精品解析：山东省青岛版成武县2025-2026学年九年级4月学情调研数学试题

2025-2026学年九年级4月学情调研数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名．准考证号等填写在答题卡和试卷指定的位置． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上，答案写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 小明正在面对数轴，调皮的弟弟滴上了一滴牛奶，正好盖住了一个整数，如图所示，数轴上被盖住的点表示的整数可能是（ ） A. 3 B. 0 C. D. 2. 中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》海内外多项传播数据刷新纪录．截至2月17日8时，春晚境内全媒体总触达亿次，将23063000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 春节是中华民族最隆重的传统佳节，在形容春节场景的描述语“吉祥如意”四个字中，可以看作轴对称图形的字是（ ） A. 吉 B. 祥 C. 如 D. 意 4. 在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年阅兵式上，液体洲际战略核导弹正式亮相，如图所示为洲际导弹的部分图片及其示意图，下列说法正确的是（ ）． A. 从左面看与从上面看到的平面图形相同 B. 从前面看与从上面看到的平面图形相同 C. 从前面看与从左面看到的平面图形相同 D. 从三个方向看到的平面图形都不同 5. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 某思政社团开展“讲古代著名思想家、政治家故事的活动”．通过查阅资料，该社团了解了孔子，孟子，孙子，亚里士多德这4位思想家、政治家的生平，知晓了他们取得的伟大成就对世界发展起到的巨大推进作用．现从这4位思想家、政治家中随机选取其中2位的故事进行分享，则选取的2位都是中国思想家、政治家的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 第25届冬季奥林匹克运动会在意大利米兰举行，中国代表团在滑雪技巧比赛中的优异表现，带动了中国青少年学习滑雪的热潮，某滑雪训练基地出售滑雪设备，已知购买1双滑雪鞋和2套滑雪杖需120元；购买3双滑雪鞋与购买6套滑雪杖的价格相同，如果设1双滑雪鞋的单价是x元，1套滑雪杖的单价是y元．根据题意列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，这是一个芯片晶圆切割的平面图片，晶圆平面图（）被切割为最大正方形，且，则图中被切去部分的面积（即阴影部分的面积）为（ ）． A. B. C. D. 9. 爱美之心人皆有之，现在许多年轻人因为生活条件好了，代步工具多了，身体肥胖成为烦恼，随着科技的进步，我国的减肥瘦身行业发展迅速，最近某药品研究所开发一种减肥新药，在临床人体试验中，测得实验人员服药后血液中药物浓度（微克／毫升）与服药时间（小时）之间的函数关系如图所示（当时，与成反比例）．根据图中信息可知，血液中药物浓度不低于微克／毫升的持续时间为（ ）． A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 10. 某光电研究所研究某种合金的熔点，随着一些稀土材料的加入，合金的熔点逐渐变化，其最高熔点部分图象近似于抛物线的部分图象，已知下列标出的四个点，有三个点在近似抛物线部分图象上，标出的点为：，，，．若分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数部分图象，并得到对应的函数表达式，则的最大值等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 请你写一个分式，使它满足，当时，分式无意义_______． 12. 铭记历史、缅怀先烈，珍爱和平．每年的12月13日是国家公祭日，某校为了加强学生爱国主义的教育，拟开展“重走先人足迹活动”为主题的思想革命活动．如图是该学校“重走长征路”活动路线大致示意图，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为__________． 13. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是____． 14. 莱阳梨亦称茌梨，因产于莱阳市而得名，是山东省的著名特产之一．莱阳梨表面粗糙，有褐色锈斑．果肉质地细腻，汁水丰富，口感清脆香甜，是梨中的上品．水果销售商为提高果农筛选莱阳梨的效率，买了某研究部门研制的如图1所示机械筛选设备．电源电压不变，为定值电阻，为压敏电阻，阻值随压力大小的变化关系如图2所示．一次筛选中，研究部门设计了当经过压力检测区上的莱阳梨质量不大于时，机械装置通过传感器操作启动，将质量不达标的莱阳梨推出传送带，实现自动筛选功能（取，例如，物体质量为时，压力)．当机械装置实现自动筛选功能时，压敏电阻的范围为_________． 15. 如图所示，把一个长为，宽为的矩形纸片放置在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，若点为边上的动点，将沿折叠得到，连接、．当在运动过程中，的最小值为_______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算及化简求值： （1）； （2）先化简代数式，再选择一个你喜欢的的值代入求值． 17. 传说中女娲不光会造人，还会教人们数学知识，请仔细阅读，并完成相应任务． 执“规”“矩”作几何图形《伏羲女娲图》中女娲执规，伏羲执矩，规与矩中间的图案是太阳，象征天地秩序．我是数学爱好者，在我的眼里，“规”是圆规，“矩”是直角工具“”，“太阳”是被等分的角．要研究尺规作图，可以先从研究下面的作图开始． 《伏羲女娲图》局部图 作图 如图，在中， ， ，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交 于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于等于的长度为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点． （1）求的长； （2）求的长． 18. 冲泡日照绿茶的最佳水温为，在这个温度范围内，水温足以激发茶叶中的香气和滋味，同时又不会破坏其营养价值．为使冲泡出来的日照绿茶口感更佳，明明的爸爸在泡茶时，记录了烧水壶的水温T（单位：）随烧水时间t（单位：）变化的数据并整理成下表，已知水温的变化是均匀的． （1）求水温与时间之间的表达式； （2）为使水温达到日照绿茶适宜的冲泡温度，需要烧水多长时间？ 19. 生活现象与“二十四节气”相关的成语、谚语蕴含了丰富的自然规律，如：“冰雪融化”“镜花水月”“寒露草枯雁南飞”“清明断雪，谷雨断霜”等．某校跨学科兴趣小组为了解学生对生活现象及谚语中蕴含的自然规律的掌握情况，从甲、乙两个校区的学生中各随机抽取20名学生进行了一次测试，共10道题，根据测试结果绘制出如下统计表和如图所示的统计图． 甲校区学生测试结果统计表： 答对题数 5 6 8 10 人数 3 7 6 4 （1）通过计算判断抽取的样本中哪个校区的学生答对题数的平均数更大； （2）该小组随后又从乙校区随机抽取了几名其他的学生进行相同的测试，得知最少的答对了8道题，将其与之前乙校区20名学生的成绩数据合并后，发现答对题数的中位数变大了，则最少又测试了 人． （3）其中的一道题目如下：先将“A．冰雪融化”“B．镜花水月”“C．光合作用“．葡萄酿酒”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片（A，B为物理现象，C，D 主要为化学变化），卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．活动规则：小宇先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小辉再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是物理现象，则由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识；若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识；其他情况重抽．这个活动规则对他们双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 20. 潍坊国际风筝节（会）每年4月20日至25日在潍坊举行，是我国最早冠以”国际”并被国际社会承认的大型地方节会，为参加风筝节，华华和琳琳准备设计风筝图案． （1）如图1，在华华设计的“风筝”图案中，，与相交于点，．求证：垂直平分； （2）如图2，在琳琳设计的“风筝”图案中，在中，， 的平分线交于点，以为圆心，为半径画．求证：是的切线； 21. 问题提出：测量如图1所示的圆口水杯的杯口直径． 测量工具：一块三角板、一把刻度尺和一张宽度为2的矩形硬纸板（厚度忽略不计）． 测量方法： 甲组的测量方法：如图2，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为C，D，利用刻度尺测得的长． 乙组的测量方法：如图3，将三角板按照如图所示的方式摆放在杯口上，三角板的直角顶点C靠在杯口上，直角的两边、与杯口的交点分别为E，F，利用刻度尺测得的长为10． 问题解决： （1）甲组同学认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是： ； （2）根据乙组的测量方法可知，该水杯的杯口直径为 ． 交流讨论： （3）丙组的测量方法：如图4，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为E，另一边与杯口相交于F，G两点，利用刻度尺测得的长为8．请根据丙组的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径． 方法反思： （4）丁组提出是否可以用下面的方法测量，老师说测量方法能行，你能说出其中的理由吗？ 如图5，将刻度尺有刻度的一边与杯口相切，切点为M，将三角板直角边CA落在刻度尺有刻度的一边上，另一条直角边与杯口相切，切点为N，利用刻度尺测得的长即可算出杯口直径．若丁组的操作和测得数据都是正确的，已知图5中的长为5，请求出杯口的直径． 22. 已知二次函数，其中c，d为两个不相等的实数，与y轴交点坐标为． （1）当时，求n的值； （2）当时，点在该函数图像上，且，求整数n的值； （3）若，对于该函数图像的顶点坐标，满足，求的取值范围． 23. 在数学综合实践课上，数学老师以折叠为主题开展数学活动． （1）图形感知：如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点． ①求的度数； ②求证：为等边三角形； （2）性质梳理：如图2，将等边三角形沿直线折叠，点恰好落在边 上的点处，折痕分别交，于，两点．求证：； （3）拓展探究：如图3，将正方形沿直线折叠，点恰好落在边的中点处，点落在点处，折痕分别交，于，两点，设，交于点．若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级4月学情调研数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名．准考证号等填写在答题卡和试卷指定的位置． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上，答案写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 小明正在面对数轴，调皮的弟弟滴上了一滴牛奶，正好盖住了一个整数，如图所示，数轴上被盖住的点表示的整数可能是（ ） A. 3 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴可知被盖住的整数是大于0的整数，据此结合选项可得答案． 【详解】解：由数轴可知，被盖住的点表示的整数大于0， ∴四个选项中只有A选项中的3满足题意． 2. 中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》海内外多项传播数据刷新纪录．截至2月17日8时，春晚境内全媒体总触达亿次，将23063000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定a和n的值即可得到答案． 【详解】解：． 3. 春节是中华民族最隆重的传统佳节，在形容春节场景的描述语“吉祥如意”四个字中，可以看作轴对称图形的字是（ ） A. 吉 B. 祥 C. 如 D. 意 【答案】A 【解析】 【分析】轴对称图形的定义为：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形． 【详解】解：∵“吉”字沿中间竖直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，“祥”“如”“意”均找不到这样的直线使折叠后直线两旁部分完全重合， ∴可以看作轴对称图形的字是“吉”． 4. 在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年阅兵式上，液体洲际战略核导弹正式亮相，如图所示为洲际导弹的部分图片及其示意图，下列说法正确的是（ ）． A. 从左面看与从上面看到的平面图形相同 B. 从前面看与从上面看到的平面图形相同 C. 从前面看与从左面看到的平面图形相同 D. 从三个方向看到的平面图形都不同 【答案】C 【解析】 【分析】画出对应的三视图即可判断． 【详解】解：导弹的三视图如下： ∴从前面看与从左面看到的平面图形相同． 5. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误． 6. 某思政社团开展“讲古代著名思想家、政治家故事的活动”．通过查阅资料，该社团了解了孔子，孟子，孙子，亚里士多德这4位思想家、政治家的生平，知晓了他们取得的伟大成就对世界发展起到的巨大推进作用．现从这4位思想家、政治家中随机选取其中2位的故事进行分享，则选取的2位都是中国思想家、政治家的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先列表得到所有等可能性的结果数，再找到选取的2位都是中国思想家、政治家的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：用A、B、C、D分别表示孔子，孟子，孙子，亚里士多德这4位思想家、政治家，列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中选取的2位都是中国思想家、政治家的结果数有6种， ∴选取的2位都是中国思想家、政治家的概率为． 7. 第25届冬季奥林匹克运动会在意大利米兰举行，中国代表团在滑雪技巧比赛中的优异表现，带动了中国青少年学习滑雪的热潮，某滑雪训练基地出售滑雪设备，已知购买1双滑雪鞋和2套滑雪杖需120元；购买3双滑雪鞋与购买6套滑雪杖的价格相同，如果设1双滑雪鞋的单价是x元，1套滑雪杖的单价是y元．根据题意列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据购买1双滑雪鞋和2套滑雪杖需120元可得方程，根据购买3双滑雪鞋与购买6套滑雪杖的价格相同可得方程，据此可得答案． 【详解】解：设1双滑雪鞋的单价是元，1套滑雪杖的单价是元． 由题意得，． 8. 如图所示，这是一个芯片晶圆切割的平面图片，晶圆平面图（）被切割为最大正方形，且，则图中被切去部分的面积（即阴影部分的面积）为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据圆内接正方形的性质，可计算出圆的直径，用圆的面积减去正方形的面积即可得到阴影面积． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴为圆的直径， 在中，， ∴， ∴． 9. 爱美之心人皆有之，现在许多年轻人因为生活条件好了，代步工具多了，身体肥胖成为烦恼，随着科技的进步，我国的减肥瘦身行业发展迅速，最近某药品研究所开发一种减肥新药，在临床人体试验中，测得实验人员服药后血液中药物浓度（微克／毫升）与服药时间（小时）之间的函数关系如图所示（当时，与成反比例）．根据图中信息可知，血液中药物浓度不低于微克／毫升的持续时间为（ ）． A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 【答案】D 【解析】 【分析】使用待定系数法求出不同时段的函数解析式，并计算时，对应的的值，相减得出持续时间． 【详解】解：由题意和图象可知，当时，与成正比例；当时，与成反比例． 当时，设， 将点代入，得， ∴当时，则， 将代入，得， 当时，设， 将点代入，得， ∴当时，设， 将代入，得， 结合图象可知，血液中药物浓度不低于微克／毫升的持续时间为（小时）． 10. 某光电研究所研究某种合金的熔点，随着一些稀土材料的加入，合金的熔点逐渐变化，其最高熔点部分图象近似于抛物线的部分图象，已知下列标出的四个点，有三个点在近似抛物线部分图象上，标出的点为：，，，．若分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数部分图象，并得到对应的函数表达式，则的最大值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论，当二次函数的图象过点时，为定值；当二次函数的图象不经过点时，使用待定系数法求出、、的值，并求出的值，比较后得出结论． 【详解】解：①当二次函数的图象过点时， 将点代入，得； ②二次函数的图象不经过点时， 将点， ，代入，得： ， 解得， ∴； ∵， ∴的最大值为． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 请你写一个分式，使它满足，当时，分式无意义_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式无意义的条件是分母为0，据此写出一个当时，分式的分母为0的分式即可． 【详解】解：由题意得，满足题意的分式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 铭记历史、缅怀先烈，珍爱和平．每年的12月13日是国家公祭日，某校为了加强学生爱国主义的教育，拟开展“重走先人足迹活动”为主题的思想革命活动．如图是该学校“重走长征路”活动路线大致示意图，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题干所给的点的坐标，找到原点建立坐标系，再根据坐标系得出点的坐标． 【详解】解：根据题意，建立平面直角坐标系如下： 由坐标系可知，点的坐标为． 13. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式求出的取值范围即可． 【详解】解：∵ 关于的一元二次方程有两个实数根， ∴判别式， ∴， 解得． 14. 莱阳梨亦称茌梨，因产于莱阳市而得名，是山东省的著名特产之一．莱阳梨表面粗糙，有褐色锈斑．果肉质地细腻，汁水丰富，口感清脆香甜，是梨中的上品．水果销售商为提高果农筛选莱阳梨的效率，买了某研究部门研制的如图1所示机械筛选设备．电源电压不变，为定值电阻，为压敏电阻，阻值随压力大小的变化关系如图2所示．一次筛选中，研究部门设计了当经过压力检测区上的莱阳梨质量不大于时，机械装置通过传感器操作启动，将质量不达标的莱阳梨推出传送带，实现自动筛选功能（取，例如，物体质量为时，压力)．当机械装置实现自动筛选功能时，压敏电阻的范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分析出的取值范围，结合图象可得，与的对应关系，进而得出的取值范围． 【详解】解：根据题意可知，当机械装置实现自动筛选功能时，， 根据图象可知，随着的增大而减小，且当时，；当时，； ∴当机械装置实现自动筛选功能时，压敏电阻的范围为． 15. 如图所示，把一个长为，宽为的矩形纸片放置在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，若点为边上的动点，将沿折叠得到，连接、．当在运动过程中，的最小值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，由矩形的性质和勾股定理可得，由折叠的性质可得，根据“两点之间，线段最短”可知，当、、三点共线时，取得最小值． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，在矩形中，，，， 在中，， ∵由沿折叠得到， ∴， ∵， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算及化简求值： （1）； （2）先化简代数式，再选择一个你喜欢的的值代入求值． 【答案】（1） （2）化简结果为；当时，原式 【解析】 【分析】（1）根据实数混合运算的法则进行计算即可； （2）先根据分式的混合运算的法则进行化简，结合原式可知，，且，选一个符合要求的数代入求值即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 当时，原式． 17. 传说中女娲不光会造人，还会教人们数学知识，请仔细阅读，并完成相应任务． 执“规”“矩”作几何图形《伏羲女娲图》中女娲执规，伏羲执矩，规与矩中间的图案是太阳，象征天地秩序．我是数学爱好者，在我的眼里，“规”是圆规，“矩”是直角工具“”，“太阳”是被等分的角．要研究尺规作图，可以先从研究下面的作图开始． 《伏羲女娲图》局部图 作图 如图，在中， ， ，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交 于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于等于的长度为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点． （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先用三角函数计算出，再使用勾股定理计算出； （2）过点作的平行线，交的延长线于点，根据题意是的平分线，结合平行线的性质容易得到，由平行可判定，则，根据比例计算出的长． 【小问1详解】 解：在中，， 由勾股定理可得，； 【小问2详解】 解：如图，过点作的平行线，交的延长线于点， 由尺规作图的操作流程可知，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 冲泡日照绿茶的最佳水温为，在这个温度范围内，水温足以激发茶叶中的香气和滋味，同时又不会破坏其营养价值．为使冲泡出来的日照绿茶口感更佳，明明的爸爸在泡茶时，记录了烧水壶的水温T（单位：）随烧水时间t（单位：）变化的数据并整理成下表，已知水温的变化是均匀的． （1）求水温与时间之间的表达式； （2）为使水温达到日照绿茶适宜的冲泡温度，需要烧水多长时间？ 【答案】（1） （2）需要烧水 【解析】 【分析】（1）根据题意可判断水温与时间之间是一次函数关系，使用待定系数法求函数表达式即可； （2）代入（1）中的表达式，求出对应的的值． 【小问1详解】 解：∵水温的变化是均匀的， ∴水温与时间之间是一次函数关系， 设， 将，；，代入，得， ， 解得， ∴水温与时间之间的表达式为； 【小问2详解】 解：将代入，得， ， 解得， 答：需要烧水． 19. 生活现象与“二十四节气”相关的成语、谚语蕴含了丰富的自然规律，如：“冰雪融化”“镜花水月”“寒露草枯雁南飞”“清明断雪，谷雨断霜”等．某校跨学科兴趣小组为了解学生对生活现象及谚语中蕴含的自然规律的掌握情况，从甲、乙两个校区的学生中各随机抽取20名学生进行了一次测试，共10道题，根据测试结果绘制出如下统计表和如图所示的统计图． 甲校区学生测试结果统计表： 答对题数 5 6 8 10 人数 3 7 6 4 （1）通过计算判断抽取的样本中哪个校区的学生答对题数的平均数更大； （2）该小组随后又从乙校区随机抽取了几名其他的学生进行相同的测试，得知最少的答对了8道题，将其与之前乙校区20名学生的成绩数据合并后，发现答对题数的中位数变大了，则最少又测试了 人． （3）其中的一道题目如下：先将“A．冰雪融化”“B．镜花水月”“C．光合作用“．葡萄酿酒”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片（A，B为物理现象，C，D 主要为化学变化），卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．活动规则：小宇先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小辉再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是物理现象，则由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识；若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识；其他情况重抽．这个活动规则对他们双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 【答案】（1）抽取的样本中乙校区的学生答对题数的平均数更大 （2）2 （3）这个活动规则对他们双方公平，理由见解析，表格见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数的定义分别求出两个校区的平均数，比较即可得到答案； （2）先求出原来乙校区抽取的20名学生的答对题数中位数，再根据重新测试的学生中最少的答对了8道题判断需要重新测试后所有学生的中位数变大的情况即可得到答案； （3）列表求出两人分享所抽取的卡片的相关科学知识的概率，比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：甲校区的学生答对题数的平均数为题， 乙校区的学生答对题数的平均数为题， ∵， ∴抽取的样本中乙校区的学生答对题数的平均数更大； 【小问2详解】 解：将乙校区原来抽取的20名学生的答对题数按照从低到高的顺序排列，第10个数据，第11个数据分别为7题，7题，即中位数为7题， ∵再次抽取的学生中，最少的答对了8道题， ∴若再次抽取了1名学生，那么将乙校区抽取的21名学生的答对题数按照从低到高的顺序排列，第11个数据为7题，即中位数为7题，此时中位数保持不变， 若再次抽取了2名学生，那么将乙校区抽取的22名学生的答对题数按照从低到高的顺序排列，第11个数据为7题，第12个数据为8题，即中位数为题，此时中位数变大了， ∴最少又测试了2人； 【小问3详解】 解：这个活动规则对他们双方公平，理由如下： 列表如下： 小宇 小辉 由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中他们抽取的两张卡片上都是物理现象的结果数有4种，他们抽取的两张卡片上都是化学变化的结果数有4种， ∴由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识的概率为，由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识的概率为， ∴两人能分享所抽取的卡片的相关科学知识的概率相同， ∴这个活动规则对他们双方公平． 20. 潍坊国际风筝节（会）每年4月20日至25日在潍坊举行，是我国最早冠以”国际”并被国际社会承认的大型地方节会，为参加风筝节，华华和琳琳准备设计风筝图案． （1）如图1，在华华设计的“风筝”图案中，，与相交于点，．求证：垂直平分； （2）如图2，在琳琳设计的“风筝”图案中，在中，， 的平分线交于点，以为圆心，为半径画．求证：是的切线； 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由可得，从而证明，则，由等腰三角形的性质可得垂直平分； （2）作于点，由角平分线的性质可得，因此圆心到的距离等于半径，命题得证． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，即平分， ∴，， ∴垂直平分； 【小问2详解】 证明：如图，作于点， ∵平分 又∵，， ∴， ∴点在上，即圆心到的距离等于半径， ∴是的切线． 21. 问题提出：测量如图1所示的圆口水杯的杯口直径． 测量工具：一块三角板、一把刻度尺和一张宽度为2的矩形硬纸板（厚度忽略不计）． 测量方法： 甲组的测量方法：如图2，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为C，D，利用刻度尺测得的长． 乙组的测量方法：如图3，将三角板按照如图所示的方式摆放在杯口上，三角板的直角顶点C靠在杯口上，直角的两边、与杯口的交点分别为E，F，利用刻度尺测得的长为10． 问题解决： （1）甲组同学认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是： ； （2）根据乙组的测量方法可知，该水杯的杯口直径为 ． 交流讨论： （3）丙组的测量方法：如图4，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为E，另一边与杯口相交于F，G两点，利用刻度尺测得的长为8．请根据丙组的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径． 方法反思： （4）丁组提出是否可以用下面的方法测量，老师说测量方法能行，你能说出其中的理由吗？ 如图5，将刻度尺有刻度的一边与杯口相切，切点为M，将三角板直角边CA落在刻度尺有刻度的一边上，另一条直角边与杯口相切，切点为N，利用刻度尺测得的长即可算出杯口直径．若丁组的操作和测得数据都是正确的，已知图5中的长为5，请求出杯口的直径． 【答案】（1）的圆周角所对的弦是圆的直径（或直径所对的圆周角是直角）； （2）； （3）； （4）理由见解析，杯口直径为． 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的相关性质（直径所对的圆周角是直角、的圆周角所对的弦是直径、垂径定理、切线的性质）、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解此题的关键． (1) 利用直径所对圆周角为直角的性质判断； (2) 由圆周角所对弦为直径直接求解； (3) 作辅助线，利用垂径定理和勾股定理列方程求解； (4) 作辅助线，利用切线性质、矩形判定求解． 【小问1详解】 解：甲组将硬纸板顶点、靠在杯口（圆上），且（矩形硬纸板的直角），根据的圆周角所对的弦是圆的直径， 因此为杯口（圆）的直径； 故答案为：的圆周角所对的弦是圆的直径（或直径所对的圆周角是直角）； 【小问2详解】 乙组中，三角板直角顶点在圆上，， 根据的圆周角所对的弦是圆的直径， 因此为圆的直径， 已知，故杯口直径为． 故答案为：； 【小问3详解】 设杯口所在圆的圆心为，半径为， 连接，，交于点， 由切线性质以及为矩形硬纸板的边，可得， 的长为8， ， （硬纸板宽度）， ， 在中，由勾股定理： 即， 解得：， 因此杯口直径为； 【小问4详解】 理由如下： 设圆的圆心为，连接， 由切线性质可得：，， 又， 四边形为矩形， ， 已知， 因此，杯口直径为． 22. 已知二次函数，其中c，d为两个不相等的实数，与y轴交点坐标为． （1）当时，求n的值； （2）当时，点在该函数图像上，且，求整数n的值； （3）若，对于该函数图像的顶点坐标，满足，求的取值范围． 【答案】（1）12 （2）1，2，3，4 （3） 【解析】 【分析】（1）将，代入解析式求解即可； （2）分别表示出，根据得出，根据得出，则，根据抛物线与y轴交点坐标为，得出，进而求得n的取值范围，即可确定n的整数值； （3）根据题意可得，根据函数图像的顶点坐标，得出，根据得出，进而求得的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，二次函数． ∵函数与y轴交点坐标为， ∴． 【小问2详解】 解：当时，二次函数， 已知点在该函数图像上，则，， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴，即． ∵函数与y轴交点坐标为， 当时，． ∵， ∴， ∴，即， ∴整数n的值为1，2，3，4． 【小问3详解】 解：∵二次函数，函数与y轴交点坐标为， ∴当时，． 当，即时，， 该函数图像的顶点坐标， ∴， ∵， ∴，即， ∴ ∵， ∴， ∴，即． 23. 在数学综合实践课上，数学老师以折叠为主题开展数学活动． （1）图形感知：如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点． ①求的度数； ②求证：为等边三角形； （2）性质梳理：如图2，将等边三角形沿直线折叠，点恰好落在边 上的点处，折痕分别交，于，两点．求证：； （3）拓展探究：如图3，将正方形沿直线折叠，点恰好落在边的中点处，点落在点处，折痕分别交，于，两点，设，交于点．若，求的长． 【答案】（1）①；②证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）①由等边三角形的性质可得，由折叠的性质可得，则，因此； ②由可得，结合，命题得证； （2）由折叠的性质可得，，，结合等边三角形的性质可得，则，从而证明，因此，由等量代换可得； （3）设，由正方形和折叠的性质可得，，，，在中，利用勾股定理构造方程，解得．容易证明，则，代入数值计算即可． 【小问1详解】 解：①∵是等边三角形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴； ②证明：由①可知，， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形； 【小问2详解】 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问3详解】 解：设， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∵点是的中点， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $