23-第一章 集合与常用逻辑用语 章末综合检测（一）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用Word(人教A版)

章末综合检测（一） （时间：120分钟,满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设全集,,0,1,2,，集合,，，则（ ） A. , B. C. , D. 【答案】A 【解析】选.由题意知,1,2,， 所以,. 2．已知命题，，命题，，则（ ） A. , B. , C. , D. , 【答案】B 【解析】选.命题，，则，，错误，正确； 命题，，则，，，错误. 3．已知集合,，，若，则中所有元素之和为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】选.由 得 或， 解得 或， 若，则，不符合集合中元素的互异性； 则，,，从而,1,， 所以 中所有元素之和为4. 4．若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】选.由 得， ， 所以 且，则，充分性成立； 由，不妨取，， 则，, 显然，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件． 5．满足，0，1，2,的集合的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】选.解方程 的根，，则,. 因为,,0,1,2,. 那么 中一定包含 和3，且 是,0,1,2,的真子集，所以 还可以包含0，1，2中的部分元素. 对于0，1，2这三个元素，每个元素都有两种情况（在 中或者不在 中），根据真子集个数的结论得，总共有 种情况，即满足条件的集合 的个数为7. 6．若集合，非空集合，则能使成立的所有实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.因为， 所以，所以， 所以 解得. 7．命题“关于的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.关于 的方程 的根为正实数， 则需满足 或 解得， 因此设“关于 的方程 的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件为， 则，结合选项可知 满足题意. 8．甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，,然后他们三人各用一句话来正确的描述“ ”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是成立的必要不充分条件；丙：是成立的充分不必要条件.则“ ”中的数字可以是（ ） A. 3或4 B. 2或3 C. 1或2 D. 1或3 【答案】C 【解析】选.因为此数为小于5的正整数，故，因为 是 成立的必要不充分条件，是 成立的充分不必要条件， 所以 是 的真子集，是 的真子集，故 且，解得， 故“ ”中的数字可以是1或2. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．如图，是全集，，是的两个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】选.根据题意可知，阴影部分表示的元素不属于，也不属于，可表示为；也可指表示的元素属于，也属于,因此阴影部分可表示为. 10．命题“,”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】选.因为,,所以，则，所以当 时，,恒成立.要求使“,”是真命题的一个充分不必要条件，则 的值要大于9,故,均可.故选. 11．用表示非空集合中元素的个数，定义已知集合，,则下面结论正确的是（ ） A. , B. , C. “”是“”的充分不必要条件 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】选.对于，当 时，,,，此时，故 正确； 对于，当 时，，此时，故 不正确； 对于，当 时，，则，,，则，所以，充分性成立； 当 时，因为，所以 或，若，则 解得，若，因为方程 的两个根 和 都不是方程 的根，所以需满足 解得，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故 正确； 对于，因为，，则 或，由 可知 或，所以,0,，所以，故 正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中横线上.） 12．已知命题“，”是假命题，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意得“，”是真命题，故， 因为， 所以 的取值范围是. 13．已知或.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】依题意，， ， 又 是 的必要不充分条件， 所以 且等号不同时成立，解得， 即实数 的取值范围是 . 14．某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、跳绳、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“跳绳”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和跳绳”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“跳绳和羽毛球”都参加的有3人，则只参加拔河的有_ _ _ _ 人. 【答案】3 【解析】根据题意，设 是参加“拔河”的同学，是参加“跳绳”的同学，是参加“羽毛球”的同学，则,，， 又，， 所以， 所以三项比赛都参加的有2人，作出 图如图所示，则只参加拔河的有3人. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分13分）已知全集为，集合，. （1） 求；（5分） （2） 求.（8分） 【答案】（1） 解：由已知，，则. （2） 因为全集为， 则 或，或， 故 或. 16．（本小题满分15分）已知集合,，,，且. （1） 若，求实数组成的集合；（7分） （2） 若，求，的值.（8分） 【答案】 （1） 解：若，可得，因为，所以. 当 时，；当 时， 则；当 时，. 综上，实数 组成的集合为. （2） 由题意得，， 所以， 解得，即， 解得 或，所以， 所以，所以，解得. 17．（本小题满分15分）已知，，；，使得. （1） 若是真命题，求的最大值；（5分） （2） 若，一个为真命题，一个为假命题，求的取值范围.（10分） 【答案】 （1） 解：要使 为真命题，只需， 即 的最大值为1. （2） 若 为真命题，则， 解得. 当 真 假时，只需 所以； 当 假 真时，只需 所以， 所以 或. 综上，的取值范围为 或. 18．（本小题满分17分）设集合,,,. （1） 求证：“存在实数使得 ”是“存在实数使得 ”的充分不必要条件；（8分） （2） 是否存在，使得？若存在，求出所有可能的的值；若不存在，说明理由.（9分） 【答案】 （1） 解：证明：若 ，则， 解得， 若 ，则，解得， 由，但，所以“存在实数 使得 ”是“存在实数 使得 ”的充分不必要条件. （2） 由（1）知，若 ，则， 若 ，则， 因此当 时，，符合题意； 若 ，则集合 中只有一个元素， 因此若，则集合 中只有一个元素， 即， 此时,. 综上知，存在，使得. 19．（本小题满分17分）已知集合,,}. （1） 判断5,12,14,21是否属于；（5分） （2） 集合,，判断“”是“”的什么条件（充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件或既不充分也不必要条件），并说明理由；（6分） （3） 写出集合中的所有偶数.（6分） 【答案】 （1） 解：因为，，，所以，，. 假设，，， 则， 因为, , 所以,的奇偶性一致， 故 要么为奇数，要么为4的倍数， 故 无整数解，故. （2） “”是“”的必要不充分条件，理由如下： 集合,， 恒有， 所以，即必要性成立； 又因为，，所以充分性不成立，所以“”是“”的必要不充分条件. （3） 由（1）知，中元素要么为奇数，要么为4的倍数， 又对于任意，总有，故， 综上，集合 中的所有偶数为，. 第128页/共132页 学科网（北京）股份有限公司 $