精品解析：浙江省宁波市青藤书院2022-2023学年 七年级下学期期中测评数学试题

2022学年第二学期七年级期中测评 数学试题 考生须知： 1．全卷分试题卷A、试题卷B和答题卷．试题卷A有3个大题，23个小题，满分为100分．试题卷B有2个大题．6个小题，满分为30分．试卷共4页，考试时间120分钟，考试形式为闭卷． 2．请将姓名、班级、学号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上． A卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个符合题意的选项，不选、错选均不给分） 1. 如图，与是（ ） A. 同位角 B. 内错角 C. 同旁内角 D. 对顶角 2. 下面是一位同学做的四道题①，②，③，④．其中做对的一道题的序号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 3. 如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 缩小3倍 B. 不变 C. 扩大3倍 D. 扩大9倍 4. 把多项式分解因式的结果正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 已知是完全平方式，则m为（ ） A. 6 B. C. D. 12 6. 已知是二元一次方程组的解，则的值为　　 A. －1 B. 1 C. 2 D. 3 7. 如图，下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 张老师和李老师住在同一个小区，离学校3000米．某天早晨，张老师和李老师分别于7点10分，7点15分离家骑自行车上班，刚好在校门口遇上．已知李老师骑车的速度是张老师的1.2倍，为了求他们各自骑自行车的速度，设张老师骑自行车的速度是x米/分，则可列得方程为（　　） A. B. C. D. 9. 有4张长为、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则、满足（ ） A. B. C. D. 10. 已知实数x、y、z满足，则的最大值是（　　） A. 12 B. 20 C. 28 D. 36 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分式有意义的条件是______． 12. 如图，将三角形沿方向平移得到三角形，若三角形的周长为，则四边形的周长为________. 13. 已知关于的方程无解，则______． 14. 若，，，那么___________（用含有a、b的代数式表示） 15. 已知，则分式的值为________． 16. 图1是一张足够长的纸条，其中，点A、B分别在、上，记．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕，如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕，将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕依此类推，第次折叠后，____（用含a和n的代数式表示） 三、解答题（共52分） 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 解方程（组） （1）； （2）． 19. 如图，D、E、F分别在的三条边上，，． （1）与平行吗？请说明理由． （2）若，平分，求的度数． 20. 先化简，再求值：，并从－2，－1，0，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 21. 某书商去图书批发市场购买某本书，第一次用12000元购书若干本，并把该书按定价7元/本出售，很快售完，由于该书畅销，书商又去批发市场采购该书，第二次购书时，每本书批发价已比第一次提高了20%，他用15000元所购书数量比第一次多了100本. （1）求第一次购书的进价是多少元一本？第二次购进多少本书？ （2）若第二次购进书后，仍按原定价7元/本售出2000本时，出现滞销，书商便以定价的n折售完剩余的书，结果第二次共盈利100m元（n、m为正整数），求相应的n、m的值. B卷 一、填空题（每小题3分，共12分） 22. 已知分式对一切有意义的都有相同的值，则，应满足关系式______． 23. 已知满足，，，则xyz=__________. 24. 已知，，，均为正整数，且，，，则__． 25. 满足方程组的有序实数组有______组． 二、解答题（共18分） 26. 若将自然数中能被整除的数，在数轴上的对应点称为“倍点”，取任意的一个“倍点”，到点距离为的点所对应的数分别记为，，定义：若数，则称数为“尼尔数”，例如：若所表示的数为，则，，那么，若所表示的数为，则，，那么，所以，是“尼尔数”． （1）请直接判断和是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被除余； （2）已知两个“尼尔数”的差是，求这两个“尼尔数”． 27. 如图1，，点E，F分别在直线上，，过点A作的延长线交于点G，交于点N，平分，交于点H，交于点M． （1）直接写出之间的关系：　 　． （2）若，求． （3）如图2，在（2）的条件下，将绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时t的值． 28. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式______； （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，则_____； （3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为的长方形纸片拼出一个面积为长方形图形，则_______． （4）如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接和，若两正方形的边长满足，你能求出阴影部分的面积吗？ 29. ． （1）如图1，为、之间一点，求证：； （2）如图2．若，，且的延长线交的角平分线于点，的延长线交的角平分线于点，利用（1）中的结论，求的度数； （3）如图3，若点是直线上一动点，平分，平分，过点作于点，请猜想与的关系；并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022学年第二学期七年级期中测评 数学试题 考生须知： 1．全卷分试题卷A、试题卷B和答题卷．试题卷A有3个大题，23个小题，满分为100分．试题卷B有2个大题．6个小题，满分为30分．试卷共4页，考试时间120分钟，考试形式为闭卷． 2．请将姓名、班级、学号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上． A卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个符合题意的选项，不选、错选均不给分） 1. 如图，与是（ ） A. 同位角 B. 内错角 C. 同旁内角 D. 对顶角 【答案】A 【解析】 【分析】先确定基本图形中的截线与被截线，进而确定这两个角的位置关系即可． 【详解】解：根据图象，∠A与∠1是两直线被第三条直线所截得到的两角，因而∠A与∠1是同位角， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了同位角的定义，是需要识记的内容，比较简单． 2. 下面是一位同学做的四道题①，②，③，④．其中做对的一道题的序号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：①a2×a=a3，故①不符合题意； ②a6÷a2=a4，故②不符合题意； ③（2a2）3=8a6，故③不符合题意； ④（a3）3=a9，故④符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 3. 如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 缩小3倍 B. 不变 C. 扩大3倍 D. 扩大9倍 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值扩大3倍， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 4. 把多项式分解因式的结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解可得． 【详解】解：原式 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，掌握提取公因式的方法和公式是解题的关键． 5. 已知是完全平方式，则m为（ ） A. 6 B. C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的解题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解∶∵是完全平方式， ∴， 故选∶C． 6. 已知是二元一次方程组的解，则的值为　　 A. －1 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据二元一次方程组的解的定义，将代入原方程组，分别求得、的值，然后再来求的值． 【详解】解：是二元一次方程组的解， ， 解得 ； 故选：A． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解的定义及二元一次方程组的解法，是基础知识，需熟练掌握，解题的关键是注意掌握二元一次方程组的两种解法． 7. 如图，下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据平行线的判定方法进行判断：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；通盘内角互补，两直线平行． 【详解】解：A、由，可得，不符合题意； B、由，可得，不符合题意； C、由，可得，不能得到，符合题意； 由，可得，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键． 8. 张老师和李老师住在同一个小区，离学校3000米．某天早晨，张老师和李老师分别于7点10分，7点15分离家骑自行车上班，刚好在校门口遇上．已知李老师骑车的速度是张老师的1.2倍，为了求他们各自骑自行车的速度，设张老师骑自行车的速度是x米/分，则可列得方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出分式方程即可． 【详解】解：设张老师骑自行车的速度是x米/分，由题意得： ， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解决本题的关键是根据题意列出正确的方程． 9. 有4张长为、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则、满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先用含有、的代数式分别表示，，再根据，得，整理，得，所以． 【详解】解：由题意可得： ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，数形结合并熟练运用完全平方公式是解题的关键． 10. 已知实数x、y、z满足，则的最大值是（　　） A. 12 B. 20 C. 28 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】先根据可得，再利用完全平方公式进行化简，由此即可得． 【详解】解：， ， ， ， 即的最大值是28， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式进行运算，熟记完全平方公式是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分式有意义的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式分母不为0求解即可． 【详解】解：分式有意义， ， 解得：． 12. 如图，将三角形沿方向平移得到三角形，若三角形的周长为，则四边形的周长为________. 【答案】30 【解析】 【分析】根据平移的性质可得，然后求出四边形的周长等于的周长与的和，再代入数据计算即可得解． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴， ∵三角形的周长为， ∴， ∴四边形的周长为：． 故答案为：30． 【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 13. 已知关于的方程无解，则______． 【答案】5或2##2或5 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出m的值即可． 【详解】解：去分母得：， 即，由分式方程无解， 得到或， 解得：或， 故答案为：或2． 【点睛】本题目考查分式方程，涉及的知识点有分式方程的解法以及分式方程无解的条件，难度一般，是中考的常考知识点． 14. 若，，，那么___________（用含有a、b的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】把化为从而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查的是幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，掌握“幂的运算法则以及等量代换的思想”是解本题的关键． 15. 已知，则分式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据得到，再整体代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握整体代入法的运用，是解题的关键． 16. 图1是一张足够长的纸条，其中，点A、B分别在、上，记．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕，如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕，将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕依此类推，第次折叠后，____（用含a和n的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】由折叠的性质折叠次可得，然后根据四边形内角和及补角性质可得答案． 【详解】解：折叠2次可得：， 折叠3次可得：， 折叠4次可得：， … 由折叠的性质折叠次可得， 在四边形内有四边形的内角和为知： ． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是折叠，掌握其性质是解决此题关键． 三、解答题（共52分） 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式进行分解； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程（组） （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由加减消元法求解即可； （2）先去分母化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可． 【小问1详解】 解： 由得，，解得， 将代入①得，，解得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解： 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 19. 如图，D、E、F分别在的三条边上，，． （1）与平行吗？请说明理由． （2）若，平分，求的度数． 【答案】（1）平行，见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）通过同旁内角互补两直线平行和同位角相等两直线平行判断即可； （2）通过平行线和角平分线的性质计算即可． 【小问1详解】 解：， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，结合角平分线的性质计算是解题的关键． 20. 先化简，再求值：，并从－2，－1，0，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】2x，当时，原式 【解析】 【分析】先运用分式加法计算，再运用分式除法计算，即可化简题目中的式子，然后从－2，－1，0，1，2中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题，可以把代入计算即可求解． 【详解】解： ＝ ＝ ＝， ∵，， ∴当时，原式． 【点睛】本题考查分式化简求值，解答本题的关键是明确分式加法和除法的运算法则，注意：分式取值一定要使分式有意义． 21. 某书商去图书批发市场购买某本书，第一次用12000元购书若干本，并把该书按定价7元/本出售，很快售完，由于该书畅销，书商又去批发市场采购该书，第二次购书时，每本书批发价已比第一次提高了20%，他用15000元所购书数量比第一次多了100本. （1）求第一次购书的进价是多少元一本？第二次购进多少本书？ （2）若第二次购进书后，仍按原定价7元/本售出2000本时，出现滞销，书商便以定价的n折售完剩余的书，结果第二次共盈利100m元（n、m为正整数），求相应的n、m的值. 【答案】（1）第一次购书的进价为5元/本，且第二次买了2500本；（2）当n=4时，m=4；当n=6时，m=11；当n=8时，m=18. 【解析】 【分析】（1）设第一次购书的进价为x元/本，根据“第二次购书时，每本书批发价已比第一次提高了20%，他用15000元所购书数量比第一次多了100本”列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）根据题意列出关于m与n的方程，由m与n为正整数，且n的范围确定出m与n的值即可． 【详解】（1）设第一次购书的进价为x元/本， 根据题意得：， 解得：x=5， 经检验x=5是分式方程的解，且符合题意， ∴15000÷（5×1.2）=2500（本）， 则第一次购书的进价为5元/本，且第二次买了2500本； （2）第二次购书的进价为5×1.2=6（元）， 根据题意得：2000×（7-6）+（2500-2000）×（-6）=100m， 整理得：7n=2m+20，即2m=7n-20， ∴m=， ∵m，n为正整数，且1≤n≤9， ∴当n=4时，m=4；当n=6时，m=11；当n=8时，m=18． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，以及二元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键． B卷 一、填空题（每小题3分，共12分） 22. 已知分式对一切有意义的都有相同的值，则，应满足关系式______． 【答案】 【解析】 【分析】设该分式的值恒为常数，根据题意列出等式，整理为关于的恒等式，利用恒等式对应系数相等得到方程组，消去参数即可得到与的关系式． 【详解】解：设分式对一切有意义的的值恒为， 根据题意得（）， 等式两边同乘得， 整理得， 因为该等式对一切有意义的都成立， 所以， 由得 ， 将代入得， 整理得． 23. 已知满足，，，则xyz=__________. 【答案】1 【解析】 【分析】分别将三个等式相乘、相加，联立可得到一个只含有的等式，求解即可. 【详解】 三个等式相加得： 三个等式相乘得： 整理得： 将①代入②得：，即 令 则 解得： 经检验，是方程的解 则 故答案为：1. 【点睛】本题考查了分式的化简求值，观察已知等式，将它们分别相加、相乘，再代入求解是一种常用的解题思路，需熟练掌握. 24. 已知，，，均为正整数，且，，，则__． 【答案】 【解析】 【分析】此题要注意借助巧妙的设法，运用因式分解的知识达到降次的目的求解．设，，，，为正整数），根据已知，运用因式分解的方法得到关于，的方程组，从而求解． 【详解】解：，， 可设，，，，为正整数）， ， ， 即， ∴或 解得：或， 则不为正整数故此结果舍去）或， ． 故答案为：． 25. 满足方程组的有序实数组有______组． 【答案】 5 【解析】 【分析】先将原方程组每个方程移项后因式分解，通过整理后分情况讨论得到所有满足条件的有序实数组，统计个数即可． 【详解】解：对原方程组中每个方程移项变形，得：， 方程两边同时加，因式分解得：， 设，则， 三式相乘得，即或， 当时，则，从而， ∴； 当时，则，从而， ∴或或或， ∴或或或； 综上，所有满足条件的有序实数组共有组． 二、解答题（共18分） 26. 若将自然数中能被整除的数，在数轴上的对应点称为“倍点”，取任意的一个“倍点”，到点距离为的点所对应的数分别记为，，定义：若数，则称数为“尼尔数”，例如：若所表示的数为，则，，那么，若所表示的数为，则，，那么，所以，是“尼尔数”． （1）请直接判断和是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被除余； （2）已知两个“尼尔数”的差是，求这两个“尼尔数”． 【答案】（1）6不是，39是；证明见解析 （2），或， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，理解“尼尔数”的定义是解题的关键． （1）根据“尼尔数”的定义，设点表示的数为，则，，数，令，解方程，如果的解中有能被整除的自然数，那么是“尼尔数”，否则不是；同理可判断是不是“尼尔数”；令是自然数，然后证明被除余即可； （2）设这两个“尼尔数”分别是，、都是自然数，根据两个“尼尔数”的差是列出方程，整理，得，根据、都是自然数，求出、的值，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设点表示的数为，则，， 数． 令， ， ， 不能被整除， 不是“尼尔数”； 令， ， ， 是能被整除的自然数， 是“尼尔数”； 令是自然数， ， 而， 所有“尼尔数”一定被除余； 【小问2详解】 解：设这两个“尼尔数”分别是，、都是自然数， 根据题意，得， 整理，得． 、都是自然数， ，或， 解得，或， 当时，，， 当时，，． 故这两个“尼尔数”是，或，． 27. 如图1，，点E，F分别在直线上，，过点A作的延长线交于点G，交于点N，平分，交于点H，交于点M． （1）直接写出之间的关系：　 　． （2）若，求． （3）如图2，在（2）的条件下，将绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时t的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和三角形的外角性质可得答案； （2）根据，分别表示出和，再由，可得的度数； （3）结合（2），分以下几种情况求解：①当时，延长交边于，②当时，③当时，即与在同一直线上时，④当时，⑤当时． 【小问1详解】 ， ， 是的外角， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 ①当时，延长交边于，如图， ， ， ， ， ， 当绕点旋转时，， （秒） ②当时，如图， ，， ， ， 当绕点旋转时，， （秒）， ③当时，即与在同一直线上时， 当绕点旋转时，， （秒）， ④当时， ，， 当旋转时，， （秒） ⑤当时， ， ， 当旋转时，， （秒）， 综上所述，当的其中一边与的某一边平行时t的值为． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，一元一次方程在几何问题中的应用，理清题中的数量关系并分类讨论是解题的关键． 28. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式______； （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，则_____； （3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为的长方形纸片拼出一个面积为长方形图形，则_______． （4）如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接和，若两正方形的边长满足，你能求出阴影部分的面积吗？ 【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）155；（3）9；（4）42 【解析】 【分析】（1）由大正方形等于9个长方形面积的和； （2）将所求式子转化为，代入已知条件即可； （3）将式子化简为，即可确定、、的值； （4）阴影部分的面积等于两个正方形面积减去两个直角三角形面积． 【详解】解：（1）由图可知大正方形面积为，大正方形由9个长方形组成，则有； 故答案为； （2）由（1）可得， ，， ； 故答案为155； （3）， ，，， ； 故答案为9； （4）由已知，阴影部分的面积等于两个正方形面积减去两个直角三角形面积， 即， ，， ． 【点睛】本题考查因式分解的应用；熟练掌握因式分解的方法，能够利用正方形与三角形面积灵活处理不规则图形面积是解题的关键． 29. ． （1）如图1，为、之间一点，求证：； （2）如图2．若，，且的延长线交的角平分线于点，的延长线交的角平分线于点，利用（1）中的结论，求的度数； （3）如图3，若点是直线上一动点，平分，平分，过点作于点，请猜想与的关系；并证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）过点作，推出，由平行线的性质可得，即可证明结论； （2）过点作，过点作，从而可得到，结合平行线的性质及角平分线的定义可求得的度数； （3）由垂直可得，再由角平分线的定义可求得，再由平行线的性质得，从而可求解． 【小问1详解】 证明：过点作， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， 过点作，过点作，如图： ， ，， ，，，， ，， ，，平分，平分， ，， ，， ； 【小问3详解】 解：， 证明：， ， 同（1）得， ， ，即， ， 平分，平分， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $