精品解析：2026年黑龙江省（齐齐哈尔、黑河、大兴安岭地区）校联考中考一模数学试题

数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 6的相反数为　　 A. -6 B. 6 C. D. 2. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 6. 一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个白球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的分式方程解为负数，则的值为（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 某中学八年级全体学生525人开展研学活动，现有大、小两种客车可以租赁．已知大客车能容纳49人，小客车能容纳35人，要使每个人都能上车且各辆车刚好坐满，则租车方案有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 9. 如图①，在中，，，．动点P、Q均以的速度从点C同时出发，点P沿折线向点A运动，点Q沿边向点A运动．当点Q运动到点A时，两点都停止运动．的面积S（单位：）与运动时间t（单位：s）的关系如图②所示，则的值为（ ） A. 18 B. 20 C. D. 10. 如图，已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴是，且抛物线与x轴的一个交点坐标是，与y轴的交点坐标是，且．有下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11. 齐齐哈尔市扎龙自然保护区是中国国家级自然保护区，以丹顶鹤等珍稀水禽为主要保护对象，总面积达210000公顷，2024年确定为国家级旅游景区，被誉为“鹤的故乡”．将210000用科学记数法表示为______． 12. 若圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面展开图的面积为_______． 13. 如图，在平行四边形ABCD中，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为______． 14. 已知矩形的边，，折叠矩形，使顶点A落在矩形的一边上的P点，且折痕恰好经过矩形的一个顶点，则______． 15. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则___________． 16. 如图，直线上有一点M，且．过点M作轴于点N，以点O为圆心，为半径作弧交于点，过点作于点；以点为圆心，以为半径作弧交于点，过点作于点……按此规律，则点的坐标是______． 三、解答题（本题共8道大题，共72分） 17. 计算或分解因式： （1）； （2）． 18. x取哪些整数值时，不等式：与都成立？ 19. 解方程：． 20. 根据国家卫生健康委等16个部门联合印发的《“体重管理年”活动实施方案》有关要求，2025年将持续推进“体重管理年”活动．目前，国际上常用身体质量指数（）来衡量胖瘦程度，其计算公式是，数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖； 为肥胖．某单位随机抽取50名员工，测得他们的身高、体重数据，将所得数据进行了整理、描述． 【整理数据】 根据样本的数据分成A，B，C，D四个组进行整理，如下表： 组别 A B C D BMI 人数 8 m n 12 【描述数据】根据数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 【分析数据】 （1）填空：______，______； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是______°； （4）该单位总人数为300人，请估计其中体重偏胖（）的人数是多少？ 21. 中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点．且． （1）求证：是的切线． （2）连接交于点，若，求弧的长． 22. 一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）图中a的值是_______，b的值是_______； （2）在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； （3）直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 23. 综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． 24. 综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图②，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②将直线平移，若直线与第一象限的抛物线和线段（不包括点B和点C）分别交于点M，N，在平移过程中，求出线段长度的取值范围； ③如图③，E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，，则的最小值是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 6的相反数为　　 A. -6 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义进行求解. 【详解】6的相反数为：﹣6．故选A. 【点睛】本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答的关键，绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数. 2. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； C、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D、图形是中心对称图形，符合题意，选项正确； 故选：D． 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法、二次根式的性质、完全平方公式、积的乘方运算，分别计算各选项即可判断正误． 【详解】解：∵，∴A计算正确． ∵，∴B计算错误． ∵，∴C计算错误． ∵，∴D计算错误． 4. 如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∴； 故选：A． 5. 下图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，左视图即为从左面看到的图形，据此即可解答． 【详解】解：它的左视图是． 故选：A． 6. 一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个白球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 【详解】解：∵袋子中共有3个红球、2个白球和1个黄球，所有球除颜色外无其他差别， ∴所有可能出现的结果总数为，摸出白球的可能结果数为2， ∴摸出白球的概率是． 7. 已知关于的分式方程解为负数，则的值为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定的范围． 【详解】解：， 得， 得， 解得：， 根据题意，解， 即， 解得：， 分母， 即， 即， 解得：， ， 故选：A． 8. 某中学八年级全体学生525人开展研学活动，现有大、小两种客车可以租赁．已知大客车能容纳49人，小客车能容纳35人，要使每个人都能上车且各辆车刚好坐满，则租车方案有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出二元一次方程，求方程的非负整数解即可得到租车方案的数量． 【详解】解：设租大客车辆，小客车辆，其中为非负整数， 由题意可得：， 两边同除以整理得：， 变形得：， 是非负整数， 必须是整数且， 由得， 的可能取值为， 对应的分别为，均符合要求， 因此共有种租车方案． 9. 如图①，在中，，，．动点P、Q均以的速度从点C同时出发，点P沿折线向点A运动，点Q沿边向点A运动．当点Q运动到点A时，两点都停止运动．的面积S（单位：）与运动时间t（单位：s）的关系如图②所示，则的值为（ ） A. 18 B. 20 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察图象可知，当时，点与点重合，得到，利用直角三角形的面积公式进行计算，求出的值；根据图象当时，，此时，过点作，根据面积公式求出的长，证明，列出比例式求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：观察图象可知，当时，点与点重合， ∵动点均以的速度从点同时出发， ， ， ， 由图象可知，当时，， 此时， 过点作于点，如图，则：， ， ， ， ， ， ， ∴为的中点， ，即， 则． 10. 如图，已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴是，且抛物线与x轴的一个交点坐标是，与y轴的交点坐标是，且．有下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象结合二次函数的性质，先判断的符号即可判断①；当时，，即可判断②；根据，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则，对称轴为直线，则， ， 又 ∵抛物线与轴交点坐标是，即， ，即， ∴，故①正确； ∴当时，，故②正确； ∵抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线， ∴另一个交点坐标为， ∵在抛物线的图象上， ， 又 ∵， ， ，即， ，即， ， ，即， 当时，取得最大值，最大值为， ∴， ∴，故③正确； ∵， 即， ∵， 对称轴为直线，当时，的值随的增大而减小， 又 ∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，恒成立，即必有两个不相等实根，故④正确； 结论正确的个数有4个． 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11. 齐齐哈尔市扎龙自然保护区是中国国家级自然保护区，以丹顶鹤等珍稀水禽为主要保护对象，总面积达210000公顷，2024年确定为国家级旅游景区，被誉为“鹤的故乡”．将210000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于1，与小数点移动的位数相同； 【详解】解：210000用科学记数法表示为． 12. 若圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面展开图的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据勾股定理求出母线长，再根据侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4， ∴圆锥的母线长为， ∴圆锥侧面展开图的面积为； 故答案为：． 13. 如图，在平行四边形ABCD中，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，根据平行线分线段成比例可得为的中线，然后勾股定理求得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得的长，进而根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：如图，设与的交点为， 根据作图可得，且平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 垂直平分， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 为的中点， 中， ，， ， ， 四边形AECF的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 14. 已知矩形的边，，折叠矩形，使顶点A落在矩形的一边上的P点，且折痕恰好经过矩形的一个顶点，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论是解题的关键．存在两种情况，一是点P在边上，折痕经过点D，交于点F，由矩形的性质得，，由折叠得，由勾股定理求得；二是点P在边上，折痕经过点B，交于点E，由，，，求得，而，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，点P在边上，折痕为经过点D，交于点F， 四边形是矩形，，， ，， 由折叠得， ； 如图2，点P在边上，折痕经过点B，交于点E， ，，， ， ， ， ， 故答案为：或 15. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，直线上有一点M，且．过点M作轴于点N，以点O为圆心，为半径作弧交于点，过点作于点；以点为圆心，以为半径作弧交于点，过点作于点……按此规律，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交轴于点，过点作交于点，过点作交于点，根据题意可得，根据点在直线上，设，根据，得出，求出，则，根据，得出，则，得出，由题意得，以为圆心，，同理得出以为圆心，，以为圆心，，以为圆心，，按此规律即可得以为圆心，，即可求解． 【详解】解：过点作交轴于点，过点作交于点，过点作交于点， ∵以为圆心，为半径作弧交于点，过作于，以为圆心，以为半径作弧交于点；过作于， ， 点在直线上， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， 由题意得，以为圆心时，， 以为圆心时，， 以为圆心时，， 以为圆心时，， ∴以为圆心时，， ∴， ∴的坐标为． 三、解答题（本题共8道大题，共72分） 17. 计算或分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 18. x取哪些整数值时，不等式：与都成立？ 【答案】可取的整数值是，，0，1，2 【解析】 【分析】根据题意列不等式组，求解即可． 【详解】解：根据题意可列不等式组：． 解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以不等式组的解集为． 因此x可取的整数值是，，0，1，2． 19. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， 因式分解，得， 解得，． 20. 根据国家卫生健康委等16个部门联合印发的《“体重管理年”活动实施方案》有关要求，2025年将持续推进“体重管理年”活动．目前，国际上常用身体质量指数（）来衡量胖瘦程度，其计算公式是，数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖； 为肥胖．某单位随机抽取50名员工，测得他们的身高、体重数据，将所得数据进行了整理、描述． 【整理数据】 根据样本的数据分成A，B，C，D四个组进行整理，如下表： 组别 A B C D BMI 人数 8 m n 12 【描述数据】根据数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 【分析数据】 （1）填空：______，______； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是______°； （4）该单位总人数为300人，请估计其中体重偏胖（）的人数是多少？ 【答案】（1）20；10 （2）补全条形统计图如图： （3）72 （4）60人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图信息关联，样本估计总体等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）先由抽取的50名员工乘以的占比即可求解，再由50减去的人数即可求解； （2）根据（1）中求出的数据即可补全条形统计图； （3）由乘以的占比即可求解圆心角； （4）用样本估计总体的方法即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：20；10； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， 故答案为：72； 【小问4详解】 解：（人）， 答：其中体重偏胖（）的人数是60人． 21. 中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点．且． （1）求证：是的切线． （2）连接交于点，若，求弧的长． 【答案】（1） 证明：连接， 在和中，， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）弧的长为． 【解析】 【分析】（1）利用证明，推出，据此即可证明结论成立； （2）设的半径为，在中，利用勾股定理列式计算求得，求得，再求得，利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设的半径为， 在中，，即， 解得， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴弧的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，三角函数的定义，弧长公式．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 22. 一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）图中a的值是_______，b的值是_______； （2）在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； （3）直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 【答案】（1）300，2 （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据货车的图象得到B、C两地的距离为，进而求出的值，求出轿车的速度，求出轿车从开往地所需的时间，进而求出的值； （2）根据轿车比货车晚到达终点，求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）分轿车到达地之前，轿车到达地，货车离地，以及货车到达地时，三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，B、C两地的距离为，A、B两地的距离为， ∴， ∵轿车的速度为：， ∴轿车从开往地所需的时间为：， ∴； 故答案为：300，2； 【小问2详解】 ∵轿车比货车晚到达终点， ∴货车到达地所用时间为：， ∴， ∵货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地， ∴， 设， ∴，解得：， ∴； 【小问3详解】 由（2）可知，货车的速度为：， ∴当轿车到达地之前，，解得：； 当轿车到达地，货车离地时，，则：符合题意； 当货车到达地时，此时轿车离点的距离为：，恰好满足题意，此时； 综上：轿车出发或或时与货车相距40． 23. 综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． 【答案】（1）；； （2）； （3）的值与α无关，理由如下， 如图， 同理可证， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∵O是的垂直平分线与的交点， ∴， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴的值与α无关； （4）． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可； （2）由题意得，推出，，再得到，推出，根据正方形的性质求解即可； （3）同理可证，得到，根据线段垂直平分线的性质求得，再根据余弦函数的定义求解即可； （4）同理可证，，，根据，求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形， ∴，， ∴旋转角为，， 故答案为：；； （2）如图， 根据题意得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）略 （4）同理可证，，， ∴，， ∵， ∴ ， 即． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，正方形和菱形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 24. 综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图②，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②将直线平移，若直线与第一象限的抛物线和线段（不包括点B和点C）分别交于点M，N，在平移过程中，求出线段长度的取值范围； ③如图③，E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，，则的最小值是______． 【答案】（1） （2）①；②；③5 【解析】 【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式； （2）①延长与轴相交于点，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可； ②如图②，过点作轴，交线段于点．由①可知．由平移，得，则，结合轴，得出，则，在中，．设点的横坐标为．则，求出直线的解析式，根据轴，点在线段上，得出．表示出，再根据二次函数的性质即可求解； ③过点作，且，连接，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可； 【小问1详解】 解：∵在二次函数的图象上， 设该二次函数为， ， ． 【小问2详解】 解：①把代入， 得， ， 如图，延长与轴相交于点． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：， 把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为：， ∵点是直线与二次函数的交点， ∴联立解析式， 解得或， ． ②如图②，过点作轴，交线段于点． 由①可知． 由平移，得， ， ∵轴， ， ， ， ∴在中，． 设点的横坐标为． ， 设直线的解析式为． 把点代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． ∵轴，点在线段上， ∴． ∴． ∴当时，有最大值，最大值为． ∴． ∴的最大值为． ∵， ∴． ③如图，过点作，且， 连接， 设交轴为点． ，且， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 当时，最小，即最小， ， ， 此时三点共线且轴， ∴点的坐标为与点重合，满足在线段上． ∴的最小值为5． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $