阿贝尔公式可用代数运算验证，请补全如下说理过程 因为，左边（图）的面积 右边（图）的面积______________； 左边（图）的面积右边（图2）的面积 所以，__________________________________． (2)类比探究：如图，用两种方法将一个三级阶梯图形分别分割成三个长方形． ①图中长方形的长为，宽为______________； ②由图、图面积相等，可得三级阶梯图形对应的阿贝尔公式为：___________． 25．已知：，点为平面内一点，点在上，点在上，连接、，平分交于． (1)如图1，，，则______； (2)如图2，延长交于点，若，，求； (3)当点在下方，若，，请将图形补充完整，并求出的度数，交于点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $