精品解析：2025年黑龙江省齐齐哈尔市中考一模数学试题　

数学 考生注意： 1．考试时间120分钟． 2．全卷共三道大题，总分120分． 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 把一块含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 有9张背面完全相同的卡片，正面分别写着1，2，3，4，5，6，7，8，9．若将这些卡片背面向上，混合均匀，从中随机抽取1张，则该卡片上的数字是3的整数倍的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. “扎龙湿地芦苇米”富含硒元素，是齐齐哈尔市特色物产．现将160千克芦苇米全部分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱可装20千克，每个小箱可装15千克，大、小箱都要装满，则所装的箱数最多为（ ） A. 8箱 B. 9箱 C. 10箱 D. 11箱 9. 如图1，点 为正方形 中边的中点．动点 从点 出发沿边匀速运动，运动到点 时停止．设点 的运动路程为 ，线段 的长为与 的函数图象如图2所示，则当点 运动到 中点时， 的长为（　　） A. 2 B. 4 C. D. 2 10. 如图，抛物线与 轴交于点，，与 轴的正半轴交于点 ．下列结论：①；②；③若和是关于 的一元二次方程的两根，则；④抛物线上有两点，．若，则 的取值范围是；⑤当是等腰三角形时，符合条件的值有3个．其中正确结论的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每小题3分，满分21分） 11. 齐齐哈尔市龙沙动植物园是东北地区最大的动植物园，国家级旅游景区，占地面积约平方米．将用科学记数法表示为___________． 12. 在函数中，自变量 的取值范围是___________． 13. 已知圆锥的底面半径为 ，母线长为，则其侧面展开图的圆心角为___________度． 14. 如图，已知，以点 为圆心，以适当长为半径作弧，分别与相交于点B，C；分别以点B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点 ，作射线 ．分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线 分别与 ， 相交于点F，Q．若，，则点 到 的距离为__________． 15. 如图，点 在双曲线上，连接 并延长，交双曲线于点 ，点 为 轴上一点，四边形为菱形，若四边形的面积为，则 的值为___________． 16. 如图，正方形 中，，点 为正方形 内部一点，连接 ， ，，且，当为等腰三角形时， 的长为___________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点 在直线上，过点 作轴，垂足为点 ，将绕点 逆时针旋转到的位置，使点 的对应点落在直线 上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线 上，……，按此规律，若点 的坐标为，则点的坐标为___________． 三、解答题（本题共7道大题，共69分） 18. （1）计算： （2）分解因式： 19. 解方程：． 20. 2024年嫦娥六号探测器成功完成了人类历史上首次月球背面采样的壮举，2025年嫦娥七号与嫦娥八号的研制工作也将稳步向前，中国航空航天技术即将开启新的篇章，某校为了普及航空航天知识，对该校2000名学生进行了“航空航天”知识测试，从中随机抽取了部分学生的成绩整理绘制成如下不完整的统计图表： 成绩统计表 组别 成绩x（分） 百分比 A组 B组 C组 D组 E组 根据所给信息，解答下列问题： （1）本次调查的成绩统计表中__________； （2）补全条形统计图； （3）本次抽取的学生成绩的中位数落在__________组（选填A、B、C、D或E）； （4）试估计该校2000名学生中成绩在80分以上（包括80分）的人数． 21. 如图，已知 是 的直径，点在 上，，连接， ，点 是线段 延长线上一点，且，连接并延长交射线于点 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 22. 一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地行驶到 地，甲车出发1小时后乙车从 地出发，沿公路行驶到 地．甲、乙两车匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地，乙车到达目的地后原地休息．甲、乙两车之间的距离与甲车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： （1）A、C两地的距离为___________km，甲车行驶速度为___________km/h，乙车行驶速度为___________km/h； （2）求图中线段所在直线的函数解析式； （3）直接写出乙车出发多少小时，乙车与 地的距离是甲车与 地距离的2倍． 23. 综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题展开数学小组实践活动． 已知矩形纸片 ， ， ，点 ， 分别在边， 上，将矩形纸片沿直线 折叠，点 ， 的对应点分别为，． 如图1，当点落在线段上时，智慧小组提出问题： （1）猜想是__________三角形，请证明你的猜想； （2）当时，求线段的长度； （3）如图2，奋斗小组的同学受到启发，若点落在线段 上， 与交于点 ，通过测量得，连接．则点到边的距离是__________；若点 为线段 上一动点，过点 作于点 ，连接，则的最小值是__________． （4）如图3，希望小组同学继续探究，将矩形纸片沿直线 折叠，使点 的对应点落在边上，连接，交 于点 ，则面积的取值范围是__________． 24. 综合与探究 如图1，已知抛物线与 轴交于两点，与 轴交于点 ，且．点 为直线 上方抛物线上的点，连接 ，交 于点 ，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求点 的坐标； （3）如图2，点是点 关于 轴的对称点，连接，点是上两个动点，且，连接，记的最小值为 ，则 的值是___________；设的面积为，若，则 的取值范围是___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 考生注意： 1．考试时间120分钟． 2．全卷共三道大题，总分120分． 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2， 故选：A． 2. 下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 【详解】解：A．是轴对称图形不中心对称图形，故本选项不符合题意； B．是轴对称图形不中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形不中心对称图形，故本选项不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 下列计算，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同底数幂相乘，完全平方公式，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握以上的运算法则是解题的关键，根据相关性质内容进行逐项分析，即可得到答案． 【详解】解：A、，此项正确； B、，此项错误； C、，此项错误； D、，此项错误， 故选：A． 4. 如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，熟知主视图是从物体的正面看到的视图是解题的关键．按照主视图的定义逐项判断即可． 【详解】解：从正面看该几何体，下面是一个大长方形，上面叠着一个小长方形， 故选：B． 5. 把一块含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，据此求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵ ， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 有9张背面完全相同的卡片，正面分别写着1，2，3，4，5，6，7，8，9．若将这些卡片背面向上，混合均匀，从中随机抽取1张，则该卡片上的数字是3的整数倍的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．卡片上的数字是3的整数倍的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：∵有9张背面完全相同的卡片，正面分别写着1，2，3，4，5，6，7，8，9，其中卡片上的数字是3的整数倍的结果有3种，即3，6，9， ∴从中随机抽取1张，则该卡片上的数字是3的整数倍的概率是， 故选：C． 7. 若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程和一元一次不等式组，先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况即可求出 取值范围 【详解】解：， 去分母得，， 整理得，， 解得，， ∵分式方程的解为正数， ∴且， ∴且， 故选：D 8. “扎龙湿地芦苇米”富含硒元素，是齐齐哈尔市特色物产．现将160千克芦苇米全部分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱可装20千克，每个小箱可装15千克，大、小箱都要装满，则所装的箱数最多为（ ） A. 8箱 B. 9箱 C. 10箱 D. 11箱 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设可以分装x大箱，y小箱，根据需要分装的芦苇米共160千克，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为非负整数，可求出各x，y的值，将其相加后取其最大值，即可得出结论． 【详解】解：设可以分装x大箱，y小箱， 根据题意得：， ∴， 又∵x，y均为非负整数， ∴或或， ∴或9或10， ∴所装的箱数最多为10箱． 故选：C． 9. 如图1，点为正方形 中边的中点．动点从点 出发沿边匀速运动，运动到点 时停止．设点的运动路程为，线段 的长为与的函数图象如图2所示，则当点运动到 中点时， 的长为（　　） A. 2 B. 4 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，正方形的性质，勾股定理的应用，理解题意，确定函数图象上横纵坐标的含义是解本题的关键．结合两个图先求出，此时，即可得出答案． 【详解】解：由图可知，当动点P从点A出发运动到点B处时，运动路程为 ， 则正方形 的边长为4， ， 当点P运动到 中点时，E为边的中点， ， 此时， 故选：D． 10. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴的正半轴交于点 ．下列结论：①；②；③若和是关于的一元二次方程的两根，则；④抛物线上有两点，．若，则的取值范围是；⑤当是等腰三角形时，符合条件的值有3个．其中正确结论的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，明确函数与方程的关系是解题的关键．由抛物线开口方向和对称轴即可判断①；根据抛物线与x轴交于点，且，即可判断②；利用根与系数的关系即可判断③；利用二次函数的对称性和增减性即可判断④；利用勾股定理得到关于a的方程，求得a的值即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴a、b异号， ∵， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴交于点，， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵抛物线与x轴交于点，， ∴和3是方程的两个根， ∴，， ∵和是关于x的一元二次方程的两根， ∴，， ∴，故③正确； ∵抛物线与x轴交于点，， ∴抛物线的对称轴为直线 ， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵抛物线上有两点，，且， ∴点在对称轴的左侧， ∵抛物线开口向下， ∴，故④正确； 当是等腰三角形时，则， ∵， ∴ ， ∴， ∵过， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴， 解得（正值舍去）， ∴当是等腰三角形时，符合条件的a值有1个，故⑤错误． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，满分21分） 11. 齐齐哈尔市龙沙动植物园是东北地区最大的动植物园，国家级旅游景区，占地面积约平方米．将用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表现形式是，其中， 为整数，用科学记数法表示数需要确定和 ，确定 时要看小数点移动的位数，当原数的绝对值， 为正整数；当原数的绝对值， 为负整数；熟练掌握科学记数法的表示方法是解决问题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 在函数中，自变量的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式的分母不等于零，被开方数为非负数列出不等式组计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意， 解得：， 故答案为：． 13. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的圆心角为___________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的侧面积，以及扇形面积，解决本题的关键是掌握圆锥的侧面积公式，以及扇形面积公式．设侧面展开扇形的圆心角的度数为 度，根据“圆锥的侧面积扇形面积”建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设侧面展开扇形的圆心角的度数为 度， 侧面展开扇形的面积为：， 解得， 故答案为：． 14. 如图，已知，以点 为圆心，以适当长为半径作弧，分别与相交于点B，C；分别以点B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线 ．分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线 分别与 ， 相交于点F，Q．若，，则点到 的距离为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了基本作图、角平分线、线段的垂直平分线、解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过作于 ，证明，，再结合三角函数可得答案． 【详解】解：如图，过作于 ， 由作图可得， 平分， 垂直平分 ， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴到的距离为． 故答案为：． 15. 如图，点 在双曲线上，连接 并延长，交双曲线于点，点 为轴上一点，四边形为菱形，若四边形的面积为，则 的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据反比例函数 的几何意义求出，，再根据菱形的性质可得，，从而得到，根据，判定，最后通过相似三角形的性质建立等式求解 的值． 【详解】解：连接 ，交于点，过点作轴于点F，如图所示： 四边形为菱形， 和互相垂直平分， 点 在双曲线上，点在双曲线上， ，， ，， 四边形的面积为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，正方形 中，，点为正方形 内部一点，连接 ， ，，且，当为等腰三角形时， 的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】由已知可得，即得点在以 为直径的圆上，再分，和三种情况解答即可求解， 【详解】解：∵四边形 是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以 为直径的圆上， ∵为等腰三角形， 当时，点为正方形对角线 的中点，如图， ∵ ， ∴； 当时，如图，过点 作于 ，则，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，仅当点和点 重合时， ∵点为正方形 内部一点， ∴此种情况不符合； 综上， 的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，点和圆的关系，圆周角，等腰三角形的定义全等三角形的判定和性质，勾股定理等，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点 在直线上，过点 作轴，垂足为点，将绕点 逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，……，按此规律，若点的坐标为，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标变化规律，解直角三角形等知识，先求出点 的坐标，进而得出的周长，根据所给旋转方式发现点（ 为正整数）都在直线上，依次求出的长度，发现规律即可解决问题，能根据所给旋转方式发现（ 为正整数）长度的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题知，将代入得，， ∴点 的坐标为， ∴， ， 在中，， ∴， 由所给旋转方式可知，点（ 为正整数）在直线上，且在第二象限， ∴， ， ， …， ∴， ∴ 设点的坐标为， 在中，， ∴， ∴，， ∴， 解得：（舍正）， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本题共7道大题，共69分） 18. （1）计算： （2）分解因式： 【答案】（1）18 （2） 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、特殊角度的三角函数值。非零数的零次幂。绝对值的性质，平方差和提公因式法进行因式分解，其中准确运用计算方式是解题的关键． （1）利用负整数指数幂、特殊角度的三角函数值，非零数的零次幂，绝对值的性质解出答案； （2）先提公因式，再用平方差公式分解即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式法，解题的关键是先计算判别式判断方程有两个不同实数根，再代入求根公式求解． 先计算一元二次方程的判别式，判断方程根的情况，再代入求根公式求解． 【详解】解：， ， 解得：． 20. 2024年嫦娥六号探测器成功完成了人类历史上首次月球背面采样的壮举，2025年嫦娥七号与嫦娥八号的研制工作也将稳步向前，中国航空航天技术即将开启新的篇章，某校为了普及航空航天知识，对该校2000名学生进行了“航空航天”知识测试，从中随机抽取了部分学生的成绩整理绘制成如下不完整的统计图表： 成绩统计表 组别 成绩x（分） 百分比 A组 B组 C组 D组 E组 根据所给信息，解答下列问题： （1）本次调查的成绩统计表中__________； （2）补全条形统计图； （3）本次抽取的学生成绩的中位数落在__________组（选填A、B、C、D或E）； （4）试估计该校2000名学生中成绩在80分以上（包括80分）的人数． 【答案】（1）20 （2） 如下图所示：   （3）D （4）1200 【解析】 【分析】本题主要考查了统计表和统计图的综合运用、用样本估计总体等知识，综合运用所学知识并且正确计算是解题的关键． （1）用1减去其余各组人数所占的百分数即可得的值； （2）首先求出C组人数，然后补全条形统计图即可； （3）按照中位数的定义解答即可； （4）用总人数乘以D组和C组人数所占百分比之和即可． 【小问1详解】 解：C组学生人数占比为 ， 所以，． 故答案为：20； 【小问2详解】 本次调查抽取的学生总人数为人， 则C组人数为人， 【小问3详解】 将此次调查成绩按照从小到大的顺序排列，处在第100和101位的学生均在D组， 所以，本次抽取的学生成绩的中位数落在D组． 故答案为：D； 【小问4详解】 （人）， 即估计该校2000名学生中成绩在80分以上（包括80分）的人数为1200人． 21. 如图，已知 是 的直径，点在 上，，连接， ，点是线段 延长线上一点，且，连接并延长交射线 于点． （1）求证： 是 的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为 的半径， ∴ 是 的切线； （2） 【解析】 【分析】（ ）连接，可证，又由垂径定理可得，即得，即可求证； （ ）由切线的性质得，设 半径长为，则，，利用勾股定理可得，，进而由锐角三角函数得，即可得，再根据解答即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ 是 的切线， ∴， ∴， 设 半径长为，则，， ∵， ∴， 解得 ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 过点 作于 ，则，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，垂径定理，切线的判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 22. 一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地行驶到 地，甲车出发1小时后乙车从 地出发，沿公路行驶到地．甲、乙两车匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地，乙车到达目的地后原地休息．甲、乙两车之间的距离与甲车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： （1）A、C两地的距离为___________km，甲车行驶速度为___________km/h，乙车行驶速度为___________km/h； （2）求图中线段所在直线的函数解析式； （3）直接写出乙车出发多少小时，乙车与地的距离是甲车与地距离的2倍． 【答案】（1）； ； （2） （3）小时或小时 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图像、一次函数应用以及一元一次方程的应用，通过函数图像获得所需信息是解题关键． （1）由图像可知，A、C两地的距离为，B、C两地的距离为，再分别确定乙车行驶速度时间和甲车行驶时间，然后根据“速度路程时间”求解即可； （2）首先确定点的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （3）设乙车出发小时，分甲车到达B地前和甲车到达B地后两种情况，分别列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由图像可知，A、C两地的距离为， B、C两地的距离为，则乙车行驶速度为， ∵乙车比甲车早小时到达目的地， ∴甲车行驶总时间为， ∴甲车行驶速度为． 故答案为：420；100；60； 【小问2详解】 由（1）可知，甲车行驶速度为， 则点 的纵坐标为，即， 两车相遇的时间为， ∴， 设线段所在直线的函数解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴线段所在直线的函数解析式为； 【小问3详解】 设乙车出发小时，乙车与B地的距离是甲车与B地距离的2倍， 当甲车到达B地前，可有， 解得， 当甲车到达B地后，可有， 解得， ∴乙车出发小时或小时，乙车与B地的距离是甲车与B地距离的2倍． 23. 综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题展开数学小组实践活动． 已知矩形纸片 ， ， ，点，分别在边 ， 上，将矩形纸片沿直线 折叠，点 ，的对应点分别为，． 如图1，当点落在线段上时，智慧小组提出问题： （1）猜想是__________三角形，请证明你的猜想； （2）当时，求线段的长度； （3）如图2，奋斗小组的同学受到启发，若点落在线段上，与 交于点 ，通过测量得，连接．则点到边的距离是__________；若点为线段 上一动点，过点作于点，连接，则的最小值是__________． （4）如图3，希望小组同学继续探究，将矩形纸片沿直线 折叠，使点的对应点落在边 上，连接，交 于点 ，则面积的取值范围是__________． 【答案】（1）等腰， 理由如下： 四边形 是矩形， ， ， 将矩形纸片沿直线 折叠，点 ，的对应点分别为，，点落在线段上， ， ， ， 是等腰三角形； （2）4 （3）； （4）． 【解析】 【分析】（1）由四边形 是矩形，得到 ，那么，根据折叠，可知 ，那么，从而得出答案； （2）先求出，根据勾股定理，求得，根据折叠可知，最后利用算得答案； （3）先算得，过点 作，过点作，利用勾股定理，求得，再利用面积法求得，不妨设，那么，接着证明，利用对应边成比例求得，接着在中利用勾股定理求得，从而推出和，过点作于 ，交 于 ，接着证明，利用对应边成比例求得答案； （4）先证明四边形是菱形，那么，由， 最小时，最小， 最大时，最大，那么时， 最短，此时，，最小是；当和 重合时，最大，不妨设，那么，有，求得 ，那么最大为：，最大是． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 四边形 是矩形， ， ， ，， ， 将矩形纸片沿直线 折叠，点 ，的对应点分别为，．点落在线段上，， ， ，，，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：；，理由如下： 四边形 是矩形， ， ， ，，，， ， ， ， 过点 作，过点作，如图所示： 不妨设，那么， ， ， 将矩形纸片沿直线 折叠，点 ，的对应点分别为，，点落在线段上， ， ，，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故点到边的距离是； 将矩形纸片沿直线 折叠，点 ，的对应点分别为，，点落在线段上， ， ， ， 过点作于 ，交 于 ，如图所示： 当点与 点重合，点与 点重合时，，此时达到最小，最小值为, ， ， ， ， ， ， 则的最小值是； 故答案为：；； 【小问4详解】 解： 将矩形纸片沿直线 折叠，使点的对应点落在边 上，连接，交 于点 ， ，，， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， 最小时，最小， 最大时，最大， ， 时， 最短， 此时，， 最小是； 当和 重合时，最大， 不妨设，那么， ， ， ， 最大为：， 最大是； ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形于折叠，矩形的性质，平行的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 24. 综合与探究 如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点 ，且．点为直线 上方抛物线上的点，连接，交 于点 ，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求点的坐标； （3）如图2，点是点 关于轴的对称点，连接，点是上两个动点，且，连接，记的最小值为 ，则 的值是___________；设的面积为，若，则 的取值范围是___________． 【答案】（1）抛物线的解析式为： （2）点的坐标为 （3）； 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，相似三角形的判定及性质，轴对称的性质，三角形三边关系的应用，二次函数的图象及性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）令，则，得到，根据，得到，把点，代入抛物线 ，求解即可； （2）过点B作x轴的垂线，交的延长线于点E，易得，得到，求得，得到，采用待定系数法求得直线 的解析式为，解方程组即可得到点P的坐标； （3）作点O关于的对称点，过点作，且，连接，，，得到四边形是平行四边形，从而，即 的值为的长．根据勾股定理求得，连接，交于点H，根据轴对称的性质与 的面积求出，，进而在中，根据勾股定理即可求出的长．采用待定系数法求出直线 解析式为，设点，过点P作轴于点G，交 于点Q，则，，由，得到，代入即可求解． 【小问1详解】 解：对于抛物线 ，令，则， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵抛物线 过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式． 【小问2详解】 解：过点B作x轴的垂线，交的延长线于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设过点的直线 的解析式为， ∴，解得， ∴直线 的解析式为， 解方程组得，， ∴． 【小问3详解】 解：作点O关于的对称点，过点作，且，连接，，， ∵点O与点关于对称， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴的最小值为的长，即 的值为的长． ∵点是点 关于x轴的对称点， ∴， ∴在中，， 连接，交于点H， ∵点O与点关于对称， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴m的值是． 设过点，的直线 解析式为， ∴，解得， ∴直线 解析式为， 设点， 过点P作轴于点G，交 于点Q， 则， ∴， ∴ ， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $