23.4 实际问题与一次函数（第1课时 建立一次函数模型）（课件）-【满分全攻略备课系列】2025-2026学年人教版数学八年级下册

八年级人教版数学下册 第二十三章 一次函数 23.4 实际问题与一次函数 第一课时 建立一次函数模型 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 1. 通过实际问题经历一次函数模型的建模过程，在情境中感受数学来源于生活，发展和培养数学建模思想以及分析、解决问题的能力． 2. 了解分段函数的特点，学会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象，感知数形结合思想在一次函数中的应用． 在日常生活中，很多问题中变量之间的对应关系可以用一次函数来刻画.在运用一次函数解决实际问题时，一般先将实际问题抽象为一次函数问题，然后根据条件求得一次函数的解析式，再结合一次函数的图象和性质分析并解决问题. 那么，如何从一个具体的生活情境中，准确找出变量、判断变量关系、建立起对应的一次函数模型，就是我们本节课要重点学习的内容。 我们先从身边熟悉的实例入手： 比如打车计费、手机套餐收费、购物打折、水池注水、行程匀速运动等，这些问题里都存在两个相关联的量，它们的变化规律往往满足一次函数关系。 面对这类问题，我们不能只停留在计算单个数值，而要学会用函数的眼光看待变化过程，用函数模型表达数量关系，进而利用函数解决更一般、更复杂的实际问题。 今天我们就一起来学习 ——实际问题与一次函数，初步掌握建立一次函数模型的基本方法。 教材P131 例题 ● 例2 解 例 某玉米种子的价格为40元/kg. 若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2kg的种子，超过部分的种子价格打六折： (1)写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象： 分析：付款金额与种子价格有关.而种子价格不是固定不变的,它与购买量有关.因此,写函数解析式与画函数图象时,应分0≤x≤2和x>2讨论. (1)设购买量为 x kg，付款金额为 y 元. 当0≤x≤2时，种子价格为40元/kg，函数解析式为y=40x； 当x＞2时，购买的种子中有2kg按40元/kg计价， 其余的(x-2)kg（即超过2kg部分按24元/kg（即六折）计价， 函数解析式为y=40×2+24(x-2)=24x+32. 函数图象如图23.4-1所示. 教材P131 例题 ● 例2 解 例 某玉米种子的价格为40元/kg. 若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2kg的种子，超过部分的种子价格打六折： (2)一次购买4kg玉米种子，需付款多少元？ (2)因为4>2， 所以y=24×4+32=128. 因此，一次购买4kg种子，需付款128元. 函数解析式也可以合起来表示为也可以这样表示： 三月中下旬，某地山桃花进入了最佳观赏期，吸引了大批游客共赴这一场盛大的花海盛宴. 为满足登山游客对户外用品的需求, 甲、乙两家户外用品商店分别推出各自的促销优惠方案，分别是：甲商店，一次购买的户外用品不超过180 元不打折，超过180 元的部分打八折；乙商店，一次性购买的户外用品不超过300元不打折，超过300 元的部分打六折，设商品原价为x 元(x>0)，购物时应付金额为y 元. (1)求在甲商店购物时，y1与x之间的函数解析式； 解：由题意知，当0<x ≤ 180 时，y1＝x；当x>180 时，y1＝180＋0.8(x－180)＝0.8x＋36.所以在甲商店购物时，y1 与x 之间的函数解析式为y1＝ (2)当一次性购买的户外用品超过300 元时，若在甲商店和乙商店的付款金额相等，求所购买的户外用品的原价. 解：根据题意知，在乙商店购物时，当x>300 时，y2＝300＋0.6(x－300)＝0.6x＋120.由题意得，0.8x＋36＝0.6x＋120. 解得x＝420.因此，当购买的户外用品的原价为420 元时，在甲商店和乙商店的付款金额相等. 变式训练 教材P131-132 练习 课内练习 1.一个实验室在0:00-2:00保持20℃的恒温，在2:00-4:00匀速升温，每小时升高5℃.写出实验室温度T(单位：℃)关于时间t(单位：h)的函数解析式，并画出函数图象. 解：当  时，； 当  时，. 故  关于  的函数解析式为 这个函数的图象如图所示. 2.某市出租车的收费方式为:路程不超过3km时收费9元，超过3km部分每千米收费2元.记乘客乘坐出租车的路程为x(x>3)km，乘车费为y元. (1)求y关于x的函数解析式; (2)若有一位乘客付了23元乘车费，则他的乘车路程是多少? 解：（1）y=9+2(x-3)=2x+3. （2）令2x+3=23，解得x=10. 所以他的乘车路程是10 km. 基础巩固题 知识点 分段函数 1.【2025黑龙江哈尔滨一模】某市自来水公司为鼓励居民节约用 水，采取月用水量分段收费的办法，某居民应交水费 （元）与 用水量 （吨）的函数关系如图所示．若该居民本月用水量为18 吨，则应交水费( ) C A.43.2元 B.45元 C.46.8元 D.48元 【解析】设，由图象可得 解得 所以.当时， ,即 若该居民本月用水量为18吨，则应交水费46.8元．故选C． 2.【2025江苏无锡期末】某电信公司推出两种宽带网的月收费 方式．两种方式都采取包时上网，即上网时间在一定范围内， 收取固定的月使用费；超过该时间范围，则加收超时费．若两 种方式所收费用（元）与上网时间 （时）的函数关系如图 所示，且超时费都为2.8元/时，则这两种方式所收费用最多相 差____元． 50 【解析】由图象可知，固定月使用费为30元的方式，上网时间是50时的费用为 （元），固定月使用费为50元的方式，上网时间是50 时的费用为50元， 分析图象可知两种方式所收的费用最多相差 （元）.故答案为50． 11 能力提升题 3.某实践小组观察记录了莴笋的成长过程，如图表示的是一种莴笋的高度y(cm)与观察时间x(天)之间的函数图象．由图象可知，这种莴笋可能达到的最大高度是________． 32 cm 4.某公司生产了A，B两款新能源电动汽车．如图，l1，l2分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y(kW·h)与汽车行驶路程x(km)的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300 km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多______kW·h． 12 1 5.[2025武汉模拟]甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是19 km/h，乙骑行的路程s(km)与骑行的时间t(h)之间的关系如图所示．若骑行a h后，乙恰好骑行在甲的前面，则a的值是________． 6.[教材P132练习T2变式]为加强居民节水意识，某市采用如下收费标准：每月用水量不超过13立方米时，每立方米4元，超过13立方米时，超出的部分每立方米6元．设某用户月用水量为x立方米，水费为y元． (1)y关于x的函数解析式为 ______________； 解：13×4＝52(元)，50<52<58，∴该用户本月预算用水超过13立方米， 实际用水不超过13立方米．当y＝58时，6x－26＝58，解得x＝14； 当y＝50时，4x＝50，解得x＝12.5. 14－12.5＝1.5(立方米)． 答：该用户本月实际用水比预算少用了1.5立方米． (2)若该用户某月预算水费为58元，实际水费为50元，则该用户本月实际用水比 预算少用了多少立方米？ 7.某水果店以每千克8元的价格购进苹果若干千克，销售了部分苹果后，余下的苹果每千克降价4元销售，全部售完．销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的关系如图所示，请根据图象提供的信息解答下列问题： (1)降价前苹果的销售价格是________元/千克； 16 (2)求降价后的销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的函数解析式， 并写出自变量的取值范围； 解：该水果店这次销售苹果盈利了760－8×50＝360(元)． (3)该水果店这次销售苹果盈利了多少元？ 15 8.[2025天津中考]已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家0.6 km，公园离家1.8 km．小华从家出发，先匀速步行了6 min到书店，在书店停留了12 min，之后匀速步行了12 min到公园，在公园停留25 min后，再用15 min匀速跑步返回家．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表：   ②填空：小华从公园返回家的速度为______km/min； 小华离开家的时间/min 1 6 18 50 小华离家的距离/km   0.6     0.1 0.6 1.8 0.12 ③当0≤x≤30时，请写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式； 解：小华去书店的速度为0.6÷6＝0.1(km/min)，∴当0≤x≤6时，y＝0.1x；由题图可知，当6<x≤18时，y＝0.6；当18<x≤30时，设y＝kx＋b，将(18，0.6)，(30，1.8)分别代入，得 ∴y＝0.1x－1.2.综上所述， y＝ 16 8.[2025天津中考]已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家0.6 km，公园离家1.8 km．小华从家出发，先匀速步行了6 min到书店，在书店停留了12 min，之后匀速步行了12 min到公园，在公园停留25 min后，再用15 min匀速跑步返回家．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： 解：x的取值范围为12<x<24. (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以 0.05 km/min的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为y1，小华的妈妈离家的距离为y2，当y1<y2时，求x的取值范围(直接写出结果即可)． 17 分段函数 一次函数的图象和性质 实际问题 解决 课堂小结 教科书第115页练习 第1，2题 布置作业 y＝ 解：降价后苹果的销售量是(760－640)÷(16－4)＝10(千克)，设降价后的销售金额 y(元)与销售量x(千克)之间的函数解析式是y＝kx＋b，将(40，640)，(50，760)分别代入， 得解得∴降价后的销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的函数解析式是y＝12x＋160(40<x≤50)． $