精品解析：宁夏回族自治区中卫市第七中学2024--2025学年度第二学期七年级数学教情学情研判诊断试卷

中卫七中2024-2025学年度第二学期 七年级数学教情学情研判诊断试卷 （时间：120分钟 分值：120分） 一、细心选一选（每小题3分，共计24分） 1. 下列运算正确的是（　　） A. a（a+1）=a2+1 B. （a2）3=a5 C. 3a2+a=4a3 D. a5÷a2=a3 【答案】D 【解析】 【详解】【分析】根据单项式乘多项式、幂的乘方、合并同类项以及同底数幂的除法的运算法则，分别对每一项进行分析即可得出答案． 【详解】A、a（a+1）=a2+a，故本选项错误； B、（a2）3=a6，故本选项错误； C、不是同类项不能合并，故本选项错误； D、a5÷a2=a3，故本选项正确， 故选D． 【点睛】本题考查了单项式乘多项式、合并同类项、同底数幂的除法以及幂的乘方，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键． 2. 生物具有遗传多样性，遗传信息大多储存在DNA分子上，一个DNA分子的直径约为0.000000301cm．数据“0.000000301”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】小于1的正数也可以用科学记数法，表示为a乘10 的负n次方的形式，其中a是正整数，n是整数，即可解答． 【详解】解：根据科学记数法：， 故选：B． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，熟知概念是解题的关键． 3. 下列生活实例中，属于平行线的有（ ） ①交通路口的斑马线；②天上的彩虹；③体操的纵队所在直线；④百米跑道线；⑤火车的水平铁轨直线． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．根据在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线即可确定． 【详解】根据平行线的定义可知①③④⑤是平行线，②天上的彩虹不是直线，故不是平行线， 所以属于平行线的有4个， 故选D． 4. 计算：的结果（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先运用同底数幂相乘的逆运算展开，再结合积的乘方的逆运算进行简便运算，即可作答． 【详解】解： ． 5. 下列各式中，能用完全平方公式计算的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用完全平方公式判断即可． 【详解】解：A、原式＝x2﹣y2，不符合题意； B、原式＝x2﹣2xy+y2，符合题意； C、原式＝y2﹣x2，不符合题意； D、原式＝﹣x2+y2，不符合题意， 故选：B． 【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 6. 下列说法中，正确的是（） ①已知，则的余角是50° ②若，则和互为余角． ③若，则、和互为补角． ④一个角的补角必为钝角． A. ①，② B. ①，②，③ C. ③，④，② D. ③，④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据余角及补角的定义进行判断即可． 【详解】∵和为180度的两个角互为补角，和为90度的两个角互为余角， ∴①已知∠A=40°，则∠A的余角=50°，正确， ②若∠1+∠2=90°，则∠1和∠2互为余角，正确， ③∠1、∠2和∠3三个角不能互为补角，故错误， ④若一个角为120°，则这个角的补角为60°，不是钝角，故错误， ∴正确的是：①②． 故选：A． 【点睛】本题考查了余角及补角，掌握余角和补角的定义是解题的关键． 7. 已知是一个完全平方式，则m的值为（ ） A. 3或5 B. 3或7 C. D. 7或 【答案】D 【解析】 【分析】先将原式与完全平方公式对应，得到关于的一次方程，解方程即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 解得或． 8. 如图，已知正方形与正方形的边长分别为a，b，如果，，那么阴影部分的面积为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先根据完全平方公式的变形求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，正确推出是解题的关键． 二、认真填一填（每小题3分，共计24分） 9. 化简：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方．按照积的乘方运算法则，将原式中每个因式分别乘方，再结合幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解： ． 10. 若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算与同底数幂的除法的逆运算，解题思路是先将所求式子根据幂的运算法则变形，再代入已知条件计算． 【详解】解：∵， ∴． 11. 若3x+p与x+2的乘积中不含x的一次项，则p的值是_____． 【答案】-6 【解析】 【分析】根据多项式乘以多项式法则计算，由不含x的一次项即一次项的系数为0进行求解． 【详解】解：（3x+p）（x+2） ＝3x2+（p+6）x+2p ∵不含x的一次项， ∴p+6＝0 ∴p＝﹣6． 故答案为﹣6． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，解决本题的关键是理解不含x的一次项的意义． 12. 已知，则_________． 【答案】80. 【解析】 【详解】试题解析：∵（a+b）（a-b）=a2-b2， ∴a2-b2=10×8=80. 考点：平方差公式． 13. 已知一个角的余角是这个角的补角的，则这个角的度数为____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，设这个角的度数为x，则它的余角为，它的补角为，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为x， 由题意得，， 解得， ∴这个角的度数为， 故答案为：． 14. ，求的值_______． 【答案】3 【解析】 【分析】首先根据单项式乘以单项式法则得到，然后比较指数得到，，求出，，然后代入求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴， ∴． 15. 若_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题利用完全平方公式变形，代入已知条件即可求解的值． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴， ∴． 16. 用火柴棒按如图的方式搭“塔式三角形”，第一个图用了3根火柴棒，第二个图用了9根火柴棒，第三个图用了18根火柴棒，…，照这样下去，第n个图用了_____根火柴棒．（用含n的式子表达） 【答案】 【解析】 【分析】由图可知：第①个图形中有3根火柴棒，第②个图形中有9根火柴棒，第②个图形中有18根火柴棒，…依此类推第n个有3×（1+2+3+…+n）=根火柴；由此可得答案． 【详解】第一个图用了3根火柴棒，即3=3×1， 第二个图用了9根火柴棒，即3=3×(1+2)， 第三个图用了18根火柴棒，即3=3×(1+2+3)， …， 发现规律： 第n个有3×（1+2+3+…+n）=根火柴棒． 故答案为：． 【点睛】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是发现三角形个数的规律，从而得到火柴棒的根数． 三、细心算一算，本题17、18、记得一定要写具体步骤（共26分） 17. 化简： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 用乘法公式计算 （1） （2） 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用完全平方公式进行简便运算，即可作答． （2）运用平方差公式进行简便运算，即可作答． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 19. 先化简，再求值：若x，y满足，求的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，接着根据非负数的性质求出x、y的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴原式． 四、解答题（大胆进取，敢为人先，请写出具体的解答过程）（46分） 20. 一圆柱形桶内装满了水，已知桶的底面直径为a，高为b．又知另一长方体形容器的长为b，宽为a，若把圆柱形桶中的水倒入长方体形容器中（水不溢出），水面的高度是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】根据水的体积始终相等列出方程求解即可． 【详解】解：水的体积始终相等，设长方体容器高为， ，解得， 答：水面的高度是． 【点睛】本题考查了圆柱与长方体，考查了学生在现实情景中理解用字母表示数的意义，初步掌握用字母表示数的方法；会用含有字母的式子表示数量；二是考查了学生圆柱体积计算公式、长方体体积计算公式的灵活运用．关键是弄清这些水在圆形形容器、长方体容器中的体积不变． 21. 如图，直线，相交于点D，． （1）的对顶角是__________，的余角有__________． （2）若与的度数之比为，求，的度数． 【答案】（1）；与 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据对顶角，余角的定义即可求解； （2）根据已知条件得到与的度数，再根据对顶角、邻补角的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由图可知，的对顶角是， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的余角有与． 【小问2详解】 解：∵与的度数之比为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 22. 王老师家买了一套新房，其结构如图所示（单位：）．他打算将卧室铺上木地板，其他地方铺地砖． （1）木地板和地砖分别需要多少平方米？ （2）如果地砖的价格为每平方米x元，木地板的价格为每平方米元，那么王老师需要花多少钱？ 【答案】（1）木地板需要平方米，地砖需要平方米 （2）王老师需要花元 【解析】 【分析】（1）根据长方形面积公式分别求出卧室的面积，厨房、卫生间和客厅的面积之和即可得到答案； （2）根据花费单价面积进行求解即可． 【小问1详解】 解：卧室的面积是：（平方米）， 厨房、卫生间和客厅的面积之和为（平方米） ∴木地板需要平方米，地砖需要平方米； 【小问2详解】 解： （元） ∴王老师需要花元． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以多项式和单项式乘以单项式的实际应用，正确计算是解题的关键． 23. 如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． （1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图①__________ 图②__________； （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：____________________（用字母a、b表示）； 【应用】 （3）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，则的值为___________； ②计算：； 【拓展】 （4）计算 【答案】（1）， （2） （3）12； （4） 【解析】 【分析】（1）图①根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积差即可求解，图②根据阴影部分的面积等于一个大长方形的面积即可求解； （2）根据图①与图②的面积相等即可得； （3）①根据（2）的乘法公式即可求解；②利用两次（2）的乘法公式即可求解； （4）每一项运用（2）的乘法公式即可求解． 【小问1详解】 解：图①阴影部分的面积等于两个正方形的面积差，即，图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，则其面积为． 【小问2详解】 解：由图①与图②的面积相等可得到乘法公式：． 【小问3详解】 解：①． ②． 【小问4详解】 解：原式 ． 24. 先计算，再找出规律，然后根据规律填空． （1）计算：①__________； ②__________； ③_________． （2）根据（1）中发现的计算，用字母表示出你发现的规律． （3）根据（1）中的结论，直接写出计算结果： ①__________； ②若，则________________________________________． ③__________________； ④__________________． 【答案】（1）①，②，③； （2） （3）①，②，③，④ 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，多项式乘以多项式，根据题意正确找出相应规律并加以归纳总结是解题关键． （1）利用平方差公式化简即可得出①的结果；根据多项式乘以多项式运算法则加以计算即可得出②、③的结果； （2）根据（1）中的结果，进一步归纳总结得出规律即可； （3）根据（2）中得出的规律进一步计算即可解答①②③④． 【小问1详解】 解：； ②； ③； 【小问2详解】 解：∵，， ∴规律为： 【小问3详解】 解：①由（2）可知：， ∴， ②∵，且， ∴； ③由（2）或得：， ④ ． 25. 问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 例如：利用图形的几何意义推证完全平方公式． 将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个长方形和两个正方形，如图1，这个图形的面积可以表示成：或 ∴ 这就验证了两数和的完全平方公式， 问题提出： 如何利用图形几何意义的方法推证：？ 如图2，A表示1个的正方形，即：，B表示1个的正方形，C与D恰好可以拼成1个的正方形，因此：B，C，D就可以表示2个的正方形，即：，而A，B，C，D恰好可以拼成一个的大正方形， 由此可得：． 图2 尝试解决： 请你类比上述推导过程，探究：_____________；（直接写出结论，不必写出解题过程） 类比归纳： 请用上面的表示几何图形面积的方法探究：_____________．（直接写出结论，不必写出解题过程） 拓展延伸： （1）图3是由棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大、小正方体一共有多少个？为了正确数出大、小正方体的总个数，我们可以分类统计，即分别数出棱长是1，2，3和4的正方体的个数，再求总和．由图可知，棱长是1的正方体有：个，棱长是2的正方体有：个，棱长是3的正方体有：个，棱长是4的正方体有：个，所以图3中大、小正方体一共有_________个． （2）图4是由棱长为1的小正方体搭成的大正方体，则图中大、小正方体一共有__________个． 逆向应用： 如果由棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，通过上面的方式数出的大、小正方体一共有225个，那么棱长为1的小正方体一共有_________个． 【答案】尝试解决：（或36）；类比归纳：（或或）；拓展延伸：（1）100；（2）441；逆向应用：125 【解析】 【分析】尝试解决：根据规律可以利用相同的方法进行探究推证，由于是探究？，肯定构成大正方形有9个基本图形（3个正方形6个长方形）组成，如图所示可以推证； 类比归纳：根据规律求大正方体中含有多少个正方体，可以转化为来求得； 拓展延伸：（1）根据规律即可求得大小正方体的个数； （2）根据（1）进行求解即可； 逆向应用：可将总个数看成m2，然后再写成m2＝（1＋2＋3＋…＋n）2，得出大正方形每条边上有几个棱长为1的小正方体，进而计算出棱长为1的小正方体的个数． 【详解】解：尝试解决：如图，A表示1个1×1的正方形，即1×1×1＝13； B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形， 因此B、C、D就可以拼成2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23； G与H、E与F、I可以拼成3个3×3的正方形，即：3×3×3＝33； 而整个图形恰好可以拼成一个（1＋2＋3）×（1＋2＋3）的大正方形，即个大正方形，因此可得：13＋23＋33＝（1＋2＋3）2＝62（或36）． 故答案为：62（或36）． 类比归纳：∵，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2＝62 ∴根据规律可得：（或或）， 故答案为：（或或）； 拓展延伸：（1）由题意可得：大小正方体的个数， 故答案为：100； （2）有图可知棱长是1的正方体有：个，棱长是2的正方体有：个，棱长是3的正方体有：个，棱长是4的正方体有：个，棱长是5的正方体有：个，棱长是6的正方体有：个， ∴大小正方体的个数， 故答案为：441； 逆向应用：∵225＝152＝（1＋2＋3＋…＋n）2； 即1+2+3+…+n=15； 解得：n=5， ∴棱长为1的小正方体个数=5×5×5＝125． 故答案为：125． 【点睛】本题借助数形结合来计算，以及这个等式的应用，通过几何图形之间的数量关系做出几何解释，得出规律，然后应用解决问题．采用归纳推理，由易到难，逐步得出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中卫七中2024-2025学年度第二学期 七年级数学教情学情研判诊断试卷 （时间：120分钟 分值：120分） 一、细心选一选（每小题3分，共计24分） 1. 下列运算正确的是（　　） A. a（a+1）=a2+1 B. （a2）3=a5 C. 3a2+a=4a3 D. a5÷a2=a3 2. 生物具有遗传多样性，遗传信息大多储存在DNA分子上，一个DNA分子的直径约为0.000000301cm．数据“0.000000301”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列生活实例中，属于平行线的有（ ） ①交通路口的斑马线；②天上的彩虹；③体操的纵队所在直线；④百米跑道线；⑤火车的水平铁轨直线． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 计算：的结果（ ） A. 4 B. C. 2 D. 5. 下列各式中，能用完全平方公式计算的是(　　) A. B. C. D. 6. 下列说法中，正确的是（） ①已知，则的余角是50° ②若，则和互为余角． ③若，则、和互为补角． ④一个角的补角必为钝角． A. ①，② B. ①，②，③ C. ③，④，② D. ③，④ 7. 已知是一个完全平方式，则m的值为（ ） A. 3或5 B. 3或7 C. D. 7或 8. 如图，已知正方形与正方形的边长分别为a，b，如果，，那么阴影部分的面积为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、认真填一填（每小题3分，共计24分） 9. 化简：_______． 10. 若，则_______． 11. 若3x+p与x+2的乘积中不含x的一次项，则p的值是_____． 12. 已知，则_________． 13. 已知一个角的余角是这个角的补角的，则这个角的度数为____． 14. ，求的值_______． 15. 若_______． 16. 用火柴棒按如图的方式搭“塔式三角形”，第一个图用了3根火柴棒，第二个图用了9根火柴棒，第三个图用了18根火柴棒，…，照这样下去，第n个图用了_____根火柴棒．（用含n的式子表达） 三、细心算一算，本题17、18、记得一定要写具体步骤（共26分） 17. 化简： （1） （2） （3） （4） 18. 用乘法公式计算 （1） （2） 19. 先化简，再求值：若x，y满足，求的值． 四、解答题（大胆进取，敢为人先，请写出具体的解答过程）（46分） 20. 一圆柱形桶内装满了水，已知桶的底面直径为a，高为b．又知另一长方体形容器的长为b，宽为a，若把圆柱形桶中的水倒入长方体形容器中（水不溢出），水面的高度是多少？ 21. 如图，直线，相交于点D，． （1）的对顶角是__________，的余角有__________． （2）若与的度数之比为，求，的度数． 22. 王老师家买了一套新房，其结构如图所示（单位：）．他打算将卧室铺上木地板，其他地方铺地砖． （1）木地板和地砖分别需要多少平方米？ （2）如果地砖的价格为每平方米x元，木地板的价格为每平方米元，那么王老师需要花多少钱？ 23. 如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． （1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图①__________ 图②__________； （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：____________________（用字母a、b表示）； 【应用】 （3）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，则的值为___________； ②计算：； 【拓展】 （4）计算 24. 先计算，再找出规律，然后根据规律填空． （1）计算：①__________； ②__________； ③_________． （2）根据（1）中发现的计算，用字母表示出你发现的规律． （3）根据（1）中的结论，直接写出计算结果： ①__________； ②若，则________________________________________． ③__________________； ④__________________． 25. 问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 例如：利用图形的几何意义推证完全平方公式． 将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个长方形和两个正方形，如图1，这个图形的面积可以表示成：或 ∴ 这就验证了两数和的完全平方公式， 问题提出： 如何利用图形几何意义的方法推证：？ 如图2，A表示1个的正方形，即：，B表示1个的正方形，C与D恰好可以拼成1个的正方形，因此：B，C，D就可以表示2个的正方形，即：，而A，B，C，D恰好可以拼成一个的大正方形， 由此可得：． 图2 尝试解决： 请你类比上述推导过程，探究：_____________；（直接写出结论，不必写出解题过程） 类比归纳： 请用上面的表示几何图形面积的方法探究：_____________．（直接写出结论，不必写出解题过程） 拓展延伸： （1）图3是由棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大、小正方体一共有多少个？为了正确数出大、小正方体的总个数，我们可以分类统计，即分别数出棱长是1，2，3和4的正方体的个数，再求总和．由图可知，棱长是1的正方体有：个，棱长是2的正方体有：个，棱长是3的正方体有：个，棱长是4的正方体有：个，所以图3中大、小正方体一共有_________个． （2）图4是由棱长为1的小正方体搭成的大正方体，则图中大、小正方体一共有__________个． 逆向应用： 如果由棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，通过上面的方式数出的大、小正方体一共有225个，那么棱长为1的小正方体一共有_________个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $