19．2　二次根式的乘法与除法 同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级下册

19．2　二次根式的乘法与除法 第1课时　二次根式的乘法 1．了解二次根式(根号下仅限于数)的乘法运算法则，会用它进行简单的运算． 2．理解·＝(a≥0，b≥0)，＝·(a≥0，b≥0)，并运用它们进行计算和化简． 知识点一　二次根式的乘法法则 1．·＝(a≥0，b≥0)． •练习1　(教材P6例1变式)计算： (1)××； (2)××． 【答案】(1)30　(2)0．6 知识点二　二次根式的乘法法则的逆用 2．＝·(a≥0，b≥0)． •练习2　计算或化简： (1)；(2)·； (3)；(4)． 【答案】(1)6　(2)6y　(3)12　(4)5 基础巩固 1．(2025·广东)计算×的结果是(　B　)． A．3　 　 B．6 　 　 C． 　 D．2 2．(2025·江门期中)化简的结果是(　C　)． A．100 B．60 C．40 D．20 3．对于任意实数a，下列各式一定成立的是(　D　)． A．＝· B．＝a＋6 C．＝－4 D．＝5a2 4．(2025·惠州期中)若＋＝0，则下列各数中，与的积为有理数的是(　A　)． A． B． C． D． 5．若＝·成立，则x的取值范围为______________________． 【答案】2≤x≤3 能力达标 6．若一个长方体的长为 cm，宽为3 cm，高为2 cm，则这个长方体的体积是________cm3． 【答案】12 7．计算：(－)2 026(＋)2 027＝________． 【答案】＋ 8．(新定义)对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算“※”如下：a※b＝，例如4※3＝＝，求8※12的值． 【答案】－ 挑战创新 9．(2025·惠州月考)请阅读下列材料： 问题：已知x＝＋2，求代数式x2－4x－7的值． 小明根据二次根式的性质：()2＝a，联想到了以下的解题方法： 由x＝＋2，得x－2＝，则(x－2)2＝5，即x2－4x＋4＝5，所以x2－4x＝1．把x2－4x作为整体，得x2－4x－7＝1－7＝－6． 请回答下列问题： (1)已知x＝－3，求代数式x2＋6x＋8的值； (2)已知x＝，求代数式x3＋x2的值． 【答案】(1)2　(2) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　二次根式的除法 1．利用归纳类比的方法得出二次根式的除法法则＝(a≥0，b＞0)和商的算术平方根的性质＝(a≥0，b＞0)． 2．了解二次根式(根号下仅限于数)的除法运算法则，会用它进行简单的运算． 3．了解最简二次根式的概念． 知识点一　二次根式的除法法则 1．＝(a≥0，b＞0)． •练习1　(教材P8例4变式)下列运算正确的是(　C　)． A．÷＝ B．4÷2＝ C．＝ D．÷＝3 知识点二　二次根式的除法法则的逆用 2．＝(a≥0，b＞0)． •练习2　设a>0，b>0，则下列运算错误的是(　B　)． A．＝· B．＝＋ C．()2＝a D．＝ 知识点三　最简二次根式 3．最简二次根式必须满足下列两个条件： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式． •练习3　下列式子中，属于最简二次根式的是(　C　)． A．　 B．　　 C．　 D． 知识点四　二次根式的乘除混合运算 •练习4　计算3÷×的结果为(　C　)． A．3 B．9 C．1 D．3 基础巩固 1．(2025·阳江期末)下列二次根式中，是最简二次根式的是(　A　)． A． B． C． D． 2．设＝a，＝b，用含a，b的代数式表示是________． 【答案】0．3ab 3．化简： (1)＝________； (2)＝________(x＞0，y＞0)． 【答案】(1)　(2) 能力达标 4．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b＝，如：3⊕2＝＝，那么12⊕4＝________． 【答案】 5．(数学文化)幻方是一种中国传统游戏，它是将从1开始的若干个自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如下所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，求A＋B＋C＋D的值． A B 5 5 C 10 D 【答案】3＋3 挑战创新 6．(2025·南沙期末)【阅读理解】二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘一个恰当的二次根式．例如：化简． 解：将分子、分母同乘＋，得＝＝＋． 【拓展延伸】宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形．如图1，已知黄金矩形ABCD的宽AB＝． 　 (1)求黄金矩形ABCD中BC边的长； (2)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论． 【解】(1)由题意，得＝＝， 所以BC＝＝＝． (2)矩形DCEF是黄金矩形．证明略． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　二次根式的除法 1．利用归纳类比的方法得出二次根式的除法法则＝(a≥0，b＞0)和商的算术平方根的性质＝(a≥0，b＞0)． 2．了解二次根式(根号下仅限于数)的除法运算法则，会用它进行简单的运算． 3．了解最简二次根式的概念． 知识点一　二次根式的除法法则 1．＝(a≥0，b＞0)． •练习1　(教材P8例4变式)下列运算正确的是( )． A．÷＝ B．4÷2＝ C．＝ D．÷＝3 知识点二　二次根式的除法法则的逆用 2．＝(a≥0，b＞0)． •练习2　设a>0，b>0，则下列运算错误的是( )． A．＝· B．＝＋ C．()2＝a D．＝ 知识点三　最简二次根式 3．最简二次根式必须满足下列两个条件： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式． •练习3　下列式子中，属于最简二次根式的是( )． A．　 B．　　 C．　 D． 知识点四　二次根式的乘除混合运算 •练习4　计算3÷×的结果为( )． A．3 B．9 C．1 D．3 基础巩固 1．(2025·阳江期末)下列二次根式中，是最简二次根式的是( )． A． B． C． D． 2．设＝a，＝b，用含a，b的代数式表示是________． 3．化简： (1)＝________； (2)＝________(x＞0，y＞0)． 4．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b＝，如：3⊕2＝＝，那么12⊕4＝________． 5．(数学文化)幻方是一种中国传统游戏，它是将从1开始的若干个自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如下所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，求A＋B＋C＋D的值． A B 5 5 C 10 D 6．(2025·南沙期末)【阅读理解】二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘一个恰当的二次根式．例如：化简． 解：将分子、分母同乘＋，得＝＝＋． 【拓展延伸】宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形．如图1，已知黄金矩形ABCD的宽AB＝． 　 (1)求黄金矩形ABCD中BC边的长； (2)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $ 19．2　二次根式的乘法与除法 第1课时　二次根式的乘法 1．了解二次根式(根号下仅限于数)的乘法运算法则，会用它进行简单的运算． 2．理解·＝(a≥0，b≥0)，＝·(a≥0，b≥0)，并运用它们进行计算和化简． 知识点一　二次根式的乘法法则 1．·＝(a≥0，b≥0)． •练习1　(教材P6例1变式)计算： (1)××； (2)××． 2．＝·(a≥0，b≥0)． •练习2　计算或化简： (1)；(2)·； (3)；(4)． 1．(2025·广东)计算×的结果是( )． A．3　 　 B．6 　 　 C． 　 D．2 2．(2025·江门期中)化简的结果是( )． A．100 B．60 C．40 D．20 3．对于任意实数a，下列各式一定成立的是( )． A．＝· B．＝a＋6 C．＝－4 D．＝5a2 4．(2025·惠州期中)若＋＝0，则下列各数中，与的积为有理数的是( )． A． B． C． D． 5．若＝·成立，则x的取值范围为______________________． 6．若一个长方体的长为 cm，宽为3 cm，高为2 cm，则这个长方体的体积是________cm3． 7．计算：(－)2 026(＋)2 027＝________． 8．(新定义)对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算“※”如下：a※b＝，例如4※3＝＝，求8※12的值． 9．(2025·惠州月考)请阅读下列材料： 问题：已知x＝＋2，求代数式x2－4x－7的值． 小明根据二次根式的性质：()2＝a，联想到了以下的解题方法： 由x＝＋2，得x－2＝，则(x－2)2＝5，即x2－4x＋4＝5，所以x2－4x＝1．把x2－4x作为整体，得x2－4x－7＝1－7＝－6． 请回答下列问题： (1)已知x＝－3，求代数式x2＋6x＋8的值； (2)已知x＝，求代数式x3＋x2的值． 学科网（北京）股份有限公司 $