四川省成都市树德中学2025-2026学年高一下学期4月阶段性测试数学试题

树德中学高2025级高一下学期4月阶段性测试数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.已知平面向量a=(1,x),b=(3,-),若aLb,则x= A.-3 B.3 c D 2.点A(tan 9π 。,cos)在平而直角坐标系中位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.下列四个函数中，以元为最小正周期，且在区间(，)上单调递减的是 A.y=tanx B.y=咖 C.y=sinxl D.y=cos2x 4.下列命题中正确的是 A.若1a曰b1,则a与b的方向相同或相反 B.若al/b,blc,则a/c C.若AB=DC,则A,B,C,D是一个平行四边形的四个顶点 D.若a=b,则a/b 5.在直角梯形ABCD中，AB/ICD,AB⊥AD,AB=2DC,E为腰BC边的中点，F为对角线AC上的 点，且AF=2FC,若以AB=a,AD=五，则向量FE= - A B. C. D.1a+1 3a+2b 6.已知sin(a+孕-5cosa=行则in(2a-爱的值是 A青 1 B.3 c D 7.如图为函数y=si(2x-孕的图象，P,R,S为图象与x轴的三个交点，Q为函数图象在y轴右侧部 2 分上的第一个最大值点，则(@P+丽(@丽+丽)的值为 A.π-2 B.π+4 C.π2-2 D.π2+4 8.已知函数)=n2x名，若va[径-到引， 总存在唯一实数B∈[0，m,使得f(a)+f(B)=0, 则实数m的取值范围为 A[ .没 c.孕 2026-4 高一数学第 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.计算下列各式，结果为√3的是() A.V2sinl5°+V2cosl5°B.cos215°-sinl5cos75° C. tan30 D. 1+tan15' 1-tan230 1-tan15' 10.下列说法正确的是() A.已知1a1,1b2,则6(a+2)的最小值为6 B.在△ABC中，若AB.BC<0,则△ABC为钝角三角形 C.在△ABC中，若点P满足PA.PB=PB.PC=PC.PA,则P为△ABC的垂心 D.若1a25,12,a与6的夹角为惩，则8在5方向上的投影向量为-3 11.数学与音乐有紧密的关联，每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数y=Asin @x.像我们 平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发 声体在全段振动，产生频率为∫的基音的同时，其各部分，如二分之一，三分之一，四分之一部 分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2∫，3f,4∫等，这些音叫谐音，因为振 1 幅较小，我们一般不易单独听出来.所以我们听到的声音的函数是y=sinx+二sin2x+二sin3x+…, 21 i记f)=2sink(neN),则() y=sinx+sin2x+sin3.x y=sinx -sin3x -sin2x A。y=人的最大值为 B。y=)在[名君引上单词递增 C.y=f(x)的周期为2元 D.neN,lf(x≤nl 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12。己知圆心角为二的扇形面积等于3玩，则该扇形的弧长为 13.已知函数f()=V2cos(x++p)是奇函数，则tanp的值为 3 14.已知向量a=(1,0),6=(0,),c=(cos0,sin0),0∈[0,2m).若ab=[a.d+[bg(其中[x表示不 超过x的最大整数，如：[3.=3，【-1.7]=-2，则1a+b+2C的取值范围为 数学第1页，共2页 四、解答题：本题共5小题，共77分应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(3分)如图，在平面直角坐标系x0中，锐角u的终边与单位圆交于点45，， 2’2 射线OA绕点O 按逆时针方向旋转O后交单位圆于点B,点B的横坐标为f() ()求/®)的表达式，并求经)的值： 回诺/0-？=5,0e(-x0,求am0+孕的值. 16.(15分)已知a=(1,1),6=1,a与i的夹角0=45°. (1)求1a+2b1的值： (2)若向量(2a-2)与2a-36)的夹角为锐角，求实数2的取值范围. 17.(15分)在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在 涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度y 与时间x的关系表： x(时) 0 6 9 12 15 18 21 24 y（米) 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 ()若某天这个港口的水面深度y与时间x的函数关系可用 y=Asin(@x+p)+B,4>0,@>0,PE 这个函数模型近似描述，请求出该函数模型的解析式： (2)依照(1)中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至 少要有225米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使 该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 2026-4 高一数学 18.(17分)已知数f(y)=V5sin(2@r+)+2sin(ox+)-1(w>0)的相邻两对称轴间的距离为号 12 (1)求f(x)的解析式： (2)将函数f(x)的图象向右平移”个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原米的二（纵坐标不变）， 6 得到函数y=g(x)的图象，求g(在x∈石3] 元2π 上的单调递增区间： 6记方程g(网个-号在xe[后上的根从小到大铁次为，，，气， 若m=x+2x2+2x+…+2xn-1+xn,试求n与m的值 19.(17分)己知平面直角坐标系中，点A(a,0),B(0,b)(其中4，b为常数，且ab≠0)，点O为坐标原点. (I)已知点P在线段AB上靠近B点的四等分点上，请用向量OA,OB表示OP, (2)线段AB的n等分点按与A的距离由近到远分别记为，P,P,…,Pn1,其中n∈N°，n≥2. )当n=2026时，求OA+0P+OE++0P,+0B的值（用含a,b的式子表示）： ()当a=b=1,n=8时，求0P(Op+OP)1≤i≤n-l,1≤j≤n-l,ijeN)的最小值. 数学 第2页，共2页 树德中学高2025级高一下学期4月阶段性测试数学试题参考答案 1-8.BBCDA CDB 9.AD 10.ACD 11.BCD 12.元 13. 3 3 14(Vio,2+2]或（Vo,V6+4W万 5,【详解】①由图家知加a-分ea-9,因为a为银角，所以a一君 因为射线OA绕点O按逆时针方向旋转日后交单位圆于点B, 所以/(0)=os(0+a）=cos0+若) 、π 2 5分 6 2)若f0-引-5.则c-+ J=coso=5 5 因为0e(-元，0），所以sin0=--cos2日=-1- 25，所以an0=血g=-2.…8分 5 cos0 则ao+到 tan+tan 4 -2+1= 1-tan0ang1-(-2=3, 13分 16.【详解】1)同=中=反，a-6=5x1×2-1 2 a+26=Va+26=v层+4a-6+46-2+4+4=而 .6分 (2)因为向量(2ā-5)与(2ā-35)的夹角为锐角， 所以(2a-)(2ā-36)>0，且(2a-)与(aa-36)不共线， 对于(2a-26)2a-36)>0, 得2a2-(22+6)ā.6+3262=42-(22+6)+32>0，解得1<元<6， 12分 若(2a-5)与(2a-36)共线， 现春在近-5=话-5).符化2原得=6。 所以若向量(2ā-2万)与(2ā-36)的夹角为锐角，实数2的取值范围为山，6)(6,6).…15分 2026-4 高一数学 17.【详解】（1)根据表中数据可画出如图所示的散点图， 4----- 2 可3691215182124x 2ππ 由已知数据结合图象可得A=25,B=5,T=12,0= T61 故/=25snx+p+. 又f(0)=2.5sinp+5=5,可取p=0, 所以 (x)=2.5sin …5分 (2)由题意可得y=2.5sin +526.25, 化简得如（信小， …8分 所以2+2 hns-x5 6 红+2km,keZ,解得1+12k≤x≤5+l2k,k∈Z, 6 又0≤x≤24，取k=0可得：1≤x≤5，取k=1,可得13≤x≤17， …12分 所以该船可以1点进港，5点离港，或13点进港，17点离港， 所以卸货最多只能用4小时时间. .15分 18.【解】D闲=5s2r+}2sn(or+}1=5s2ar+君引-om2r+引 92a咖+引个ar+引-2[2a+引-引-am2咖 T .T=π又T= 2π 22 =元，.w=1.f(x)=2sin2.x 4分 20 （2)7=2如2x向右平移个单位，得y=2m2-引2m(2x-引月 再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变》，得g()-=2sm4r-写) .7分 x[后】，可得4[后引 数学 第3页，共2页 求猫区间.则“竖] ∴g(x)的单调递增区间 10分 3)由方程国-手即2如4-引月即n红-引号 结合正弦菌数y=血：的图象。可得方程血0=号在区间后对]有5个解，即A=5, 其中0+02=3π，02+8=5π，8+0=7π，0，+8=9π， 即4骨+46骨=沉，4骨+骨=5红 _下=9元， 解将《+5晋6妈晋馬+%晋+场资 所以m=+2x+2%++2x,+书=(+x)+(3+)+(3+x,)+(化+)=20 3 综上，n=5,m=20r 3 .17分 19.【详解】(1)证明：已知点P在线段AB上靠近B点的四等分点上，则币=正，则 om-0-o丽-0列， 0m-oi+0丽. 4分 (2)(D由题意得，0丽=2025OA+,0丽， 2026 2026 0丽-i+0成…，0丽+020丽，0所+0那-0+o丽， '2026 2026 对任意正整数m,n,且m+n=2026, 0死-2026-m01+,m0,0元-2026-”0i+,m0死，有0r+0=0+0, 2026 2026 2026 2026 0i+0所+0丽++0+0丽=2ya+0网 o+0丽+0丽+…+0明+0列-2021o+0-2027、g+8. 9分 2026-4 高一数学 (i)当a=b=1,n=8时， o丽-8o+号丽0丽=80i+丽， ∴0o丽+0丽=16-+la+i+0, 8 (@+丽-o+s-t1o+丽 80 -(8-0儿16-(i+]+i+i-4)j+-12i+64 64 32 令M0)=-i-4j+产-12i+64 32 当1=12,3时，M0)≥M()=-4x7+2-12i+642-5+36 32 32 当=2或3时，上式有最小值为总， 16 当i=4时，MU)=4-12x4+64=1, 32 当=567时M)≥M刊=-：60，当i5或6时，上式有最小值为亮 32 综上，0丽(O丽+0丽)的最小值为各 17分 数学 第4页，共2页