精品解析：广西河池市2026年普通高中毕业班统一模拟测试数学试题

河池市2026年普通高中毕业班统一模拟测试数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，故. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 3. 已知一组数据：的平均数为8，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】因为的平均数为8，所以，解得， 所以这组数据为. 又因为为整数， 所以该组数据的第60百分位数为. 4. 小明假期在一家文具店兼职打工，文具店第1天支付给他30元，由于小明工作认真努力，从第2天起，文具店老板决定每天支付给小明的金额都是前一天的1.2倍．小明一共工作了10天，则他领到的总报酬为（ ）元．（参考数据：） A. 778.5 B. 624 C. 185.7 D. 154.8 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的求和公式，代入数据，即可得答案. 【详解】设第n天的报酬为，， 由题意，是以首项，公比的等比数列， 则工作了10天，他领到的总报酬. 5. 已知圆，若双曲线的一条渐近线与圆相切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】圆的标准方程为：，故，圆的半径为， 而双曲线的渐近线方程为， 因为双曲线的一条渐近线与圆相切， 故，解得（负解舍去）. 6. 已知向量均为单位向量，且向量夹角为，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算法则及定义，两边平方后化简即可得解, 【详解】因为，所以， 即， 又因为向量均为单位向量，且向量夹角为， 所以，即. 7. 已知是第三象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换公式将目标式转化为用已知的表示，分别计算两项后求和得到结果. 【详解】 因为， ， 所以. 8. 已知实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据的正负性对已知方程进行分类讨论，得到不同情况下的方程，然后分析的几何意义，结合图形求出其取值范围. 【详解】当时，方程可化为， 这表示椭圆在第一象限的部分（包括与坐标轴的交点）. 当时，方程可化为， 这表示双曲线在第四象限的部分. 当时，方程可化为， 这表示双曲线在第二象限的部分. 当时，方程可化为， 即，此方程无实数解. 作出曲线和直线, 双曲线的一条渐近线的大致图象如下： ， 其几何意义是曲线上的点到直线的距离的倍. 由图象可得，平移直线与椭圆在第一象限相切时， 此时曲线上的点到直线的距离有最小值. 设切线方程为，联立得， 消去整理得. ，解得或（舍）. 切线方程为， 故切线与直线之间的距离. 直线与渐近线的距离. 曲线上的点到直线的距离. 的取值范围为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分． 9. 已知函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列关于函数的说法中正确的是（ ） A. 的一个对称中心为 B. 在的值域是 C. 在区间内单调递增 D. 的一条对称轴为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平移变换的原则，可得的解析式，代入检验，结合正弦函数的图象与性质，可判断A、C、D的正误；根据x的范围，可得的范围，根据正弦函数的图象与性质，可判断B的正误. 【详解】由题意， A：令，则， 所以的一个对称中心为，故A正确； B：当时，， 当时，， 当时，， 所以的值域为，故B错误； C：当时，， 因为为的一个单调递增区间， 所以在区间内单调递增，故C正确； D：当时，， 所以的一条对称轴为，故D正确. 10. 如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，点为线段上的动点，下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. C. 平面 D. 点到直线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，可通过平面得到H到平面距离恒定，得体积为定值，建立空间直角坐标系，利用坐标运算可判断BCD. 【详解】以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系， 由已知，平面，所以平面，所以上任意一点到平面的距离等于点到平面的距离， 由已知三角形的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以A正确； 由已知分别是棱的中点，所以，，，， 所以，，所以，所以，所以B正确； 点，所以，，设平面的法向量为，所以，得， 所以平面的一个法向量为，点，所以， 所以，即与平面的法向量不垂直，所以与平面不平行，C错误； 过点作，，，所以， 所以，所以，所以D正确. 【点睛】 11. 已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（ ） A. 为的周期 B. 关于对称 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先用赋值法求特殊值，可以排除C，再通过判断奇偶性，结合中心对称性进一步推出周期性判断A，利用中心对称性验证选项B，利用周期性拆分求和项，即可判断D. 【详解】因为定义域为的函数，对任意实数、都有， 所以令，可得，解得或， 令，， 又，若，则，显然不成立，故， 所以，所以，可知C错误； 令，得，即， 在原函数方程中，令，得，即， 所以，由，令替换为，得， ，所以，， 所以，故函数的一个周期为4，得A正确； 因为，所以是偶函数，所以， 又因为周期为4，所以，所以， 所以关于对称，选项 B正确； 因为周期为4，所以，所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中含的系数为___________． 【答案】 【解析】 【详解】根据二项式定理，展开式的通项为. 所以通项为. 令，代入得：. 因此系数为. 13. 在中，内角A，，的对边分别为，，，若，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理计算即可. 【详解】因为， 所以由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 又，所以． 故答案为： 14. 已知在平面内，点到直线的距离．此公式可推广到空间内，为求解点到平面的距离多添了一种方法．现在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为，则点到平面的距离．如图，底面边长为2，高为1的正四棱锥中，点到侧面的距离等于___________． （备注：不在同一条直线上的任意三点可以确定一个平面） 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，由待定系数法求得面的方程，由定义求得点到面的距离. 【详解】以底面的中心为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，. 设平面的一般方程为（,）. 将三点坐标代入方程得 解得，，. 由不全为知，代入方程得， 化简得. 根据空间点到平面的距离公式，点到平面的距离： . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或简算步骤． 15. 《我爱古诗词》是某卫视推出的大型传统文化竞技类节目，旨在弘扬中华诗词文化、考验选手诗词储备与临场应变能力．某机构为了解大学生喜欢《我爱古诗词》是否与性别有关，对某校名大学生进行问卷调查，得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男生 女生 合计 （1）判断在犯错误的概率不超过的前提下能否认为喜欢《我爱古诗词》与性别有关，并说明理由； （2）已知在参与问卷调查的大学生中有名是大一学生，其中名喜欢《我爱古诗词》．现从这名大一学生中随机抽取人，设抽到喜欢《我爱古诗词》的人数为，求的分布列与数学期望． 附：，（结果精确到）． 【答案】（1）在犯错误的概率不超过 的前提下，能认为喜欢《我爱古诗词》与性别有关，理由如下． 零假设：喜欢《我爱古诗词》与性别无关 由题意可得， 所以零假设不成立， 所以在犯错误的概率不超过 的前提下，能认为喜欢《我爱古诗词》与性别有关． （2）的分布列为 ． 【解析】 【分析】（1）提出零假设，利用卡方公式计算的值，再与临界值比较后即得结论； （2）先确定的可能取值为，再结合超几何分布概率公式分别计算概率，列出分布列并用期望公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可得，的可能取值为， ，，， 所以的分布列为 ． 16. 已知数列的前项和为，若满足，且与的等差中项是6． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由已知可得为等差数列，， 与的等差中项是6，即， 所以. 【小问2详解】 ， 则， . 17. 如图，四棱锥的底面是边长为4的菱形，，，，，是的中点． （1）证明：； （2）若点为线段上动点，是否存在这样的点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 连接AC， 由题意可知：是等边三角形，且是的中点，， 则，， 因为，，则，， 又因为，则，可知， 且，平面，可得平面， 且平面，所以. （2） 以为原点，为轴，为轴，过作垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设，则， 设为与平面的夹角为， 则, 整理可得，解得， 且，所以线段上不存在满足条件的点. 【解析】 【分析】（1）通过证明线面垂直来证明线线垂直，通过证明平面，从而证明. （2）通过建立坐标系来确定各点的坐标，然后通过线面角的公式来求得未知点的坐标，最后通过判断点的坐标是否可能在上，从而判断点是否存在. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知椭圆：的焦距为，分别为椭圆的左右焦点，点在上，且的面积为． （1）求的方程； （2）过点的直线交于不同的两点． （i）求的取值范围； （ii）已知上一点，且不在轴上，直线与的另一个交点分别为，若，，求的值． 【答案】（1）的方程为． （2）（i）的取值范围为；（ii）． 【解析】 【分析】（1）由焦距得，结合的面积求出点的纵坐标，代入椭圆方程，结合即可； （2）（i）设过的直线方程并联立椭圆，由判别式得到参数的取值范围，利用韦达定理表示根的关系，结合弦长公式将转化为关于的函数，换元后求函数的值域； （ii）由向量共线关系用的坐标表示的坐标，将代入椭圆方程并结合在椭圆上的条件，化简得到关于的方程，联立消去​，求出的值． 【小问1详解】 由椭圆的焦距为，得，即， 又，所以， 因为点在椭圆上，所以， 解得，， 所以的方程为． 【小问2详解】 （i）当直线的斜率为时，点的坐标分别为，则； 当直线的斜率不为时，设过点的直线方程为（斜率不存在时直线为，与椭圆无交点，不满足题意）， 由，得， ，解得， 设，，则，， 由弦长公式得，同理， 依题意，同号，则， 令，则， 所以， 因为，所以，， 所以，即． 综上可得，的取值范围为． （ii）设，，，，， 由，得，解得，， 因为在椭圆上，所以，化简得①， 又在椭圆上，所以，即②， 将②代入①得，化简得③， 由，得，解得，， 因为在椭圆上，所以，化简得④， 将②代入④得，化简得⑤， 由③⑤得，化简得． 19. 设函数定义在区间I上，若对任意的，有，则称为I上的下（上）凸函数，当且仅当时等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的下（上）凸函数的充要条件是． （1）若函数是上的下凸函数，求实数的取值范围； （2）当时，证明：； （3）已知为三个内角，证明：． 【答案】（1） （2） 令，则，其中， 原不等式等价于， 令， ， 令，则，故在单调递增，且， 所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以当时，取得最小值，所以， 即 所以. （3） 令，，，， 故是上的上凸函数. 根据上凸函数定义，对有： ​​​，  整理得 ，两边取指数得，原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）利用下凸函数的充要条件恒成立，将问题转化为求的取值范围，通过分析的取值得到取值范围； （2）通过对称换元将双变量不等式转化为单变量函数的最值问题，利用导数分析单调性，证明函数最小值为从而证得不等式； （3）对乘积不等式取对数转化为和的形式，构造上凸函数，利用上凸函数的定义（琴生不等式）求最大值，证得原不等式. 【小问1详解】 以下符号， 根据题意，下凸函数的充要条件是对任意，恒成立. 对，，，  要求对恒成立，即​对恒成立. 因为时，且时，，故， 即实数的取值范围是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河池市2026年普通高中毕业班统一模拟测试数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知一组数据：的平均数为8，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 小明假期在一家文具店兼职打工，文具店第1天支付给他30元，由于小明工作认真努力，从第2天起，文具店老板决定每天支付给小明的金额都是前一天的1.2倍．小明一共工作了10天，则他领到的总报酬为（ ）元．（参考数据：） A. 778.5 B. 624 C. 185.7 D. 154.8 5. 已知圆，若双曲线的一条渐近线与圆相切，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量均为单位向量，且向量夹角为，则（ ） A. B. 1 C. D. 7. 已知是第三象限角，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分． 9. 已知函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列关于函数的说法中正确的是（ ） A. 的一个对称中心为 B. 在的值域是 C. 在区间内单调递增 D. 的一条对称轴为 10. 如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，点为线段上的动点，下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. C. 平面 D. 点到直线的距离为 11. 已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（ ） A. 为的周期 B. 关于对称 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中含的系数为___________． 13. 在中，内角A，，的对边分别为，，，若，则_________． 14. 已知在平面内，点到直线的距离．此公式可推广到空间内，为求解点到平面的距离多添了一种方法．现在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为，则点到平面的距离．如图，底面边长为2，高为1的正四棱锥中，点到侧面的距离等于___________． （备注：不在同一条直线上的任意三点可以确定一个平面） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或简算步骤． 15. 《我爱古诗词》是某卫视推出的大型传统文化竞技类节目，旨在弘扬中华诗词文化、考验选手诗词储备与临场应变能力．某机构为了解大学生喜欢《我爱古诗词》是否与性别有关，对某校名大学生进行问卷调查，得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男生 女生 合计 （1）判断在犯错误的概率不超过的前提下能否认为喜欢《我爱古诗词》与性别有关，并说明理由； （2）已知在参与问卷调查的大学生中有名是大一学生，其中名喜欢《我爱古诗词》．现从这名大一学生中随机抽取人，设抽到喜欢《我爱古诗词》的人数为，求的分布列与数学期望． 附：，（结果精确到）． 16. 已知数列的前项和为，若满足，且与的等差中项是6． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. 如图，四棱锥的底面是边长为4的菱形，，，，，是的中点． （1）证明：； （2）若点为线段上动点，是否存在这样的点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 18. 已知椭圆：的焦距为，分别为椭圆的左右焦点，点在上，且的面积为． （1）求的方程； （2）过点的直线交于不同的两点． （i）求的取值范围； （ii）已知上一点，且不在轴上，直线与的另一个交点分别为，若，，求的值． 19. 设函数定义在区间I上，若对任意的，有，则称为I上的下（上）凸函数，当且仅当时等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的下（上）凸函数的充要条件是． （1）若函数是上的下凸函数，求实数的取值范围； （2）当时，证明：； （3）已知为三个内角，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $