2025-2026学年苏科版八年级数学下册期中提分特训5《菱形》专题（盐城专版）

数学臻选·2025-2026学年苏科版八年级数学下期中提分特训5 《菱形》专题（盐城专版） 1． 思维导图 ( ) 2． 知识梳理 ( 一、菱形的定义 1.有一组______相等的______叫做菱形。 二、菱形的性质 1.边的性质：菱形的四条边______；对边______。 2.角的性质：菱形的对角______，邻角______。 3.对角线的性质：菱形的两条对角线互相______，并且每一条对角线______一组对角。 4.称性：菱形既是______图形，又是______图形，对称轴是______所在的直线。 5.菱形的对角线把菱形分成四个全等的______三角形。 三、菱形的判定 1.定义判定：有一组邻边相等的______是菱形。 2.判定定理1：______相等的四边形是菱形。 3.判定定理2：对角线互相______的______是菱形。 四、菱形的面积计算 1.菱形的面积 = 底 × ______。 2.菱形的面积 = 两条对角线长的______。 ) 三．考向分析+应对策略 ( 考向 一、菱形定义 1.以选择题、判断题为主，区分菱形与平行四边形、矩形的定义差异，考查对 “ 一组邻边相等的平行四边形是菱形 ” 核心定义的理解，易混淆菱形与普通平行四边形的判定前提。 2.结合图形，利用定义直接判断四边形是否为菱形，或根据定义补充图形条件，属于基础送分考点。 【应对策略】 （1）牢记定义核心：前提是平行四边形，关键条件是一组邻边相等，二者缺一不可，避 免忽略 “ 平行四边形 ” 这一前提直接判定菱形。 （2）做辨析题时，紧扣定义逐一排除选项，明确菱形是特殊的平行四边形，具备平行四边形所有性质，且多了邻边相等的特征。 （3）基础题直接套用定义，先判断四边形是否为平行四边形，再验证邻边相等关系。 ) ( 考向二、菱形性质 1.边的性质考查：利用 “ 菱形四条边相等 ” ，求边长、周长，或结合等腰三角形、全等三角形进行线段推导，是填空、选择题高频考点。 2.角的性质考查：结合平行四边形对角相等、邻角互补，结合对角线平分对角，求角度大小，常与直角三角形、等边三角形综合考查。 3.对角线性质考查：核心高频考点，考查 “ 对角线互相垂直且平分、平分一组对角 ” ，求对角线长度、角度，或利用对角线垂直构造直角三角形解题。 4.对称性考查：利用菱形轴对称、中心对称性质，求最短路径、线段最值，或判断对称点相关线段、角度关系。 【应对策略】 （1）全面梳理性质：边（四边相等、对边平行）、角（对角相等、邻角互补）、对角线（垂直平分、平分对角）、对称性，构建性质知识体系。 （2）遇到菱形对角线，必构造直角三角形，利用勾股定理求解线段长度，这是性质应用的核心方法。 （3）角度计算时，结合对角线平分对角、三角形内角和、平行线性质，逐步推导，标注已知角度简化思考。 （4）对称性问题，找准对称轴（对角线所在直线），利用对称点连线被对称轴垂直平分的性质解题。 （5）解答题规范书写，每一步推导注明依据的性质，培养逻辑推理能力。 考向三、菱形判定 1.定义判定：先证四边形是平行四边形，再证一组邻边相等，是基础判定方法，适用于简单证明题。 2.四边相等判定：直接证明四边形四条边相等，即可判定为菱形，多用于已知线段相等关系的题型。 3.对角线判定：证明平行四边形的对角线互相垂直，即可判定为菱形，是中考解答题高频考查方法，常与平行四边形判定综合。 4.综合判定：结合三角形全等、中位线、平行四边形性质，先推导线段/对角线关系，再完成菱形判定，属于中档难度题型。 【应对策略】 （1）牢记三种判定方法，根据题目已知条件择优选择：- 已知四边形是平行四边形，优先选 “ 邻边相等 ” 或 “ 对角线垂直 ” 判定；已知多条线段相等，优先选 “ 四条边相等 ” 判定。 （2）证明题步骤规范：先梳理已知条件，确定证明思路，再一步步推导，避免逻辑跳跃，尤其注意 “ 对角线垂直的四边形不一定是菱形，必须是平行四边形 ” 这一易错点。 3.   多做综合题型，总结平行四边形与菱形判定的衔接思路，熟练运用三角形全等、等腰三角形性质推导判定条件。 考向四、菱形面积计算考向分析及应对策略 1.基础公式计算：直接套用 “ 底 × 高 ” 求面积，已知底和高，或已知边长与高，简单求解，多见于填空题。 2.对角线公式计算：核心考向，利用 “ 面积=对角线乘积的一半 ” ，已知对角线长度求面积，或已知面积、一条对角线求另一条对角线。 3.综合计算：结合性质、判定，先求边长、对角线、高，再计算面积，常与直角三角形勾股定理、等腰三角形综合，出现在解答题中。 【应对策略】 （1）牢记两个面积公式，根据题目已知条件灵活选择： ① 已知底和对应高，用底 × 高； ② 已知对角线长度，用对角线乘积的一半。 （2）解题时，先利用菱形性质求出所需线段（边长、对角线、高），再代入公式，计算过 ) ( 程注意单位统一，避免计算失误。 （3）综合题中，先通过判定、性质推导线段关系，求出关键线段长度，再计算面积，分步解题，降低难度。 【提分小贴士】 1.区分菱形与平行四边形、矩形的性质与判定差异，避免知识点混淆，整理对比表格强化记忆。 2.重视几何图形的画图能力，根据题意画出标准图形，标注已知条件，直观分析线段、角度关系。 3.多做基础题巩固公式、定义，针对性练习中档综合题，提升逻辑推理和计算能力，掌握解题通法。 ) 四．强化基础 （一）选择题 1．菱形不具有的性质是（    ） A．邻边相等 B．对边相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 2．顺次连接等腰梯形四边中点所得到的四边形是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 3．下列说法中，正确的是（   ） A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．菱形的对角线相等且互相平分 D．菱形的对角线互相垂直且平分 4．已知中，对角线，相交于点O．若，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点，则点的坐标为(   ) A． B． C． D． 6.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,连接EO,若EO=2,则菱形ABCD的周长为(　　) A.8　　 B.12　　 C.16　　 D.20 7.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作于点H，连接OH，若，，则菱形ABCD的面积为（  ） A．8 B．16 C．24 D．32 8.如图，平移△ABC到△BDE的位置，且点D在边AB的延长线上，连接EC，CD，若AB=BC，那么在以下四个结论：①四边形ABEC是平行四边形；②四边形BDEC是菱形；③；④DC平分∠BDE，正确的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9.下图入口处进入，最后到达的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 10.如图，平移△ABC到△BDE的位置，且点D在边AB的延长线上，连接EC，CD，若AB＝BC，那么在以下四个结论：①四边形ABEC是平行四边形；②四边形BDEC是菱形；③AC⊥DC；④DC平分∠BDE，正确的有（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （二）填空题 11. 如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件______使平行四边形ABCD是矩形． 12. 如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝_____，平行四边形CDEB为菱形． 13．如图，菱形的两条对角线、相交于点，，，则菱形的面积为 ． 14．如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，，则的长为 ． 15．如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是________. 16．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上一个动点，过点P分别作AB、BC的垂线，垂足分别是F和E．若菱形ABCD的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是_______. 17．如图，在菱形中，°，，是边上的一点，分别是的中点，则线段的长为 ． 18. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=6，CD=8，E，F分别是边ABCD的中点, DH⊥BC于点H，连接EH，EC，EF，现有下列结论:①∠CDH=30°；②EF=4;③四边形EFCH是菱形;④S△EFC=3S△BEH.你认为结论正确的有___________.(填序号) 19．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AE⊥BC于点E，连接OE，若OE＝3，BD＝8，则AB的长为 　 　． 20．如图，四边形ABCD是菱形，E在AD上，F在AB延长线上，CE和DF相交于点G，若CE＝DF，∠CGF＝30°，AB的长为6，则菱形ABCD的面积为　 　． （三）解答题 21．如图，已知BD平分∠ABF，且交AE于点D， （1）求作：∠BAE的平分线AP（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）设AP交BD于点O，交BF于点C，连接CD，当AC⊥BD时，求证：四边形ABCD是菱形． 22.（8分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD＝4，E，F分别是AD，CD上的动点(包含端点)，且AE＋CF＝4，连结BE，EF，FB. (1)求证：BE＝BF； (2)求EF的最大值与最小值． 23.如图，已知在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于M，过M作ME⊥CD于E，∠1＝∠2． (1)若CE＝1，求BC的长； (2)求证：AM＝DF＋ME． 24．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，现按如下步骤作图： ①分别以A，C为圆心，a为半径（a＞AC）作弧，两弧分别交于M，N两点； ②过M，N两点作直线MN交AB于点D，交AC于点E； ③将△ADE绕点E顺时针旋转180°，设点D的像为点F． （1）请在图中直线标出点F并连接CF； （2）求证：四边形BCFD是平行四边形； （3）当∠B为多少度时，四边形BCFD是菱形． 25.如图,菱形ABCD中,∠B=60°,点E在边BC上,点F在边CD上. (1)如图1,若E是BC的中点,∠AEF=60°,求证:BE=DF; (2)如图2,若∠EAF=60°,求证:△AEF是等边三角形; (3)在(2)的条件下,如果AB=10,那么△AEF的周长是否存在最小值?如果存在,请求出来. 26.如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12 cm，点P从点A出发沿AB以2 cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发以1 cm/s的速度向点A运动，设运动时间为t(s)(0＜t＜6)． (1)直接写出线段AP，AQ的长： AP＝____，AQ＝____(用含t的代数式表示)． (2)设△APQ 的面积为S，写出S与t的关系式． (3)如图②，连结PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时间t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 五．提分特训 （一）选择题 1．如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为（    ） A．3 B．4 C． D． 3．如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是(   ) A．6 B． C． D． 4．如图，将三角形ABC沿方向平移得到，连接，下列条件能够判定四边形为菱形的是（   ）    A． B． C． D． 5.在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF为菱形，O为AE，DF的交点，S△ABC＝8 ，则S菱形ADEF＝（　　） A．4 B．4 C．4 D．4 6.边长为a的正六边形内有一边长为a的菱形，该菱形其中一个内角为，则（  ） A．3 B．4 C．2 D．1 7.在下列条件中，能够判定四边形是菱形的是（　　） A．两条对角线相等 B．两条对角线互相垂直平分 C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等且互相垂直 8.如图，在▱ABCD中，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连接AF、CE，下列选项可以使四边形AFCE是菱形的为（　　） A．OE＝OF B．AE＝CF C．EF⊥AC D．EF＝AC 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，平行四边形BCDE的顶点E在边AB上，连接CE、AD．添加一个条件，可以使四边形ADCE成为菱形的是（　　） A．CE⊥AB B．CD⊥AD C．CD＝CE D．AC＝DE 10．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝8，将菱形ABCD沿对角线BD向右平移个单位长度，得到菱形EFGH（点A、B、C、D的对应点分别为点E、F、G、H），AD与EF相交于点M，CD与FG相交于点N，则FM的长为（　　） A．6 B． C．8 D． （二）填空题 11．如图，在菱形ABCD中，点E在CD上，若AE＝AC，∠B＝48°，则∠BAE的大小为 　 　． 12．如图，在矩形中，顶点的坐标为，顶点的坐标为，以点为圆心，的长为半径画弧，交轴的正半轴于点D，连接，过点作，交轴于点E，连接，则 ． 13．如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E在线段上，连接．若，，则线段的长为 ． 14．如图，在菱形中，对角线与BD交于点，且，，垂直于，则 ． 15．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是_________. 16．如图，在菱形纸片中，，点是边上的一点，将纸片沿折叠，点落在处，恰好经过的中点，则的度数是__________.    17．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长为___________.    18．如图，在折叠千纸鹤时，其中某一步需要将如图所示的菱形纸片分别沿，所在直线进行折叠，使得菱形的两边，重合于．若此时，则 ． 19．如图，菱形ABCD的形状和大小保持不变，将菱形ABCD绕点B旋转适当角度得到菱形A'BC'D'，边A'D与AD，DC交于E，F（D，E，F不重合），连接EB，FB．在旋转过程中：①EB平分∠AED'；②FB平分∠A'FC；③△DEF的周长是一个定值；④S△DEF+2S△BEF＝S菱形ABCD，判断正确的是 　 　． 20．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC＝60°．连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE＝60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是　 　． （三）解答题 21.如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE． （1）求证：DE＝CE． （2）当EA⊥AB于点A，AE＝ED＝1时，求菱形的边长． 22．如图，菱形ABCD中，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与菱形的顶点重合），且满足CF＝DE，∠A＝60°． （1）求证：△BEF是等边三角形． （2）若菱形ABCD的边长为6，当△DEF的面积为时，求DE的长． 23．如图①，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP＝FP＝6，∠BAD＝60°，且AB＞6． （1）如图②，作PG⊥AB于G，PH⊥AD于H，则∠EPF　 　∠HPG（填“＜”“＞”或“＝”）． （2）∠FPE的大小是　 　． （3）若AP＝8，求AE+AF的值． 24.邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，平行四边形ABCD中，若AB=1，BC=2，则平行四边形ABCD为1阶准菱形． （I）判断与推理： （i）邻边长分别为2和3的平行四边形是　　阶准菱形； （ii）为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把平行四边形ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE，请证明四边形ABFE是菱形． （Ⅱ）操作与计算：已知平行四边形ABCD的邻边长分别为l，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出平行四边形ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值． 25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC，分别交BC，CD于点E，F，EH⊥AB于点H，连接FH． （1）求证：∠1＝∠2． （2）求证：四边形CFHE是菱形． （3）若∠CAB＝60°，直接写出S四边形CFHE：S△ABC的值． 26．借助平移、旋转、轴对称等操作，本学期我们研究了特殊平行四边形的性质．深入探究会发现四边形还有很多神奇之处． 定义：四边形内一点与四个顶点连线形成的四个角中，如果相邻的两个角相等，且其余两个角也相等，那么称这个点为四边形的“分角点”． 【理解发现】 （1）如图①，由定义可知， ∵为四边形的分角点，＝， ∴______． （2）如果一个四边形存在分角点，那么它在四边形的对角线上吗？ （3）一个菱形共有多少个分角点？ 【尝试思考】 （1）请按照给出的作法，用尺规作图的方法作出四边形的一个分角点： 作法 图形 1．连接． 2．以所在的直线为对称轴，作点的对称点． 3．作射线，交于点． 为四边形的一个分角点． （2） 如图②，四边形的顶点都在格点上，请在图②中画出它的一个分角点． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2025-2026学年苏科版八年级数学下期中提分特训5 《菱形》专题（盐城专版） 1． 思维导图 ( ) 2． 知识梳理 ( 一、菱形的定义 1.有一组______相等的______叫做菱形。 二、菱形的性质 1.边的性质：菱形的四条边______；对边______。 2.角的性质：菱形的对角______，邻角______。 3.对角线的性质：菱形的两条对角线互相______，并且每一条对角线______一组对角。 4.称性：菱形既是______图形，又是______图形，对称轴是______所在的直线。 5.菱形的对角线把菱形分成四个全等的______三角形。 三、菱形的判定 1.定义判定：有一组邻边相等的______是菱形。 2.判定定理1：______相等的四边形是菱形。 3.判定定理2：对角线互相______的______是菱形。 四、菱形的面积计算 1.菱形的面积 = 底 × ______。 2.菱形的面积 = 两条对角线长的______。 【答案】 一、邻边；平行四边形 二、1. 相等；平行且相等 2. 相等；互补 3. 垂直且平分；平分 4. 轴对称；中心对称；两条对角线 5. 直角 三、1. 平行四边形 2. 四条边 3. 垂直；平行四边形 四、1. 高 2. 乘积的一半 ) 三．考向分析+应对策略 ( 考向 一、菱形定义 1.以选择题、判断题为主，区分菱形与平行四边形、矩形的定义差异，考查对 “ 一组邻边相等的平行四边形是菱形 ” 核心定义的理解，易混淆菱形与普通平行四边形的判定前提。 2.结合图形，利用定义直接判断四边形是否为菱形，或根据定义补充图形条件，属于基础送分考点。 【应对策略】 （1）牢记定义核心：前提是平行四边形，关键条件是一组邻边相等，二者缺一不可，避 ) ( 免忽略 “ 平行四边形 ” 这一前提直接判定菱形。 （2）做辨析题时，紧扣定义逐一排除选项，明确菱形是特殊的平行四边形，具备平行四边形所有性质，且多了邻边相等的特征。 （3）基础题直接套用定义，先判断四边形是否为平行四边形，再验证邻边相等关系。 考向二、菱形性质 1.边的性质考查：利用 “ 菱形四条边相等 ” ，求边长、周长，或结合等腰三角形、全等三角形进行线段推导，是填空、选择题高频考点。 2.角的性质考查：结合平行四边形对角相等、邻角互补，结合对角线平分对角，求角度大小，常与直角三角形、等边三角形综合考查。 3.对角线性质考查：核心高频考点，考查 “ 对角线互相垂直且平分、平分一组对角 ” ，求对角线长度、角度，或利用对角线垂直构造直角三角形解题。 4.对称性考查：利用菱形轴对称、中心对称性质，求最短路径、线段最值，或判断对称点相关线段、角度关系。 【应对策略】 （1）全面梳理性质：边（四边相等、对边平行）、角（对角相等、邻角互补）、对角线（垂直平分、平分对角）、对称性，构建性质知识体系。 （2）遇到菱形对角线，必构造直角三角形，利用勾股定理求解线段长度，这是性质应用的核心方法。 （3）角度计算时，结合对角线平分对角、三角形内角和、平行线性质，逐步推导，标注已知角度简化思考。 （4）对称性问题，找准对称轴（对角线所在直线），利用对称点连线被对称轴垂直平分的性质解题。 （5）解答题规范书写，每一步推导注明依据的性质，培养逻辑推理能力。 考向三、菱形判定 1.定义判定：先证四边形是平行四边形，再证一组邻边相等，是基础判定方法，适用于简单证明题。 2.四边相等判定：直接证明四边形四条边相等，即可判定为菱形，多用于已知线段相等关系的题型。 3.对角线判定：证明平行四边形的对角线互相垂直，即可判定为菱形，是中考解答题高频考查方法，常与平行四边形判定综合。 4.综合判定：结合三角形全等、中位线、平行四边形性质，先推导线段/对角线关系，再完成菱形判定，属于中档难度题型。 【应对策略】 （1）牢记三种判定方法，根据题目已知条件择优选择：- 已知四边形是平行四边形，优先选 “ 邻边相等 ” 或 “ 对角线垂直 ” 判定；已知多条线段相等，优先选 “ 四条边相等 ” 判定。 （2）证明题步骤规范：先梳理已知条件，确定证明思路，再一步步推导，避免逻辑跳跃，尤其注意 “ 对角线垂直的四边形不一定是菱形，必须是平行四边形 ” 这一易错点。 3.   多做综合题型，总结平行四边形与菱形判定的衔接思路，熟练运用三角形全等、等腰三角形性质推导判定条件。 考向四、菱形面积计算考向分析及应对策略 1.基础公式计算：直接套用 “ 底 × 高 ” 求面积，已知底和高，或已知边长与高，简单求解，多见于填空题。 2.对角线公式计算：核心考向，利用 “ 面积=对角线乘积的一半 ” ，已知对角线长度求面积，或已知面积、一条对角线求另一条对角线。 3.综合计算：结合性质、判定，先求边长、对角线、高，再计算面积，常与直角三角形勾股定理、等腰三角形综合，出现在解答题中。 ) ( 【应对策略】 （1）牢记两个面积公式，根据题目已知条件灵活选择： ① 已知底和对应高，用底 × 高； ② 已知对角线长度，用对角线乘积的一半。 （2）解题时，先利用菱形性质求出所需线段（边长、对角线、高），再代入公式，计算过程注意单位统一，避免计算失误。 （3）综合题中，先通过判定、性质推导线段关系，求出关键线段长度，再计算面积，分步解题，降低难度。 【提分小贴士】 1.区分菱形与平行四边形、矩形的性质与判定差异，避免知识点混淆，整理对比表格强化记忆。 2.重视几何图形的画图能力，根据题意画出标准图形，标注已知条件，直观分析线段、角度关系。 3.多做基础题巩固公式、定义，针对性练习中档综合题，提升逻辑推理和计算能力，掌握解题通法。 ) 四．强化基础 （一）选择题 1．菱形不具有的性质是（    ） A．邻边相等 B．对边相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】D 【解析】解：菱形的邻边相等，对边相等，对角线互相垂直，对角线不一定相等，故选：D． 2．顺次连接等腰梯形四边中点所得到的四边形是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【解析】如图，等腰梯形中，，，、、、分别是各边的中点，连接、，、分别是、的中点，，同理，又四边形是等腰梯形，，，四边形是菱形，故选：B． 3．下列说法中，正确的是（   ） A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．菱形的对角线相等且互相平分 D．菱形的对角线互相垂直且平分 【答案】D 【解析】A．对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法错误，故该选项不符合题意； B．对角线互相平分的四边形为平行四边形，原说法错误，故该选项不符合题意；C．菱形的对角线互相垂直且平分，原说法错误，故该选项不符合题意；D．菱形的对角线互相垂直且平分，原说法正确，故该选项符合题意；故选：D． 4．已知中，对角线，相交于点O．若，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵中，对角线，相交于点O，，∴是菱形，A．菱形对角线不一定相等，此选项结论不一定成立；B．由菱形的四边相等，得到，此选项结论一定成立；C．菱形的内角不一定等于，此选项结论不一定成立； D．由题可得是菱形，，当时，，此选项结论不一定成立．故选：B． 5．如图，已知点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点，则点的坐标为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】四边形为菱形，，，点为坐标原点，点和点关于原点对称，点和点关于原点对称，点的坐标为点坐标为 故选：D． 6.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,连接EO,若EO=2,则菱形ABCD的周长为(　　) A.8　　 B.12　　 C.16　　 D.20 【答案】C　 【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AB=BC=CD=DA,在Rt△AOB中,E是AB的中点,∴OE=AB,∵OE=2,∴AB=4,∴菱形ABCD的周长=4AB=16.故选C. 7.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作于点H，连接OH，若，，则菱形ABCD的面积为（  ） A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD=90°， ∴BD=2OH，∵OH=2，∴BD=4，∵OA=4，∴AC=8，∴菱形ABCD的面积= AC•BD= ×8×4=16． 故选：B． 8.如图，平移△ABC到△BDE的位置，且点D在边AB的延长线上，连接EC，CD，若AB=BC，那么在以下四个结论：①四边形ABEC是平行四边形；②四边形BDEC是菱形；③；④DC平分∠BDE，正确的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】∵平移△ABC到△BDE的位置，且点D在边AB的延长线上，∴， ∴四边形ABEC是平行四边形，故①正确；∵平移△ABC到△BDE的位置，∴AB=BD=CE，BC=DE，∵AB=BC，∴AB=BD=CE=BC=DE，∴四边形BDEC是菱形，故②正确；∵四边形BDEC是菱形，∴，∵，，故③正确；∵四边形BDEC是菱形，∴DC平分∠BDE， 故④正确；∴正确的有4个．故选D． 9.下图入口处进入，最后到达的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】：D 【解析】：∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形；∴最后到达的是丁故选：D． 10.如图，平移△ABC到△BDE的位置，且点D在边AB的延长线上，连接EC，CD，若AB＝BC，那么在以下四个结论：①四边形ABEC是平行四边形；②四边形BDEC是菱形；③AC⊥DC；④DC平分∠BDE，正确的有（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】：D 【解析】：∵△BDE是△ABC平移过去的，且A、B、D三点一线，∴AD∥CE，AC∥BE，∴四边形ABEC为平行四边形，故①命题正确；∵AB＝BD，且AB＝BC，∴AB＝BD＝DE＝EC＝BC，即四边形BDEC为菱形，故②命题正确；∵菱形对角线垂直，∴BE⊥CD，∵AC∥BE∴AC⊥CD，故③命题正确；∵菱形的对角线即角平分线，且四边形BDEC为菱形，∴DC为∠BDE的角平分线，故④命题正确．故正确的命题为4个，故选：D． （二）填空题 11. 如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件______使平行四边形ABCD是矩形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】若使▱ABCD是矩形，可添加的条件是：AC=BD；（对角线相等的平行四边形是矩形），∠ABC=90°等（有一个角是直角的平行四边形是矩形），故答案为：任意写出一个正确答案即可，如：AC=BD或∠ABC=90°．故答案为：AC=BD（答案不唯一） 12. 如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝_____，平行四边形CDEB为菱形． 【答案】 【解析】如图,连接CE交AB于点O．∵Rt△ABC中,，AC=4，BC=3 ∴ (勾股定理)若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD=OB，CD=CB．∵ ∴∴在Rt△BOC中,根据勾股定理得， ∴ 故答案是：． 13．如图，菱形的两条对角线、相交于点，，，则菱形的面积为 ． 【答案】24 【解析】∵四边形是菱形，，，∴， 故答案为：． 14．如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，，则的长为 ． 【答案】8 【解析】如图，设交于点O．由作图可知：，，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∴， ∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形，∴，，在中，，∴，∴．故答案为：8． 15．如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是________. 【答案】15 【解析】：如图，此时菱形ABCD的面积最大．设AB＝BC＝x，则EB＝9﹣x，AE＝3，在Rt△ABE中，由勾股定理得到：AE2+EB2＝AB2，即32+（9﹣x）2＝x2，解得 x＝5，∴S菱形ABCD＝5×3＝15， 16．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上一个动点，过点P分别作AB、BC的垂线，垂足分别是F和E．若菱形ABCD的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是_______. 【答案】：2 【解析】：如图，连接BP，∵菱形ABCD的周长是12cm，面积是6cm2，∴AB＝BC＝＝3（cm），S△ABC＝＝3（cm2），∵S△ABC＝S△ABP+S△BPC，∴3＝AB•PF+BC•PE，∴3＝×3×PE+×3×PF＝（PE+PF），∴PE+PF＝2（cm）， 17．如图，在菱形中，°，，是边上的一点，分别是的中点，则线段的长为 ． 【答案】1 【解析】如图，连接．四边形是菱形，，，是等边三角形，，∵，分别是，的中点，∴是的中位线，．故答案为：． 18. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=6，CD=8，E，F分别是边ABCD的中点, DH⊥BC于点H，连接EH，EC，EF，现有下列结论:①∠CDH=30°；②EF=4;③四边形EFCH是菱形;④S△EFC=3S△BEH.你认为结论正确的有___________.(填序号) 【答案】①②③ 【解析】①∵AD∥BC，AB⊥BC，DH⊥BC，∴四边形ABHD是矩形，∴BH=AD=2，AB=DH，∴CH=BC-BH=6-2=4，∵CD=8，∴CH=CD，∴∠CDH=30°；①正确；②∵E，F分别是边AB、CD的中点，∴CF=CD=4，EF∥BC，EF=（AD+BC）=4，②正确；③∵EF∥BC，EF=CH=4， ∴四边形EFCH是平行四边形，又∵EF=CF=4，∴四边形EFCH是菱形；③正确；④∵EF=4，BH=2，∴S△EFC=2S△BEH．④错误；故选①②③． 19．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AE⊥BC于点E，连接OE，若OE＝3，BD＝8，则AB的长为 　 　． 【答案】5 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°， ∴AC＝2OE＝6，OB＝4，∴OC＝3，∴AB＝＝＝5．故答案为：5． 20．如图，四边形ABCD是菱形，E在AD上，F在AB延长线上，CE和DF相交于点G，若CE＝DF，∠CGF＝30°，AB的长为6，则菱形ABCD的面积为　 　． 【答案】18 【解析】连接AC、BD，交于点O，分别取AE、BF的中点M、N，连接OM、ON，在AB上截取AH＝AM，连接OH，过C作CP⊥AF于P，∵四边形ABCD是菱形，∴O是BD的中点，也是AC的中点，∴OM＝CE，ON＝DF，∵CE＝DF，∴OM＝ON，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，∵AO＝AO，∴△AMO≌△AHO，∴OM＝OH，∠AMO＝∠AHO，∴OM＝OH＝ON，∴∠OHN＝∠ONH，∵∠AHO+∠OHN＝180°，∴∠AMO+∠ONH＝180，∵OM∥EC，ON∥DF，∴∠AMO＝∠AEC，∠ONH＝∠GFA，∴∠AEC+∠GFA＝180°，∴∠DAB+∠EGF＝180°，∵∠CGF＝30°，∴∠EGF＝150°， ∴∠DAB＝30°，∵AD∥BC，∴∠CBF＝∠DAB＝30°，∵AB＝BC＝6，∴CP＝BC＝3，∴菱形ABCD的面积＝AB•CP＝6×3＝18，故答案为18． （三）解答题 21．如图，已知BD平分∠ABF，且交AE于点D， （1）求作：∠BAE的平分线AP（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）设AP交BD于点O，交BF于点C，连接CD，当AC⊥BD时，求证：四边形ABCD是菱形． 解：（1）如图所示： （2）证明：如图：在△ABO和△CBO中，，∴△ABO≌△CBO（ASA）， ∴AO＝CO，AB＝CB．在△ABO和△ADO中，，∴△ABO≌△ADO（ASA）， ∴BO＝DO．∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝CB，∴平行四边形ABCD是菱形． 22.（8分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD＝4，E，F分别是AD，CD上的动点(包含端点)，且AE＋CF＝4，连结BE，EF，FB. (1)求证：BE＝BF； (2)求EF的最大值与最小值． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是边长为4的菱形，BD＝4，∴△ABD，△CBD都是边长为4的等边三角形，∵AE＋CF＝4，∴CF＝4－AE＝AD－AE＝DE，又∵BD＝BC＝4，∠BDE＝∠C＝60°，∴△BDE≌△BCF(SAS)，∴BE＝BF (2)∵△BDE≌△BCF，∴∠EBD＝∠FBC，∴∠EBD＋∠DBF＝∠FBC＋∠DBF，∴∠EBF＝∠DBC＝60°，又∵BE＝BF，∴△BEF是等边三角形，∴EF＝BE＝BF，当动点E运动到点D或点A时，BE最大，最大值为4；当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE最小，最小值为2.∵EF＝BE，∴EF的最大值为4，最小值为2 23.（8分）如图，已知在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于M，过M作ME⊥CD于E，∠1＝∠2． (1)若CE＝1，求BC的长； (2)求证：AM＝DF＋ME． 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠ACD，∵∠1＝∠2，∴∠ACD＝∠2，∴MC＝MD，∵ME⊥CD，∴CD＝2CE，∵CE＝1，∴CD＝2，∴BC＝CD＝2； (2)证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF＝CF＝BC，∴CF＝CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵，∴△CEM≌△CFM(SAS)， ∴ME＝MF，延长AB交DF的延长线于点G，∵AB∥CD，∴∠G＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠G， ∴AM＝MG，在△CDF和△BGF中，∵∴△CDF≌△BGF(AAS)，∴GF＝DF，由图形可知，GM＝GF＋MF，∴AM＝DF＋ME. 24．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，现按如下步骤作图： ①分别以A，C为圆心，a为半径（a＞AC）作弧，两弧分别交于M，N两点； ②过M，N两点作直线MN交AB于点D，交AC于点E； ③将△ADE绕点E顺时针旋转180°，设点D的像为点F． （1）请在图中直线标出点F并连接CF； （2）求证：四边形BCFD是平行四边形； （3）当∠B为多少度时，四边形BCFD是菱形． 解：（1）如图所示： （2）∵根据作图可知：MN垂直平分线段AC，∴AE＝EC,∵∠AED＝∠ACB＝90°,∴ED∥CB,∴AD＝DB,∴D、E为线段AB和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，∵将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的像为点F，∴EF＝ED，∴DF＝BC，∵DE∥BC，∴四边形BCFD是平行四边形； （3）当∠B＝60°时，四边形BCFD是菱形；∵∠B＝60°，∴BC＝AB，∵DB＝AB，∴DB＝CB，∵四边形BCFD是平行四边形，∴四边形BCFD是菱形． 25.如图,菱形ABCD中,∠B=60°,点E在边BC上,点F在边CD上. (1)如图1,若E是BC的中点,∠AEF=60°,求证:BE=DF; (2)如图2,若∠EAF=60°,求证:△AEF是等边三角形; (3)在(2)的条件下,如果AB=10,那么△AEF的周长是否存在最小值?如果存在,请求出来. 解：(1)如图1所示:连接AC.∵在菱形ABCD中,∠B=60°,∴AB=BC=CD,∠BCD=180°-∠B=120°.∴△ABC是等边三角形.∵E是BC的中点,∴AE⊥BC.∵∠AEF=60°,∴∠FEC=90°-∠AEF=30°.∴∠CFE=180°-∠FEC-∠ECF=180°-30°-120°=30°.∴∠FEC=∠CFE.∴EC=CF.∴BE=DF. (2)如图2所示:连接AC.∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠ACB=60°,∠BAC=60°.∴∠B=∠ACF=60°.∵∠BAC=∠EAF=60°,∴∠BAE=∠CAF.在△ABE和△ACF中, ∴△ABE≌△ACF.∴AE=AF.∵∠EAF=60°,∴△AEF是等边三角形. (3)由垂线段最短可知:当AE⊥BC时,AE有最小值.∵AE⊥BC,∠B=60°,∴∠BAE=30°, ∴AB=2BE=10,∴BE=5,∴AE==5,∴△AEF周长的最小值为3×5=15. 26.如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12 cm，点P从点A出发沿AB以2 cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发以1 cm/s的速度向点A运动，设运动时间为t(s)(0＜t＜6)． (1)直接写出线段AP，AQ的长： AP＝____，AQ＝____(用含t的代数式表示)． (2)设△APQ 的面积为S，写出S与t的关系式． (3)如图②，连结PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时间t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 解:(1)∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°.又∵AB＝12 cm，∴AC＝6 cm.由题意，得AP＝2t，AQ＝6－t. (2)过点P作PH⊥AC于点H.在Rt△APH中，∵∠A＝60°，∴∠HPA＝30°.∵AP＝2t，∴AH＝t.∴PH＝t.∴S＝AQ·PH＝(6－t)×t＝－t2＋3t(0<t<6)． (3)存在．过点P作PM⊥AC于点M.由(2)可知，AM＝AP＝t，∴QC＝AM，∴AQ＝CM. 当四边形PQP′C为菱形时，PC＝PQ，此时CM＝MQ，∴AQ＝CM＝MQ＝AC＝2 cm， 此时6－t＝2，解得t＝4，即当t＝4时，四边形PQP′C是菱形． 五．提分特训 （一）选择题 1．如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可得，，∴四边形是平行四边形，∵交叉形成的锐角为，∴，如图所示，过点作，分别交于点，则，，∴，∴，∴，∴，∴平行四边形是菱形，在中，，∴，，∴，解得，（负值舍去），∴，∴四边形的面积为， 故选：D ． 2．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】四边形是菱形，，，，， ，，在中，根据勾股定理可得： ，是菱形的高，， ，故选：． 3．如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是(   ) A．6 B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，作点关于的对称点，连接，∴，∴，当时，点在上，则取得最小值， 四边形是菱形，点在AD上，，，，由， 得，解得：，即的最小值是；故选：B． 4．如图，将三角形ABC沿方向平移得到，连接，下列条件能够判定四边形为菱形的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵将△ABC沿方向平移得到，∴，，，，∴四边形为平行四边形，∴当时，平行四边形是菱形．故选：B． 5.在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF为菱形，O为AE，DF的交点，S△ABC＝8 ，则S菱形ADEF＝（　　） A．4 B．4 C．4 D．4 【答案】C 【解析】∵四边形ADEF为菱形，∴EF∥AB，DE∥AC，AF=EF=DE=AD，AE⊥DF，∴，，，，，∴CF=EF，DE=DB， ，，∴DF∥BC，，，， ，，，即， ，故C正确．故选：C． 6.边长为a的正六边形内有一边长为a的菱形，该菱形其中一个内角为，则（  ） A．3 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【解析】如图所示，由图可知，边长为a的正六边形可拆成6个边长为a的等边三角形，图中的菱形有一个角为60°，则该边长为a的菱形可以拆成2个边长为a的等边三角形， 边长为a的等边三角形的底边上的高也是底边的中线，则利用勾股定理可得高为：，边长为a的等边三角形的面积为：，则可知正六边形的面积为：，空白菱形的面积为：，则阴影部分的面积为：，则有，故选：C． 7.在下列条件中，能够判定四边形是菱形的是（　　） A．两条对角线相等 B．两条对角线互相垂直平分 C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等且互相垂直 【答案】B 【解析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选：B． 8.如图，在▱ABCD中，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连接AF、CE，下列选项可以使四边形AFCE是菱形的为（　　） A．OE＝OF B．AE＝CF C．EF⊥AC D．EF＝AC 【答案】C 【解析】A、∵O为AC的中点，∴OA＝OC，∵OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形，故选项A不符合题意；B、四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∵O为AC的中点，∴OA＝OC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵EF⊥AC，∴平行四边形AFCE是菱形，故选项C符合题意；D、∵EF＝AC，∴平行四边形AFCE是矩形，故选项D不符合题意；故选：C． 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，平行四边形BCDE的顶点E在边AB上，连接CE、AD．添加一个条件，可以使四边形ADCE成为菱形的是（　　） A．CE⊥AB B．CD⊥AD C．CD＝CE D．AC＝DE 【答案】C 【解析】添加CD＝CE，可以使四边形ADCE成为菱形，理由如下：如图，设AC于ED交于点O，∵四边形BCDE是平行四边形，∴DE∥BC，BE∥CD，∴∠AOE＝∠ACB＝90°，∴AC⊥DE，∵CD＝CE，∴OD＝OE，∵AB∥CD，∴∠EAO＝∠DCO，在△AOE和△COD中，，∴△AOE≌△COD（AAS），∴OA＝OC，∵OD＝OE，四边形ADCE是平行四边形，∵CE＝CD，∴四边形ADCE是菱形．因为添加其他条件，都不可以使四边形ADCE成为菱形．故选：C． 10．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝8，将菱形ABCD沿对角线BD向右平移个单位长度，得到菱形EFGH（点A、B、C、D的对应点分别为点E、F、G、H），AD与EF相交于点M，CD与FG相交于点N，则FM的长为（　　） A．6 B． C．8 D． 【答案】A 【解析】连接AC、AE，过点M作MT⊥AE于T，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠CAD＝∠BAD＝×120°＝60°，AC⊥BD，由平移的性质得：AB＝EF＝8，AE＝2，AB∥EF，AE∥BD，∴AC⊥AE，∴∠MAE＝90°﹣∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∵AB∥EF，∴∠MEA＝180°﹣（∠BAD+∠MAE）＝180°﹣（120°+30°）＝30°，∴∠MAE＝∠MEA，∴AM＝EM，∴AT＝ET＝AE＝×2＝，在Rt△ATM中，∠MAT＝30°，∴AM＝2，∴FM＝EF﹣EM＝EF﹣AM＝8﹣2＝6，故选：A． （二）填空题 11．如图，在菱形ABCD中，点E在CD上，若AE＝AC，∠B＝48°，则∠BAE的大小为 　 　． 【答案】114° 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴CA平分∠BCD，AB∥CD，∴∠BAE+∠AEC＝180°，∠B+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣48°＝132°，∴∠ACE＝∠BCD＝66°， ∵AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE＝66°，∴∠BAE＝180°﹣∠AEC＝114°；故答案为：114°． 12．如图，在矩形中，顶点的坐标为，顶点的坐标为，以点为圆心，的长为半径画弧，交轴的正半轴于点D，连接，过点作，交轴于点E，连接，则 ． 【答案】 【解析】根据题意得点，，∵，，∴四边形为菱形，∴，∵顶点的坐标为，∴，∴， ∴，在中，， 故答案为：． 13．如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E在线段上，连接．若，，则线段的长为 ． 【答案】 【解析】∵四边形为菱形，∴，由，设，则，∴，∴，过D作于H，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，故答案为：． 14．如图，在菱形中，对角线与BD交于点，且，，垂直于，则 ． 【答案】 【解析】∵四边形是菱形，∴，，，∴， ∵，∴，∴∴， ∵，∴，∴，故答案为：． 15．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是_________. 【答案】：25° 【解析】：如图：∵ABCD是菱形∴AD＝AB，BO＝OD，∴∠BAD＝2∠CAD＝50°∴∠ABD＝（180°﹣∠BAD）÷2＝65°∵DH⊥AB，BO＝DO∴HO＝DO∴∠DHO＝∠BDH＝90°﹣∠ABD＝25° 16．如图，在菱形纸片中，，点是边上的一点，将纸片沿折叠，点落在处，恰好经过的中点，则的度数是__________.    【答案】75° 【解析】连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，在△DEC中，∠DEC＝180°−（∠CDE＋∠C）＝180°−（45°＋60°）＝75°． 17．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长为___________.    【答案】16 【解析】如图，是的角平分线，．四边形是平行四边形，，，，，同理可得， 四边形为平行四边形．，四边形为菱形．，，．在中，，．    18．如图，在折叠千纸鹤时，其中某一步需要将如图所示的菱形纸片分别沿，所在直线进行折叠，使得菱形的两边，重合于．若此时，则 ． 【答案】30° 【解析】∵四边形ABCD为菱形，∴∠B=∠D，∠B+∠BAD=180°，由折叠的性质得：∠B=∠AOM，∠D=∠AON，∠BAM=∠OAM=∠DAN=∠OAN=∠BAD，∵∠MON=80°，∴∠AOM=∠AON=(360°-80°)=140°，∴∠B=∠AOM=140°,∴∠BAD=40°,∴∠OAM=10°, ∴∠AMO=180°-140°-10°=30°,故答案为:30°． 19．如图，菱形ABCD的形状和大小保持不变，将菱形ABCD绕点B旋转适当角度得到菱形A'BC'D'，边A'D与AD，DC交于E，F（D，E，F不重合），连接EB，FB．在旋转过程中：①EB平分∠AED'；②FB平分∠A'FC；③△DEF的周长是一个定值；④S△DEF+2S△BEF＝S菱形ABCD，判断正确的是 　 　． 【答案】①②③ 【解析】如图，过点B作BH⊥A′D′于H，BM⊥AD于M，BN⊥CD于N．∵菱形BA′D′C′是由菱形ABCD旋转得到，菱形的每条边上的高相等，∴BM＝BH＝BN，∵BH⊥A′D′于H，BM⊥AD于M，BN⊥CD于N，∴BE平分∠AED′，BF平分∠A′FC，故选项①②正确，∵∠BME＝∠NHE＝90°，BE＝BE，BM＝BH，∴Rt△BEM≌Rt△BEH（HL），∴EH＝EM，同法可证，FH＝FN，∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝DE+EM+DF+FN＝DM+DN，∵∠BMA＝∠BNC＝90°，BM＝BN，BA＝BC，∴Rt△BMA≌Rt△BNC（HL），∴AM＝CN，∵DA＝DC，∴DM＝DN，∴△DEF的周长＝2DM＝定值，故③正确，∵Rt△BEM≌Rt△BEH，Rt△BMA≌Rt△BNC，Rt△BFN≌Rt△BFH， ∴S△BEM＝S△BEH，S△BMA＝S△BNC，S△BFN＝S△BFH，∴S△DEF+2S△BEF＝S四边形DMBN，∵∠A不一定为60°， ∴AM不一定等于AB，∴S△DEF+2S△BEF≠S菱形ABCD，故④错误；故选①②③． 20．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC＝60°．连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE＝60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是　 　． 【答案】（）n﹣1 【解析】连接DB，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB．AC⊥DB，∵∠DAB＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴DB＝AD＝1，∴BM＝，∴AM＝，∴AC＝，同理可得AE＝AC＝（）2，AG＝AE＝3＝（）3，按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n﹣1， 故答案为（）n﹣1． （三）解答题 21.如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE． （1）求证：DE＝CE． （2）当EA⊥AB于点A，AE＝ED＝1时，求菱形的边长． 解:（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，又∵AE＝DE，∴DE＝CE． （2）如图，连接AC交BD于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，∴∠ABD＝∠ADB，∵AE═ED＝1，∴∠DAE＝∠EDA， ∴∠DAE＝∠ADE＝∠ABD，∵∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABD＝180°，∴∠DAE＝∠AD＝∠ABD＝30°，∴BE＝2AE＝2，∴BD＝BE+DE＝3，∴BH＝DH＝，∵∠ABD＝30°，AH⊥BD，∴AB＝2AH，BH＝AH，∴AH＝，AB＝2AH＝，即菱形的边长为． 22．如图，菱形ABCD中，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与菱形的顶点重合），且满足CF＝DE，∠A＝60°． （1）求证：△BEF是等边三角形． （2）若菱形ABCD的边长为6，当△DEF的面积为时，求DE的长． 解:（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC＝BC＝AB，∠A＝∠C＝60°，∴△ABD和△BCD都是等边三角形，∴∠C＝∠BDE＝60°，BD＝BC．在△BDE和△BCF中，，∴△BDE≌△BCF（SAS），∴∠DBE＝∠CBF，BE＝BF，∵∠DBC＝∠DBF+∠CBF＝60°，∴∠DBF+∠DBE＝60°，即∠EBF＝60°，∴△BEF是等边三角形； （2）解：∵菱形ABCD的边长为6，∴CD＝6，作FG作DE于G，如图2所示：由（1）得：∠FDG＝60°，∴∠DFG＝30°，∴DG＝DF，FG＝DG＝DF，∵CF＝DE，∴DF＝CD﹣CF＝6﹣DE，∵△DEF的面积＝DE×FG＝DE×（6﹣DE）＝2，即DE（6﹣DE）＝8，解得：DE＝2，或DE＝4；即DE的长为2或4． 23．如图①，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP＝FP＝6，∠BAD＝60°，且AB＞6． （1）如图②，作PG⊥AB于G，PH⊥AD于H，则∠EPF　 　∠HPG（填“＜”“＞”或“＝”）． （2）∠FPE的大小是　 　． （3）若AP＝8，求AE+AF的值． 解：（1）作PG⊥AB于G，PH⊥AD于H，则∠PGE＝∠PHF＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD，∴PG＝PH，在Rt△PGE和Rt△PHF中，，∴Rt△PGE≌Rt△PHF（HL），∴∠HPF＝∠GPE，GE＝HF，∴∠HPF+∠FPG＝∠GPE+∠FPG，即∠HPG＝∠EPF，故答案为：＝； （2）∵∠BAD＝60°，∠AHP＝∠AGP＝90°，∴∠GPH＝120°，∴∠EPF＝120°，故答案为：120°； （3）∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，∴∠PAG＝30°，∴PG＝AP＝4，∴AG＝PG＝4，又∵GE＝HF，∴AE+AF＝AG+GE+AH﹣HF＝2AG＝8． 24.邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，平行四边形ABCD中，若AB=1，BC=2，则平行四边形ABCD为1阶准菱形． （I）判断与推理： （i）邻边长分别为2和3的平行四边形是　　阶准菱形； （ii）为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把平行四边形ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE，请证明四边形ABFE是菱形． （Ⅱ）操作与计算：已知平行四边形ABCD的邻边长分别为l，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出平行四边形ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值． 解：（I）（i）利用邻边长分别为2和3的平行四边形经过两次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形；故答案为：2； （ii）由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BF， ∴∠AEB=∠FBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，∴AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形， ∴四边形ABFE是菱形；（II）如图，必为a＞3，且a=4；②如图，必为2＜a＜3，且a=2.5；③如图，必为＜a＜2，且a﹣1+（a﹣1）=1，解得a=；④如图，必为1＜a＜，且3（a﹣1）=1，解得a=．综上所述，a的值分别是：a1=4，a2=，a3=，a4=． 25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC，分别交BC，CD于点E，F，EH⊥AB于点H，连接FH． （1）求证：∠1＝∠2． （2）求证：四边形CFHE是菱形． （3）若∠CAB＝60°，直接写出S四边形CFHE：S△ABC的值． 解：（1）证明：∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠EAB．又∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD＝∠BCD+∠B＝90°．∴∠ACD＝∠B．∴∠1＝∠CAE+∠ACD＝∠B+∠EAB＝∠2； （2）证明：∵∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，EH⊥AB，∴CE＝EH．∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴CF∥EH．由（1）可知∠1＝∠2，∴CF＝CE．∴CF＝EH．∴四边形CFHE是平行四边形．∵CE＝EH，∴四边形CFHE是菱形； （3）∵∠CAB＝60°，∴∠B＝30°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝＝30°，设AC＝x，则CE＝x，BC＝x，∵∠CAE＝30°，∴∠2＝∠1＝60°，∴CE＝EF＝AE，∴S△ACE＝2S△CEF，∵S菱形CDHE＝2S△CEF，∴S菱形CFHE＝S△ACE＝＝x•x＝x2，∵S△ABC＝AC•BC＝＝x2，∴S四边形CFHE：S△ABC＝． 26．借助平移、旋转、轴对称等操作，本学期我们研究了特殊平行四边形的性质．深入探究会发现四边形还有很多神奇之处． 定义：四边形内一点与四个顶点连线形成的四个角中，如果相邻的两个角相等，且其余两个角也相等，那么称这个点为四边形的“分角点”． 【理解发现】 （1）如图①，由定义可知， ∵为四边形的分角点，＝， ∴______． （2）如果一个四边形存在分角点，那么它在四边形的对角线上吗？ （3）一个菱形共有多少个分角点？ 【尝试思考】 （1）请按照给出的作法，用尺规作图的方法作出四边形的一个分角点： 作法 图形 1．连接． 2．以所在的直线为对称轴，作点的对称点． 3．作射线，交于点． 为四边形的一个分角点． （2） 如图②，四边形的顶点都在格点上，请在图②中画出它的一个分角点． 解：理解发现∶ （1）如图①，由定义可知，∵为四边形的分角点，＝，∴，故答案为∶； （2）分角点在四边形的对角线上，理由如下∶如图①，，，∴∴点，，共线， ∴分角点在四边形的对角线上； （3）如图1，菱形有无数个分角点，理由如下∶∵四边形是菱形，∴．∴．∴∴．即．∴点是四边形的分角点，∵为BD上任意一点，∴菱形有无数个分角点， 尝试思考： （1）如图2（2）如图3，找出点A关于BD的对称点E，作射线CE，交BD于点T，则点T就是求作的图形． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $