1.2.1等腰三角形的性质-【导学练评】2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.2.1等腰三角形的性质-【导学练评】北师大版数学八年级下册 学习目标： 1、理解等腰三角形的基本定义：两腰相等的三角形称为等腰三角形。 2、掌握并证明等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高重合（三线合一）。 3、理解和掌握等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形三条边相等且每个内角均为60° 4、能够利用等腰三角形的性质解决简单的几何问题，如计算角度大小、证明线段相等等 学习重点： 运用“等边对等角”和“三线合一”的性质进行计算和证明。 学习难点： 证明过程数学语言的严谨性 一、三角形全等判定定理： 1. SSS,数学语言描述 。 2. SAS,数学语言描述 。 3. ASA,数学语言描述 。 4. AAS,数学语言描述 。 5. HL ,数学语言描述 。 二、等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形. 相等的两条边叫做 ,另一条边叫做底 , 两腰所夹的角叫做 ，底边与腰的夹角叫做 . 三、等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两底角相等,简述为： . 性质2：等腰三角形的顶角平分线，也是底边上的中线,也是底边上的高,简述为： . 性质3：等腰三角形是 图形 探究一：性质1：等腰三角形的两个底角相等。 简称“等边对等角” 已知：△ABC中，AB=AC 求证：∠B=C 证明: 方法一 作顶角的平分线AD,则有∠BAD＝∠CAD 在△ABD和△ACD中 AB＝AC ∠BAD＝∠CAD AD＝AD（ ） ∴ △ABD≌ △ACD （ ） ∴ ∠B＝∠C （ ） 方法二 作底边BC的中线AD,则有BD＝DC 在△ABD和△ACD中 AB＝AC BD＝DC AD＝AD（ ） ∴ △ABD≌ △ACD （ ） ∴ ∠B＝∠C （ ） 方法三 作底边BC边上的高AD,则有∠ADB＝∠ADC=90° 在△ABD和△ACD中 AB＝AC AD＝AD（ ） ∴ △ABD≌ △ACD （ ） ∴ ∠B＝∠C （ ） 探究二：性质2;等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线， 底边上的高 。 也称 . 用符号语言表示为： 在△ABC中，AB =AC, 点 D在BC上 1、∵AD是底边BC上的高 ∴∠ = ∠ ， = 。 2、∵AD是角平分线， ∴ ⊥ ， = 。 3、∵AD是中线， ∴ ⊥ ， ∠ = ∠ 。 理解三线合一 “三线合一”应该对应等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高重合在一起。知一线得二线。 探究三、已知：AB=AC=BC， 求证：∠A=∠B=∠C=60° 证明：∵AB=AC=BC， ∴∠A=∠B=∠C（等边对等角） ∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理） ∴∠A=∠B=∠C=180°÷3=60° 【强调】等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质。 一、基础达标1： 1．在△ABC中，AB=AC，如果一个底角为50°，则另两个角为 　 　和　 　 。 2．在△ABC中，AB=AC，如果一个角为50°，则另两个角为　 　. 3．在△ABC中，AB =AC，点D是BC的中点，∠B = 40°，则∠BAD的度数是　 　 . 4．等腰三角形一边长为3cm，另一边长为4cm，它的周长为　 　。 5．等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm，则这个三角形的周长是（　　） A．9cm B．12cm C．9cm或12cm D．在9cm与12cm之间 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，如果BC＝16cm，则BD＝　 　cm．如果CD=8cm.则BC= 　 　cm 7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、能力提升1： 8．已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，BF＝AE， 求证： （1） △ABC是等腰三角形； （2）AF＝CE． 三、拓展迁移1： 9．如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC． （1）求证：△BDE是等腰三角形； （2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数． 等腰三角形性质 1、等腰三角形的两个底角相等。（简称“等边对等角”） 2、等腰三角形是轴对称图形。等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线。 3、等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合（也称三线合一）。 4、等边三角形是特殊的等腰三角形，每个角均为60° 四、基础达标2： 10．等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（　　） A．17 B．22 C．13 D．17或22 11．一个顶角为126°的等腰三角形，它的底角的度数为（　　） A．18° B．24° C．27° D．34° 12．等腰三角形的底角是顶角的2倍，则底角度数为（　　） A．36° B．32° C．64° D．72° 13．如图，已知△ABC是等腰三角形，AB=BC，BD平分∠ABC，若AC=6，则AD的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．8 14．如图，在△ABC中，AB=AC，BC边的中线AD交于BC点D，点E在AD上，且AE=CE，∠ACE=35°，则∠B为　 　 度 15．如图，在△ABC中，D、E是C边上的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数 五、能力提升2： 16． 如图，在△ABC中，AB=AC=3，∠ABC和∠ACB的平分线相交于E，过E作BC的平行线交AB于M，交AC于N，三角形AMN的周长是 　 　。 17． 如图，正方形的网格中，点A，B是小正方形的顶点，如果C点是小正方形的顶点，且使△ABC是等腰三角形，则点C的个数为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 六、拓展迁移2： 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG． （1）求证：△ABF≌△ACG； （2）求证：BE＝CG+EG． 答案解析部分 1．【答案】50°；80° 【解析】【解答】解：∵等腰三角形的两个底角相等， ∴另有一角为50°， ∴第三个角的度数为180°-50°-50°=80°， 故答案为：50°，80°. 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可. 2．【答案】50°和 80°或 65°和 65° 【解析】【解答】解：当50°角是底角时，另两个角的度数为：50°，180°-50°-50°=80°， 当50°角是顶角时，另两个角为， 故答案为：50°和 80°或 65°和 65°. 【分析】需要分情况讨论这个角是顶角还是底角，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出另外两个角的度数. 3．【答案】50° 【解析】【解答】解：如图， 点D是BC的中点， 故答案为：50°. 【分析】根据三线合一得到∠ADB=90°，然后根据直角三角形的两锐角互余解答即可. 4．【答案】10cm或11cm 【解析】【解答】解：若三角形的三边分别为3cm， 3cm， 4cm，满足三边关系，则周长为10cm； 若三角形的三边分别为3cm， 4cm， 4cm，满足三边关系，则周长为11cm； 它的周长为10cm或11cm. 故答案为：10cm或11cm. 【分析】分当腰长为3cm时，当腰长为4cm时，两种情况根据构成三角形的条件验证求解即可. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：当2cm为腰时，三边为2cm，2cm，5cm，由于2+2<5，则不能构成三角形； 当5cm为腰时，三边为2cm，5cm，5cm，由于5+5>2，能构成三角形，则三角形的周长为5+5+2=12cm； 故答案为：B. 【分析】分为2cm或5cm的长为底，根据三角形的三边关系判断能否构成三角形，然后求出三角形的周长即可. 6．【答案】8；16 【解析】【解答】解： AD平分交BC于点D， 故答案为：8. AD平分交BC于点D， ∴BC=2CD=2×8=16， 故答案为，8；16. 【分析】根据等腰三角形的三线合一解答即可. 7．【答案】A 【解析】【解答】解：∵AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形； ∵AB=AC ， ∠A=36° ∴∠ABC=∠ACB=72° ∵BD、CE分别是 ∠ABC、∠BCD的角平分线， ∴∠DBC=∠BCE ， ∠CED=∠DBC+∠BCE=36°+36°=72°， ∠A=∠ABD， ∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD=180°-180°-72°-36°=72° ∴△EBC、△ABD 是等腰三角形； ∠BDC=∠BCD， ∠CED=∠CDE， ∴△BCD、△CDE是等腰三角形； ∴图中等腰三角形有5个. 故答案为：A. 【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形. 8．【答案】（1）证明：∵AE∥BC， ∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB， ∵E为△ABC的外角平分线上的一点， ∴∠DAE＝∠EAC， ∴∠B＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形； （2）证明：在△ABF和△CAE中 AB=AC， ∠B=∠ACE BF=AE ∴△ABF≌△CAE ∴AF=CE 9．【答案】（1）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠DBE＝∠CBE， ∵DE∥BC， ∴∠DEB＝∠CBE， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴DB＝DE， ∴△BDE是等腰三角形 （2）解：∵∠A＝35°，∠C＝70°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣35°﹣70°＝75°， ∵DE∥BC， ∴∠BDE+∠DBC＝180°， ∴∠BDE＝180°﹣75°＝105° 10．【答案】B 【解析】【解答】解：当腰长为4时，则三角形的三边长为：4、4、9； ∵4+4＜9，∴不能构成三角形； 因此这个等腰三角形的腰长为9，则其周长=9+9+4=22． 故本题选B． 【分析】本题可先根据三角形三边关系，确定等腰三角形的腰和底的长，然后再计算三角形的周长． 11．【答案】C 【解析】【解答】解：一个顶角为126°的等腰三角形，它的底角的度数为 故答案为：C 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定义进行解答即可. 12．【答案】D 【解析】【解答】解：设等腰三角形的顶角度数为x， ∵等腰三角形的底角是顶角的2倍， ∴底角度数为2x， 根据三角形内角和定理得： 解得 则底角的度数为' 故答案为：D. 【分析】设等腰三角形的顶角度数为x，则底角度数为2x，根据三角形内角和定理列出方程：x+2x+2x= 解方程即可. 13．【答案】B 【解析】【解答】解：∵AB=BC，BD平分 ∴ 故答案为：B. 【分析】根据等腰三角形的三线合一解答即可. 14．【答案】55° 【解析】【解答】解：解： ∵AB= AC， AD是BC边的中线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∵AE=CE， ∴∠ACE =∠EAC=35°， ∴∠ACB=90°-∠EAC =55°， ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB=55°， 故答案为：55. 【分析】利用等腰三角形的三线合一性质可得AD⊥BC，从而可得∠ADC=90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ACE=∠EAC=35°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ACB=55°，进而利用等腰三角形的性质即可解答. 15．【答案】解：∵△ADE是等边三角形， ∴AD=DE=AE，∠ADE=∠AED=∠DAE=60°， 又∵D、E是BC边上的三等分点， ∴BD=DE=EC， ∴∠ECA=∠CAE= ∠AED=30°，∠DBA=∠DAB= ∠ADE=30°， ∴∠BAC=∠DAB+∠DAE+∠CAE=30°+60°+30°=120°， 【解析】【分析】根据等边三角形的性质得到AD=DE=AE，∠ADE=∠AED=∠DAE=60°，然后根据三等分点得到BD=DE=EC，利用三角形的外角性质和等边对等角得到CAE=∠DAB=30°，然后根据角的和差解答即可. 16．【答案】6 【解析】【解答】解：∵BE， CE分别是∠ABC与∠ACB的角平分线， ∴∠MBE=∠EBC， ∠NCE=∠ECB， ∵MN∥BC， ∴∠MEB=∠EBC，∠NEC=∠ECB， ∴∠MBE =∠MEB， ∠NCE=∠NEC， ∴MB=ME， NC= NE， ∵AB=AC=3， ∴△AMN的周长 = AM+ME+NE+AN =AM+MB+AN+NC =AB+AC =3+3 =6. 故答案为：6. 【分析】根据BE、CE是角平分线和MN∥BC可以得出MB= ME， NE= NC， 继而可以得出△AMN的周长=AB+AC，从而可以得出答案. 17．【答案】B 【解析】【解答】解：如图，分情况讨论： ①AB为等腰 的底边时，符合条件的C点有4个； ②AB为等腰 其中的一条腰时，符合条件的C点有4个. 所以 是等腰三角形，点C的个数为8个， 故答案为：B. 【分析】当AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形；当AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解. 18．【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠FAG ∴∠BAC-∠DAC=∠FAG-∠DAC ∴∠BAD=∠CAG 在△ABF和△ACG中 ∴△ABF≌△ACG(ASA （2）证明：由（1）得△ABF≌△ACG ∴BF=CG，AF=AG，∠BAF=∠EAG 又∵AB=AC，AD⊥BC ∴∠BAF=∠DAC ∴∠DAC=∠EAG 在△AEF和△AEG中 ∴△AEF≌△AEG(SAS) ∴EF=EG ∴BE=BF+EF=CG+EG ∴BE=CG+EG 学科网（北京）股份有限公司 $