广西壮族自治区贵港市平南县2025-2026学年高一下学期4月期中数学试题

高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第五章，必修第二册第六、七章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.若x=3i一2，则之的虚部为 A.2 B.-3 C.-3i D.-2 2.已知向量a=(-1,2),b=(2,-1),则3a-b= A.(-5,5) B.(-5,7) C.(-1,7) D.(-1,5) 封 3.要得到函数y=cos7x的图象，只需将函数y=c0s(分x+)的图象 1 A向右平移受个单位长度 B向右平移T个单位长度 C向左平移受个单位长度 D.向左平移牙个单位长度 4.在平行四边形ABCD中，E是线段CD的中点，A京=2F应，则B京 A-号茹+号应 B-号茄-号 线 c号茄-号脑 D.号+号 5.设△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且3a=2b,4b=3c,则△ABC的形状是 A钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定的 6.已知sin(a+）=号，则sm(2a-牙)= A- c-日 【高一数学第1页（共4页）】 7.设点A(2,7),B(5,-2),CD=(1gm,1-2m),且A店·CD≤9，则m的取值范围是 A.(-∞，1] B.(0,1] C.[1,w0] D.[1,+∞) 8.已知函数f(x)=3sin(ux+F)(w>0)在[0，]上恰有3个零点，则w的取值范围是 A(得，2] B(尝] c[9) [) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.如图，向量OZ,0Z2对应的复数分别为1，之2，则下列选项正确 的是 A.Z1,Z2间的距离为2√10 B为纯虚数 C.之1之2在复平面内对应的点位于第一象限 D.之1之2在复平面内对应的点位于第四象限 10.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b=4√3，A=60°，若满足条件的△ABC有 且只有一个，则a的值可能是 A.5 B.6 C.3V5 D.7 11.在△ABC中，∠ABC的角平分线BD交AC于点D,BA=2BC,O为△ABC的外心，则 A.OA+OB+O元=0 B肪=时+子C C.2CoS∠ABD3 BD BA D.BO.BD=BCI 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a=(一1,3)，b=(一3,4)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标是 13.已知码头B在码头A的正北方向，两码头相距100海里，从码头A测得海上某渔船C位于 北偏东15°方向，从码头B测得渔船C位于北偏东45°方向，从码头A还测得另一艘货船D 位于南偏东45°方向，且货船D到码头A的距离为50√2海里，则渔船C与货船D之间的距 离为▲海里 14.如图，某小区要利用一面足够长的围墙，用总长20米的护栏围成一个扇形花 花坛 坛，扇形的圆心角小于π，忽略护栏的厚度与接头损耗，则该扇形花坛的面积 的最大值是▲平方米 【高一数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是(-1,0)，(0,2)，(2,5). (1)求顶点D的坐标； (2)求AB与BD的夹角的余弦值， 16.(15分) 已知复数之1=1一2i,x2=2十ai,其中a∈R (1)当a=1时，求|z1十z2的值； (2)若~1z2=3m十mi,求实数m的值； (3)若兰的实部大于1，求a的取值范围。 1 17.(15分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,sinA+sinB=(2 sin Asin B+sinC)sinC. (1)求C; (2)若D是边AB的中点，且CD=2,求△ABC面积的最大值. 【高一数学第3页（共4页）】 18.(17分) 某沿海潮汐发电站的水位y(单位：米)是时间t(单位：小时，0≤t≤24)的函数，某观测员记 录了一个周期内的五个时间点对应的水位（最高、最低水位都被记录），并绘制得到如下 表格： 时间t 0 3 6 9 12 水位y 6 9 6 3 6 已知该发电站水位y与时间t满足函数关系式y=Asin(ut十p)+K(A>0,w>0,p|< 受）.一般情况下，发电站要求水位不低于7.5米时才能高效发电。 (1)求该发电站的水位y关于时间t的函数解析式； (2)求某天下午5点与上午7点该发电站的水位之差； 弥 (3)求该发电站一天内(0≤t≤24)高效发电的时长， 19.(17分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos B=2 bcos A. (1)若B=牙，求tanA; (2)当取得最大值时，求c0sA的值； (3)记AABC的面积为S,求号的最大值 【高-数学第4页（共4页）】高一数学参考答案 1.B因为之=3i-2,所以之=一2-3i,其虚部为一3. 2.B因为a=(-1,2),b=(2,-1),所以3a-b=(-5,7) 3.A因为y=c0s=6os[2(x一)+]，所以要得到函数y=6osx的图象，只需将 1 函数y=cos(?x+)的图象向右平移个单位长度. 4C由题意可得A正-Ad+号a成.因为A=2F应.所以A产=号正=号A心+}A,则 酥-A市-A店-号A市-号A 5.A因为3a=2b,4b=3c,所以a：b：c=2:3:4.不妨设a=2k,b=3k,c=4k,则cosC= 基十6一6-一子，则C是镜角，放△ABC是能角三角形， 2×2kX3k 6.C由题意可得sin(2a-不)=sin[2(a+)-]=-cos2(a+牙)=-1+2sin(a十 君).因为sm(a+君)=号所以sm(2。开）=-1+2x(号》=吉 7.B由题意可得AB=(3,-9),则AB.C)=31gm-9+18m≤9，设f(x)=31gx-9+ 18.x,则f(x)在(0，十o∞)上单调递增，因为f(1)=9,所以0<m≤1. &D因为x∈[0，，所以r+晋∈[晋ox+],因为f(x)在[0，]上恰有3个零点，所以 3Cwm十号<，解得号Cw<号. 9.ABD由图可知，x1=-2+4i,x2=-4-2i,因为Z1乙2=OZ2-OZ,所以|Z1乙2|= 1,一1=1一2-6i=2v0,放A正确因为之-二2±：-二)+24-i,所以B正确.因 之2-4-2i-2-i 为x1·之2=（一2十4i)·(一4一2）=16一12i,所以1x2在复平面内对应的点位于第四象限， 故C不正确，D正确. 10.BD由题意可得a=6或a≥4W3,故选BD. 11.BCD若OA+OB+OC=0,则O为△ABC的重心，A错误. 在△ABD中，由正弦定理得，AD AB CD sin∠ABD=sin∠ADB①，同理在△BCD中，sn∠CBD BC sin∠CDB②，BD是∠ABC的角平分线，则∠ABD=∠CBD,则sin∠ABD=sin∠CBD, 【高一数学·参考答案第1页（共5页）】 ①÷@州部瓷=2，断以励=号成+号武.B正确 因为SAx=SA+SA,所以号BA·BCsin∠ABC=号BA· BDsin∠ABD+号BC·BDsin∠CBD,BC_s<ABD+i血∠CBD BD BC BA .因为∠ABC =2∠ABD=2∠CBD,所以2si∠ABDcos∠ABD-2 sin_ABD+sm∠ABD」 BD BA BA 即 2coS∠ABD BD BAC正确。 而配-动·(}赋+号武)=}d.研+号动·武-青威+}d BC?,D正确. 2.(-) 由题意可得向量a在向量b上的投影向量为”：b.6=3+3X4 （3)+·b=3 , 其坐标为-号号)》。 13.50√14如图所示，∠BAC=15°，∠ABC=135°，∠ACB=45°-15°=30°， ∠CAD=75°+45°=120. B AB AC 在△ABC中，由n∠ACBsin∠ABC,解得AC=1o0W2海里， 在△ACD中，CD=VAC+AD-2AC·ADcos∠CAD=50W/14海里. 14.50设该扇形花坛的半径为r米，弧长为1米，则r十l=20,所以1=20一r,所 以该扇形花坛的面积S=号r=一2+10=一号（，-10+50≤50，当且仅 当r=10米时，该扇形花坛的面积取得最大值50平方米. 15.解：(1)设顶点D的坐标为(x,y). 因为A(-1,0),B(0,2),C(2,5),所以AB=(1,2),DC=(2-x,5-y).…1分 又AB=DC,所以(1,2)=(2-x,5-y),…3分 1=2一'解得 x=1, 即 ……4分 2=5-y, =3, 所以顶点D的坐标为(1,3).… 6分 (2)由(1)知BD=(1,1),BD1=√1+1=√2，… …8分 Ai|=√2+2=5，… 9分 所以AB.Bd=1X1十2X1=3,…11分 【高一数学·参考答案第2页（共5页）】 所以cosA店，B市=A店·BD 3 3√10 …13分 IAB1|BD√5X2 10 16.解：(1)当a=1时，之2=2+i, …1分 则之1十之2=3一i,… 2分 故x1+之21=√32+(-1)=/10. ……0…………4分 (2)因为x1=1-2i,22=2+ai,所以1之2=(1-2i)(2+ai)=2+2a+(a-4)i.…6分 2+2a=3m, 依题意得 a.0 …8分 a-4=m, 解得m=10. …10分 （8浦题意可得-计+器-牛中计2如-2“+ 1-42 5 …13分 因为兰的实部大于1，所以2么1， …14分 解得a<一是 …15分 17.解：(1)因为sin2A+sin2B=(2 sin Asin B+sinC)sinC,所以a2+b2=2 absin C+c2, 1分 所以a2十b一c=sinC, …3分 2ab 由余弦定理可得c0sC-。+C.则o5C=inC,所以anC=1.…5分 2ab 因为0<C<,所以C-天 …7分 (2)因为D是边AB的中点，所以2CD=CA+CB,所以4CD=CA2+2C.CB+CB, 即b2+a2+√2ab=16. …9分 因为b2+a2≥2ab,所以(2十√2)ab≤16，即ab≤8(2-√2)，…11分 当且仅当Q=b时，等号成立，…12分 则△ABC的面积S=alsin C-只 4ab≤4(W2-1), ……14分 即当a=b时，△ABC的面积取得最大值4(W2-1). …15分 18.解：1)由题意可得A=9,3-3,K-93-6. 2 2 …2分 然题意可得T-哥-12-0，且。>0，所以。一 6· …3分 当t=0时，y=6,所以3sin9十6=6，且lp<5,所以p=0. …4分 【高一数学·参考答案第3页（共5页）】 故y=3sinx+6. 5分 17+6=1 (2)下午5点，即t=17,得y1=3sin 15 …9分 1r+62 上午7点，即t=7,得y2=3sin 9 7分 做-为号-号-8所求水位之套为3术 10分 (3)由题意可得3sin号+6≥7.5，即sim πt、1 62 11分 圆2k元十合≤2k元+0及∈EZ70,… 6 …12分 解得12k+1≤t≤12k+5(k∈Z). 13分 因为0≤≤24，所以1≤t≤5或13≤1≤17，…15分 则该发电站一天内(0≤t≤24)高效发电的时长为5一1+17一13=8小时.…17分 19.解：(1)由a cos B=2 cos A,可得sin Acos B=2 sin Bcos A,故tanA=2tanB.…2分 因为B=T,所以tanB=1,则anA=2.…3分 (2)由余弦定理可知，osA=-6+c2-一a 2bc ,cos B=a+c2 2ac ……4分 由acos B=2 hcos A,可得4.+c2-b2 =26.62+c2-a2 …5分 2ac 2bc 化简可得3a2=3b2十C2,…6分 bc bc bc 3当且仅当c=3b时，等号成立。 ，…7分 6+ 2bc 3 故当取得最大值时，c=36,bc= 5,即a=6 …8分 cos A= b2+c2-a23 2bc 3 10分 (3)由(2)可得3a2-362+2,所以3·（白）°+（台）°-3 …12分 u-会a-2+()-可 …14分 【高一数学·参考答案第4页（共5页）】 令m=()n=(）,则3m+n=3, -2√一4(m-8》+8 …16分 分×层是当且仅当m时等号成立. 5 故3的最大值为 …17分 尚空新 【高一数学·参考答案第5页（共5页）】