精品解析：吉林省吉林市第一中学2025-2026学年高一下学期第一次学科训练数学试卷

吉林一中2025级高一下学期学科训练 数学学科训练 一、单项选择题 1. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，，则m的值为（ ） A. 0 B. -2 C. 0或-2 D. 0或2 3. 已知轮船在灯塔的北偏东45°方向上，轮船在灯塔的南偏西15°方向上，且轮船，与灯塔之间的距离分别是千米和千米，则轮船，之间的距离是（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 4. 如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（   ） A. B. C. D. 5. 已知a，b，c是空间中的三条直线，下列说法中错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若a与b垂直，b与c垂直，则a与c可能相交、平行或异面 C. 若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面 D. 若a与c相交，b与c异面，则a与b异面 6. 在平行四边形中，点E是边上的点，，点F是线段的中点，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 如图所示为关于对称的两个等腰与，已知，则该平面图形（阴影部分）绕着直线旋转形成的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得，若点F为线段AE上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、多项选择题 9. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，.若有唯一解，则的值可以是（ ） A. 1 B. C. D. 10. 设是z的共轭复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 11. 下列语句错误的是（ ） A. ，是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为 B. 圆锥底面半径为2，母线长为3，则此圆锥的侧面积为 C. 直棱柱都有外接球 D. 在同一平面内的向量、、两两不共线．对于平面内的任意一个向量，都存在唯一的一个有序实数组，使得等式成立 四、填空题 12. 一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则这个圆锥的侧面积为______． 13. 圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，则外接球体积为________． 14. 定义：若数轴轴和轴相交于点O，记两条数轴的正方向所成的角，我们就建立了“坐标系”．对于坐标系内任意一点P，过点P作y轴的平行线，与x轴的交点对应的数称为“横坐标”，过点P作x轴的平行线，与y轴的交点对应的数称为“纵坐标”，记作．在“坐标系”中有，、、．则______. 四、解答题 15. 方程的两根分别为、． （1）求、； （2）求． 16. 已知向量． （1）求的夹角余弦； （2）若，求实数k的值； （3）若，求实数m的值． 17. 在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，． （1）证明：； （2）若，求的值． 18. 如图，在边长为1的正中，E、F分别是边AB，AC上的点，若，，．设EF的中点为M，BC的中点为N． （1）若，，请用表示； （2）若A，M，N三点共线，求证：； （3）若，求的最小值． 19. 在四边形ABCD中，，，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且． （1）若，求； （2）若，求BC的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林一中2025级高一下学期学科训练 数学学科训练 一、单项选择题 1. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】化简复数后，根据复数的几何意义可得答案. 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点在第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的乘除法运算，考查了复数的几何意义，属于基础题. 2. 已知向量，，，则m的值为（ ） A. 0 B. -2 C. 0或-2 D. 0或2 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用向量的坐标运算和向量的模，求出结果 【详解】向量，，故， 所以，解得或2． 故选：D． 3. 已知轮船在灯塔的北偏东45°方向上，轮船在灯塔的南偏西15°方向上，且轮船，与灯塔之间的距离分别是千米和千米，则轮船，之间的距离是（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作出示意图，分析角度后，再利用余弦定理解题即可. 【详解】如图，由题意可知千米，千米，，由余弦定理可得，则千米． 故选：D. 4. 如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线的定义一一判断即可. 【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，为的中点， 而，所以共面，则、在平面上，故A不符题意； 因为，即共面， 易知平面，而平面，，， 故与异面，故B符合题意； 当、重合时，易知， 则四边形是平行四边形，则此时，故C不符合题意； 当、重合时，显然，相交，故D不符合题意. 故选：B. 5. 已知a，b，c是空间中的三条直线，下列说法中错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若a与b垂直，b与c垂直，则a与c可能相交、平行或异面 C. 若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面 D. 若a与c相交，b与c异面，则a与b异面 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由平行的传递性知A正确； 对于B，如图①，在正方体中， 当，时，与相交； 当，时， ； 当，时，与异面； 所以由，可得a与c可能相交、平行或异面，故B正确； 对于C，若 a ，b 分别在两个相交平面内，如图所示， 可知这两条直线可能平行、相交或异面，故C正确； 对于D，如图①，在正方体中， 与相交，与异面，此时与平行； 与相交，与异面，此时与相交； 与相交，与异面，此时与异面； 所以a与c相交，b与c异面，则a与b可能相交、平行或异面，故D错误. 6. 在平行四边形中，点E是边上的点，，点F是线段的中点，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题设，则 ，又，则. 7. 如图所示为关于对称的两个等腰与，已知，则该平面图形（阴影部分）绕着直线旋转形成的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件确定该平面图形分别绕着直线旋转一周形成的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥形成的几何体，据此计算即可求解. 【详解】该平面图形分别绕着直线旋转一周形成的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥形成的几何体， 因为，所以圆柱的高为，圆柱底面半径为， 圆锥的底面半径为，高为， 所以该几何体的体积为. 故选：D. 8. 四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得，若点F为线段AE上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图，以为原点，建立平面直角坐标系. 则，，，. 设，. 则， ， 所以， 所以当时，取得最小值，为. 故答案B正确. 二、多项选择题 9. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，.若有唯一解，则的值可以是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正弦定理三角形有唯一解，得到或，即可求出参数的取值范围，从而得解； 【详解】解：因为，，因为有唯一解，所以或，即， 故选：BD 10. 设是z的共轭复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的四则运算、复数的模、共轭复数以及复数的定义加以计算判断. 【详解】对于A，令，则， 于是，所以，故A正确； 对于B，令，则，因为， ，故B正确； 对于C，令，满足， 而，，故C错误； 对于D，令，则， 于是，则，故D正确. 11. 下列语句错误的是（ ） A. ，是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为 B. 圆锥底面半径为2，母线长为3，则此圆锥的侧面积为 C. 直棱柱都有外接球 D. 在同一平面内的向量、、两两不共线．对于平面内的任意一个向量，都存在唯一的一个有序实数组，使得等式成立 【答案】CD 【解析】 【详解】对A：由题意，所以， 所以向量在向量上的投影向量为，故A正确； 对B：因为圆锥的底面半径，母线长，所以圆锥的侧面积为，故B正确； 对C：直棱柱，只有底面有外接圆时，这样的直棱柱才有外接球，此时外接球的球心是上下底面外接圆圆心连线的中点，故C错误； 对D：因为向量、、两两不共线，所以和均可作为平面向量的基底，对于平面内的任意一个向量，一定可以表示成或的形式，即若用向量、、表示，则表示方法不唯一.故D错误. 四、填空题 12. 一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则这个圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，可求出等腰直角三角形的底边长和高，也就是圆锥底面圆的直径和圆锥的高，再算出圆锥的母线长，则圆锥的侧面积等于其展开扇形的面积，得到结果. 【详解】因为圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，设圆锥的底面圆半径为， 则等腰直角三角形的斜边为，斜边上的高为，所以，得到 所以圆锥的母线长， 所以圆锥的侧面积等于圆锥沿母线展开的扇形的面积，为 【点睛】本题考查立体图形与平面图形的关系，等腰直角三角形的性质，圆锥的侧面积的求法，属于简单题. 13. 圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，则外接球体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得圆台的高为，设圆台的外接球的半径为，球心到圆心的距离为，根据球的截面圆的性质，列出方程组，求得，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】设圆台的上底面圆的圆心为，半径为，下底面圆的圆心为，半径为， 圆台的母线为，圆台的高为，则 可得， 设圆台的外接球的球心为，半径为，球心到下底面圆心的距离为， 可得，即， 可得，解得，所以， 所以圆台的外接球的体积为. 14. 定义：若数轴轴和轴相交于点O，记两条数轴的正方向所成的角，我们就建立了“坐标系”．对于坐标系内任意一点P，过点P作y轴的平行线，与x轴的交点对应的数称为“横坐标”，过点P作x轴的平行线，与y轴的交点对应的数称为“纵坐标”，记作．在“坐标系”中有，、、．则______. 【答案】## 【解析】 【分析】设与轴和轴方向相同的单位向量分别为，根据平面向量的基本定理、线性运算及题设定义可得，，进而结合向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】由题意，设与轴和轴方向相同的单位向量分别为，且， 则，，， 所以，， 则， ， ， 则. 四、解答题 15. 方程的两根分别为、． （1）求、； （2）求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 由可得，又，所以， 解得 或，所以，. 【小问2详解】 由韦达定理可得，， 所以. 16. 已知向量． （1）求的夹角余弦； （2）若，求实数k的值； （3）若，求实数m的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用向量的夹角公式，准确计算，即可求解； （2）根据题意，求得的坐标，结合共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解； （3）根据题意，求得，结合向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：由向量， 可得，且， 则 所以向量的夹角余弦值为. 【小问2详解】 解：由向量，可得 因为，可得， 即，解得. 【小问3详解】 解：由向量， 可得， 因为，可得， 即，解得. 17. 在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，． （1）证明：； （2）若，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）将题设条件合理变形，结合正弦定理与两角和的正弦公式化简即可. （2）利用正弦定理得到，由题可得，再利用余弦定理即可求得的值. 【小问1详解】 因为， 可得， 由正弦定理，得， 则，可得，即. 【小问2详解】 由（1）知， 根据正弦定理，可得，又，则， 由余弦定理，得. 18. 如图，在边长为1的正中，E、F分别是边AB，AC上的点，若，，．设EF的中点为M，BC的中点为N． （1）若，，请用表示； （2）若A，M，N三点共线，求证：； （3）若，求的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由中线向量性质及向量的线性运算求解即可； （2）由向量共线定理及平面向量基本定理即得； （3）由题可得，再利用模长公式及二次函数的性质即得. 【小问1详解】 因为，，EF的中点为M， 所以． 【小问2详解】 由A，M，N三点共线，得∥，设， 即， 所以，所以由平面向量基本定理得． 【小问3详解】 因为，，，EF的中点为M，BC的中点为N ， 所以, 又，所以， 所以 ， 故当时，． 19. 在四边形ABCD中，，，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且． （1）若，求； （2）若，求BC的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，结合余弦定理可求得的长，在中，利用余弦定理即可求解； （2）在中，由余弦定理求得，在中，由余弦定理求得，进而得的值，然后在中，再次利用余弦定理，即可求解. 【小问1详解】 因为，，所以， 因为，所以， 设，所以， 即，解得， 所以， 在中，由余弦定理可得：. 【小问2详解】 在中，由余弦定理可得， 所以，化简得， 解得， 因为是的中点，所以， 在中，由余弦定理可得 ， 所以， 因为，所以， 由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得： ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $