吉林通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题

高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，则（ ） A．2 B． C． D．4 2．已知直线，，，下列命题中正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则，，共面 D．若，异面，，异面，则，异面 3．已知平面向量，，满足，且，，则向量与向量的夹角余弦值为（ ） A．1 B．-1 C． D． 4．已知，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 5．已知样本数据，，的平均数为3，方差为2，则，，的平均数为（ ） A．9 B．11 C．13 D．15 6．若，，则（ ） A． B． C． D． 7．已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 8．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知是的垂心，且，则（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在一次随机试验中，彼此互斥的事件，，发生的概率分别为，，，则下列结论正确的是（ ） A． B．若，则 C．若与是对立事件，则 D．事件，不相互独立 10．已知，，则（ ） A． B． C． D． 11．已知在中，的长为2，的面积为2，则下列命题正确的是（ ） A．外接圆面积的最小值为 B．的最大值为 C．内切圆的半径的最大值为 D．若的内角满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知单位向量，满足，则，的夹角为_____． 13．如图，海平面上位于信息中心的正东方向且与相距25海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待救援，甲船位于信息中心的南偏西方向且与相距15海里的处，现甲船以30海里/小时的速度沿直线去营救渔船，则甲船到达处需要________小时． 14．已知正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点是棱上靠近的三等分点，若，则点的轨迹长度为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知复数． （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 16．已知平面向量，，且． （1）求在上的投影向量的坐标； （2）若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 17．某公司为了解客户对其旗下某产品的满意程度，随机抽取了200名客户进行满意度调查，并将评分（满分100分）按，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估计这200名客户的满意度评分的平均数（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）已知样本中在内的评分的平均数为64.5，方差为14，在内的评分的平均数是74.5，方差是9，求落在内的评分的平均数与方差． 18．如图，四棱锥中，底面，为等边三角形，，，是上一点，且，是的中点． （1）求证：； （2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积． 19．如图①，已知等腰梯形的外接圆圆心在底边上，，，是上半圆上的动点（不包含，两点），点是线段上的动点，将半圆所在的平面沿直径折起，得到图②所示图形，据此解答下列各小题： （1）当平面时，求的值； （2）若，，求与平面所成角的正弦值； （3）若，平面平面，设与平面所成的角为，二面角的平面角为，求取得最大值时的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．D 2．B 3．C 4．B 5．B 6．B 7．B 8．B 9．ABD 10．BCD 11．BCD 12．## 13．## 14． 15．（1）（2） 【分析】（1）根据纯虚数的定义列出方程求出，再根据复数的模的计算公式即可得解； （2）根据复数的几何意义列出不等式组，解之即可． 【详解】（1）由题意可知， 因为为纯虚数，则，解得， 所以，； （2）， 因为在复平面内对应的点位于第四象限，所以， 解得或， 即的取值范围是． 16．（1） （2） 【分析】（1）先由向量垂直坐标点积为0算出，得到，再求，套用投影向量公式代入求值； （2）先化简两个向量坐标，钝角满足数量积小于0且不共线反向，先列式点积不等式求，再由平行条件算出并剔除，合并取值范围． 【详解】（1）因为，所以，解得， 所以，，，， 所以在上的投影向量为 所以在上的投影向量的坐标为． （2），， 因为向量与的夹角是钝角，则，且与不平行，所以，解得， 又与不平行，则，所以， 所以实数的取值范围为． 17．（1），74.5． （2）平均数为70.5，方差为35 【详解】（1）根据题意，，解得． ， 估计这200名客户的满意度评分的平均数为74.5． （2）由频率分布直方图可知评分在，的频率比为， 则样本中在内的评分的平均数为， 样本中在内的评分的方差为 18．（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）首先证明，再利用线面垂直的定义得，再利用线面垂直的判定定理证得面，则； （2）首先证明，再求出相关三角形面积和棱锥的高，最后利用等体积法和棱锥体积公式即可得到答案． 【详解】（1）因为为正三角形，所以，又，所以． 又底面，底面，所以， 又，，平面，所以平面， 又因为平面，所以． （2）因为底面，底面，所以，由已知， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以，又， 所以就是二面角的平面角，所以， 因为，，，则， 在中，因为是正三角形，则易知， 所以在中，， 因为底面，平面， 所以．知，， 所以的面积． 因为，所以， 又因为为中点，所以． 设点到平面的距离为，由，得， 解得，即点到平面的距离为， 又，所以三棱锥的体积． 19．（1） （2）与平面所成角的正弦值 （3）取得最大值时 【分析】（1）连接交于点，连接，则有，可得，即可得答案； （2）由题意可得平面，可得平面平面，过作于，连接，可得为与平面所成的角，求解即可； （3）作于，连接，所以即为与平面所成的角为，过作，垂足为，连结，为二面角的平面角，进而计算可得的最大值即此时的的值． 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为，，所以，， 则平面平面， 依题意，平面，平面，所以， 所以，等腰梯形中，， 所以； （2）因为等腰梯形的外接圆圆心在底边上，所以， 所以，又因为，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 过作于，连接，所以平面， 则为与平面所成的角， 由（1）可得， ，， 因为，所以， 所以，所以，解得， 所以， 所以与平面所成角的正弦值； （3）作于，连接， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以是在平面内的射影， 因为，所以， 所以即为与平面所成的角为，则， 过作，垂足为，连结， 又，，，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 所以，所以， 所以， 当且仅当时，取得最大值，即取的最大值， 所以取得最大值时． 学科网（北京）股份有限公司 $