精品解析：重庆市第八中学校2025-2026学年八年级数学下学期学情自测

2026年重庆八中初二数学下期周考题 4.12定时练习 A卷（100分） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 在下列博物馆的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 代数式，，，，，中，属于分式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 如图，中，，点为的中点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 榫卯（sǔn mǎo），是中国传统建筑中的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，体现出中国古老的文化和智慧．小温制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.5千克．已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为x千克，所列的方程为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，是的中位线，的平分线交于点，连接并延长交于，若，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，对角线和的长分别为和，则菱形的高为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在直角坐标系中，以点，，为四边形的三个顶点构造平行四边形，则下列各点中可以作为第四个顶点的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分） 11. 某种微生物半径约为0.00000637米，将0.00000637米用科学记数法可表示为______________米． 12. 若一个多边形的内角和与外角和之差为，那么此多边形的边数为_________． 13. 若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____________． 14. 如图，在菱形中，，点为上一点，为上一点，连接，，，若，，则的度数为______． 三、解答题：（共5个小题，15，16，17题各8分，18题10分，19题10分，共44分） 15. 求不等式组：的所有整数解． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 在学习了等腰三角形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，在一个锐角三角形中，如果有两条边上的高相等，那么这个锐角三角形是等腰三角形．他们的解决思路是通过证明两条高所在的两个三角形全等，从而得出结论．请根据他们的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，过点作的垂线交于点，交边上的高于点（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：如图，在锐角中，，，且．求证：． 证明：，， ①__________． 在与中， （）， ③__________，即，是等腰三角形． 进一步思考，如果三角形是钝角三角形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④__________． 18. 某校在3月对七、八年级学生进行了“防诈骗”教育，为了了解此次教育的效果，学校在七、八年级学生中分别随机抽取了名学生进行了“防诈骗”知识测试（测试满分分，分数用表示），并将成绩分成四组：A：；B：；C：；D：． 下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩是： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级名学生的成绩在组中的数据是：，，，，，． 七、八年级抽取的学生成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________，扇形统计图中，“”所对应的扇形圆心角度数是__________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级参加“防诈骗”测试的学生中，哪个年级的测试成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）已知该校七年级有名学生，八年级有名学生，若两个年级的所有学生都参加这次“防诈骗”知识测试，请估计这两个年级共有多少学生分数不低于分． 19. 列方程（组）解应用题：重庆某动漫玩具创意企业计划委托供货商生产自己设计的甲、乙两种动漫玩具共7800个投放市场，甲玩具的数量比乙玩具数量的一半少300个． （1）甲、乙两种动漫玩具的数量分别是多少个？ （2）若供货商安排20人同时生产这两种动漫玩具，每人每天能生产甲玩具20个或乙玩具30个，应分别安排多少人生产甲、乙玩具，才能确保同时完成两种玩具的生产任务？ B卷（共50分） 四、选择题：（本大题共2个小题，每小题4分，共8分） 20. 如图，在中，过点A作于点E，连接，过点C作于点F，且．若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 21. 已知整式，其中为自然数，与均为正整数，例：当，时，有．下列说法： ①若，则符合条件的整式中有4个二次二项式； ②若，则符合条件的整式有8个； ③若，且整式是二次三项式，则的值一定是正数． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 五、填空题：（本大题共3个小题，每小题4分，共12分） 22. 如图，在矩形纸片中，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则______． 23. 若规定：一个四位自然数，若满足，且，则称这个四位数为“满分数”．例如：四位数，因为，所以是“满分数”．按照这个规定，最大的“满分数”为______．若是一个“满分数”，的前两位数字所组成的两位数记为，的后两位数字所组成的两位数记为，若除以余数为，且能被整除，则满足条件的自然数为______． 六、解答题：（本大题共3个小题，每题10分，共30分） 24. 如图，在中，，，D为上一点，且．动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿着匀速运动到点C时停止运动，设点P运动的时间为x秒，的面积为y． （1）直接写出y关于x的函数关系式，并注明x的取值范围； （2）请在直角坐标系中画出y的函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）若与y的图象有且只有一个交点，请直接写出t的取值范围． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，为线段的中点． （1）求直线的解析式； （2）如图1，若为线段上一动点，过点作轴于点，轴于点，连接，为上一动点．当线段最短时，求周长的最小值； （3）如图2，直线交坐标轴于，两点，直线交轴于点，将沿着轴平移，平移过程中的记为，请问在平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标． 26. 在中，． （1）如图1，，连接和交于点，，求的面积； （2）如图2，，点为上一点，连接，点为上一点，连接交于点，连接，若点为的中点，连接，且，猜想与的数量关系，并证明； （3）如图3，已知，，点与点分别为线段与上的动点，满足，连接和，当最小时，直接写出此时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年重庆八中初二数学下期周考题 4.12定时练习 A卷（100分） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 在下列博物馆的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解∶A．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．原图是轴对称图形，不中心对称图形，故本选项不符合题意； C．原图是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； D．原图不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．，分解不彻底，故本选项不符合题意； D．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 代数式，，，，，中，属于分式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的判断等知识点，解题关键是掌握分式的定义． 根据分式的定义，对每个代数式逐一分析，再作出判断． 【详解】解：是整式，它不是分式； 中是常数，分母不含字母，它是整式，它不是分式； 分母含字母，它是分式； 是整式，它不是分式； 分母含字母，它是分式； 分母含字母，它是分式， ∴属于分式的有、、，共3个， 故选：B． 4. 如图，中，，点为的中点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．由直角三角形斜边中线的性质推出，得到． 【详解】解：∵，点D为的中点， ∴， ∴， 故选：D． 5. 如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质；添加条件后可证明，得到，进而可得结论，A不符合题意；添加条件，可证明，进而得到，从而证明结论，B不符合题意；添加条件，可证，进而证明结论，C不符合题意；添加条件，无法得到四边形为平行四边形，D符合题意． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； D、添加条件，无法证明四边形为平行四边形，符合题意； 故选：D． 6. 榫卯（sǔn mǎo），是中国传统建筑中的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，体现出中国古老的文化和智慧．小温制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.5千克．已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为x千克，所列的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程，先理解题意，根据设制作1个榫需要的木材为x千克，则制作1个卯需要的木材为千克，再结合用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同进行列式，即可作答． 【详解】解：∵设制作1个榫需要的木材为x千克， 则制作1个卯需要的木材为千克， 由题意得： 7. 如图，是的中位线，的平分线交于点，连接并延长交于，若，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，根据中位线性质求出，，根据等腰三角形的性质与判定求出，再求出的长，最后可得答案． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，过点作轴的垂线交于点，连接．根据矩形的性质，的长度即为的长度，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线交于点，连接． 点的坐标是， ， ， 矩形， ∴， 故选：C． 9. 如图，在菱形中，对角线和的长分别为和，则菱形的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形的边长，再通过菱形面积的两种计算方法（对角线乘积的一半、底乘高）建立等式，从而求出菱形的高． 【详解】解：如图，令交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ． ∵菱形面积， 设边上的高为h， ∵菱形面积， ∴， ． 10. 如图，在直角坐标系中，以点，，为四边形的三个顶点构造平行四边形，则下列各点中可以作为第四个顶点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，线段的平移． 作出图形，结合图形分析即可解答． 【详解】在平面直角坐标系中， 如图，将线段向上平移1个单位长度，向右平移2个单位长度，得到， 此时，点C的坐标为； 如图，将线段向下平移2个单位长度，得到， 此时，点D的坐标为； 如图，将线段向上平移2个单位长度，得到， 此时，点E的坐标为． 综上所述，可以作为第四个顶点的是或，． 故选：ABD． 二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分） 11. 某种微生物半径约为0.00000637米，将0.00000637米用科学记数法可表示为______________米． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】0.00000637米用科学记数法可表示为． 故答案为：． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12. 若一个多边形的内角和与外角和之差为，那么此多边形的边数为_________． 【答案】或六 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理．根据多边形的内角和公式，外角和等于列出方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数是， 根据题意得，， 解得． 故答案为：． 13. 若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____________． 【答案】且##且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键．根据二次根式与分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：且， 故答案为：且． 14. 如图，在菱形中，，点为上一点，为上一点，连接，，，若，，则的度数为______． 【答案】##55度 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，，证明，得出，由三角形外角的定义及性质可得，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 三、解答题：（共5个小题，15，16，17题各8分，18题10分，19题10分，共44分） 15. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】0，1，2，3 【解析】 【分析】先求出各不等式的解集，求出它们的公共部分，得到不等式组的解集，即可得出不等式组的所有整数解． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． ∴不等式组的所有整数解为：0，1，2，3． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先由分式混合运算法则化简，再计算算术平方根、负整数指数幂及零指数幂求出值，最后代入化简后的分式计算即可得到答案． 【详解】解： ， ， 原式． 17. 在学习了等腰三角形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，在一个锐角三角形中，如果有两条边上的高相等，那么这个锐角三角形是等腰三角形．他们的解决思路是通过证明两条高所在的两个三角形全等，从而得出结论．请根据他们的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，过点作的垂线交于点，交边上的高于点（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：如图，在锐角中，，，且．求证：． 证明：，， ①__________． 在与中， （）， ③__________，即，是等腰三角形． 进一步思考，如果三角形是钝角三角形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④__________． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；在一个钝角三角形中，如果有两条边上的高相等，那么这个钝角三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质，尺规作图---作垂线，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据垂线的作图方法即可作图； （2）根据证明，即可填空． 【小问1详解】 解：如图，即为所作： 【小问2详解】 证明：，， ． 在与中， （）， ，即，是等腰三角形； 对于钝角三角形，如图： ，， ． 在与中， （）， ，即，是等腰三角形； 故答案为：①；②；③；④在一个钝角三角形中，如果有两条边上的高相等，那么这个钝角三角形是等腰三角形． 18. 某校在3月对七、八年级学生进行了“防诈骗”教育，为了了解此次教育的效果，学校在七、八年级学生中分别随机抽取了名学生进行了“防诈骗”知识测试（测试满分分，分数用表示），并将成绩分成四组：A：；B：；C：；D：． 下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩是： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级名学生的成绩在组中的数据是：，，，，，． 七、八年级抽取的学生成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________，扇形统计图中，“”所对应的扇形圆心角度数是__________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级参加“防诈骗”测试的学生中，哪个年级的测试成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）已知该校七年级有名学生，八年级有名学生，若两个年级的所有学生都参加这次“防诈骗”知识测试，请估计这两个年级共有多少学生分数不低于分． 【答案】（1），， （2）七年级的学生测试成绩较好．理由见解析 （3）估计这两个年级共有个学生分数不低于分． 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体平均数、中位数、众数的定义是解答本题的关键． （1）根据中位数、众数的定义可得答案． （2）根据平均数、中位数的意义可得结论． （3）根据用样本估计总体，用1200乘以七年级成绩达到90分及以上的百分比加上1000乘以八年级成绩达到90分及以上的百分比即可得出答案． 【小问1详解】 解：七年级成绩中出现了4次，出现次数最多， ∴； ∵八年级组的人数为人， 八年级名学生的成绩在组中的数据是：，，，，，．重新排列为，，，，， 则第10和第11个数为：， ∴， “”的人数为 “”所对应的扇形圆心角度数是 故答案为：，，． 【小问2详解】 七年级的学生测试成绩较好．理由如下： 七年级和八年级抽取的学生成绩的平均数相同，但七年级的中位数比八年级的中位数大， 所以七年级的学生测试成绩较好． 【小问3详解】 七年级20名学生成绩中有个学生分数不低于分，八年级中有个学生分数不低于分， （人） 估计这两个年级共有个学生分数不低于分． 19. 列方程（组）解应用题：重庆某动漫玩具创意企业计划委托供货商生产自己设计的甲、乙两种动漫玩具共7800个投放市场，甲玩具的数量比乙玩具数量的一半少300个． （1）甲、乙两种动漫玩具的数量分别是多少个？ （2）若供货商安排20人同时生产这两种动漫玩具，每人每天能生产甲玩具20个或乙玩具30个，应分别安排多少人生产甲、乙玩具，才能确保同时完成两种玩具的生产任务？ 【答案】（1）2400,5400 （2）安排8人生产甲种玩具，安排12人生产乙种玩具 【解析】 【分析】（1）设乙种动漫玩具的数量为个，则甲种动漫玩具的数量为个，根据题意，得，解方程即可． （2）设安排m人生产甲种玩具，安排人生产乙种玩具，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设乙种动漫玩具的数量为个，则甲种动漫玩具的数量为个，根据题意，得， 解方程，得 故． 答：甲种动漫玩具的数量为2400个，乙种动漫玩具的数量为5400个． 【小问2详解】 解：设安排m人生产甲种玩具，安排人生产乙种玩具，根据题意，得， 解方程，得． 经检验，是原方程的根， 故， 答：安排8人生产甲种玩具，安排12人生产乙种玩具． B卷（共50分） 四、选择题：（本大题共2个小题，每小题4分，共8分） 20. 如图，在中，过点A作于点E，连接，过点C作于点F，且．若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理；能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 结合平行四边形的性质，由勾股定理得，，，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ，， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故选：A． 21. 已知整式，其中为自然数，与均为正整数，例：当，时，有．下列说法： ①若，则符合条件的整式中有4个二次二项式； ②若，则符合条件的整式有8个； ③若，且整式是二次三项式，则的值一定是正数． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目定义，结合系数的取值范围，分别判断三个说法的正误，最终统计正确说法的个数． 【详解】解：由题意知，和为正整数，为包含的自然数． ①若，可得，其中；要求是二次二项式，则仅存在两种情况：或． 当时，，，共有两组解，即个符合条件的整式； 当时，，，共有两组解，即个符合条件的整式； 合计个，故①正确． ②若，是正整数，则是的正因数，即，分别计算： 当时，，即，，共有组不同解，对应个整式； 当时，，即，，时有组解，时有组解，合计个整式； 当时，，即，，仅其余系数全为这种情况，对应个整式； 合计个，故②正确． ③若，且是二次三项式，则，可得． ， ，整理得． 当时，，当时，，不是正数，故③错误． 综上，正确的说法共个． 五、填空题：（本大题共3个小题，每小题4分，共12分） 22. 如图，在矩形纸片中，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】如图：连接，延长交的延长线于H，根据折叠的性质及矩形的性质，证明，进而得到为直角三角形，设，则，证明为等腰三角形，求出，进而完成解答． 【详解】解：如图：连接，延长交的延长线于H， ∵矩形中，为边的中点，， ∴，， ∵将沿翻折，点的对应点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴为直角三角形， 设，则， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 23. 若规定：一个四位自然数，若满足，且，则称这个四位数为“满分数”．例如：四位数，因为，所以是“满分数”．按照这个规定，最大的“满分数”为______．若是一个“满分数”，的前两位数字所组成的两位数记为，的后两位数字所组成的两位数记为，若除以余数为，且能被整除，则满足条件的自然数为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据“满分数”的定义得出，，即可求出最大的“满分数”；根据，得出，，根据除以余数为得出，根据能被整除得出能被整除，结合分别列举即可得出答案． 【详解】解：∵，，，，， ∴， ∵， ∴，， ∵要求最大的“满分数”， ∴、应取最大数为， ∴，， ∴最大的“满分数”为； ∵，， ∴， ∵，，，， ∴， ∵除以余数为， ∴能被整除， ∵能被整除， ∴能被整除， ∵，， ∴， ∴， ∴或（不是整数，舍去），或（不是整数，舍去）， ∴，即， ， ∵能被整除， ∴能被整除， ∵能被整除， ∴能被整除， ∴能被整除， ∵，， ∴， ∴， 当时，，，此时为， 当时，（舍去）， 综上所述：满足条件的自然数为． 六、解答题：（本大题共3个小题，每题10分，共30分） 24. 如图，在中，，，D为上一点，且．动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿着匀速运动到点C时停止运动，设点P运动的时间为x秒，的面积为y． （1）直接写出y关于x的函数关系式，并注明x的取值范围； （2）请在直角坐标系中画出y的函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）若与y的图象有且只有一个交点，请直接写出t的取值范围． 【答案】（1） （2）图象见解析，当时，函数值随x的增大而增大（答案不唯一） （3）或． 【解析】 【分析】（1）分两种情况：当点P在上时，直接求出关系式即可；当点P在上时，过点P作于E，求出的长，即可求得关系式； （2）画出函数图象，结合图象写出一条性质即可； （3）结合函数图象，即可求得t的取值范围． 【小问1详解】 解：①当点P在上时，即时， ∵，， ∴； 当点P在上时，即时， 过点P作于E，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 综上，； 【小问2详解】 解：画出的函数图象如下： 性质：当时，函数值随x的增大而增大（答案不唯一） 【小问3详解】 解：当过原点时，则；当过点时，， 则， 当时，， 如图，当在间平行移动时，直线恰好与图象有一个交点，但不与重合，或者过点时直线恰好与图象有一个交点， 当在间平行移动时，直线恰好与图象有一个交点，但不与重合时，． 当过点时，，解得 综上，或． 【点睛】本题是函数与几何的综合，考查了直角三角形的性质，求函数解析式，画函数图象，关键是求出函数解析式，正确画出函数图象，确定t的范围时，注意数形结合． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，为线段的中点． （1）求直线的解析式； （2）如图1，若为线段上一动点，过点作轴于点，轴于点，连接，为上一动点．当线段最短时，求周长的最小值； （3）如图2，直线交坐标轴于，两点，直线交轴于点，将沿着轴平移，平移过程中的记为，请问在平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）存在，、或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）先由矩形对角线相等得到，再结合垂线段最短可知当时，最短，即线段最短，得到满足题意的点，进而将周长的最小值问题转化为常见的动点最值问题-将军饮马模型，依据此类问题的解法，作点关于的对称点，由对称性求出点的坐标即可得到答案； （3）根据题意，设将沿着轴平移个单位长度，得到、，连接、、构成，分别以的两条边为菱形邻边分类讨论，再作出图形，结合点的平移得出点的坐标即可得到答案． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 直线与轴、轴分别交于点、点， ， 解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： 由轴于点，轴于点，可知四边形是矩形， ， 由于点是固定点、点是直线：上的一个动点，则根据垂线段最短可知当时，最短，即线段最短， 在中，， 则由勾股定理可得， 即， ， 当时，如图所示： 在中，，，则，且， 在中，，则， ，， 则， ，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为； 点、点，为线段的中点， ，即， 则， ，点是上的动点，是定点， 由动点最值问题-将军饮马模型解法，作点关于的对称点，则，即当三点共线时，有最小值为， 连接交于点、交轴于点，如图所示： ，， ， 则， ， 在中，，为线段的中点，则， ，，且点均在轴上， 即点与点重合， 直线过原点， 设直线的解析式为， ， 则直线的解析式为， 联立， 解得，即， 由对称性可知，是线段的中点， ， ， 则， 周长的最小值为； 【小问3详解】 解：存在， 直线交坐标轴于，两点，则当时，，即；当时，，即； 直线交轴于点，则当时，，即；当时，，即直线与交于点； 设将沿着轴平移个单位长度，则、， 连接、、构成， 以、、、为顶点的菱形邻边为，则， ， 则， 解得（没有平移，不会产生点、，舍去）或（符合题意，向下平移）； 以、、、为顶点的菱形邻边为，则， ， 则， 解得（符合题意，向上平移）或（符合题意，向下平移）； 以、、、为顶点的菱形邻边为，则， ， 则， 解得（符合题意，向下平移）； 将沿着轴向上平移个单位长度，则、、，过点作的平行线、过点作的平行线，两条平行线交于点，如图所示： 由点的平移可得； 将沿着轴向下平移时，如图所示： ①由前面以为菱形邻边时，，是将沿着轴向下平移个单位长度，则、、，过点作的平行线、过点作的平行线，两条平行线交于点，则由点的平移可得； ②由前面以为菱形邻边时，，是将沿着轴向下平移个单位长度，则、、，过点作的平行线、过点作的平行线，两条平行线交于点，则由点的平移可得； ③由前面以为菱形邻边时，，是将沿着轴向下平移个单位长度，则、、，过点作的平行线、过点作的平行线，两条平行线交于点，则由点的平移可得； 将沿着轴向上平移个单位长度；向下平移个单位长度、个单位长度或个单位长度时，存在点（与点重合）、或使得以、、、为顶点的四边形是菱形， 综上所述，存在点，坐标为、或． 【点睛】本题难度较大，掌握动点最值问题-将军饮马模型解法、掌握平面直角坐标系中平行四边形及特殊平行四边形综合问题的解法步骤才能打开突破口，寻到有效解决问题的思路． 26. 在中，． （1）如图1，，连接和交于点，，求的面积； （2）如图2，，点为上一点，连接，点为上一点，连接交于点，连接，若点为的中点，连接，且，猜想与的数量关系，并证明； （3）如图3，已知，，点与点分别为线段与上的动点，满足，连接和，当最小时，直接写出此时的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）中由平行四边形性质及判定为等边三角形，为菱形，利用菱形对角线性质求面积; （2）中连接交于点，由对顶角及得平分，证，再证，得，由直角三角形斜边中线性质得; （3）中过点作,由角得，作点关于的对称点，证为等边三角形，当共线时取最小值，为等边三角形的高，再求，得,根据的面积等于与边高的积的一半即可解题． 【小问1详解】 解：, 为等边三角形， 四边形为平行四边形， ， ， 平行四边形为菱形， ， 在中，， ∴， ∵，即 解得， ， ； 【小问2详解】 解：猜想，． 证明：连接交于点，连接， ，四边形为平行四边形， ， 又 ， 为等腰直角三角形，， 为中点， 平分，即，而（是等腰直角三角形）， ， ，， ，即平分， 在和中， ， ， 又， 为等腰直角三角形， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ∵， ，即为直角三角形， 又为中点， ， ∵为等腰直角三角形，， ． 【小问3详解】 解：四边形为平行四边形，， ， ， 过点作于点， 在中， ， ， ， ， 作点关于的对称点， 连接， ， ， 为等边三角形， 由对称性，， ， 当三点共线且时，取得最小值， 为等边三角形，边长为6， 由三线合一，为等边三角形的高， ， 即的最小值为， 此时为的中点（三线合一），， 中，， ， ∴， ， ∵的边的高 ， 当最小时，的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、将军饮马模型（最短路径问题）及三角形面积的计算．解题的关键是利用角构造垂直关系将转化为，再通过对称构造将军饮马模型求最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $