精品解析：江苏南京市第九中学等校2025-2026学年高二下学期四月学情检测数学试题

2027届高二年级四月学情检测 数学 （时间：120分钟 满分150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上. 1. 设，，若，则k的值是（ ） A. B. C. 3 D. 2. 已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积是底面积的2倍，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 设，且，若能被13整除，则（ ） A. 0 B. 1 C. 11 D. 12 4. 在平行六面体中，已知，，，，，则的值为（ ） A. 10.5 B. 12.5 C. 22.5 D. 42.5 5. 已知函数的图象在点处的切线方程为，且函数在上的最大值为M，最小值为m，则的值为（ ） A. B. C. D. 0 6. 安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的安排方法数为（ ） A. 150 B. 90 C. 60 D. 36 7. 如图，等边三角形的边长为3，分别交AB，AC于D，E两点，且，将沿DE折起（点A与P重合），使得平面平面BCED，则折叠后的异面直线PB，CE所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知随机变量X的概率分布表如下： 0 1 其中，，都是正数，若随机变量X的数学期望，方差，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 平面 C. 三棱锥的外接球的表面积为 D. 由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 11. 长方体中，，，则点B到平面的距离为________． 12. 已知定义在R上的函数满足，且，则不等式的解集为______． 13. 如图为一个正八面体，用事件表示“从正八面体的所有顶点中任取4个点，这4个点恰好共面”，若事件满足，，，则______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 已知展开式中某项的系数恰为它的前一项系数的2倍，而等于它后一项系数的，求： （1）的值； （2）展开式中二项式系数最大的项； （3）展开式中的有理项． 15. 四棱锥，，，，，底面，与底面成角，为的中点． （1）证明：； （2）求二面角的正弦值． 16. 设函数（为常数）． （1）若在上是增函数，求a的取值范围； （2）是否存在a，使得当时，有最大值？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 17. 甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球． （1）若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回， ①求取出的2个球中至少有一个红球的概率； ②求在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率； （2）若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率． 18. 如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形为菱形，，，． （1）已知，为线段上的点，且，求证：平面； （2）证明：平面； （3）若是线段上一个动点，求平面与平面的夹角余弦值的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高二年级四月学情检测 数学 （时间：120分钟 满分150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上. 1. 设，，若，则k的值是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】由题可得. 因，则.故选：B 2. 已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积是底面积的2倍，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥的高为h，母线长为l，根据圆锥的侧面积公式求出，再利用勾股定理求出，最后根据体积公式计算可得； 【详解】解：设圆锥的高为h，母线长为l，则圆锥的侧面积，故，故圆锥的体积． 故选：C． 3. 设，且，若能被13整除，则（ ） A. 0 B. 1 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据二项式的展开式，分析求解，即可得答案. 【详解】由题意 ， 因为52能被13整除，所以也能被13整除， 因为，所以. 4. 在平行六面体中，已知，，，，，则的值为（ ） A. 10.5 B. 12.5 C. 22.5 D. 42.5 【答案】A 【解析】 【分析】将作为基底，然后用基底表示出，再求其数量积即可. 【详解】由题意得，， 因为，，，，， 所以 ， 故选：A 5. 已知函数的图象在点处的切线方程为，且函数在上的最大值为M，最小值为m，则的值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，求得a，b的值，求导，判断单调性，可得最值. 【详解】解：， ，又时，，则， 解得，，则，，， 当时，，当或时，， 故函数在，上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为，极大值为，， 故函数在上的最大值为，最小值为，则 故选：B 6. 安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的安排方法数为（ ） A. 150 B. 90 C. 60 D. 36 【答案】D 【解析】 【详解】5名大学生依题意分三组，有两种情形，分别为： 人，此时甲、乙到同一家企业实习的安排方法数为； 人，此时甲、乙到同一家企业实习的安排方法数为， 共有种. 7. 如图，等边三角形的边长为3，分别交AB，AC于D，E两点，且，将沿DE折起（点A与P重合），使得平面平面BCED，则折叠后的异面直线PB，CE所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别以DB，DE，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由空间向量法求异面直线所成角的余弦值，再得正弦值． 【详解】由题意可知DB，DE，DP两两垂直，分别以DB，DE，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， 由已知，到直线的距离为， 则，，，，从而，. 故，因此是钝角， . 故选：D． 8. 已知随机变量X的概率分布表如下： 0 1 其中，，都是正数，若随机变量X的数学期望，方差，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查离散型随机变量的数字特征，结合概率分布表的性质及离散型随机变量的期望与方差公式，列出相应的数量关系解决问题. 【详解】解：由概率分布表性质可知，解得， 又，则， 整理得，所以. 又由概率的性质，，所以， 综上. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二项式定理及多项式乘法法则求出展开式中含项的系数判断A，利用赋值法判断BC，对式子两边求导，令即可判断D. 【详解】A.的展开式中含的项为， 所以，A正确； B.令，得， 令，得， 两式相加得，，B错误； C.令，得， 所以，C正确； D.等式两边对求导得：， 令，得，D错误. 故选：AC. 10. 如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 平面 C. 三棱锥的外接球的表面积为 D. 由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据等积变换可求三棱锥的体积；对于选项B，可用反证法说明；对于选项C，可通过建立空间直角坐标系求出外接球的半径，从而得出表面积；对于选项D，作出过三点确定的平面与正方体相交形成的截面，进而求得截面的周长. 【详解】对于A，三棱锥的体积，故A正确； 对于B，因为，所以与不垂直， 所以与平面不可能垂直，故B错误； 对于C，坐标法：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设外接球的球心为，则 ， ， ， 求得，故C正确； 对于D，如图，过三点确定的平面与正方体相交形成的截面为等腰梯形为的中点（平行则四点共面）， 等腰梯形的周长为，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 11. 长方体中，，，则点B到平面的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】解：在长方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 因为，，所以，， ，，，， 设平面的法向量为： ， ，令得： 又 点B到平面的距离为：. 故答案为：. 12. 已知定义在R上的函数满足，且，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】构造，问题化为求的解集，利用导数研究单调性，进而有求解集. 【详解】由题设，令，不等式化为， 因为，所以，所以在R上单调递减， 又，则，故不等式的解集为. 13. 如图为一个正八面体，用事件表示“从正八面体的所有顶点中任取4个点，这4个点恰好共面”，若事件满足，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用对立事件、互斥事件，条件概率的概率公式计算即可得. 【详解】由题意得， 因为， 所以 即， 所以， ， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 已知展开式中某项的系数恰为它的前一项系数的2倍，而等于它后一项系数的，求： （1）的值； （2）展开式中二项式系数最大的项； （3）展开式中的有理项． 【答案】（1）7 （2），. （3），，. 【解析】 【分析】（1）根据二项展开式的通项公式列式，可求的值. （2）根据二项式系数的性质，结合二项展开式的通项公式可求解. （3）利用二项展开式的通项公式求有理项. 【小问1详解】 因为展开式的通项公式为. 由题意 . 所以. 【小问2详解】 因为，展开式共有8项，所以第4项与第5项的二项式系数相等且最大， ，. 【小问3详解】 因为， 当时，可得展开式的有理项. 所以展开式中的有理项为： ，，. 15. 四棱锥，，，，，底面，与底面成角，为的中点． （1）证明：； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明： 连接， 因为底面，与底面成角，即， 所以，为等腰直角三角形，且， 因为底面，平面，，， 因为，，则， 为的中点，所以，. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，推导出，利用等腰三角形三线合一的性质可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 所以，，则， 因此，二面角的正弦值为. 16. 设函数（为常数）． （1）若在上是增函数，求a的取值范围； （2）是否存在a，使得当时，有最大值？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由题意得在上恒成立，令，根据的单调性，求出的最值，分析即可得答案. （2）分别讨论和两种情况，利用导数求出的单调性和最大值，分析求解，即可得答案. 【小问1详解】 由题意， 因为在上是增函数，所以在上恒成立， 即，则， 令，， 因为在上单调递增，所以， 因此，则a的取值范围是. 【小问2详解】 假设存在a，使得当时，有最大值. 当时，在上是增函数，则，解得（舍）， 当时，令，解得， 因为，所以， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以， 则，解得，又，得， 所以存在，使得当时，有最大值. 17. 甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球． （1）若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回， ①求取出的2个球中至少有一个红球的概率； ②求在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率； （2）若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①设“所取到的2个球中至少有一个红球”为事件，结合古典概型的概率公式和对立事件的概率公式，可求解；②由缩小样本空间求条件概率的方法可求得所求概率； （2）设“从甲袋中取到红球”为事件，“从乙袋中随机取2个球，取到的2个球中恰有1个红球”为事件，根据条件概率公式及全概率公式，可得所求概率. 【小问1详解】 ①设“所取到的2个球中至少有一个红球”为事件，则表示取到的2个球全是白球， 由题可知，， 所以，即取出的2个球中至少有一个红球的概率为； ②第1次取到白球，则在第1次取球后，甲袋中有2个红球，2个白球， 所以在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率为. 【小问2详解】 设“从甲袋中取到红球”为事件，则. 设“从乙袋中随机取2个球，取到的2个球中恰有1个红球”为事件， 则，. 所以. 18. 如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形为菱形，，，． （1）已知，为线段上的点，且，求证：平面； （2）证明：平面； （3）若是线段上一个动点，求平面与平面的夹角余弦值的最大值． 【答案】（1）证明：如图，连接，交于点，连接. AI 根据三棱柱的性质，四边形为平行四边形，所以为中点， 又，所以为中点. 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）证明：因为，，，所以. 因为为等边三角形，四边形为菱形， 所以在中，，，， 因为，所以为直角三角形，且. 且平面，，所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）构造线线平行，利用线面平行的判定定理证明线面平行. （2）先利用勾股定理的逆定理判断线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证明线面垂直. （3）建立空间直角坐标系，利用空间向量表示平面与平面的夹角余弦值，再结合二次函数的性质求其最大值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 以为原点，所在射线为轴，所在射线为轴，过与平面垂直的射线为轴，建立如图空间直角坐标系. 因为平面，所以轴在平面内. 则，，，. 因为，所以. 所以，， 设，则（）. 设平面的法向量为， 则， 令，则，，此时. 又平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则. 所以当即时，取得最大值，为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $