精品解析：广东省广州市越秀区执信中学2024-2025学年九年级数学下学期3月月考试卷

2024-2025学年第二学期 初三级数学科3月份统一练习 试卷共8页，25小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的圆珠笔或钢笔填写自己的考生号、姓名；并将自己的考生号用2B铅笔把对应数字涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上． 3．非选择题答案必须用黑色字迹的圆珠笔或钢笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用2B铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 中国古代第一部数学专著《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：现有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若把一个物体向正后方移动5米记作米，那么这个物体又移动了米表示（ ） A. 又向正后方移动5米 B. 又向正前方移动米 C. 又向正前方移动5米 D. 不向前方移动也不向后方移动 2. 鲁班锁是中国传统的智力玩具．左图是鲁班锁中一个部件的示意图，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列等式变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功发射，成为我国航天事业的里程碑，某校对全校名学生进行了“航空航天知识”了解情况的调查，调查结果分为A，B，C，D四个等级（A：非常了解；B：比较了解；C：了解；D：不了解）．随机抽取了部分学生的调查结果，绘制成两幅不完整的统计图．根据统计图信息，下列结论不正确的是（ ） A. 样本容量是 B. 样本中C等级所占百分比是 C. D等级所在扇形的圆心角为 D. 估计全校学生A等级大约有人 6. 深中通道于2024年6月30日正式通车试运营，该通道全长千米，这一里程碑式的交通项目为粤港澳大湾区带来了前所未有的便捷和机遇．已知甲、乙两车分别从该通道的起点和终点相向而行，已知甲车速度为，乙车速度为，甲车出发千米后乙车才出发，设乙车出发小时后两车相遇，则可列方程为(　　) A. B. C. D. 7. 如图是由四个全等的直角三角形（，，，）组成的新图形，若，，则正方形的边长为（ ） A. 5 B. C. D. 6 8. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，的半径为1，为圆上一动点，为的中点，连接，，则长的最大值为 A. 5 B. C. 6 D. 3 10. 如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 如图，一条公路经两次转弯后，方向未变．第一次的拐角是，第二次的拐角是______°． 12. 已知实数a，b，满足，，则的值为______． 13. 如图，已知的半径为，现有正方形的边与相切，切点为，且点在上，则正方形的边长为_________． 14. 若，则__________． 15. 定义一种新运算：对于两个非零实数，，若，则的值是_____． 16. 如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则__________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：. 18. 如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°．求证：△EBF∽△FCG． 19. 如图，在中，． （1）尺规作图： ①作线段的垂直平分线，交于点D，交于点O； ②在直线上截取，使，连接．（保留作图痕迹） （2）猜想证明：作图所得四边形是否为菱形？并说明理由． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 21. 为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有 名，补全条形统计图； （2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是 ， ； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？ 22. 莽山多奇峰，假期某一天，天气晴好，热爱户外运动的胡老师到莽山公园爬山．有一段山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，胡老师从山脚A出发，沿走400米到点，再沿到山顶点，已知山高为384米，，，交的延长线于点，，．（图中所有点均在同一平面内） （1）求长； （2）求胡老师从山脚A点到达山顶点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：，，） 23. 电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）可变电阻，与踏板上人的质量m之间的函数关系式为（其中k，b为常数，），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，该读数可以换算为人的质量m．温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． （1）求关于的函数解析式； （2）用含U0的代数式表示m； （3）若电压表量程为伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量． 24. 综合与实践 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点． （1）将沿y轴正方向平移t个单位得到，当抛物线与有且仅有一个公共点时，求t的取值． （2）当时，抛物线恒在直线的上方，求的取值范围． （3）将此抛物线在A，B之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）记为G，在G内的整点（横、纵坐标都是整数的点）是否存在有且只有8个？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期 初三级数学科3月份统一练习 试卷共8页，25小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的圆珠笔或钢笔填写自己的考生号、姓名；并将自己的考生号用2B铅笔把对应数字涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上． 3．非选择题答案必须用黑色字迹的圆珠笔或钢笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用2B铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 中国古代第一部数学专著《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：现有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若把一个物体向正后方移动5米记作米，那么这个物体又移动了米表示（ ） A. 又向正后方移动5米 B. 又向正前方移动米 C. 又向正前方移动5米 D. 不向前方移动也不向后方移动 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相反意义的量，根据物体向正后方移动5米记作米，则米就表示相反意义的概念，问题得以解决． 【详解】解：把一个物体向正后方移动5米记作米，那么这个物体又移动了米表示又向正前方移动5米， 故选：C． 2. 鲁班锁是中国传统的智力玩具．左图是鲁班锁中一个部件的示意图，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体三视图，掌握左视图的定义：从左边看得到的平面图形是左视图是解题的关键．根据从左边看得到的平面图形是左视图，注意看不见的轮廓线用虚线，可得答案． 【详解】解：从左面看，是一个正方形，正方形的中间有一条横向的虚线， 如图：． 故选：C． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方运算，熟练掌握和运用同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方运算是解决本题的关键． 根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方运算，进行运算，即可一一判定． 【详解】解：A．，故该选项正确，符合题意； B．，故该选项错误，不符合题意； C．，故该选项错误，不符合题意； D．，故该选项错误，不符合题意； 故选：A． 4. 若，则下列等式变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质，解题的关键是掌握等式性质中对除数不能为0的限制． 根据等式的性质，逐一分析选项中变形的合理性，重点关注除数是否可能为0． 【详解】A、等式两边同时乘2，即两边同乘2得，符合等式性质2，变形正确，不符合题意； B、等式两边同时除以，当时，与无意义，而题目未限定，所以该变形不正确，符合题意； C、等式两边同时减6，即两边同减6得，符合等式性质1，变形正确，不符合题意； D、因为，所以，分母不为0，等式两边同时除以得，变形正确，不符合题意， 故选：B． 5. 2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功发射，成为我国航天事业的里程碑，某校对全校名学生进行了“航空航天知识”了解情况的调查，调查结果分为A，B，C，D四个等级（A：非常了解；B：比较了解；C：了解；D：不了解）．随机抽取了部分学生的调查结果，绘制成两幅不完整的统计图．根据统计图信息，下列结论不正确的是（ ） A. 样本容量是 B. 样本中C等级所占百分比是 C. D等级所在扇形的圆心角为 D. 估计全校学生A等级大约有人 【答案】C 【解析】 【分析】用B等的人数除以B等的百分比即可得到样本容量，用C等级人数除以总人数计算样本中C等级所占百分比，用乘以D等级的百分比即可计算D等级所在扇形的圆心角，用全校学生数乘以A等级的百分比即可得到全校学生A等级人数，即可分别判断各选项． 【详解】解：A．∵，即样本容量为200，故选项正确，不符合题意； B．样本中C等级所占百分比是，故选项正确，不符合题意； C．样本中C等级所占百分比是，D等级所在扇形的圆心角为，故选项错误，符合题意； D．估计全校学生A等级大约有（人），故选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，读懂题意，准确计算是解题的关键． 6. 深中通道于2024年6月30日正式通车试运营，该通道全长千米，这一里程碑式的交通项目为粤港澳大湾区带来了前所未有的便捷和机遇．已知甲、乙两车分别从该通道的起点和终点相向而行，已知甲车速度为，乙车速度为，甲车出发千米后乙车才出发，设乙车出发小时后两车相遇，则可列方程为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设乙车出发小时后两车相遇，根据该通道全长千米，列方程即可得到结论． 【详解】解：设乙车出发小时后两车相遇，根据题意得，， 故选：D． 7. 如图是由四个全等的直角三角形（，，，）组成的新图形，若，，则正方形的边长为（ ） A. 5 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，求得的长度，利用勾股定理即可解答，利用全等三角形的性质得到是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ， ，， 设，则， ， ， ， ， 则正方形的边长为， 故选：C． 8. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数性质即可判断． 【详解】解：， 反比例函数图象分布在第一、三象限，在每一象限随的增大而减小， 点，都在反比例函数的图象上，， ． ∵，在反比例函数的图象上， ∴， ∴. 故选：B． 9. 如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，的半径为1，为圆上一动点，为的中点，连接，，则长的最大值为 A. 5 B. C. 6 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的中位线，点与圆的位置关系．掌握三角形的中位线定理，点与圆的位置关系是解题的关键．由点、点的坐标得是的中点，则是的中位线，，当的长最大时，的长最大，根据点与圆的位置关系可得长的最大值为，求出，即可求解． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， 是的中点， 为的中点， 是的中位线， ， 当的长最大时，的长最大，如图， 点的坐标为，点的坐标为， ， 长的最大值为， 长的最大值为， 故选：D． 10. 如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据网格的特点作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点O，连接，则点O是外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后根据，进行计算即可解答． 【详解】解：如图：作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点O，连接，则点O是外接圆的圆心， 由题意得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 如图，一条公路经两次转弯后，方向未变．第一次的拐角是，第二次的拐角是______°． 【答案】 【解析】 【分析】根据两次转弯后方向不变得到，即可得到． 【详解】解：∵一条公路经两次转弯后，方向未变， ∴转弯前后两条道路平行，即， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线的性质，由题意得到是解题的关键． 12. 已知实数a，b，满足，，则的值为______． 【答案】42 【解析】 【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可． 【详解】 ． 故答案为：42． 【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 13. 如图，已知的半径为，现有正方形的边与相切，切点为，且点在上，则正方形的边长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，正方形的性质、垂径定理和勾股定理．设正方形的边长为，连接并延长，交于，连接，根据切线的性质得到，根据垂径定理求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设正方形的边长为，连接并延长，交于，连接， 边与相切， 四边形为正方形， ，， 四边形为矩形， 在中，，即， 解得：（舍去）， 正方形的边长为 故答案为：． 14. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键． 根据题意可得，整体代入即可求解． 【详解】∵ ∴ ∴． 故答案为：． 15. 定义一种新运算：对于两个非零实数，，若，则的值是_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算、相反数的定义、新定义运算等知识点，理解新定义运算法则成为解题的关键． 根据将可化为；可化成，然后根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：∵， ∴可化， ∴ 故答案：1． 16. 如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：根据的面积为，得出，，在中，，得出，根据勾股定理求得，根据的几何意义，即可求解． 方法二：根据已知得出则，即可求解． 【详解】解：方法一：∵， ∴ 设，则， ∴ ∵矩形的面积是6，是对角线， ∴的面积为，即 ∴ 在中， 即 即 解得： 在中， ∵对角线轴，则， ∴, ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， 方法二：∵， ∴ 设，则， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数的几何意义，余弦的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂分别化简，进而得出答案． 【详解】原式． 【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 18. 如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°．求证：△EBF∽△FCG． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据正方形的性质得∠B＝∠C＝90°，再利用等角的余角相等得∠BEF=∠CFG，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得到△EBF∽△FCG． 【详解】解：∵四边形ABCD正方形， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴∠BEF＋∠BFE＝90°， ∵∠EFG＝90°， ∴∠BFE＋∠CFG＝90°， ∴∠BEF＝∠CFG， ∴△EBF∽△FCG． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解的关键是掌握相似三角形的判定定理． 19. 如图，在中，． （1）尺规作图： ①作线段的垂直平分线，交于点D，交于点O； ②在直线上截取，使，连接．（保留作图痕迹） （2）猜想证明：作图所得的四边形是否为菱形？并说明理由． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）四边形是菱形，见解析 【解析】 【分析】（1）①根据垂直平分线的画法作图；②以点O为圆心，为半径作圆，交于点E，连线即可； （2）根据菱形的判定定理证明即可． 【小问1详解】 ①如图：直线即为所求； ②如图，即为所求； ； 【小问2详解】 四边形是菱形，理由如下： ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】此题考查了基本作图－线段垂直平分线，截取线段，菱形的判定定理，熟练掌握基本作图方法及菱形的判定定理是解题的关键． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）由方程根的情况可得到关于的不等式，可求得的取值范围； （2）根据一元二次方程解的定义得到，代入等式，整理后再解方程即可求得． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得：； 【小问2详解】 解：是方程的一个实数根， ，即， 代入中，得： ， 解得：或， ∵， ∴． 21. 为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有 名，补全条形统计图； （2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是 ， ； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？ 【答案】（1）100，见解析 （2），10 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）用选择篮球的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数：求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可； （2）用选择羽毛球的人数除以本次被调查的学生总人数即可求出占比，再乘以360度即可求出圆心角； （3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得本次被调查的学生人数（人）， 喜爱足球的人数为：（人）， 条形图如图所示， 故答案为：100； 【小问2详解】 解：“羽毛球”人数所占比例为：， 所以，扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数， 故答案为：，10； 【小问3详解】 解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用字母A，B，C，D表示，根据题意画树状图如下：     ∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种， ∴P（甲、乙两人被选中）． 22. 莽山多奇峰，假期某一天，天气晴好，热爱户外运动的胡老师到莽山公园爬山．有一段山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，胡老师从山脚A出发，沿走400米到点，再沿到山顶点，已知山高为384米，，，交的延长线于点，，．（图中所有点均在同一平面内） （1）求的长； （2）求胡老师从山脚A点到达山顶点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：，，） 【答案】（1）的长为200米 （2）胡老师从山脚A点到达山顶点的路程约为639米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形应用．熟练掌握含30度的直角三角形的性质，矩形的判定和性质，正弦函数，是解题的关键． （1）在中，根据，可得，即可求解； （2）根据，，得出，再根据四边形是矩形，结合即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴， 故的长为200米； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴． 故胡老师从山脚A点到达山顶点的路程约为639米． 23. 电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量m之间的函数关系式为（其中k，b为常数，），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，该读数可以换算为人的质量m．温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． （1）求关于的函数解析式； （2）用含U0的代数式表示m； （3）若电压表量程为伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量． 【答案】（1） （2） （3）115千克 【解析】 【分析】本题以物理中的电路问题为背景，考查了学生对于求解一次函数和反比例函数关系式的掌握情况，解题的关键是先要求找出两个要求量之间的等量关系，然后化简为要求的表达式，转化过程中需要注意无关量的消去，一般情况下都是用代入法消元来解决这一问题的．第（4）问除应用反比例函数的增减性解题外，也可以将与的关系式转化为关于的不等式，再代入中，求出电子体重秤可称的最大质量． （1）通过串联电路中电流处处相等和可以列出等量关系，然后再化简为关于的函数解析式； （2）先利用待定系数法求出，，把第（1）问求出的与的函数解析式代入第（2）中的与的关系式中消去，然后变形； （3）利用第（3）问中与的关系式，结合和关于的增减性，得出电子体重秤可称的最大质量． 【小问1详解】 解：由题意得：可变电阻两端的电压电源电压电表电压， 即：可变电阻电压， ，可变电阻和定值电阻的电流大小相等， ． 化简得：， ， ． 【小问2详解】 解：将，代入， 得：， 解得：． ， 将代入， 得：， 化简得：； 【小问3详解】 解：中，且， 随的增大而增大， 取最大值6的时候，（千克）． 24. 综合与实践 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1），（2）与之间的位置关系是，数量关系是；（3）①y与x的函数表达式，当时，的最小值为；②当时，为或. 【解析】 【分析】（1）先证明，，，可得；再结合全等三角形的性质可得结论； （2）先证明，，结合，可得；再结合相似三角形的性质可得结论； （3）①先证明四边形为正方形，如图，过作于，可得，，再分情况结合勾股定理可得函数解析式，结合函数性质可得最小值；②如图，连接，，，证明，可得在上，且为直径，则，过作于，过作于，求解正方形面积为,结合，再解方程可得答案. 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （2）与之间的位置关系是，数量关系是；理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （3）由（1）得：，，， ∴，都为等腰直角三角形； ∵点F与点C关于对称， ∴为等腰直角三角形；， ∴四边形为正方形， 如图，过作于， ∵，， ∴，， 当时， ∴， ∴， 如图，当时， 此时， 同理可得：， ∴y与x的函数表达式为， 当时，的最小值为； ②如图，∵，正方形，记正方形的中心为， ∴， 连接，，， ∴， ∴在上，且为直径， ∴， 过作于，过作于， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形面积为, ∴， 解得：，，经检验都符合题意， 如图， 综上：当时，为或. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，二次函数的性质，圆的确定及圆周角定理的应用，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 25. 在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点． （1）将沿y轴正方向平移t个单位得到，当抛物线与有且仅有一个公共点时，求t的取值． （2）当时，抛物线恒在直线的上方，求的取值范围． （3）将此抛物线在A，B之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）记为G，在G内的整点（横、纵坐标都是整数的点）是否存在有且只有8个？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）求出顶点坐标，根据抛物线与有且仅有一个公共点即可得出平移距离； （2）由题意可得：当时，恒成立，即，求解即可； （3）根据得出顶点坐标以及的坐标，在根据题意结合函数图像列出关于的不等式组，求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线顶点坐标为， 由题意可得：当抛物线与有且仅有一个公共点时即过顶点， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可得：当时，恒成立， 即当时，恒成立， 所以有当时，且当时，， 即 由①得，由②得， ∴； 【小问3详解】 由题意得， ∴抛物线顶点坐标为， 令，得， 设， 在G内的整点（横、纵坐标都是整数的点）有且只有8个可得：且， 解得． ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是明确已知条件列出关于的不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $