中考规范总复习试卷·数学(7)图形的变化与相似形-【安师联盟】2026年中考数学规范总复习试卷

最新版 中考规范总复习试卷·数学（七） 图形的变化与相似形 注意事项：1.本卷满分150分，答题时间120分钟。 2.答题前，请将密封线内的项目填写清楚。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。每小题都给出代号为 A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。)】 1.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性.下列汉字是轴对称 图形的是 】 器 a中 华 e儿 n女 2.数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何学的研究对象之一，下列坐标系中的数学曲线是 中心对称图形的是 】 米 3.如图，在△ABC中，点D在线段AB上，请添加一条件使△BCD△BAC,则下列条件中 不正确的是 】 A.AC2=AD·AB B.BC2=BD·BA C.∠A=∠BCD D.∠ADC+∠BCA=180 数 E D B 常 第3题图 第4题图 第5题图 4.如图所示是利用图形的位似绘制的一幅“小鱼”图案，其中O为位似中心，且OA=2OD, 若图案中鱼身（△ABC)的面积为S,则鱼尾（△DEF)的面积为 】 A./S 1 B./2S D.i 5.如图，在□ABCD中，点G在BC的延长线上，AG分别交BD,CD于点E,F,则图中相似 三角形共有 【】 赵 A.4对 B.5对 C.6对 D.7对 剂 6.如图，四边形ABCD是一张矩形纸片将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边 上，点A落在点H处，折痕为DE;使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF. 若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD=1,则CD的长为 】 A.√2-1 B.W2+1 C.√5-1 D.5+1 数学总复习试卷（七）第1页 E B D C D B 第6题图 第7题图 第8题图 7.在△ABC中，∠ACB=90°，BC=1,AC=3,将△ABC以点C为中心顺时针旋转90°，得 到△DEC,连接BE,AD.下列说法错误的是 【】 A.S△ABD=6 B.S△ADE=3 C.BE⊥AD D.∠AED=135° 8.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm,D为BC的中点，若动点E以 1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒(0≤t< 4),连接DE,当以B,D,E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为 【】 A.2 B.2.5或3.5 C.2或3.5 D.2或2.5 9.从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割 成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似， 我们把这条线段叫作这个三角形的华丽分割线.如图，AC是△OAB的华丽分割线，OA= 2AB且OC=AC.若点C的坐标为(2,0)，则点A的坐标为 【】 A.(3,1) B.(3,√3) 5√15 2 D.5 C B 第9题图 第10题图 10.题目：“如图，在矩形ABCD中，AB=9,BC=15,P,Q分别是BC,CD上的点.”张老师 要求添加条件后，编制一道题目并解决，甲、乙两人的做法如下.下列判断正确的是 【 】 甲：若CQ=4,则在BC上存在2个点P,使△ABP与△PCQ相似； 乙：若APLPQ,则CQ的最大值为 A.甲对乙错 B.甲错乙对 C.甲、乙都对 D.甲、乙都错 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.点A的坐标为(-2，一1)，点B的坐标为(0，一2)，若将线段AB平移至CD的位置，点 C的坐标为(a,2),点D的坐标为(1，b),则a+b的值为 12.如图，E是平行四边形ABCD的边DA的延长线上的一点，连接CE,交边AB于点P.若 CD=5,则△AEP与△BCP的周长之比为 AP 2 13.清代数学家梅文鼎在《几何通解》中指出：若一直角三角形的股长是勾长的二倍，则这个 数学总复习试卷（七）第2页 直角三角形的勾弦之和等于勾弦之差再加上股，其勾弦之和就被勾弦之差和股分成中末 即黄金分割比52).如图，在Rt△ABC中，∠C=90,AC=4,BC=2,点D在边 AB上，过点D作DE⊥AC于点E,作DF⊥BC于点F.若四边形DECF的周长与 Rt△ABC的周长之比恰好为中末比，则AD的长为 E D D C F B 第12题图 第13题图 第14题图 14.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度 后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE. (1)∠ACB= (2)若AD=2,CD=3,那么BD的长为 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.已Q6c是△ABC的三边，且满足2告_6生3-牛8，a十61c=12,试判断△ABC 3 2 的形状，并说明理由. 16.如图，在方格图中，△ABC的顶点与线段A'C的端点都在小正方形的顶点上，且△A'B'C 与△ABC是关于点O为位似中心的位似图形，点A,C的对应点分别为点A',C'.按下列 要求完成画图，并保留画图痕迹. (1)请在方格图中画出位似中心O; (2)请在方格图中将△A'B'C'补画完整 数学总复习试卷（七）第3页 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(一1,3)，B(一4,4)， C(-2,1). (1)画△ABC关于原点成中心对称的△A1B,C1; (2)把△A1B1C1向上平移4个单位长度，得△A2B2C2,画出△A2B2C2; (3)△ABC和△A2B2C2关于某点成中心对称，直接写出该对称中心的坐标 18.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AE平分∠BAD,交BC于点F,且BF=CF,DC 的延长线交AE于点E,AB=2,AD=5. (1)求证：AB=BF; (2)求S△EFC:S△EAD的值. 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19.在初中物理学中，凸透镜成像是利用光的折射和光的直线传播原理产生成像效果，这与 相似三角形有密切的联系.请耐心阅读以下材料：如图，通过凸透镜光心O的光线AO, 其传播方向不变，平行于主光轴MN的光线AC经凸透镜L折射后与光线AO的交点 为点A',过点A'作主光轴MN的垂线A'B',垂足为B',即可得出物体AB所成的像 A'B',凸透镜的两侧各有一个焦点F和F',焦点到光心的距离称为焦距，记为∫.已知 OB=u,0B=,0F'=f,AB=h1Ag=A,当f<<2f时，求证：+号 ,11 v f 数学总复习试卷（七）第4页 20.如图，在△ABC中，点D在边AC上，点M,N在边BC上，且AB2=AD·AC,∠BAN =∠CAM,AM,AN分别交BD于点E,F. BD BC (1)求证：AE一AN (2)若O为BD的中点，连接ON,且BD2=2BN·BC,求证：ON∥AB. 六、（本题满分12分) 21.(1)如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD=60°，请写出 HD:GC:EB的结果； (2)将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD:GC：EB; (3)把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD:AB=AH:AE=1：2,此时HD: GC:EB的结果与第(2)小题的结果相比有变化吗？如果有变化，请写出变化后的 结果；若无变化，请说明理由 D H G B 图1 图2 图3 七、（本题满分12分) 22.如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵 爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”.如图2，在△ABC 中，∠A=90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,作DE⊥AB交AB的延 长线于点E. C 朱实 朱实黄 b朱实 D 朱实 B 图1 图2 图3 数学总复习试卷（七）第5页 (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是 (2)【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F,若AB=2,AC=6,求 △BDF的面积； BN (3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交BD于点N,则 BC 拼 八、（本题满分14分） 23数学实验能增加学生学习数学的乐趣，还能让学生经历知识“再创造”的过程，更是培养 学生动手能力、创新能力的一种手段.馨馨在学习相似知识中对“直角三角形斜边上作 高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮她解决 B D D 图1 图2 图3 图4 在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD (1)【初步探究】 当 如图2，若∠ACD=∠B,求证：AC2=AD·AB; (2)【尝试应用】 如图3，在(1)的条件下，若点D为AB中点，BC=4,求CD的长； (3)【创新提升】 如图4，点E为CD中点，连接BE,若∠CDB=∠CBD=30°，∠ACD=∠EBD, AC=27,求BE的长 数学总复习试卷（七）第6页最新版 中考规范总复习试卷·数学（七） 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.A2.C3.A4.D5.C6.B7.D8.C9.B10.B 7.解析：.将△ABC以，点C为中心顺时针旋转90°，得到△DEC, ∴.AC=CD=3,BC=CE=1,∠ACD=90°， .AE=2,BD=4,∠ADC=∠CAD=∠CBE=∠CEB=45°，.S△Ann= 2,XBDXAC马 6.Sae=号×AEXCD=-8,∠CBE+ZADC=90,BE LAD,∠AED<Is5. 8.解析：：∠ACB=90°，∠ABC=60°，∠A=30°，.AB=2BC=4cm. 分两种情况：①当∠EDB=∠ACB=90°时，DE∥AC,△EBDU∽△ABC.,D为BC的中 点BD=CD=号BC=1em,E为AB的中点AEBE=号AB=2emf-2: ②当∠DEB=∠ACB=90°时，，∠B=∠B,△DBEC∽△ABC,∴.∠BDE=∠A=30°， BE=BD=cmAE=3.5cm,=3.5综上所速：当以B,D,E为顶点的三角 形与△ABC相似时，t的值为2或3.5. 9.解析：如图，过点C作CP⊥OA于点P .△ACB∽△OAB, .∠CAB=∠AOB .CO=CA, ∴.∠AOC=∠CAO, ∴.∠CAB=∠CAP. .CP⊥OA, .'PO=PA. .OA=2AB, ..AP=AB. 在△CAB和△CAP中， [AP=AB, ∠CAB=∠CAP, AC=AC, ∴.△CAB≌△CAP(SAS), ∴.∠ABC=∠CPA=90°， ∴.∠AOB=∠OAC=∠CAB=30°， ∴BC-2AC=1,AB=5CB=5, .OB=OC+BC=2+1=3, 第34页 点A的坐标为(3，√3) 10.解析：甲：，△ABP与△PCQ相似，∠B=∠C=90°， '.分△ABPp△PCQ与△ABP∽△QCP两种情况求解： ①当△ABP刀△PCQ时，设BP=x,则PC=15-x, ..AB BP PCCQ即15”=解得x=3或x=2 ②当△ABP∽△QCP时，设BP=x,则PC=15-x, ..AB_BP 那程产解得图 综上所述，当CQ=4,在BC上存在3个点P,使△ABP与△PCQ相似，故甲错误； 乙：，AP⊥PQ,∴.∠APQ=90°，.∠APB+∠CPQ=90°. 叉：∠APB+∠BAP=90,∠CPQ=∠BAP,△ABP∽△PCQ,AS-B PCCQ 9 设BP=x,则PC=15-x,即15-xCQ' 15)2,225 .CQ=(15-z)z -x-2)+ 4 9 9 :-(号)≤0当=号时.0Q最大，且C0-空故之正 4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.0解析：：点A的坐标为(-2，一1)，C的坐标为(a,2),点B的坐标为(0，一2)， D(1,b),.线段AB向上平移3个单位，向右平移1个单位至CD, ∴.-2+1=a一2+3=b,解得a71,b=1,a+b=-1+1=0. 2 2 解析：.四边形ABCD为平行四边形，.AD∥BC,AB=CD,.△APE∽△BPC. .AP_AP_2 AP 2 CD一AB=5···Bp=3,·△AEP与△BCP的周长之比三Bp=2. 13.3√5-5解析：由条件可知AB=2√5，∴.CR△Ac=AB+AC+BC=6+2√5. 由题知四边形DECF是矩形，∴.DE∥BC,∴，△AEDp△ACB. 设DE=x,则AE=2x,AD=√5x,则CE=4一2x, ∴.矩形DECF的周长为2×(4-2x十x)=8一2x, Ce卷neg- 8-2x=5-1 解得x=3-√5.∴.AD=√5x=35-5. CR△ABC6+25 2 14.(1)90;…………………………………………………………………2分 (2)22.… …5分 解析：(1)，将△BCD绕点C顺时针旋转得到△ACE, ∴.△BCD≌△ACE,∴.AC=BC. 第35页 又∠ABC=45°，∴.∠ABC=∠BAC=45°，.∠ACB=90°. (2)如图，连接DE, E 由旋转图形的性质可知CD=CE,BD=AE,旋转角∠DCE=90°， ∴.∠EDC=∠CED=45°. CD=3,.CE=3. 在Rt△DCE中，∠DCE=90°， .DE=√CD2+CE=√9+9=3√2. .∠ADC=45°， ∴.∠ADE=∠ADC+∠EDC=90. 在Rt△ADE中，∠ADE=90°， ∴.EA=√AD2+DE=√4+18=√/22， ∴.BD=√22 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.解：△ABC是直角三角形.…………4分 理由如下： 设0十4_6+3c+8 3 2 4 k(k≠0)， 则a=3k-4,b=2k-3,c=4k-8. .a+b+c=12, .3k-4+2k-3+4k-8=12, .k=3, .a=5,b=3,c=4, ∴.b2+c2=32+42=25=a2, ∴.△ABC是直角三角形 8分 16.解：(1)如左下图所示：点O即为位似中心. 4分 (2)补全△A'BC'如右下图所示. 8分 T一一T一■ 第36页 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.解：(1)如图1，△AB1C1即为所求； …3分 (2)如图2，△A2BC2即为所求； 6分 (3).A(一1,3)，A2(1,1),△ABC和△A2B2C2关于某点成中心对称， ∴.对称中心的坐标为 -1+13+1 22 即(0,2). 故答案为(0,2) ……8分 18.(1)证明：，AE平分∠BAD, ∴.∠BAF=∠DAF .BC∥AD, .∠DAF=∠AFB, .∠BAF=∠AFB, AB=BF.… …………4分 (2)解：.CF=BF,AB=BF,AB=2, .CF=2 ,BC∥AD, .△EFCp△EAD, S△EFC ”S△EAD 8分 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.证明：.A'B'⊥MN,AB⊥MN, ∴.AB'∥AB, .△AOB△A'OB', 第37页 .: OB AB'OB' .……………4分 h,v 同理可得△COF∽△A'BF,…5分 品限 h:-f 0o-f ∴.uw-uf=vf, .111 。 f v u 即1+1- uf ………………10分 20.证明：DAB=AD·AC.A-A ……1分 .∠BAC是公共角，△ABDC∽△ACB,…2分 是-8B∠ABD=/ACB.3分 ..AB_BD .∠BAN=∠CAM,∴.∠BAM=∠CAN,.△BAE△CAN, :.AB-AE,.BD_AE BD BC “ACAN…CBAN’…AEAN …5分 (2).BD2=2BN·BC,O为BD中点， .2BO·BD=2BN·BC,即BO·BD=BN·BC.…6分 .∠OBN是公共角， .△BON△BCD,∴.∠BON=∠C.…7分 ,△ABDの△ACB,∠ABD=∠C,…8分 ∴.∠BON=∠ABD,.ON∥AB.…10分 六、（本题满分12分) 21.解：(1)如图1，连接AG, ,菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD=60°， .∠GAE=∠CAB=30°，AE=AH,AB=AD, D N ∴.A,G,C共线，AB-AE=AD-AH, ..HD=EB. H M 延长HG交BC于点M,延长EG交DC于点N,连接MN,交GC A E B 于点O,则四边形GMCN也为菱形， 图1 ∴.GC⊥MN,∠NGO=∠AGE=30°， ÷0s如- 2 第38页 .GC=20G, .GN 1 ·GC5 ,HGND为平行四边形， ∴.HD=GN, ∴.HD:GC:EB=1:√3：l. ………4分 (2)如图2，连接AG,AC ,'△ADC和△AHG都是等腰三角形， D ∴.AD:AC=AH:AG=1:W3,∠DAC=∠HAG=30°， .∠DAH=∠CAG, ∴.△DAH∽△CAG, 图2 ∴.HD:GC=AD:AC=1:3. .∠DAB=∠HAE=60°， .∠DAH=∠BAE. 在△DAH和△BAE中， [AD=AB, ∠DAH=∠BAE, AH=AE, ∴.△DAH≌△BAE(SAS), .HD=EB, ∴.HD:GC:EB=1:3:1. ……8分 (3)有变化. 如图3，连接AG,AC .AD:AB=AH:AE=1:2,∠ADC=∠AHG=90°， ∴.△ADCp△AHG, H ∴.AD:AC=AH:AG=1:W5 .∠DAC=∠HAG, 图3 ∴.∠DAH=∠CAG, .△DAHp△CAG, ..HD:GC=AD:AC=1:5. .∠DAB=∠HAE=90°， .∠DAH=∠BAE .DA AB=HA:AE=1:2, .△ADH∽△ABE, ..DH:BE=AD:AB=1:2, .HD:GC:EB=1:√5：2.…12分 第39页 七、（本题满分12分) 22.解：(1)，线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD, ∴.BC=BD,∠CBD=90°， ∴.∠BCA=∠DBE=90°-∠ABC. .∠A=∠E=90°， .△ABC≌△EDB(AAS), .'.AB=DE. 故答案为AB=DE.………4分 (2)由(1)知△ABC≌△EDB(AAS), ∴.DE=AB,BE=AC. ,AB=2,AC=6, ∴.DE=2,BE=6, ..AE=AB+BE=8. ,∠DEB+∠A=180°， ∴.DE∥AC, ∴.△DEF△CAF, 距即哈e 2 EF .EF=4, .∴.BF=BE+EF=10, 1 ∴.SANDF-=2BF·DE=10. …8分 (3)方法一：如图1，以AE所在直线为x轴，以AC所在直线为y轴建立直角坐标系. AC=6,AE=8,DE=2,AB=2, 可得C(0,6),B(2,0),E(8,0),D(8,2). 设直线BD的解析式为：y=kx十b,将B、D两点坐标代人得， 0=2k+b, k=I 解得 2=8k+b. 图1 b=一3 “直线BD的解析式为y= 12 3- 3 同理可求得直线CE的解析式为y= 3 4x+6 令2 3 80 37- 3 +6,解得x=13 y-8 即v 8018 13'13 第40页 利用两点距离公式可得BV=18O 13 .BC=√AB2+AC7=2√10， 器器 方法二：如图2，过N作NM⊥AE于点M. 由△MNAC得，袋-N-, 681 EM-MN. n MN 6- MN MN BM 3 B M E 由△BMN∽△BED得 EDBE,即 2 6, 图2 18 解得MN= 131 BN MN 9 由△BMN∽△CAB得，BC=AB-13 故答案为3 12分 八、（本题满分14分） 23.(1)证明：，∠A=∠A,∠ACD=∠B, AACD△ABC,ACAG ∴AC2=AD·AB.……… …4分 (2)解：设AD=m. 点D为AB中点， .'.AD=BD=m,AB=2m. 由(1)得△ACD∽△ABC, ..CD_AD_AC “BC-ACAB' ∴.AC2=AD·AB=m×2m=2m2, ∴.AC=√2m或AC=一√2m(不符合题意，舍去)， 设--号 2m 2 BC=4, co-等c X4=22, CD的长是2√2.… …8分 (3)解：如图4，作BF⊥DC交DC的延长线于点F,则∠F=90°. 第41页 ,点E为CD中点， ∴.CE=DE B 设CE=DE=n. 图4 .∠CDB=∠CBD=30°， ∴.CB=CD=2n,∠BCF=∠CDB+∠CBD=60°， .∠FBC=90°-∠BCF=30°， .CF=CB=n, ∴.EF=CE+CF=2n,BF=√CB-CF7=√(2m)-n2=3n, .BD=2BF=23n,BE=√EF2+BF=√(2n)2+(√3n)2=√7n. 作CH∥EB交AB的延长线于点H,则△HDC∽△BDE,C 能0品 =2, .HC=2BE=27n,HD=2BD=43n. ,∠ACD=∠EBD,∠H=∠EBD, ∴.∠ACD=∠H. .∠A=∠A, ∴.△ACD∽△AHC, 00局 2n1_7 7 .AC=27, AD-TAC-X27-2.AH=/7AC-7X27-14 ∴.HD=AH-AD=14-2=12, ∴.4√3n=12, 解得n=√3， .BE=√21， .BE的长是/21.……14分 第42页