专题02 上海高考数学中的15题选择题（抢分专练）（上海专用） 2026年高考数学终极冲刺讲练测

专题02 上海高考数学中的15题选择题 题型 考情分析 考向预测 1.函数与导数中的15题 2026年上海： 15.考查函数的图像问题 2025年上海： 15.考查双曲线中的最值问题 2025年上海： 15.考查古典概型 2024年上海： 15.考查空间向量的基的判定 2024年上海： 15.考查互斥事件和独立事件的判定 2023年上海： 15.考查三角函数变量的范围 2023年上海： 15.考查异面直线的判定 15题在高考中是属于高频考点，考查点灵活多样，这类题目综合性稍强，但整体难度仍处于中等水平，强调对知识的综合运用和逻辑推理能力的检验，是高考中得分的关键板块之一；预计未来上海高考数学可能会更加注重综合考查。在目前上海新高考的形势下，选择题的压轴题16题会出得更加复杂，思维量和计算量都会更加巨大，所以，15题的难度也在逐年增加，为此，充分备考15题显得尤为必要，也为16题留下充足的时间。 2.三角函数中的15题 3.解析几何中的15题 4.立体几何中的15题 5.平面向量中的15题 6.数列中的15题 题型1 函数与导数中的15题 从近几年高考命题来看，本节是高考数学的重点和难点，函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性是高考的必考内容，重点关注周期性、对称性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点、不等式和导数相结合进行考查。 函数的单调性、奇偶性几乎每年都会考查，常与指数函数、对数函数等基本初等函数结合命题；函数性质常与导数、方程、不等式等知识综合考查，体现了数学知识的综合性和灵活性；整体难度适中偏上，注重对考生逻辑推理、数学抽象和数学运算等核心素养的考查。 【例1】（2025·进才中学·高考考前模拟） 已知函数和在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．在a到b之间的平均变化率大于在a到b之间的平均变化率 B．在a到b之间的平均变化率小于在a到b之间的平均变化率 C．对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率 D．存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率 【变式1-1】（2025建平中学·高三下3月月考）已知函数，； 若存在，存在，使成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·行知中学·高三上学期期中）已知函数和它的导函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式1-3】（2026大同中学·高三下4月月考）已知函数在区间内 不存在最值，且在区间上，满足恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型2三角函数中的15题 三角函数图象与性质在高考中属于高频考点，考查形式灵活多样。选择题和填空题常单独考查，涉及图象的识别、变换（如平移、伸缩、对称），以及单调性、周期性、奇偶性、最值等性质的应用；该考点也常与三角恒等变换、解三角形等知识结合，有时还会融入实际问题，考查学生建模能力和利用性质分析问题的能力。这类题目综合性稍强，但整体难度仍处于中等水平，强调对知识的综合运用和逻辑推理能力的检验，是高考中得分的关键板块之一。 【例2】（2026位育中学·高三上学期期中）设函数在区间恰有三个极值点、 两个零点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026风华中学·高三上学期期中）已知函数在区间上 有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025浦东新区·高三三模）已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c． 若，则以下关于“”的选项，结论正确的是（ ） A．存在满足 B．存在锐角满足 C．该表达式不存在最大值 D．该表达式不存在最小值 题型3 解析几何中的15题 解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大；令考生望而生畏．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点： （1） 解析几何通性通法研究；圆锥曲线中最值、定点、定值问题；（2）解析几何中的常见模型； 解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”；所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大核心考点展开。 【例3】（2026上海师大附中·高三上学期期中）设抛物线的焦点为F，准线为， 为C上一动点，，则下列结论错误的是（     ） A．当时，的值为4 B．当时，抛物线C在点P处的切线方程为 C．的最小值为3 D．的最大值为 【变式3-1】（2025复旦附中·高三三模）平面直角坐标系中有两点和，以为圆心， 正整数为半径的圆记为，以为圆心，正整数为半径的圆记为，对于正整数， 点是圆与圆 的交点，且、、、、都位于第二象限， 则这5个点都位于同一（ ）上 A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式3-2】（2025南汇中学·高三下3月月考）如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线；若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 题型4 立体几何中的15题 1．异面直线的判定定理：经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线． 2．等角定理的引申： (1)在等角定理中，若两角的两边平行且方向相同或相反，则这两个角相等； (2)在等角定理中，若两角的两边平行且方向一个边相同，一个边相反，则这两个角互补． 3．唯一性定理： (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直； (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行； (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 4.线、面平行的性质 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面； (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等； (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行； (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例； (5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行； (6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行； (7)垂直于同一条直线的两个平面平行； (8)垂直于同一平面的两条直线平行． 5．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 6．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直． 7．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 8．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 9．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 10．几个与球有关的切、接常用结论： (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，棱长为a的正四面体，其内切球半径R内＝a， 外接球半径R外＝a. 【例4】（2026复旦大学附属复兴中学·高三下学期摸底考）设为正整数，空间中个单位向量构成集合 ，若存在实数，满足对任意，都有， 则当取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026复旦大学附属复兴中学·高三下学期摸底考）在棱长为1的正方体中，为棱上的定点，动点在正方体表面上运动，满足，如果动点的轨迹是一个三角形，那么这个三角形是（     ）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【变式4-2】（2025杨浦高级中学·高三上学期期中）在正四棱锥中，， 设平面与直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025浦东新区·高三三模）如图，ABCD是四面体；已知，，以下两个语句中： ① 棱AB与棱CD一定相等；② 棱AC与棱BD不一定相等；下列选项判断正确的是（ ） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D. ①②都错误 【变式4-4】（2025徐汇中学·高三下5月月考）在正方体中，是底面的中心，是棱上的点，且，记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为， 二面角的平面角为，则（    ）A． B． C． D． 题型5 平面向量中的15题 高考对平面向量的考查以平面向量的基础知识、基本运算为主，考查与平面向量基本定理相关的线性运算、向量的数量积运算、向量的夹角、向量的模。试题以中档题为主，以选择题或填空题的形式出现。高考对本章的考查依然是基础与能力并存，在知识的形成过程、知识的迁移中渗透数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养，重视函数与方程、数形结合、转化与化归思想。 【例5】（2025建平中学·高三三模）在中，为边BC的中点，对于BC所在直线上的任意点，均有 ，则的形状一定是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【变式5-1】（2025进才中学·高三下2月月考）如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．存在最大值为9 D．的最大值为 【变式5-2】（2024复旦附中浦东分校·高三下3月月考）已知平面非零向量满足 ，则对于任意的使得（    ） A．恒有解 B．恒有解 C．恒无解 D．恒无解 题型6数列中的15题 从近三年高考试题来看，对数列的通项公式与数列求和考查仍是高考的热点,经常以选择题、填空题的形式出现,也常与数学文化结合命题,难度为中等偏上；而对于等差、等比数列的证明以及求数列通项公式也是高考的热点,难度为中等偏上。 【例6】（2025朱家角中学·高三下3月月考）已知，集合， 若集合恰有8个子集，则的可能值有几个（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-1】（2025宜川中学·高三三模）已知数列的通项公式为，， 则关于数列的最值叙述正确的是（ ） A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项 C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项 【变式6-2】（2025同济大学第一附属中学·高三上开学考）在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量（单位：）与扩增次数n满足，其中为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为（    ）（参考数据：，） A．5 B．10 C．15 D．20 1．（2025华一附中·高三下学期3月月考）如图，为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶的仰角分别为，计划沿直线开通隧道，设的长度分别为； 为了测出隧道的长度，还需直接测出（    ）的值. A．和 B．和 C．和 D．三者 2．（2023格致中学·高三三模）将函数，的图象绕点顺时针旋转角（）得到曲线C，若曲线C仍是一个函数的图形，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 3．（2024复旦附中浦东分校·高三下3月月考）某品牌手机为了打开市场，促进销售，准备对其特定型号的产品降价，有四种降价方案： ①先降价，再降价； ②先降价，再降价； ③先降价，再降价； ④一次性降价. 其中，则最终降价幅度最小的方案是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 4．（2024复旦附中·高三下3月月考）类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质， 可推出空间中有下列结论： ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；    ②垂直于同一条直线的两个平面互相平行； ③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；    ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行. 其中真命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2024七宝中学·高三下3月月考）历史中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个 原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理；已知双曲线，若双曲线右焦点到渐近线的距离记为，双曲线的两条渐近线与直线，以及双曲线的右支围成的图形 （如图中阴影部分所示）绕轴旋转一周所得几何体的体积为 （其中，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．（2024复旦大学附属复兴中学·高三下3月月考）如图所示，已知直线 与曲线相切于两点，函数， 则对函数描述正确的是（    ） A．有极小值点，没有极大值点 B．有极大值点，没有极小值点 C．至少有两个极小值点和一个极大值点 D．至少有一个极小值点和两个极大值点 7．（2024上海交大附中·高三下5月月考）设等比数列的前项和为，设甲：， 乙：是严格增数列，则甲是乙的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 8．（2024上海交大附中·高三下5月月考）椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆 反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音 向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音 较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为，第二、三次听到回音的时间间隔为，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 9. （2024向明中学·高三三模）已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设，（），则当时，n的最大值是（ ）A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 10. （2024向明中学·高三三模）如图，点P是棱长为2的正方体表面上的一个动点， 直线AP与平面 ABCD所成的角为45°，则点P的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 11．（2023格致中学·高三三模）在棱长为1的正方体中，已知E为线段的中点， 点F和点P分别满足，，其中，，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当时，四棱锥的外接球的表面积是 C．的最小值为 D．存在唯一的实数对，使得平面PDF 12．（2024上海市高三下3月数学学科调研） 对于命题：①存在、、的某个排列，使得对任意，这三个数均不能成等比数列； ②对、、的任意排列，均存在相应的，使得这三个数成等差数列. 下列判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 上海高考数学中的15题选择题 题型 考情分析 考向预测 1.函数与导数中的15题 2026年上海： 15.考查函数的图像问题 2025年上海： 15.考查双曲线中的最值问题 2025年上海： 15.考查古典概型 2024年上海： 15.考查空间向量的基的判定 2024年上海： 15.考查互斥事件和独立事件的判定 2023年上海： 15.考查三角函数变量的范围 2023年上海： 15.考查异面直线的判定 15题在高考中是属于高频考点，考查点灵活多样，这类题目综合性稍强，但整体难度仍处于中等水平，强调对知识的综合运用和逻辑推理能力的检验，是高考中得分的关键板块之一；预计未来上海高考数学可能会更加注重综合考查。在目前上海新高考的形势下，选择题的压轴题16题会出得更加复杂，思维量和计算量都会更加巨大，所以，15题的难度也在逐年增加，为此，充分备考15题显得尤为必要，也为16题留下充足的时间。 2.三角函数中的15题 3.解析几何中的15题 4.立体几何中的15题 5.平面向量中的15题 6.数列中的15题 题型1 函数与导数中的15题 从近几年高考命题来看，本节是高考数学的重点和难点，函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性是高考的必考内容，重点关注周期性、对称性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点、不等式和导数相结合进行考查。 函数的单调性、奇偶性几乎每年都会考查，常与指数函数、对数函数等基本初等函数结合命题；函数性质常与导数、方程、不等式等知识综合考查，体现了数学知识的综合性和灵活性；整体难度适中偏上，注重对考生逻辑推理、数学抽象和数学运算等核心素养的考查。 【例1】（2025·进才中学·高考考前模拟） 已知函数和在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．在a到b之间的平均变化率大于在a到b之间的平均变化率 B．在a到b之间的平均变化率小于在a到b之间的平均变化率 C．对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率 D．存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率 【答案】D.【详解】解：∵在a到b之间的平均变化率是，在a到b之间的平均变化率是， 又，，∴，∴A、B错误；易知函数在处的瞬时变化率是函数在处的导数，即函数在该点处的切线的斜率，同理可得：函数在处的瞬时变化率是函数在该点处的导数，即函数在该点处的切线的斜率，由题中图象可知：时，函数在处切线的斜率有可能大于在处切线的斜率，也有可能小于在处切线的斜率，故C错误，D正确;故选：D． 【变式1-1】（2025建平中学·高三下3月月考）已知函数，； 若存在，存在，使成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】先求出和的值域，再把原问题转化为函数值域有交集问题，建立不等式组， 求解参数范围即可. 【详解】由题意得函数，故函数的值域为， 而，，由对勾函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 且，，，故的值域为，而存在，存在， 使成立，可得，则且，解得， 故B正确；故选：B. 【变式1-2】（2026·行知中学·高三上学期期中）已知函数和它的导函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】，则，因为当时，永远大于0，故由图象可知，，所以，又，所以； 故选：B. 【变式1-3】（2026大同中学·高三下4月月考）已知函数在区间内 不存在最值，且在区间上，满足恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】由正弦型函数的区间最值情况得，，进而有或， 讨论结合已知恒成立确定最终的取值范围. 【解析】由，则内不存在最值，即， 则，，则或，由，则中恒成立，只需且，或； 所以的取值范围是；故选：D. 题型2三角函数中的15题 三角函数图象与性质在高考中属于高频考点，考查形式灵活多样。选择题和填空题常单独考查，涉及图象的识别、变换（如平移、伸缩、对称），以及单调性、周期性、奇偶性、最值等性质的应用；该考点也常与三角恒等变换、解三角形等知识结合，有时还会融入实际问题，考查学生建模能力和利用性质分析问题的能力。这类题目综合性稍强，但整体难度仍处于中等水平，强调对知识的综合运用和逻辑推理能力的检验，是高考中得分的关键板块之一。 【例2】（2026位育中学·高三上学期期中）设函数在区间恰有三个极值点、 两个零点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】依题意可得，因为，所以，要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：则，解得，即．故选：C． 【变式2-1】（2026风华中学·高三上学期期中）已知函数在区间上 有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】由函数在区间上有且仅有两个零点，转化为方程在区间上有且仅有两个根，则由求解. 【解析】因为，所以，因为函数在区间上有且仅有两个零点，即方程在区间上有且仅有两个根，所以，解得.所以实数的取值范围为；故选：D. 【变式2-2】（2025浦东新区·高三三模）已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c． 若，则以下关于“”的选项，结论正确的是（ ） A．存在满足 B．存在锐角满足 C．该表达式不存在最大值 D．该表达式不存在最小值 【答案】C【分析】由题意结合正弦定理，由可得，可得，所以，再结合的取值范围判断各选项的正误即可. 【详解】由题意得，因为，所以，由正弦定理可得，，所以，所以，因为，所以，设，则，由得， ，所以在上递减，在上递增，又， 所以，所以无解，A错误；若，则，与锐角相矛盾，B错误；由得C正确，D错误；故选：C. 题型3 解析几何中的15题 解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大；令考生望而生畏．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点： （1） 解析几何通性通法研究；圆锥曲线中最值、定点、定值问题；（2）解析几何中的常见模型； 解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”；所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大核心考点展开。 【例3】（2026上海师大附中·高三上学期期中）设抛物线的焦点为F，准线为， 为C上一动点，，则下列结论错误的是（     ） A．当时，的值为4 B．当时，抛物线C在点P处的切线方程为 C．的最小值为3 D．的最大值为 【答案】B【解析】当时，，故， 故A正确；当时，，由可得， 所以，所以抛物线C在点P处的切线方程为，整理得：，故B错误；如图，过点P作PB⊥准线于点B，则由抛物线定义可知： ，则，当A、P、B三点共线时， 和最小，最小值为1+2=3，故C正确；由题意得：， 连接AF并延长，交抛物线于点P，此点即为取最大值的点， 此时，其他位置的点， 由三角形两边之差小于第三边得：， 故的最大值为，故D正确；故选：B. 【变式3-1】（2025复旦附中·高三三模）平面直角坐标系中有两点和，以为圆心， 正整数为半径的圆记为，以为圆心，正整数为半径的圆记为，对于正整数， 点是圆与圆 的交点，且、、、、都位于第二象限， 则这5个点都位于同一（ ）上 A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C【分析】分别求得和的方程和， 联立方程组求得，代入，求得，化简得到，即可求解. 【详解】由题意，圆的方程为，即， 圆的方程为，即，联立可得，即，解得，代入的方程得， 即，解得，又由，所以，即，所以这5个点都在同一个双曲线上；故选：C. 【变式3-2】（2025南汇中学·高三下3月月考）如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线；若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】B【分析】根据推出，设圆柱底面半径为r， 再根据圆柱的侧面展开图推出，利用圆柱的斜截面椭圆及离心率求出r即可. 【详解】由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数图象的一部分，可得． 设圆柱底面半径为r，则，所以，设椭圆长轴长为，短轴长为， 因为离心率为，得，则，即，所以， 得，又由勾股定理得，解得，故；故选：B. 题型4 立体几何中的15题 1．异面直线的判定定理：经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线． 2．等角定理的引申： (1)在等角定理中，若两角的两边平行且方向相同或相反，则这两个角相等； (2)在等角定理中，若两角的两边平行且方向一个边相同，一个边相反，则这两个角互补． 3．唯一性定理： (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直； (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行； (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 4.线、面平行的性质 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面； (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等； (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行； (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例； (5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行； (6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行； (7)垂直于同一条直线的两个平面平行； (8)垂直于同一平面的两条直线平行． 5．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 6．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直． 7．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 8．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 9．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 10．几个与球有关的切、接常用结论： (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，棱长为a的正四面体，其内切球半径R内＝a， 外接球半径R外＝a. 【例4】（2026复旦大学附属复兴中学·高三下学期摸底考）设为正整数，空间中个单位向量构成集合 ，若存在实数，满足对任意，都有， 则当取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据给定条件可得集合中所有向量共起点时， 终点在球面上，再利用数量积的运算律求出的最大值，进而求出值. 【解析】令集合的各向量起点为，对应终点依次为 ，由向量为单位向量，则点 在以为球心，1为半径的球面上，由， 得点中任意三点不共线，由，得， 则，由，同理得，而点不共线，于是点不共面，点为球内接正四面体的4个顶点，若，不妨取，同理得： ，平面，又，由过一点有且只有一个平面垂直于已知直线，得点平面，与点不共面矛盾，因此，设正四面体的棱长为，则正的外接圆半径为，正四面体的高为，球心到平面的距离为，因此，解得，所以；故选：C. 【变式4-1】（2026复旦大学附属复兴中学·高三下学期摸底考）在棱长为1的正方体中，为棱上的定点，动点在正方体表面上运动，满足，如果动点的轨迹是一个三角形，那么这个三角形是（     ）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】A【分析】在平面中过点作交于点，在平面中过作，连接、，即可证明平面，从而得到在的边上， 即可判断轨迹三角形的形状. 【解析】如图，在平面中过点作交于点， （当在时恰为点，当在点时点也恰为点，满足点（即） 使得），在平面中过作，连接、， 由正方体的性质可得，平面，平面， 所以，，平面， 所以平面，平面，所以， 所以，，平面，所以平面， 因为，所以，又动点在正方体表面上运动， 所以在的边上，显然，所以， 所以为等腰三角形，又，所以不可能为直角三角形或钝角三角形；故选：A. 【变式4-2】（2025杨浦高级中学·高三上学期期中）在正四棱锥中，， 设平面与直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】由，结合已知可得，利用共面求. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以，又，所以， 所以，因为共面，所以，解得；故选：D. 【变式4-3】（2025浦东新区·高三三模）如图，ABCD是四面体；已知，，以下两个语句中： ① 棱AB与棱CD一定相等；② 棱AC与棱BD不一定相等；下列选项判断正确的是（ ） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D. ①②都错误 【答案】A 【分析】将四面体补成平行六面体，利用已知条件和平行六面体中的对称性， 结合余弦定理构造等量关系，从而推导出选项的正误. 【详解】在如图所示的平行六面体中，设，，， ，，，则由余弦定理有： ，，， ，，， 由得，，将上面6个式子代入化简可得： ①， 类似地，由得，， 代入上面6个式子化简可得：②，得： ，故， 从而，即，故①正确；而由已知条件无法推出， 则AC与BD不一定相等，故②正确；故选：A. 【变式4-4】（2025徐汇中学·高三下5月月考）在正方体中，是底面的中心，是棱上的点，且，记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为， 二面角的平面角为，则（    ）A． B． C． D． 【答案】C【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 推导出，由此得到． 【详解】解：以为原点，为轴，为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为4， 则， ，，＝＝，平面的法向量，∴＝， ∴＝，，，设平面的法向量，则，取，得，＝，∵，∴；故选：C. 题型5 平面向量中的15题 高考对平面向量的考查以平面向量的基础知识、基本运算为主，考查与平面向量基本定理相关的线性运算、向量的数量积运算、向量的夹角、向量的模。试题以中档题为主，以选择题或填空题的形式出现。高考对本章的考查依然是基础与能力并存，在知识的形成过程、知识的迁移中渗透数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养，重视函数与方程、数形结合、转化与化归思想。 【例5】（2025建平中学·高三三模）在中，为边BC的中点，对于BC所在直线上的任意点，均有 ，则的形状一定是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】B【分析】以为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系， 设，通过坐标运算即可求解. 【详解】以为原点，直线为轴，建立如图平面直角坐标系， 设， 则， 上式为开口向上的二次函数，当时，， 因为，又因为， 所以，解得，即，故， 所以两点的横坐标相同，故，所以为直角三角形.故选：B. 【变式5-1】（2025进才中学·高三下2月月考）如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．存在最大值为9 D．的最大值为 【答案】D【分析】将分别用表示，结合数量积的运算律计算判断AB；以点为原点建立 平面直角坐标系，设，根据平面向量的坐标表示及坐标运算计算判断CD. 【详解】在边长为3的正中，，为的中点，则， 对于A，由，得，则，A正确； 对于B，， 则 ，B正确；对于C，以点为原点， 直线为轴建立平面直角坐标系，如图，则， 显然点在以为圆心，为半径的下半圆上，设， 则， ，由，得， 则当时，取得最大值，C正确；对于D，由，得 ，即， 因此，则，而，则当时，取得最大值 ，D错误；故选：D.【点睛】本题C选项的关键是建立合适平面直角坐标系，再设 ，从而写出相关向量，计算其数量积，并结合三角函数的性质得到其范围. 【变式5-2】（2024复旦附中浦东分校·高三下3月月考）已知平面非零向量满足 ，则对于任意的使得（    ） A．恒有解 B．恒有解 C．恒无解 D．恒无解 【答案】B【分析】设，其中，记 则有，即，然后分，，三种情况讨论，再根据直线是过点的直线与圆锥曲线的两个不同的交点和点在以为直径的圆上，分析 圆与相应准线的位置关系，即可求解. 【详解】解：设，其中，记， 则有，即若，则点的轨迹是拋物线， 方程为E：，点恰为抛物线的焦点，则是过点的直线与抛物线的两个不同的交点，点在以为直径的圆上，此时. 若，则点的轨迹是椭圆，方程为E：，点为椭圆E的左焦点，轴是椭圆的左准线，是过点的直线与椭圆的两个不同的交点，点在以为直径的圆上， 此时圆与准线相离，故； 若，则点的轨迹是双曲线，方程为E：，点为双曲线的右焦点，轴是双曲线的右准线，是过点的直线与双曲线的两个不同的交点，点在以为直径的圆上，此时圆与准线相交，故可正，可负，可零.所以，当时，恒有，故A错误；当时，，与均有解，故错误；故选：B. 题型6数列中的15题 从近三年高考试题来看，对数列的通项公式与数列求和考查仍是高考的热点,经常以选择题、填空题的形式出现,也常与数学文化结合命题,难度为中等偏上；而对于等差、等比数列的证明以及求数列通项公式也是高考的热点,难度为中等偏上。 【例6】（2025朱家角中学·高三下3月月考）已知，集合， 若集合恰有8个子集，则的可能值有几个（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【分析】根据子集个数可得集合元素个数，再由正弦函数性质即可确定n的取值. 【详解】由题意易知，，均是集合中的元素，又集合恰有8个子集， 故集合只有三个元素，有，则结合诱导公式易知，可取的值是4或5；故选：B. 【变式6-1】（2025宜川中学·高三三模）已知数列的通项公式为，， 则关于数列的最值叙述正确的是（ ） A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项 C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项 【答案】A【分析】将化为，其中；结合二次函数的性质和的取值可确定最值的 取得情况，从而得到结果 .【详解】由题意得：，令，则， ， 对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，当时，取最小值； 当时，取最大值，既有最大项又有最小项；故选：. 【点睛】本题考查数列最大项和最小项的求解问题，关键是能够将通项公式化为二次函数的形式，根据 二次函数性质求得结果；易错点是忽略数列中的取值的限制及换元后参数的取值限制，造成求解错误. 【变式6-2】（2025同济大学第一附属中学·高三上开学考）在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量（单位：）与扩增次数n满足，其中为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为（    ）（参考数据：，） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B【分析】根据题意列出方程，利用指数与对数的互化即可求解. 【详解】由题意知，，令，得，取以10为底的对数得，所以；故选：B. 1．（2025华一附中·高三下学期3月月考）如图，为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶的仰角分别为，计划沿直线开通隧道，设的长度分别为； 为了测出隧道的长度，还需直接测出（    ）的值. A．和 B．和 C．和 D．三者 【答案】D【分析】在中用已知条件和正弦定理表示的长，再在中用正弦定理表示的长最后即可表示的长，即可知道为了测出隧道的长度，还需直接测出哪些值. 【详解】在中，由正弦定理有：，所以， 在中，由正弦定理有：， 所以，因为 ，所以为了测出隧道的长度，还需直接测出三者的值；故选：D. 2．（2023格致中学·高三三模）将函数，的图象绕点顺时针旋转角（）得到曲线C，若曲线C仍是一个函数的图形，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转后的切线倾斜角最多为， 故只需求 处的倾斜角即可. 【详解】函数，，当时， ，函数在上递增，当时，， 函数在上递减，可得在处切线的倾斜角为， 因此，要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转后的切线倾斜角最多为，也就是说， 最大旋转角为，即的最大值为；故选：A. 3．（2024复旦附中浦东分校·高三下3月月考）某品牌手机为了打开市场，促进销售，准备对其特定型号的产品降价，有四种降价方案： ①先降价，再降价：②先降价，再降价； ③先降价，再降价；④一次性降价. 其中，则最终降价幅度最小的方案是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C【分析】设原价为1，求出四种降价方案的价格，再比较大小可得答案. 【详解】设原价为1，对于①，降价后的价格为：， 对于②，降价后的价格为：， 对于③，降价后的价格为：，对于④，降价后的价格为：一次性降价. ，所以①④,因为， 所以，所以①③，因为，所以， ，，所以②③， 则最终降价幅度最小的方案是③；故选：C. 4．（2024复旦附中·高三下3月月考）类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质， 可推出空间中有下列结论： ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；    ②垂直于同一条直线的两个平面互相平行； ③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；    ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行. 其中真命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C【分析】利用直线和平面的位置关系，对选项进行逐一判断即可得出结论. 【详解】垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、或异面，①错误；垂直于同一个平面的两条直线互相平行，由直线与平面垂直的性质知②正确；垂直于同一条直线的两个平面互相平行，由平面平行的判定 定理知③正确；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，④错误；故选：C 5．（2024七宝中学·高三下3月月考）历史中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个 原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理；已知双曲线，若双曲线右焦点到渐近线的距离记为，双曲线的两条渐近线与直线，以及双曲线的右支围成的图形 （如图中阴影部分所示）绕轴旋转一周所得几何体的体积为 （其中，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A【分析】根据点到直线的距离公式得，利用祖暅原理求解体积，即可根据离心率公式求解. 【详解】右焦点到的距离，令，可得截面为一个圆环． 由可得；由，解得， 所以截面的面积为，由对称性和祖暅原理可得所得几何体的体积为 ，即有，即有，即， 故，所以；故选：A 6．（2024复旦大学附属复兴中学·高三下3月月考）如图所示，已知直线 与曲线相切于两点，函数， 则对函数描述正确的是（    ） A．有极小值点，没有极大值点 B．有极大值点，没有极小值点 C．至少有两个极小值点和一个极大值点 D．至少有一个极小值点和两个极大值点 【答案】C【分析】由题设，令与切点横坐标为且，由图存在 使，则有三个不同零点，结合图象判断的符号，进而确定单调性，即可确定答案. 【详解】由题设，，则，又直线与曲线相切于两点 且横坐标为且，所以的两个零点为，由图知：存在使， 综上，有三个不同零点，由图：上，上，上，上，所以在上递减，上递增，上递减，上递增； 故至少有两个极小值点和一个极大值点；故选：C. 7．（2024上海交大附中·高三下5月月考）设等比数列的前项和为，设甲：， 乙：是严格增数列，则甲是乙的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立. 【详解】不妨设，则，满足，但是严格减数列， 充分性不成立，当时，是严格增数列，但，必要性不成立， 故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D. 8．（2024上海交大附中·高三下5月月考）椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆 反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音 向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音 较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为，第二、三次听到回音的时间间隔为，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得. 【详解】依题意，令声音传播速度为，时刻，刚刚呐喊声音传播为0，时刻听到第一次回声，声音的路程为，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点，时刻，声音的路程为，即从左焦点 到右顶点，又从右顶点回到左焦点，时刻，声音的路程为，即从左焦点反射到右焦点，再反射到 左焦点，因此，，即，则，即，整理得，所以椭圆的离心率为.故选：B. 9. （2024向明中学·高三三模）已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设，（），则当时，n的最大值是（ ）A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B【解析】∵{an}是以1为首项，2为公差的等差数列， ∵{bn}是以1为首项， 2为公比的等比数列， 解得n≤9； 则当时，n的最大值是9；故选: B. 10. （2024向明中学·高三三模）如图，点P是棱长为2的正方体表面上的一个动点， 直线AP与平面 ABCD所成的角为45°，则点P的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】若点 P在正方形A₁B₁C₁D₁内，过点 P作PP'⊥平面ABCD于P'， 连接AP'，A₁P. 则∠PAP'为直线AP与平面ABCD所成的角，则又 则 则则点P的轨迹为以A₁为圆心半径为2 的圆 (落在正方形内的部分)，若点 P在正方形A₁B₁AB 内或A₁D₁AD内， 轨迹分别为线段AB₁，AD₁，因为点 P不可能落在其他三个正方形内， 所以点P的轨迹长度为 故选: A. 11．（2023格致中学·高三三模）在棱长为1的正方体中，已知E为线段的中点， 点F和点P分别满足，，其中，，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当时，四棱锥的外接球的表面积是 C．的最小值为 D．存在唯一的实数对，使得平面PDF 【答案】C【分析】由线面平行的判定可知平面，知三棱锥底面积和高均为定值，A正确；根据正棱锥外接球的球法，可构造关于外接球半径的方程，求得后知B正确；将C中问题转化为在平面内求解的最小值，作关于线段的对称点，将问题转化为长度的求解，根据角度和长度关系可确定C正确；以为坐标原点建立空间直角 坐标系，假设线面垂直可构造方程组求得，可知D正确. 【详解】对于A，当时，为中点，又为中点，，    平面，平面，平面，则当在线段上 移动时，其到平面的距离不变，三棱锥的体积为定值，A正确；对于B，当时，取交点，连接，则四棱锥为正四棱锥，平面，设四棱锥的外接球的球心为，半径为， 则在直线上，  ，，， 即，解得：， 四棱锥的外接球的表面积，B正确； 对于C，将问题转化为在平面内求解的最小值，作关于线段的对称点， 过作，交于，如下图所示，   ，（当且仅当与重合时取等号）， ， ， ，， 即的最小值为，故C错误；对于D，以为坐标原点， 为轴建立如图所示空间直角坐标系，  则，，，， ，，， 若平面，则， ， 解得：（舍）或，存在唯一的实数对， 使得平面，故D正确；故选：C. 12．（2024上海市高三下3月数学学科调研） 对于命题：①存在、、的某个排列，使得对任意，这三个数均不能成等比数列； ②对、、的任意排列，均存在相应的，使得这三个数成等差数列. 下列判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】C【分析】对①：假设、、成等比数列，则有， 借助三角函数间的关系结合定义域可得其不成立，即可得①正确；对②：假设、、成等差 数列，则有，结合定义域可得，即可得该等式不成立， 故②错误. 【详解】对①，若、、成等比数列，则有， 由，即有，可得或，又，故， 不符合要求，故存在、、，使得对任意，这三个数均不能成等比数列，故①正确； 对②，若、、成等差数列，则有，即， 即，当时，该等式不成立，故，则， 由，故，则， 又，故该等式不成立，故②错误.故选：C. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $