广西桂林市普通高中2026届毕业年级第一次适应性模拟考试数学试卷

桂林市普通高中2026届毕业年级第一次适应性模拟考试 数学 2026.4 (本试卷满分150分，考试时间120分钟) 说明： 1、答题前，考生务必将答题卷密封线内的项目填写清楚，密封线内不要答题。 2.直接在答题卷上答题（不在本试卷上答题）。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1、己知集合A=1,2,34},B=1,3,5},则A∩B= A.13} B.2,4 C.1,2,3,4,5 D.5 2.已知z=1+i,则(z+1)= A.-2+i B.-1+2i C.1+2i D.2+i 3.已知平面向量a=x,1),b=(2,x一1)，若a,b方向相反，则= A.-2 B.2 C.-1 D.2或-1 4。等比数列红，)的前n项和为，且a-心子，则此数列的公比为 1 3 A.-2 B.2 C.1 D.1或-2 5.已知命题p:x>1:命题g:x-1>0成立.则p是g的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.在△ABC中，AC-4,BC=5,△ABC的面积为30N万cosC,则AB= A.36 B.6 C.5√7 D.6√7 7.已知函数f(x)=(x- +则+品 +…+f 2024 2 20261 2026 *f2025, 2026 A.2026 B.2025 C.1013 D. 2025 2 8。当今社会，每天都有海量信息通过网络等渠道快速传播，虽提供了丰富知识和多样视角，但也 存在信息过载、虚假信息等问题，需要我们谨慎筛选辨别，信息熵是信息论中的一个重要概念， 它是由克劳德艾尔伍德香农在20世纪40年代提出，借鉴了热力学的概念，信息熵的数学定义 为H)=-之P,血P,其中H(X)表示随机变量X的信息熵，随机变量X所有可能的取值为 123,n,PX=)=P,>0=123,,且2P,=1.若随机变量X所有可能的取值为1,2， Px=)=p,若pe导，则X的信息滴H(0的值所在的区间为 （参考数据：n2≈0.69，ln3≈1.10) A.(0.4,0.5) B.(0.5,0.6) C.(0.6,0.7) D.(0.7,0.8) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.记Sn为等差数列{an}的前n项和，d为{an}的公差，a=2,S2=0,则 A.d=2 B、a5=6 C.S9-S6=30 D.$2025-S20=206 202620 10.草莓是深受广大消费者喜爱的水果之一，一家水果店的老板为了了解本店草莓的日销售情况， 记录了过去一周(7天)的日销售量，结果如下（单位：kg):43,52,46,55,45,53,49,则下列说 法正确的有 A.该水果店过去7天草莓的平均日销售量为49kg B.这组数据的上四分位数（即75%分位数）是52 C.从这7天中任选两天，则这两天的草莓日销售量均大于平均日销售量的概率为号 D.已知第8天的日销售量为49kg,若将49加入这组数据，则这组数据的方差会变小 1,已知Po)是双曲线C:-y=1上一点，且，>0，，马分别是C的左、右焦点，0 坐标原点，下列说法正确的有 A.C的离心率为√2 B.若OP=|OF,则△FPF2的面积为1 C.若P所-P风<0，则%的取值范围是(5，气 3’3 D.过F2的直线1与C交于A,B两点，若△AFB为等腰直角三角形，且∠AFB=90°，则1的 斜率为士√2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.y轴被圆(x-2)2+(y-1)2=5截得的弦长为】 13.若ae(号m,且6sin2a=sin(a-孕+3，则sin2a= 14.一个正四棱台形状的石撖，其上、下底面边长分别为2和8，高为3√3，现将其打磨成一个球 体，则所得球体的表面积最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(13分)已知4合2小B号，-2)分别是函数/)=4sn(ax+pX4>0,0>0例<受图象上相邻 两个最高点和最低点 (1)求f(x)的解析式： (2)若f(x)的图象的对称中心只有一个落在区间[0，a上，求a的取值范围. 16.(15分)已知箱圆C:三+茶-1a>b>0的去、右袋点分别为5,5，上顶点为B,△5 是面积为2的等腰直角三角形， (1)求C的方程： (2)直线1：y=-x+m与C交于M、N两点，O为坐标原点.若C上存在点P,使得四边形 OMPN为平行四边形，求m的值. 17.(15分)己知直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面AA1C1C,点M为线段CC上靠近 点C的三等分点，点N为直线A1M上的动点，且AB=√2AC,2A4=3AC=6. （1)证明：AM⊥AB: (2)求二面角B-AM-B,的余弦值： (3)求△ABW周长的最小值. B 以B 18.(17分)跳棋，是一项老少皆宜、 流传广泛的益智型棋类游戏.有一 种跳棋棋盘可简化为菱形网格（如 图)，棋子的“跳跃”遵循如下规 C13 则： A( 在同一直线上，若玩家棋子与 T(n.n 另一棋子相邻，且相邻棋子的另一 B3,1 侧为空位，则玩家棋子可以直接跳 到该空位上（如①），被跳过的棋 子称为“桥”：若玩家棋子的相邻 位置没有棋子（如③），或相邻位 置有连续两枚棋子（如④），则不 可跳跃（图③④用“X”表示）. ② 若跳跃后的位置满足上述跳 跃的条件，则可以沿任意方向（不 限原方向，但不能跳出边界)继续 跳跃（如图②). 玩家从起跳到由于不可跳跃或主动停下而停止跳跃，算作“一步棋” 为了方便，我们用(：，y)表示每个格点的位置：棋盘最左端为起点，表示为S(1,1),从S出 发，朝右下方移动一格，x增加1；朝右上方移动一格，y增加1，如A(1,2),B(3,1),C(1,3),终点 为T(n,nm)(n为奇数). (1)当n=9,且限定玩家只能向右上或右下两个方向跳跃时： ()若棋盘上可根据需要摆放“桥”，则玩家从起点S(1,1)到点P(3,5)共有多少条路径？ ()若棋盘上每个位罩有棋子的概率为行且每个位置是否摆放棋子互不影响，现玩家 从点2（⑤，）出发，能一步到达终点T的概率是多少？ (2)小明在棋盘上摆放了m颗棋子，然后他惊讶地发现：若棋子可沿任意直线方向跳跃（但 不能跳出边界)，则此时，棋盘上任意一个空位都可从起点S(I,1)一步到达，且这m颗棋 子都能作为“桥”，试写出m与n的关系式. 19.（17分)已知函数/=e-r2-ax+0,其中a∈R (1)当a=二时，求x)在(0，+o)上的单调性； (2)若x)存在两个极值点x,x2(x<x2). (i)求a的取值范围； 当+%[名-2b3-2]时，求出的取值花西. x+1 桂林市普通高中2026届毕业年级第一次适应性模拟考试 数学参考答案 题号 1 2 3 4 6 > P 9 10 11 答案 A B 0 心 ABD ACD BC 一、单选题： 1.选A解析：由交集的定义，1和3既属于A,又属于B,∴A∩B={1,3},故选A. 2.选B.解析：(z+1)=i(2+i)=2i+2=-1+2i,故选B. 3.选C解析：由a,b方向相反可知：a∥b且x<0,由a∥b得：2=x2-x,解得：x=2或x=-1, 又x<0,x=-1,故选C 4走D解折：8=4+8+4，即程-9+行92，整理得：矿+9-2=0=9=1攻2，故 选D. 5.选A解析：由于y=x-上在(0,0)，(0，o)上单调递增，所以当x>1时，y>1-=0,充分 1 性成立：反之，若x-1>0,当x<0时，化简得：x2-1<0,解得-1<x<1,再结合x<0得 -1<x<0,所以必要性不成立，故选A. 6.选B.解折：：S.c=30万cosC=子AC.BC-sinc, ∴30W7cosC=10simC→tanC=3万，cosC=1. 8 由余弦定理得：AB2=AC2+BC2-2·AC,BC.cosC=16+25-2x4x5x=36, 8 AB=6,故选B. 7逸D解折：因为网+0-动=c+行+0-x+分， 2 27 2026 02+20230 设5=+品++2+ 2026 则s=f22+ 20261 +++@. 2024、 2026 20261 ①+②得：25=2025，即S=2025,故选D. 2 C解析：因为随机变量X服从两点分布，所n=2,由题意：P=pp∈(，，所以P2三 eC写号，所以H0=-立naA=-pi咖p-0-pa-p. 设fp)=-plnp-1-p)hl-p),3p<号' 2 高三数学参考答案第】页共8页 则/o=-p-p言h-p+-p小Bh-p小-hp,所以9-0，从而)在 兮2上递增，兮房上递减，所以p)≤=h2=069<07,且/p>,p>f原， 然r-,又=时号号-3+2-3+号-b=h3-2, 33 代入：h2069,h3=10得/=1-号x069338-1g2-06,所以0>06， 3 3 3 综上：0.6<f(p)<0.7,即0.6<H(X)<0.7,故选C. 二、多选题： 9.选ABD.解析： 对于A:由于S3=3a2=0,所以a2=0,又a3=2,所以d=a3-a2=2,故A正确： 对于B:a5=a2+3d=6,故B正确： 对于C:Sg-S6=a,+ag+ag=3ag,而ag=a5+3d=12,所以，-S6=36,故C错误； 对于D:由于a=a2-d=-2,d=2,可由等差数列求和公式得：Sn=n2-3n,所以S4=n-3, 故而S20-20=(2026-3)-(20-3)=2006,故D正确故选ABD. 202620 10.选ACD.解析： 对于A:平均日销售量为：x=49+6+3-3+6-4+4+0=49+0=49,故A正确： 7 对于B:将该组数据按照从小到大的顺序排列：43454649525355，而7×75%=5.25， 所以这组数据的上四分位数是第6个数，即53，故B错误； 对于C:在这7天中，有3天草莓的日销售量大于平均日销售量，所以P=C=-, C,故C正确： 对于D:由于加入的数据49是平均数，这使得数据的波动变小，所以这组数据的方差会变小， 故D正确故选ACD. 11.选BC.解析： 对于A由双曲线C的方程号-尸2=1可知，a=反，b=lc=5,故离心率e==反， a√2 故A错误； 对于B:由OP=|O,又OF=|OF得，△FPF2为直角三角形，且∠FPF2为直角，所以 S%品5，放B正 62 对于C:因为F(←5,0)，F(W5,0),且P(xo,o)是双曲线上的点，所以9-o2=1,故 2 P听·P币=（←5-x0,-%)(6W5-x0,-y%)=x02-3+%2=2+2y02-3+%2=3y%2-1<0,计算得 3<%<等，故C正确： 对于D:设点A、B都在右半支，若△AFB为等腰直角三角形，且∠AFB=90°，由双曲线的 高三数学参考答案第2页共8页 对称性知AB垂直于x轴，设A在x轴上方，则直线AF,的斜率为1，与渐近线斜率比较，不可 能与双曲线相交：设点A在右支，点B在左支，∠AF1B=90°，故|AF1=IBF1l,设AF1I= IBF1l=m,则IAB|=V2m.则IAF1l-IAF2l=2W2→lAF2=m-2V2:又因为点B在左支， 则IBF2z-IBF1l=2W2→IBF21=m+2V2:所以IAB1=lBF2l-AF2l=4V2,因为△AFB 为等腰直角三角形，则F到直线I的距离d=4B=2V2直线：y=k(x-3),即kx-y V3k=0.由点F,到直线1的距离公式：d=k3-3=2=2V2,解得k=±V2,与渐近 Vk2+1Vk2+1 线斜率比较，直线不可能分别交于双曲线左右两支，所以选项D错误.故选BC, 三、填空题： 12.答案：2 解析：由圆的方程(x-2)2+(y-1)2=5得：圆心(2,1)，即圆心到y轴的距离为2，又半径为√5， 所以由垂径定理得弦长为252-2=2. 以.答案贵 6sina=sin(6sin'a-3-sin(a)-3c0s2a-2sing d 2 察等号两边，由余弦的二倍角公式得3cm2a-6asa)-号cm&-6osa),因为a号，所 以血a-6s&0.故36na+osa)-9,平方得90+5n2a= 所以sin2a=-17 18 14.答案：号 解析：当球与四棱台最大程度相切时，半径R最大，则表面积最大根据棱台的底面边长和高可 知，R最大时，此球可以和下底面、侧面相切，但不能和上底面相切作出此时的轴截面如图， 由正四棱台的定义可知，四边形ABCD为等腰梯形过A作 M1DC,垂足为M,则amD=M=35=5,所以D= DM-4-1 3 设E、N分别为圆O与边AD、CD的切点，连接OE,ON,则 OE=ON=R,再连接DO,易证DO为∠ADC的平分线，所以 m00N=如名-8-号所以R-9x4:4 2,从而表 3 面积S=4R2=6 3r. 四、解答题： 15.(1)因为A2,2B(2 -2)分别是函数图象上相邻两个最高点和最低点，且A>0.0>0, 所以A=2,…2分 2ππ_T →T=π→00=2，… …4分 362 高三数学参考答案第3页共8页 将4g2)代入了)=2sin(2x+0,得2=2sin(+p), 因为州<子，所以p=名， …6分 即/)的解折式为：)=2sm2x+? …7分 (2)因为f(x)的图象的对称中心只有一个落在区间[0，a]上，且2x0+严= 66 :x2a+6 2π，…10分 11 即a的取值范围是「三元，卫） 12,12π …13分 16.(1)由△FBF2是等腰直角三角形，得b=C,…1分 又面积为2，故x2c-b=2今b=c=2,a=2…4分 C的方程为x+y2=1:……5分 42 （2)设M(x,y),N(x2,y2), 联立2+2y2=4,消去y得：3x2-4mx+2m2-4=0…6分 y=-x+m +刘=智+为=-6+)+2m= ,…9分 3 △=(4m)}2-4×3(2m2-4）>0白-V6<m<√6，…10分 因为OMPW为平行四边形， ..OM+ON=OP=P(+x+y), …12分 即僧》 …13分 由于P在椭圆上， 4 2 1→m=t6 , 符合△>0， m=t16 …l5分 2 17.(1)直三棱柱ABC-A1B1C1, .AA1⊥AB, …1分 平面AA1B,B⊥平面AA1C1C,交线为AA1,且ABC平面AA1B,B,AB⊥AA1, AB⊥平面AA1CC.… …3分 高三数学参考答案第4页共8页 又A1MC平面AA1CC, AB⊥A1M,即A1MLAB.…4分 (2)由题意，2A41=3AC=6, .AC=2,AA1=3. ∴.AB=√2AC=2V2.… …5分 以点A为原点，AC为x轴、AB为y轴、AA为z轴建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0),C(2,0,0),B=(0,2V2,0),A1(0,0,3), :点M是CC1上靠近点C的三等分点，∴M(2,0,1), 所以4B=(0,2√2，-3)，4M=(2,0,-2)，4B,=(0,2W2,0), 设平面4MB的法向量为m=(,,,则4B=0 m·AM=0 即0+221-32=0 2x+01-231=0 取x=五=22，可得=3， 所以平面41MB的法向量为m=(2√2,3,2√2)： 设平面A1MB的法向量为n=(x2,y2,z2), 则 n.AB=0 n·4M=0 即〈 0x2+2W2y2+0z2=0 ,则y2=0,取x2=22=1, 2x2+0y2-2z2=0 所以平面A1MB1的法向量为n=(1,0,), …8分 mn 22+2√24W24 cos<m,n > 一 V8+9+8V1+15√25 由图可知，二面角B-AM-B为锐角，所以其余弦值为！ …10分 (3)设A1N=A1M,则点N坐标可表示为：(21,0,3-2). ∴.AW=V(2y2+(3-22=V42+(9-12+42>√82-12+9 BN=(2102+0-22)2+3-212=42+8+(9-12+412)V82-12+17…12分 记uw=82-12,则△ABN的周长C-2V2+√+9+√+I7. c-30-sr-218r-9 3 当时，=-最小，从而周长最小… …14分 v+175 此时V+93 35 Cmm22+后+万65 .△ABN周长的最小值为6V2.… …15分 注：本题的AN,BN实际上均为A1M的垂线，若考生先证明三垂线定理，再用三垂线定 理解答，也可以 高三数学参考答案第5页共8页 18.(1)(i).由起点S(1,1)到点P(3,5),需向右下跳1次(x增加2)， 向右上跳2次(y增加4)，总共3次，… …2分 即3次中选1次为右下，选2次为右上， ∴.路径数为C=3.(C}=3亦可) …4分 (ii).同理，从Q(5,7)到终点T9,9), 需右下跳2次，右上跳1次，共3次跳跃这3次跳跃的路径有C子=3种：…5分 ①右下→右下→右上 经过格子：(5,7)→(7,7)→(9,7)→(9,9) 有棋子的格子：(6,7)，(8,7)，(9,8) 空格子：(7,7)，(9,7)，(9,9) ②右上→右下→右下 经过格子：(5,7)→(5,9)→(7,9)→(9,9) 有棋子的格子：(5,8)，(6,9)，(8,9) 空格子：(5,9)，(7,9)，(9,9) ③右下→右上→右下 经过格子：(5,7)→(7,7)→(7,9)→(9,9) 有棋子的格子：(6,7)，(7,8)，(8,9) ③ 空格子：（门，7），(7,9)，(9,9）…… …8分 每条路径要求3个指定格子有棋子，3个指定格子为空， 由题意，每个格子是否有棋相互独立，概率均为， ·每条路径可行的概率为()= …9分 64 又三条路径对应的棋盘布局互不相容， 从P一步到达T的概率为P3×存- … 10分 注：若考生使用文字说明，且言之有理，可直接列式，不用作图， (2)六个方向均可跳时，要使棋盘上任意一个空位都可从起点S(1,1)一步到达，且每颗 棋子都能作为“桥”，可构造如下摆法： 当且仅当x与y均为奇数时，格点为空，余下所有格点均摆放棋子 由于奇偶相间，所以空位互不相邻，且空位之间一定有且只有一枚棋子 所以从起点(1,1)出发可通过跳跃到达所有空位，并跳过所有棋子（如图）.13分 棋盘总格数为：1+2+…+(n-1)+n+(n-1)+…+2+1=n 若在满足x为偶数或y为偶数的位置均摆放棋子占据， 则空位数为：1+2++”分+”生4”++2+1= 2 2 ………15分 因此棋盘上棋子数mR-(生> m=n2-(n为奇数).… …17分 高三数学参考答案第6页共8页