第7章 专题强化练5 复数四则运算的综合应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

专题强化练5　复数四则运算的综合应用 1.(2025安徽合肥第一中学月考)已知i为虚数单位,复数z满足|z+2i|=|z|,则的虚部为(　　) A.-1　　B.1　　 C.i　　D.-i 2.(多选题)(2025山东省实验中学期中)已知复数z=,以下结论正确的是(　　) A.z2 025是纯虚数 B.|z+i|=2 C.z·=-1 D.在复平面内,复数+z·i对应的点位于第三象限 3.(2025湖南长沙第一中学模拟)已知复数z满足1≤≤2,在复平面内z对应的点为Z,则点Z所在区域的面积为(　　) A.π　　B.2π　　 C.3π　　D.4π 4.(多选题)(2024辽宁辽阳集美中学月考)已知z1,z2是关于z的方程3z2-az+b=0(a,b∈R,a>0)的两个虚数根,且z1z2=,+=-,则　(　　) A.z1与z2互为共轭复数　　 B.a-b=2 C.a2+b2=5　　 D.|-|= 5.(2025河北沧州期中)已知复数z=i+i2+i3+…+i2 025,则=　　　　.  6.(2025浙江湖州南太湖双语学校月考)设z∈C,且|z+1|-|z-i|=0,则|z+2i|的最小值为　　　　.  7.(2025江苏无锡宜兴期中)已知虚数z=-1+mi是关于x的方程x2-nx+4=0的一个根(i是虚数单位,m>0,n∈R). (1)求m+n的值; (2)求证:=,并求的值. 8.(2025浙江宁波期中)已知复数z0=2+3i. (1)若复数z1满足z1z0=3z1+z0,求z1; (2)若z∈C,|z0|=|z|,|z0+z|=,求|z0-z|. 答案与分层梯度式解析 专题强化练5　复数四则运算的综合应用 1.B 2.ABD 3.C 4.ACD 1.B　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,因为|z+2i|=|z|,所以|a+(b+2)i|=|a+bi|,可得a2+(b+2)2=a2+b2,解得b=-1,所以复数的虚部为-b=1. 2.ABD　z====i. 对于A,z2 025=i2 025=i4×506+1=i,∴z2 025为纯虚数,A正确; 对于B,|z+i|=|2i|=2,B正确; 对于C,z·=i·(-i)=-i2=1,C错误; 对于D,∵+z·i=-i+i2=-1-i,∴+z·i对应的点为(-1,-1),位于第三象限,D正确. 3.C　因为===-i, 所以==1表示点Z的轨迹是以为圆心,1为半径的圆, ==2表示点Z的轨迹是以为圆心,2为半径的圆, 因此由1≤≤2,得点Z所在区域的面积为π×22-π×12=3π. 4.ACD　对于A,实系数一元二次方程的虚数根互为共轭复数,故A正确; 对于B,由题意得=++2z1z2=-+2×=, 因为z1,z2互为共轭复数,所以z1+z2为实数,z1-z2为纯虚数, 故z1+z2=±,又z1+z2=>0,所以z1+z2=,a=2, 因为z1z2==,所以b=1,则a-b=1,故B错误; 对于C,a2+b2=5,故C正确; 对于D,=+-2z1z2=--2×=-,则z1-z2=±i, 所以|-|=|(z1-z2)(z1+z2)|==,故D正确. 5.答案　-i 解析　由虚数i乘方的性质,可得in=其中k∈N,则i+i2+i3+i4=0, 所以z=i+i2+i3+…+i2 025=506(i+i2+i3+i4)+i=i,所以=-i. 6.答案　 解析　设z=a+bi,a,b∈R, 因为|z+1|-|z-i|=0,所以|a+1+bi|=|a+(b-1)i|, 则=,解得b=-a, 所以|z+2i|=|a+(2-a)i|=≥=,当且仅当a=2-a,即a=1时等号成立. 所以|z+2i|的最小值为. 7.解析　(1)因为虚数z=-1+mi是关于x的方程x2-nx+4=0的一个根, 所以(-1+mi)2-n(-1+mi)+4=0,整理得(5-m2+n)-(2m+mn)i=0, 则又m>0,所以所以m+n=-2+. (2)由(1)可知z=-1+i,则=-1-i,=--i, ==-i+i2=--i, 所以=, ==-i2=1, 所以==1. 8.解析　(1)由z1z0=3z1+z0,得z1====-i. (2)设复数z0,z,z0+z在复平面内对应的点分别为A,B,C,则四边形OACB是菱形(O为坐标原点), 在△OAC中,|AC|=|OA|=,|OC|=, 所以cos∠OAC==-, 所以∠OAC=,故∠AOB=, 因此△AOB为正三角形,故|z0-z|=|z0|=. 7 学科网（北京）股份有限公司 $