精品解析：广东广州市育才中学2025学年第二学期初三6月份学业阶段性数学练习卷

广州市育才中学2025学年第二学期初三6月份学业阶段性练习 数学（学科）练习卷（202606） 本练习卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），总分120分，练习时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、单项选择题：（每小题3分，共30分） 1. 数学符号能使数学语言在形式上一目了然，简明准确，它为表述和论证数学理论带来了极大的便利．下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 4. 广州新机场于年月日在佛山开工，总投资亿元，该项目将补齐珠江西岸民航短板，同时标志着广州成为继北京、上海、成都之后中国第四座拥有双机场的城市．数据“亿”用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 5. 测试五位同学的“一分钟跳绳”个数时，得到五个各不相同的数据．在统计时．出现了一处错误：将最低成绩85个写成了58个，则下列统计量中不受影响的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 标准差 6. 下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 部分烃类化合物的名称及其结构式如下所示．若将结构式中的（碳原子）的个数记为，（氢原子）的个数记为，则由结构式可知关于的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，绕点逆时针旋转后得到．若点恰好落在边上，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，切于点，交于点，交于点，连接，设，则的度数为（） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，，．是上一点，的中垂线交的边于点，．记，四边形面积为，利用数学软件画出关于的函数图象如图2所示，其中一个最高点坐标为，一个最低点坐标为，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 点在该函数图象上 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（每空3分，共18分） 11. 计算：_____． 12. 命题“若，则”是________命题（填“真”或“假”）． 13. 若，则______． 14. 如图，直角三角形中，，，，D是边上一点，且，过点D作，交边于点E，则的周长是_______． 15. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上，点在的延长线上，以点A为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，且弧经过点，则扇形的面积为______． 16. 如图，在中，，，，D，E分别为边，上的动点，且，连接，． （1）的长为______； （2）当的值最小时，的值为______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程． 18. 如图，在正方形中，点、分别在、上，且，连接、，求证：． 19. 已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，化简：． 20. 如图，内接于，且是的直径． （1）尺规作图：作出的内心；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接并延长，与交于另一点．若，，求线段的长？ 21. 中学是学生树立正确世界观、人生观、价值观的重要阶段，为此学校开展了思政大课堂活动．活动结束后，（1）班全体同学进行了一次知识测试，测试满分为10分，将所得的分数（单位：分）进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题： （1）（1）班共有_______名学生，请补全条形统计图，并求出（1）班本次测试成绩的众数； （2）若从获得满分的4名学生（两名男生和两名女生）中随机抽取两人代表班级参加思政知识竞赛，请用画树状图或列表的方法，求出所抽两人恰好是一男一女的概率． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，一次函数 与反比例函数 的图象交于两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象回答，当 时，求x的取值范围； （3）y轴上有一点 P，当以点O、P、A、B为顶点的四边形的面积为5时，求点 P 的坐标． 23. 综合与实践 图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的左视图，其中为支架，为桌面的宽，调节椅背不会改变与的位置，与地面保持平行且．当椅背垂直于地面时，与的夹角为．（，，，，，） （1）求的度数； （2）为保证小桌板结构稳定，小桌板能放置物体的最大质量为，是支架的承受力，且与满足，其中是物体的质量，．求支架承受力的最大值； （3）图3是一圆柱形水杯放置于小桌板上的俯视图，底面圆心为点，点到的距离为；图4是此时小桌板的侧面示意图，水杯半径，支架，当椅背向后调节至处时，在水杯不被碰倒的情况下，求的最大高度？ 24. 已知抛物线（a为常数）经过点． （1）求a的值． （2）若抛物线向左平移n（）个单位后仍经过点A，求n的值． （3）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线 ()于点N．当时，的长度随的长度增大而增大，求k的取值范围． 25. 纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性．纸是我们常见的矩形打印纸，将纸沿垂直的对称轴折叠（如图1），展开后，折痕两侧的两个小矩形称为纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形矩形；将纸类似的对折，得到与之相似的纸……，纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感． （1）如图，设，则纸的宽________（用表示）；连接，过点作交于点，则________（用表示）； （2）如图，在（1）的条件下，再次折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为，连接．请写出并证明线段与的关系； （3）如图，，若点为边上的一动点，沿折叠纸片，使点落在处，连接，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市育才中学2025学年第二学期初三6月份学业阶段性练习 数学（学科）练习卷（202606） 本练习卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），总分120分，练习时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、单项选择题：（每小题3分，共30分） 1. 数学符号能使数学语言在形式上一目了然，简明准确，它为表述和论证数学理论带来了极大的便利．下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：选项A、B、D中的数学符号都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项C中的数学符号能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C． 2. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：先化简计算每个选项：，，，， ，即， 最小的数是． 3. 下列各式中，计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用整式加减运算和幂的运算对每个选项计算即可． 【详解】A．，不是同类项，不能合并在一起，故选项A不合题意； B．，符合题意； C．，不是同类项，不能合并在一起，故选项C不合题意； D．，不符合题意， 故选B 【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键． 4. 广州新机场于年月日在佛山开工，总投资亿元，该项目将补齐珠江西岸民航短板，同时标志着广州成为继北京、上海、成都之后中国第四座拥有双机场的城市．数据“亿”用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：亿 ， 故选：D． 5. 测试五位同学的“一分钟跳绳”个数时，得到五个各不相同的数据．在统计时．出现了一处错误：将最低成绩85个写成了58个，则下列统计量中不受影响的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 标准差 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项B，∵一共有5个各不相同的数据，将数据从小到大排序后，中位数是排序后第3个数据， 本次修改只改变了最小数据的大小，修改后原最低数据仍然是排序后最靠前的数，不改变中间第3位数据的大小和位置， ∴中位数不受影响，故选项B符合题意； 选项A，C，D，∵平均数的计算与所有数据有关，方差和标准差的计算都依赖平均数， ∴修改数据后，平均数、方差、标准差都会发生改变，故选项A，C，D均不符合题意． 6. 下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A.该选项图象，是的函数； B. 该选项图象，是的函数； C. 该选项图象，不是的函数； D. 该选项图象，是的函数． 7. 部分烃类化合物的名称及其结构式如下所示．若将结构式中的（碳原子）的个数记为，（氢原子）的个数记为，则由结构式可知关于的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据观察图形得出规律求解即可. 【详解】解：观察图形可知： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴， 故选：B ． 8. 如图，绕点逆时针旋转后得到．若点恰好落在边上，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，特殊角的三角函数值，等边对等角．根据旋转的性质可得，，，再由，可得，再根据，可得，然后求出，据此求解即可． 【详解】解：根据旋转的性质得：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，切于点，交于点，交于点，连接，设，则的度数为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质可得，利用平行线的性质得出，再根据圆周角定理求出，最后在中利用直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图，连接， 切于点， ，即， ， ， 是弧所对的圆心角， 是弧所对的圆周角， ， 在中，． 10. 如图1，在中，，．是上一点，的中垂线交的边于点，．记，四边形面积为，利用数学软件画出关于的函数图象如图2所示，其中一个最高点坐标为，一个最低点坐标为，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 点在该函数图象上 【答案】C 【解析】 【分析】由图象最低点可知当为中点时面积最小，据此求出的边长及的值；由图象最高点为分段点，分析可知此时点与点重合，据此求出和的值；当时，，点在上，点在上， 作于， 再求出，然后说明，求出，最后求出，验证即可． 【详解】解：当为中点时，，此时最短 ， 的中垂线，， ∴且与互相平分， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为正方形，面积最小， 对应图象最低点 ， 解得． 为等腰直角三角形，为中点， ，， ，故B错； 由图象可知为分段点，此时点从边运动到边，即与重合， 垂直平分，在上， ， ，故A错误； 此时在上，与重合，四边形即四边形， ，， ， ． ， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ，故C正确； 当时，，点在上，点在上， 过作于，则，， 则 ， 根据题意可知，则， 根据勾股定理，得， 即， 解得． ∵， ∴， 根据勾股定理，得，即， 解得． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 所以点不在该函数图象上． 则D不正确． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（每空3分，共18分） 11. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，根据进行分析，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 命题“若，则”是________命题（填“真”或“假”）． 【答案】 假 【解析】 【分析】根据命题真假的判定规则，找到满足条件但不满足结论的反例，即可判断该命题的真假． 【详解】解：当时，，满足的条件， 但当，不满足的结论， 该命题为假命题． 13. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根的非负性，列不等式组，确定的值，然后代入代数式中计算的值，最后计算． 【详解】解：∵， ∴ 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴， 将代入原式求： ∴． 14. 如图，直角三角形中，，，，D是边上一点，且，过点D作，交边于点E，则的周长是_______． 【答案】16 【解析】 【分析】由直角三角形的性质可得，由垂直的定义及平角的定义可得，再结合等腰三角形的性质可得，即可证明，再利用三角形的周长公式可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的周长为： ． 15. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上，点在的延长线上，以点A为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，且弧经过点，则扇形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理求出，求出，再根据扇形面积公式求出答案即可． 【详解】解：如图，连接，由题意可知，，， 则， 扇形的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质和扇形的面积计算等知识点，掌握扇形的面积计算公式是解题的关键．注意：一个扇形所对的圆心角是，半径为，那么这个扇形的面积是． 16. 如图，在中，，，，D，E分别为边，上的动点，且，连接，． （1）的长为______； （2）当的值最小时，的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）过点C作于点H，由题意易得，则有，然后根据含30度直角三角形与等腰直角三角形的性质可进行求解； （2）过C作，使，连接，与交于T，由题意易得，则有，所以当点D与点T重合时，为最小，即为最小，此时，然后可得，即，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：（1）过点C作于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为； （2）过C作，使，连接，与交于T，如图所示， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 根据“两点间线段最短”得：， ∴当点D与点T重合时，为最小，即为最小，此时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当为最小，此时； 故答案为． 【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握含30度直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程． 【答案】 【解析】 【分析】先去分母化分式方程为整式方程，再解这个整式方程即可，注意解分式方程最后一步要写检验． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号得， 整理得， 解得， 检验：当时，， 所以是原方程的解． 18. 如图，在正方形中，点、分别在、上，且，连接、，求证：． 【答案】证明：设相交于点， ∵正方形， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 【解析】 【分析】根据正方形的四条边都相等可得，每一个角都是直角可得，然后利用“”证明，从而得出结论． 【详解】略 19. 已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，化简：． 【答案】5 【解析】 【分析】由反比例函数图象的性质可得k<0,化简分式时注意去绝对值． 【详解】由题意得k<0． 【点睛】本题考查反比例函数图象的性质和分式的化简,关键在于去绝对值时符号的问题． 20. 如图，内接于，且是的直径． （1）尺规作图：作出的内心；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接并延长，与交于另一点．若，，求线段的长？ 【答案】（1）解：所作的内心如图所示： （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内心是角平分线的交点，作出任意两个角的平分线即可得到的内心； （2）连接，过点作于点，利用半圆（直径）所对的圆周角是直角，以及勾股定理求出，再结合弧、弦、圆心角的关系，以及解直角三角形的相关计算求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，过点作于点， 的内心为， ， ， 是的直径， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 21. 中学是学生树立正确世界观、人生观、价值观的重要阶段，为此学校开展了思政大课堂活动．活动结束后，（1）班全体同学进行了一次知识测试，测试满分为10分，将所得的分数（单位：分）进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题： （1）（1）班共有_______名学生，请补全条形统计图，并求出（1）班本次测试成绩的众数； （2）若从获得满分的4名学生（两名男生和两名女生）中随机抽取两人代表班级参加思政知识竞赛，请用画树状图或列表的方法，求出所抽两人恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）， 补全条形统计图如下： 众数为8分 （2） 【解析】 【分析】（1）利用7分，8分，10分的人数和除以其所占百分比，即可得到总人数，进而算出6分，9分的人数补全条形统计图，再结合众数定义求解即可． （2）根据题意列表，分别得到总的情况数，以及所抽两人恰好是一男一女的情况数，再结合概率公式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：（人）， （人）， （人）， 补全条形统计图见答案， ， 本次测试成绩的众数为分； 【小问2详解】 解：根据题意列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男2，男1 女1，男1 女2，男1 男2 男1，男2 女1，男2 女2，男2 女1 男1，女1 男2，女1 女2，女1 女2 男1，女2 男2，女2 女1，女2 根据表格可知，共有12种等可能的结果，其中所抽两人恰好是一男一女的情况有8种， 所抽两人恰好是一男一女的概率为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，一次函数 与反比例函数 的图象交于两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象回答，当 时，求x的取值范围； （3）y轴上有一点 P，当以点O、P、A、B为顶点的四边形的面积为5时，求点 P 的坐标． 【答案】（1），； （2）或； （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由B的坐标，求出反比例函数解析式，再求出A点坐标，最后待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据函数图象即可得到不等式的解集； （3）先求出M，N的坐标，再分和，表示出四边形面积，计算即可． 【小问1详解】 解：把代入得， ， 反比例函数的解析式为， 把代入得， ， 把，代入得：， 解得：， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 由图象得，当时，即时，x的取值范围为或； 【小问3详解】 解：设， 由得，当时，，当时，， ， 当时， ， ， ， ， 点的坐标为， 如下图， 当时，， ， ， 点的坐标为， 综上所述：点的坐标为或． 23. 综合与实践 图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的左视图，其中为支架，为桌面的宽，调节椅背不会改变与的位置，与地面保持平行且．当椅背垂直于地面时，与的夹角为．（，，，，，） （1）求的度数； （2）为保证小桌板结构稳定，小桌板能放置物体的最大质量为，是支架的承受力，且与满足，其中是物体的质量，．求支架承受力的最大值； （3）图3是一圆柱形水杯放置于小桌板上的俯视图，底面圆心为点，点到的距离为；图4是此时小桌板的侧面示意图，水杯半径，支架，当椅背向后调节至处时，在水杯不被碰倒的情况下，求的最大高度？ 【答案】（1） （2）支架能承受的最大力约为 （3）在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是 【解析】 【分析】（1）延长交于点D，则，即可解答； （2）根据题意得是关于的正比例函数，且随增大而增大，即可解答； （3）过点作，过点作交于点，过点作交于点，则，则四边形是矩形， 然后在和中，利用锐角三角函数解答即可． 【小问1详解】 解：延长交于点D，则， ， ． 【小问2详解】 解：，且为定值， 是关于的正比例函数，且随增大而增大， ∴当时，最大． 将、、代入，得：， ∴支架能承受的最大力约为． 【小问3详解】 解：过点作，过点作交于点，过点作交于点，则， ∴四边形是矩形， ，， ， ， 中， ， ， ， （）， ， （）， ， ， ∴在中， ， ， 即在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是． 24. 已知抛物线（a为常数）经过点． （1）求a的值． （2）若抛物线向左平移n（）个单位后仍经过点A，求n的值． （3）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线 ()于点N．当时，的长度随的长度增大而增大，求k的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的平移、二次函数的图象性质、一次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入抛物线表达式求出的值； （2）先求出平移后抛物线的表达式，再将代入平移后的抛物线表达式求出的值； （3）根据题意得的坐标为，的坐标为，求出、的表达式，进而得到的长随的增大而增大，利用二次函数的性质列出不等式，从而求出的值． 【小问1详解】 解：将代入抛物线得：， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 抛物线表达式为， 平移后抛物线的解析式为， 将点代入得： ， 解得：或， ， ； 【小问3详解】 解：如图：∵， 的坐标为，的坐标为， ，， 、， 的长随的长增大而增大， 的长随的增大而增大， 抛物线中， 该抛物线的图象开口向下， 该抛物线的对称轴为， ， 解得：． 25. 纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性．纸是我们常见的矩形打印纸，将纸沿垂直的对称轴折叠（如图1），展开后，折痕两侧的两个小矩形称为纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形矩形；将纸类似的对折，得到与之相似的纸……，纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感． （1）如图，设，则纸的宽________（用表示）；连接，过点作交于点，则________（用表示）； （2）如图，在（1）的条件下，再次折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为，连接．请写出并证明线段与的关系； （3）如图，，若点为边上的一动点，沿折叠纸片，使点落在处，连接，，求的最小值． 【答案】（1），； （2），， 证明： ∵矩形，由（1）得，， ∴， ，， ∵矩形， ∴， ∵沿折叠得，点落在上的点处， ∴，， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理，，即， 整理得：， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵，即， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，即，解得：， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴，； （3）． 【解析】 【分析】（1）先根据对折的性质结合题意求出的值，根据矩形推出，，再根据矩形矩形，求出的值，然后结合，证明，最后运用相似的性质求解即可； （2）先结合矩形的性质和折叠的性质求出的长度和证明，运用相似的性质求出的值，再根据线段成比例和共角证明，运用相似的性质即可求证； （3）取的中点，连接，证明，求得，当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即取得最小值，最小值为，据此求解即可． 【小问1详解】 ∵对折，， ∴， ∵矩形， ∴，， ∵矩形矩形， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，即，解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，取的中点，连接， ∵， ∴由（1）得， ∵沿折叠得， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即取得最小值，最小值为， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理，， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $