1.3 直角三角形（课堂训练）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

3直角三角形 第1课时 直角三角形的性质与判定 √知识梳理 直角三角形的两个锐角 性质 勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的平方 直角三角形 有两个角 的三角形是直角三角形 判定 如果三角形两边的 等于第三边的平方，那么这个三角形是 直角三角形 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么 互逆命题与 这两个命题称为互逆命题，如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称 互逆定理 为它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理， 其中一个定理称为另一个定理的逆定理 针对训练 1.在一个直角三角形中，一个锐角是40°， 都为真命题的是 .（填序号) 则另一个锐角的度数是 ( 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， A.70° B.50° C.30° D.10° BC=2,则AC的长为 2.下列各组数中，不能构成直角三角形的 6.如图，在△ABC中，D为边BC上的一 一组是 ( 点，AB=13,AD=12,AC=15,BD=5. A.3,4,5 B.5,12,13 (1)求证：AD⊥BC; C.7,24,26 D.8,15,17 (2)求△ABC的面积. 3.如图，AB∥DF,AC⊥BC于点C,CB的 延长线交DF于点E.若∠A=20°，则 ∠CEF的度数为 A.110° B.100° C.80° D.70° 4.有下列命题：①直角都相等；②若ab>0 且a+b>0,则a>0,b>0;③一个角的 补角大于这个角.其中原命题和逆命题 7 第2课时直角三角形全等的判定 √知识梳理 直角三角形 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简述为“ ”或 全等的判定 (1)“HL”只适合直角三角形，不适合一般三角形； 解题策略 (2)判定两个直角三角形全等，既可以用“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”,也可以用“HL” 针对训练 1.如图，已知AB⊥BD,CD⊥BD,若用 (2)若AD=3,BC=4,求AB的长. “HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全 等，则需要添加的条件是 A.∠B=∠D B.∠ACB=∠CAD C.AB=CD D.AD-CB 5.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥ AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF. (第1题图) (第3题图) (1)写出图中所有全等的三角形； 2.下列条件不能判定两个直角三角形全等 (2)从(1)中选择一对全等三角形进行证明. 的是 A.两个锐角分别相等 B.两条直角边分别相等 C.一条直角边和斜边分别相等 D.一个锐角和一条斜边分别相等 3.如图，∠B=∠D=90°，BC=CD,∠1= 40°，则∠2的度数为· 4.如图，∠A=∠B=90°，E是AB上一点， 且AD=BE,∠1=∠2. (1)求证：Rt△ADE≌Rt△BEC; ·8…6.CAD CAD BAD CAE∠BAD=∠CAE SAS全等三角形的对应角相等 第2课时三角形内角和定理的推论 知识梳理 反向延长线 针对训练 1.B2.B3.C4.>5.75°6.60° 7.证明：(1)·∠AEC=∠B+∠EOB,∠ADB=∠C+∠DOC,且∠B=∠C,∠EOB= ∠DOC,.∠AEC=∠ADB.(2).∠BEC=∠C+∠A>∠C,∠B=∠C,.∠BEC >∠B. 第3课时多边形的内角和 针对训练 1.D2.C3.174.60° 5.解：(1)由题意，得1260°=(n一2)×180°，解得n=9.(2)小红的说法不对.理由如下： 当0取800时，80°=(a一2)×180°，解得m-53.:n为正整数，0不能取800 第4课时多边形的外角和 针对训练 1.A2.D3.72°4.290° 5.解：设这个多边形的边数为n.根据题意，得180°·(n一2)=540°+360°，解得n=7. 540°+360°=900°.答：这个多边形的边数是7，内角和是900°. 2等腰三角形 第1课时等腰三角形与等边三角形的性质 知识梳理 相等中线高相等60° 针对训练 1.C2.C3.A4.50°5.240°6.36°7.15 8.证明：.'DE∥AC,.∠ADE=∠CAD.,AE=DE,.∠EAD=∠ADE..∠EAD= ∠CAD.AB=AC,.AD⊥BC 第2课时等腰三角形的判定与反证法 知识梳理 两等角对等边 针对训练 1.B2.C3.B4.35.10 6.证明：AB=AC,∠A=36,∠ABC=∠C=号(180°-∠A)=72.:BD平分 ∠ABC,∠1=∠2=2∠ABC=36.∴∠1=∠A,∠BDC=∠1+∠A=72°=∠C .AD=BD,BC=BD..'.AD=BC. 7.证明：假设AB=AC.,AB=AC,.∠B=∠ACB..∠DAC=∠B十∠ACB=2 ∠ACB.AE平分∠DAC,∴∠DAC=2∠CAE..∠ACB=∠CAE..AE∥BC.这与 ∠DAC的平分线与BC的延长线交于点E相矛盾，.AB=AC不成立，.AB≠AC. 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 知识梳理 相等60°一半 针对训练 1.D2.B3.C4.A5.48 6.证明：'AD=CD,.∠A=∠ACD=30°..∠BDC=∠A十∠ACD=60°..∠ACB =90°，∠DCB=∠ACB-∠ACD=60°，∠B=90°-∠A=60°..△BCD是等边三 角形. 40 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 知识梳理 互余平方和互余平方和 针对训练 1.B2.C3.A4.②5.2√3 6.(1)证明：AB=13,AD=12,BD=5,.AD2+BD2=169,AB2=169..AB2=AD2 十BD2.△ABD为直角三角形，且∠ADB=90°.∴AD⊥BC.(2)解：：AD⊥BC, .∠ADC=90°.在Rt△ADC中，CD=√AC-AD=9.∴.BC=CD+BD=14. :.Se=专BC·AD-专×14X12=84 第2课时直角三角形全等的判定 知识梳理 斜边、直角边HL 针对训练 1.D2.A3.50 DE=EC, 4.(1)证明：：∠1=∠2，.DE=EC.在Rt△ADE和Rt△BEC中， AD=BE, .Rt△ADE≌Rt△BEC(HL).(2)解：，Rt△ADE≌Rt△BEC,.AE=BC.AD= BE,,∴，AB=AE+BE=BC+AD=7. 5.解：(1)△ABD≌△ACD,△ADE≌△ADF,△BDE≌△CDF.(2)答案不唯一，如：选 △BDE≌△CDF.证明如下：，DE⊥AB,DF⊥AC,∴.∠BED=∠CFD=90°.D是 BD=CD, BC的中点，∴.BD=CD.在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∴.Rt△BDE≌ BE=CF, Rt△CDF(HL) 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 知识梳理 相等相等 针对训练 1.C2.D3.B4.C5.AD 6.证明：∠1=∠2，∠3=∠4，∴.EB=EC,∠1+∠3=∠2十∠4，即∠ABC=∠ACB. ∴.点E在BC的垂直平分线上，AB=AC..点A在BC的垂直平分线上..AD垂直平 分BC. 第2课时三角形三边的垂直平分线 针对训练 1.C2.C3.D4.A 5.PB=PC到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 6.解：如图，线段CH即为所求. 7.解：如图，△ABC即为所求. 5角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 针对训练 1.(1)BCDC(2)ABAD2.40°3.4 4.证明：：BF⊥AC,CE⊥AB,∴·∠BED=∠CFD=90°.在△BDE和△CDF中， ∠BED=∠CFD, ∠BDE=∠CDF,.△BDE≌△CDF(AAS)..DF=DE.∴.AD平分∠BAC BE=CF. 第2课时三角形的三条角平分线 针对训练 1.B2.1259 3.解：如图，点P即为所求 第二章不等式与不等式组 1不等式及其性质 第1课时不等关系 针对训练 1.D2.C3.G>80N 4.解：(1)2y+1>3.(2)(a+b)2≥3. 第2课时不等式的解与解集 针对训练 1.D2.A3.x一1<2（答案不唯一）4.无数3 5.解：(1)如图所示. -3-2-1012→ (2)如图所示. -3-2.5-2-10 12 第3课时不等式的基本性质 知识梳理 不变> 不变>>改变<< 针对训练 1.A2.C3.D4.> 5.解：(1)根据不等式的基本性质1，两边都加2，得x<5.这个不等式的解集在数轴上 的表示如图所示. 05 (2)根据不等式的基本性质2，两边都乘2，得x>10.这个不等式的解集在数轴上的表 示如图所示 010 (3)根据不等式的基本性质1，两边都减9x,得x≥一1.这个不等式的解集在数轴上的 表示如图所示. -10 (④)根据不等式的基本性质3，两边都除以一4，得<一号这个不等式的解集在数轴 上的表示如图所示. 42