19.2 二次根式的乘法与除法 知识点讲解 同步练习 2025-2026学年人教版八年级数学下册

19.2二次根式的乘法和除法 一、乘法： 计算并思考，总结规律： (1)4×9 ,V4x9= (2)V16×V25=,V16×25=: (3)√100×√36=，00x36=, 总结规律得出公式： Na.√b=Vab(a≥0，b≥0). 反过来： √ab=√aVb(a≥0，b≥0). 拓展： mla-nb=mWab(a≥0，b≥0) 例题： 1、化简：(1)V9x16: (2)V9x2y2. 解：(1)V9x16=V9×V16=3×4=12; axyxxv 2、计算：(1)√14×√7： (2)3W5×2V10; (3)3x×3 解：(1)√14x7=√4×7=V72x2=V72x√2=7√2： (2)3V5×2V10=3×2V5x10=6V52×2=6V53x√2=30√2； xw-rw-西-F=x 练习1： 判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： (1)V-4)×(-9)=V4×V9; x压=层×压=层×压=4=sw5 作业： 1.计算： (1)√24x27; (2)V6×(-V15): (3)V18×V20×V75. 2.化简： 1)V4×49; (2)√300； (3)V16ab2c3. 3.设长方形的面积为S,相邻两边分别为a,b. (1)已知a=V8,b=√2，求S (2)已知a=250,b=3V32,求S. 检测1： 1.化简Vx*+x2y2= (x≥0) 2.一个长方形的长和宽分别是V0和2√2.求这个长方形的面积. Vx2-4+V4-x2+1 3.若x、y为实数，且y= x+2 一，求Vx+少Vxy的值， 二、除法 填空并总结规律 5 9 16 16 (1)16= V16= :(2)V36= V36 va a 得出除法法则是V石=V万(a≥0，b>0 va 反过来， Vb=Nb(a≥0.b>0) 例题： 1、化简： (1) 3 (2) 25y V100 V9x2 解：(1) 3 √55 100 V100 V9x2 32x2 3x 2、计算并总结归纳： (1)3 2 3v2 (3)V8 √27 2a (1)解法1： 解法2：5V3x5V55 √5V5xV5(W5)-5 (2)3232=322-2×56 V27V32x3V32x√5V3V3×33 (3)⑧=⑧2a_4wa2Wa √2aV2aV2a2aa 总结得出最简二次根式： ●被开方数不含分母 ●被开方数不含能开的尽方的因数或因式 概括：根号无分母，分母无根号，不能再开方 练习2： 1、设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.己知S=23,b=√0.求a. 2、已知 9-x 9-x ， 且x为偶数，求(+x) X2-5x+4的值. x-6 Vx- Vx2-1 例题：观察下列各式的计算，把不是最简二次根式的化成最简二次根式. 1 1x2--5--2-l √2+1(N2+10(2-1)2-1 1 1x(5-√2) 5-5=5-2: √3+V2(W3+V2)W3-√2)3-2 同可得：√4+5=4-5，… 将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”. 简单的说就是：去掉分母中的根号，使其变成有理数 作业2 1.计算：(1)V18÷√8； (2) 4v15 2W5 (4) 2xy 3xy 2.化简：(1)2： (2) 2 6 (3)V2 3√40 (4) 5n: (5)2xy 3 (6)二V45y2 35y 3.设正方形的面积为S,边长为a. (1)已知S=50,求a: (2)已知S=242,求a. 检测2： 1.如果 (y>0)是二次根式，那么它化为最简二次根式是(). A. t y>0)B.(y>0)C.Vy (y>0)D.以上都不对 2.在下列各式中，化简正确的是(). 5 =3厅 及+5c=6山原-7同 3.化简32 的结果是(). √27 A.、2 2 B.- √5 C.、6 D.-√2 3 a+1 4.a 化简二次根式号后的结果是 23 三、乘除法混合运算 1.比较两个实数的大小 【例1】比较下列两个数的大小 (1)√6与V7 (2)3√2与2√3 解：(1)因为6<7，所以√6<√7. 因为32=V32.√2=√32x2=√18,2√3=√22.√5=V22x3=√2， 又因为18>12，所以1⑧>√12，即3√2>2√3. 2.二次根式的乘除混合运算 【1:022y阴 解法1：原式=3 3 ×4V2=32. 4 3 解法2：原式=1×3÷2)，30×8÷5 31 ×4v2 82=4 2 =(1××) 30×-× =32 32 221 35 3.运用分母有理化进行计算 1 1 1 【例3】化简+22+5+3+4V99+00 十…十 分析：当分母里二次根式的被开方数都相差1时，如果分母有理化后则变为1或一1，就可 将原式变为不含分母的二次根式. 解：原武=5-l+5-5+4-5+…+o0--1o0-1=10-1=9 1 1 1 1 作业3： 1、化简2ab÷60,巨x b 方V。×(←。V云b)用两种方法解餐 2 2、计算： VW5-1V2+V4-2W3 检测3： 1.比较大小： (1)6万76，(2)52 43 (3)-2V5 -35. 2.把424 根号外的因式移进根号内，结果等于(). A.- B.11 C.-√44 D.2v11 2 3.已知a=V3-1,b= ,则a与b的关系为(). V3+1 A.a=b B.ab=1 C.a=-b D.ab=-1 4.下列各式中，最简二次根式是(). A.x2+4 a 1 B. D.5a2b Vx-v 5.计算： 24*5x5, @ 答案 练习1： 解：(1)不正确。 改正：V-4)x(-9)=V4x9=√4×V9=2×3=6: (2)不正确. 改正： 112 ×25=25 2×25=12=6x7=47. 作业1： 1.(1)√24×V27=V24x27=V22×2x3x3×32=18√2： (2)V6×(-5)=-V6x15=-√2x3x3×5=-3V10: (3)V18×V20×V75=V18×20×75=V2×32×22×5×52×5=30V30. 2.(1)V4×49=V4×V49=2×7=14,(2)300=V3x102=10W3: (3)16ab'c=16xaxb2xvc=4bcvac. 3.(1)S=a.b=V8×V12=4v6;(2)S=ab=250×3√32=240 检测1： 1.xVx2+y2. 2.解：长方形的面积为V10×2√2=2V10×2=2V22×5=4V5. x2-4≥0， 3. 4-x2≥0， …x2-4=0,即x=±2. 但“x+20,÷=2,= 4 +y-y=F-y=4- 1√63_3万 1644 练习2： S252W3x√10√30 1、解：因为S=ab,所以a== bV10V10×V105 9-x≥0，x≤9， 2、解：由题意得 即 .6<x≤9. x-6>0,x>6. x为偶数，x=8 ∴.原式=1+x) (x-4)x-1) =1+对 x-4 (x+1)(x-1) Vx+1 =0+刊Vx-4 V(x+) =VI+x)(x-4). .当x=8时，原式的值=√4×9=6. 作业2： 113@》25:》2:④ 25:e9:05wS:,8 3.(1)a=√5=50=5V2; (2)a=V5=V242=11V2· 检测2： 1.C.2.C、D.3.C. 4.-a.解析：：_a+≥0，∴a+1≤0，即a≤-1. a2 :.a a+1_a-aa-l=--a-. =a =a √a -a 作业3： 入 )x(3Vab)=2 2 -3ab) a 2 b 3a b 2a 2a s、ab3 √ab. 2 3 2b2 3 2 a b 6a b 56西_画 =2a =2a 2、解析：VW3-1V2+V4-25=VW3-1V2+V5-1) =VW3-1V2+(3-1)=VW3-1VW3+1=VW3)2-12=2 检测3： 1.(1)<；(2)>;(3)>. 2.D.3.A.4.A. 5.1D40V2x;2)Y2y