广东广州市越秀区第七中学2025-2026学年九年级（下）阶段数学试卷（3月份）

2025-2026学年广东省广州七中九年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、单选题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）下列各数中，比大的是（　　） A．1 B． C． D． 2．（3分）下列几何体中，可以由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）已知关于的一元二次方程有一根为1，则的值为（　　） A．0 B．2 C．4 D．8 5．（3分）某学校对“大课间活动”中最喜欢的项目作了一次调查（每个学生只能选一个项目），为了解各项目学生喜欢的人数比例，得到下表各数据，则表示这些数据比较恰当的是（　　） 项目 跳绳 长跑 篮球 排球 毽子 其他 所占百分比 A．扇形统计图 B．条形统计图 C．折线统计图 D．以上都不行 6．（3分）人形机器人越来越受到人们的欢迎，某人形机器人公司接到大量的订单，已知该公司的甲车间每天比乙车间少生产30台机器人，甲、乙两个车间3天共生产机器人520台，如果设甲车间每天生产机器人台，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 7．（3分）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：与旋钮的旋转角度（单位：度）之间近似满足函数关系．如图记录了家用燃气灶烧开一壶水的旋钮角度与燃气量的三组数据，根据函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度可能是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，在△中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，在扇形中，，点是的中点，点，分别为半径，上的动点．若，则△周长的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D． 二、填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）若有意义，则的取值范围是　　 ． 12．（3分）如图，已知直线、相交，这两条直线的锐角夹角是　　 ． 13．（3分）若，则的值为　　 ． 14．（3分）某几何体的三视图如图所示，由图中数据可知，该几何体的表面积为　　． 15．（3分）已知抛物线的顶点在直线上，且该抛物线与轴的交点的纵坐标为，则的最大值为 　　 ． 16．（3分）如图，在△中，，边上的高， ①当时，则△周长的为 　　 ． ②若的长变化时，则△周长的最小值为 　　 ． 三、解答题（共9大题，共72分） 17．（4分）解不等式组：． 18．（4分）如图，点，，，都在上，．求证：△△． 19．（6分）如图，在△中，，已知为的中点． （1）求作：过点作直线的垂线，交的延长线于点连接．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）请判断四边形的形状，并说明理由． 20．（6分）已知：． （1）化简； （2）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值． 21．（8分）数学活动课上，老师在一个暗箱中放入四个小球，上面分别标注有如图的数字，四个小球除标注数字不同外其他完全相同． （1）小何从暗箱中随机摸取一个小球，摸取小球上的数字是无理数的概率是　　 ； （2）现在有一张电影票，老师要分享给小何和小楠中的一位，现制定规则如下：先从暗箱中随机摸取一个小球，不放回摇匀后再随机摸取一个小球，若两次摸取的小球上的数字都是无理数，电影票给小何，否则给小楠．这个规则公平吗？请用所学概率知识说明理由． 22．（10分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． （1）求一次函数及反比例函数的表达式； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）若点为直线上一点，当时，求点的坐标． 23．（10分）随着电动汽车和技术的不断发展，通过传感器、人工智能算法、控制器等技术，实现车辆的自主驾驶功能．在检测到障碍物场景下，智能汽车自动通过智算达到自动刹车（或绕过障碍物）．整个刹车过程反应时间分：1、感知障碍物并传输信息；2、计算决策；3、执行决策（刹车或绕行）．从感知到开始执行刹车前，智能系统总反应时间秒之间，低于人类驾驶员秒的反应时间． 总停车距离反应距离制动距离：记作为：：从感知到车停共经过的距离，单位米；：感知、计算的反应时间，单位秒；；刹车前行车速度，单位米秒；：减速度，单位米秒）．经实地测试，智能汽车在不同行驶速度下检测到障碍物时，刹车制动距离的数据如表： 车速（米秒） 20 30 停车距离（米 35 71.25 （1）请根据素材求：从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式； （2）请根据素材回答问题：某智能测试汽车以64.8千米时的速度在一个车道正中间行驶时，某时刻前方相距米的货车上突然掉下一包货物几乎布满整个车道（假设掉地后静止不动）．测试汽车感知后立即启动智能程序并计算． ①请你判断，智能汽车不改变方向情况下，能否在货物前停车？ ②当汽车在高速行驶时千米时），汽车紧急拐弯的角度可以达到，在不减速的情况下拐弯绕行避险，能否成功？ （参考数据：每个车道的宽度为米，，， 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）作直线，点是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点，当取得最大值时，求点的坐标； （3）将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，点是抛物线上一个动点，作以点为中点的线段，且轴，．设点的横坐标为，若线段与抛物线有交点，求的取值范围． 25．（12分）如图，在△中，，，点是直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接． （1）如图1，若点在边上，且，，求线段的长； （2）如图2，若点在的延长线上，点是的中点，的延长线交的延长线于点，探索线段，，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若点在边上，点是的中点，，连接，将线段绕点旋转得到，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当取最大值时，直接写出此条件下△的面积的最大值． 2025-2026学年广东省广州七中九年级（下）月考数学试卷（3月份） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C D A B A B C B 一、单选题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）下列各数中，比大的是（　　） A．1 B． C． D． 【解答】解：，，，， ， ， 比，，大， ，， ， ， 比大的是1． 故选：． 2．（3分）下列几何体中，可以由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：选项能够通过长方形绕着长边旋转一周可得， 故选：． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：，故错误； ，故错误； ，故正确； ，故错误； 故选：． 4．（3分）已知关于的一元二次方程有一根为1，则的值为（　　） A．0 B．2 C．4 D．8 【解答】解：把代入方程得， 解得． 故选：． 5．（3分）某学校对“大课间活动”中最喜欢的项目作了一次调查（每个学生只能选一个项目），为了解各项目学生喜欢的人数比例，得到下表各数据，则表示这些数据比较恰当的是（　　） 项目 跳绳 长跑 篮球 排球 毽子 其他 所占百分比 A．扇形统计图 B．条形统计图 C．折线统计图 D．以上都不行 【解答】解：各个数据表示的是部分在总体中所占的百分比，没有具体的数据，所以用扇形统计图比较合适； 故选：． 6．（3分）人形机器人越来越受到人们的欢迎，某人形机器人公司接到大量的订单，已知该公司的甲车间每天比乙车间少生产30台机器人，甲、乙两个车间3天共生产机器人520台，如果设甲车间每天生产机器人台，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设甲车间每天生产机器人台，则乙车间每天生产机器人台， 根据题意得：． 故选：． 7．（3分）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：已知反比例函数的图象，如图所示： 由反比例函数图象在第二、四象限可得， 、选项中的图象与轴只有一个交点，且对称轴为，符合题意； 、选项中的图象与轴有两个交点，不符合题意； 、选项中的图象与轴有两个交点，不符合题意； 、选项中的图象与轴只有一个交点，且对称轴为，不符合题意； 故选：． 8．（3分）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：与旋钮的旋转角度（单位：度）之间近似满足函数关系．如图记录了家用燃气灶烧开一壶水的旋钮角度与燃气量的三组数据，根据函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可知抛物线的开口向上，由已知的三个点描点、连线得到函数的大致图象， 由图知抛物线的对称轴的位置在36和54之间，比36稍大，大约41． 因此可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为． 故选：． 9．（3分）如图，在△中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：，， ， 由题意得：平分， ， ， ， ， ， ， ， △是顶角为的等腰三角形， △是黄金三角形， ， ， ， ， 故、、不符合题意，符合题意； 故选：． 10．（3分）如图，在扇形中，，点是的中点，点，分别为半径，上的动点．若，则△周长的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D． 【解答】解：连接，分别作点关于、的对称点、，连接、，，交于，交于，交于， 如图， ，， △的周长， 此时△的周长最小， 点是的中点， ， 点与点关于对称， ，， 同理得，， ，， 而， ，， ， 在△中，， ， ， △周长的最小值为． 故选：． 二、填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）若有意义，则的取值范围是 ． 【解答】解：有意义， ， 解得：． 故答案为：． 12．（3分）如图，已知直线、相交，这两条直线的锐角夹角是 ． 【解答】解：根据题意得， 解得， 所以， 所以这两条直线的锐角夹角是， 故答案为：． 13．（3分）若，则的值为　2035　 ． 【解答】解：， ． 故答案为：2035． 14．（3分）某几何体的三视图如图所示，由图中数据可知，该几何体的表面积为 ． 【解答】解：根据三视图可得出该几何体为圆锥， 底面半径为， 母线长为：， 圆锥的侧面积为：， 底面圆的面积为：， 该几何体的表面积为． 故答案为：． 15．（3分）已知抛物线的顶点在直线上，且该抛物线与轴的交点的纵坐标为，则的最大值为 　2　 ． 【解答】解：当时，， ， 顶点坐标为， 将代入得，，整理得，， ， ， ， 故答案为：2． 16．（3分）如图，在△中，，边上的高， ①当时，则△周长的为 　20　 ． ②若的长变化时，则△周长的最小值为 　　 ． 【解答】解：①在△中， ， ． 在△中， ， ， ， ， 则． 故答案为：20． （2）延长到点，延长到点，使得，， 则． 作出△的外接圆，连接，，过点作的垂线，垂足为，与交于点， ，， ，， ，． ， ， ， ， ， ． 令的半径为， 则， ． 由得， ， 解得， 的最小值为． 又， 的最小值为， 即△周长的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（共9大题，共72分） 17．（4分）解不等式组：． 【解答】解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为． 18．（4分）如图，点，，，都在上，．求证：△△． 【解答】证明：， ， ， ， ， ， △△． 19．（6分）如图，在△中，，已知为的中点． （1）求作：过点作直线的垂线，交的延长线于点连接．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）请判断四边形的形状，并说明理由． 【解答】解：（1）如图，图形即为所求； （2）结论：四边形是矩形． 理由：，， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形． 20．（6分）已知：． （1）化简； （2）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值． 【解答】解：（1） ； （2）关于的一元二次方程有两个相等的实数根， △，即△， 解得或， ， ， 当时，． 21．（8分）数学活动课上，老师在一个暗箱中放入四个小球，上面分别标注有如图的数字，四个小球除标注数字不同外其他完全相同． （1）小何从暗箱中随机摸取一个小球，摸取小球上的数字是无理数的概率是 ； （2）现在有一张电影票，老师要分享给小何和小楠中的一位，现制定规则如下：先从暗箱中随机摸取一个小球，不放回摇匀后再随机摸取一个小球，若两次摸取的小球上的数字都是无理数，电影票给小何，否则给小楠．这个规则公平吗？请用所学概率知识说明理由． 【解答】解：（1）：无理数是无理数，无理数除以非零有理数仍为无理数）， ：有理数， ：有理数， ：无理数， 无理数有2个，有理数有2个． 根据概率公式：． 故答案为：； （2）这个规则不公平， 理由：设四个数字依次为，，，，画树状图如下： ， 由树状图可知，一共有12种等可能的结果，其中两次摸取的小球上的数字都是无理数结果有2种， 两次摸取的小球上的数字都是无理数的概率， 小何获得电影票的概率，小楠获得电影票的概率． ， 这个规则不公平． 22．（10分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． （1）求一次函数及反比例函数的表达式； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）若点为直线上一点，当时，求点的坐标． 【解答】解：（1）一次函数与反比例函数的图象交于点，．将点的坐标代入得： ， 解得：， 反比例函数的表达式为， 将点的坐标代入得： ， 解得：， ， 把点，点的坐标分别代入得： ， 解得：， 一次函数的表达式为； （2）一次函数及反比例函数的图象交于点，点， 当时，的取值范围为或； （3）①若在线段上，如图1，过点作平行于轴的直线，过点作垂直于直线于点，过点作垂直于直线于点． 设， ， △△， ， ， ， ， 解得：， ， 点的坐标为； ②当点在点的下方时，如图2，过点作平行于轴的直线，过点作垂直于直线于点，过点作垂直于的延长线于点． 设， ， △△， ， ， ， ， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， ， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 23．（10分）随着电动汽车和技术的不断发展，通过传感器、人工智能算法、控制器等技术，实现车辆的自主驾驶功能．在检测到障碍物场景下，智能汽车自动通过智算达到自动刹车（或绕过障碍物）．整个刹车过程反应时间分：1、感知障碍物并传输信息；2、计算决策；3、执行决策（刹车或绕行）．从感知到开始执行刹车前，智能系统总反应时间秒之间，低于人类驾驶员秒的反应时间． 总停车距离反应距离制动距离：记作为：：从感知到车停共经过的距离，单位米；：感知、计算的反应时间，单位秒；；刹车前行车速度，单位米秒；：减速度，单位米秒）．经实地测试，智能汽车在不同行驶速度下检测到障碍物时，刹车制动距离的数据如表： 车速（米秒） 20 30 停车距离（米 35 71.25 （1）请根据素材求：从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式； （2）请根据素材回答问题：某智能测试汽车以64.8千米时的速度在一个车道正中间行驶时，某时刻前方相距米的货车上突然掉下一包货物几乎布满整个车道（假设掉地后静止不动）．测试汽车感知后立即启动智能程序并计算． ①请你判断，智能汽车不改变方向情况下，能否在货物前停车？ ②当汽车在高速行驶时千米时），汽车紧急拐弯的角度可以达到，在不减速的情况下拐弯绕行避险，能否成功？ （参考数据：每个车道的宽度为米，，， 【解答】解：（1）由题意，经过和， ， ． ； （2）①不能在货物前停车．理由如下： 由题意得，先进行单位转化：64.8千米时米秒，， 米米， 不能在货物前停车； ②避险不成功，理由如下： 智能汽车感知、计算所反应的时间为秒， 此时汽车已行进9米，即， ， 由题意得，， ， 避险不成功． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）作直线，点是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点，当取得最大值时，求点的坐标； （3）将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，点是抛物线上一个动点，作以点为中点的线段，且轴，．设点的横坐标为，若线段与抛物线有交点，求的取值范围． 【解答】解：（1）抛物线与轴交于，两点，将点，点的坐标分别代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）如图1，过作交于， 抛物线．与轴交于点， 当时，得：， ， 设直线的解析式为，将点，点的坐标分别代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设， ， ， ， △△， ， 当时，最大， ， ； （3）将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线， 顶点坐标为， 如图2， 设， 当顶点在线段上时， ， 解得：，（不合题意，舍去）； 如图3，当在上时， ， 解得：， 综上所述，线段与抛物线有交点，的取值范围为． 25．（12分）如图，在△中，，，点是直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接． （1）如图1，若点在边上，且，，求线段的长； （2）如图2，若点在的延长线上，点是的中点，的延长线交的延长线于点，探索线段，，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若点在边上，点是的中点，，连接，将线段绕点旋转得到，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当取最大值时，直接写出此条件下△的面积的最大值． 【解答】解：（1）如图1，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 将绕点顺时针旋转得到， ，， ； （2）；理由如下： 如图2，连接，过点作于点， ，，将绕点顺时针旋转得到， △，△是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， △△， ，， ， ， ， ，， 点是的中点， ， 在△和△中， △△， ， ， 即：； （3）△的面积的最大值为．理由如下： ，， ， 点是的中点，， ， 如图3，构造△的外接圆，连接，， 则， ， △是等腰直角三角形， ， 是定长，是定圆，点的轨迹为上部分， 由点到圆上一点的最长距离可知当、、依次共线时，最长，此时点位置为如图3的点， △是等腰直角三角形，， ，， ， ， 当最长时，△位置如图4， 将线段绕点旋转得到， 点的轨迹为以为圆心，为半径的， 将绕点逆时针旋转得到， ，， 如图4，将绕点逆时针旋转得到， ，，点是定点， ， ， △△， ， 点的轨迹为以为圆心，为半径的， 如图4，过点作延长线于点， ， 当最大时，△的面积最大， 由圆上一点到定直线的最大距离可知当、、依次共线时，最大，此时如图5， 连接，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 点是的中点， ，， ， ． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/13 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