中考规范总复习试卷·数学(6)勾股定理与解直角三角形-【安师联盟】2026年中考数学规范总复习试卷

最新版 中考规范总复习试卷·数学（六） 勾股定理与解直角三角形 注意事项：1.本卷满分150分，答题时间120分钟。 2答题前，请将密封线内的项目填写清楚。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。每小题都给出代号为 A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。) 1.sin55°、cos55°、tan55°的大小关系是 】 器 A.tan55°<cos55°<sin55 B.cos55°<tan55°sin55 C.sin55°<cos55°<tan55 D.cos55°<sin55°<tan55 2.满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是 【】 A.∠A:∠B：∠C=3:4：5 B.a=1,b=3,c=√10 C.∠A=∠B-∠C D.(b十c)(b-c)=a2 铷 3.在△ABC中，A,B都是锐角，sinA= 2,tanB=√3，下列说法正确的是 A.∠A=30° B.∠B=30 C.△ABC是等边三角形 D.△ABC是直角三角形 4.“赵爽弦图”是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而构造的精妙图形，它最早用严谨的 “数形结合”方法，直观揭示了直角三角形三边的数量关系，展现了中华民族的数学智慧， 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD,中间阴影部分是一个小正方形 EFGH,这样就组成一个“赵爽弦图”.若AB=10,AE=8,则正方形EFGH的面积为 A.4 B.8 C.12 D.16 甲树 乙树 B cm 4 cm p 第4题图 第5题图 第6题图 第7题图 5.由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断.如图，其树顶端恰好落在另一棵树乙 的根部C处.已知AB=4m,BC=13m,两棵树的水平距离为12m,则这棵树原来的高 度是 【】 A.15m B.16m C.18m D.19m 赵 6.如图，在□ABCD中，AB=8,以点D为圆心作弧，交AB于点M,N,分别以点M,N为 剂 圆心，大于2MN为半径作弧，两弧交于点F,作直线DF交AB于点E,连接CE,若 ∠BCE=∠DCE,DE=4,则四边形BCDE的周长是 【】 A.22 B.21 C.20 D.18 7.如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4 数学总复习试卷（六）第1页 个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 【】 A.13 cm B.12 cm C.10 cm D.8 cm 8.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重 合，折痕为DE,则tan∠CBE的值是 【】 24 1 B. 3 C.7A 03 仰角15° 摄像头A 水平线 俯角15° 77777777777 9mW月 第8题图 第9题图 9.如图是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），如 图为其示意图，摄像头A的仰角、俯角均为15°，高度OA为160cm.人笔直站在离摄像头 水平距离100cm的点B处，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过 【1 (参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27) A.186 cm B.187 cm C.197 cm D.217 cm 10.在口ABCD中，∠ABC是锐角，将CD沿直线l翻折至AB所在直线，对应点分别为C', D',若AC':AB:BC=1:3:7,则cos∠ABC= 【】 号 B号 c 号 2 D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.若等腰直角三角形的斜边的长为2√2，则直角边长是 12.在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？ 它的意思是：一根竹子原高一丈(10尺)，中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问 折断处离地面 尺 M 图1 图2 B D E C 第12题图 第13题图 第14题图 13.桔槔(gā0)俗称“吊杆”“称杆”，如图1所示，是我国古代农用工具，桔槔始见于《墨子· 备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械.图2是桔槔的示意图，OM是垂直于水平地 面的支撑杆，AB是杠杆，OM=OA=3m.当点A位于最高点时，∠BOM=53°.则点A 位于最高点时到地面的距离约为 m.（结果精确到0.1m,参考数据：sin53°≈ 0.80,cos53°≈0.60，tan53°≈1.33) 14.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D,E是BC上的动点，已知∠DAE=45°， AB=12√2. (1)BC= 数学总复习试卷（六）第2页 (2)若BD：CE=3:4,则DE= 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）】 15.在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A,B,C三点均在正方形格点上. (1)求证：∠BAC=90°； (2)若AD是△ABC的高，求AD的长 D 4 6.如图，在△ABC中，点D是BC边上的点，BC=I,AD=BD,tanB三，tanC 21 求：(1)AB的长； (2)cos∠ADB的值. 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）】 17.如果正整数a,b,c满足等式a2+b2=c2,那么正整数a,b,c叫作勾股数.小明根据自己 探究勾股数的过程，列成下表： (1)小明发现：3=22一1,4=2×2,5=22+1，请你根据小明发现的规律写出下一组勾股 数： (2)若b用2n(n为整数，且n≥2)表示，那么a,c用含n的代数式分别表示为 和 ,请用所学知识说明它们是一组勾股数 a bc 345 8610 15817 数学总复习试卷（六）第3页 18.为增强手机的安全性，夕夕设置了手势密码图.如图1，两个相邻（上下或左右）密码点间 的距离均为2cm,手指沿A→B→C→D→E→A顺序解锁。 (1)求按此解锁一次的路径长； (2)请你在图2中设计一种手势密码，使解锁一次的路径长为(8十4√2)cm. ● E 1● 图1 图2 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.如图1，这是一种折叠椅，忽略支架等的宽度，得到其侧面简化结构图（图2），支架与坐板 均用线段表示.若座板DF平行于地面MN,前支撑架AB与后支撑架AC分别与座板 DF交于点E,D,现测得AB=AC=70cm,DE=18cm,AD=20cm,AP=16cm.(参 考数据：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96) (1)求椅子的展角∠BAC的度数； (2)求点P到地面的距离.（计算结果精确到0.1cm) M 图1 图2 20北斗卫星导航系统是中国自行研制的卫星导航系统，其由空间段，地面段和用户段三部 分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时 服务.如图，子晗一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45 方向行驶4km至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C,小敏发现风景 区C在A地的北偏东15°方向. 北 (1)求∠C的度数； C (2)求A,C两地的距离（如果运算结果有根号，请保留根号）. 60° 159 45o 数学总复习试卷（六）第4页 六、（本题满分12分) 21.森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用 飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB,由点A飞向点B,点 C为其中一个着火点，且点C与点A,B的距离分别为600m和800m,AB=1000m. 已知以飞机为中心周围500m以内都会受到洒水影响. (1)着火点C受洒水影响吗？为什么？ (2)若飞机的飞行速度为10m/s,要想扑灭着火点C估计需要13s,请你通过计算判断 着火点C能否被扑灭. 桃 七、（本题满分12分) 22.如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD=6m,∠DCE=30°，点E,C,A在同 一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处 测得塔顶部B的仰角为27°. (1)求DE的长； (2)求塔AB的高度.（参考数据：tan27°≈0.5,3≈1.7，计算结果取整数） B D27 h30人459 H C A 数学总复习试卷（六）第5页 八、（本题满分14分) 23.综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动. 【特例探究】 (1)如图1,2,3是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰 之积. 60°60 945 D 拼 图1 图2 图3 图4 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线AD的长 ∠BAD的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图1 1 60° 2 4 4 图2 1 45° √2 2√2 2 图3 1 30° 请补全表格中的数据，并完成以下猜想， 已知△ABC的角平分线AD=1,AB=AC,∠BAD=a,请用含a的等式写出两腰之 和AB十AC与两腰之积AB·AC之间的数量关系： 【变式思考】 (2)已知△ABC的角平分线AD=1,∠BAC=60°，用等式写出两边之和AB+AC与两 边之积AB·AC之间的数量关系，并证明； 【拓展运用】 (3)如图4，在△ABC中，AB=AC=1,点D在边AC上，BD=BC=AD.以点C为圆 心，CD长为半径作弧与线段BD相交于点E,过点E作任意直线与边AB,BC分别 交于M,N两点请补全图形，并分析7十N的值是否变化？ 数学总复习试卷（六）第6页最新版 中芳规范总复习试卷·数学（六） 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）】 1.D2.A3.C4.A5.D6.A7.A8.C9.B10.D 3解析：simA二3∠A=60.又51amB=3,.∠B=60,乙A=∠B=∠C=60 .∠C=180°-60°-60°=60°. 4.解析：由题意知，在正方形ABCD中， Rt△ABE≌Rt△CDG≌Rt△DAH≌Rt△BCF. :AB=10,AE=8,.BE=√AB-AE=10-8=6.个 BF=AE=8, ∴.正方形EFGH的边长EF=BF一BE=8-6=2, ∴.正方形EFGH的面积=EF2=4. 8.解析：根据题意，BE=AE.设CE=x,则BE=AE=8-x. 在Rt△BCE中，根据勾股定理得：BE2=BC2十CE,即(8一x)2=62+x2, 7 家择-子/0w5-8器-号 9.解析：过点B作BC⊥AF,垂足为C,延长BC交AD于点E, :∠AOB=∠OBC=∠ACB=90°， 仰角15°E一D .'.OA=BC=160 cm,AC=OB=100 cm. 摄像头A 水平线 ,∠EAC=15°，∴.EC=AC·tan15°≈100×0.27=27(cm), 俯角15° .EB=EC+CB=27+160=187(cm),∴.不能超过187cm. 10.解析：当点C'在AB之间时，如图1. 7777777777777777 根据AC：AB:BC=1:3:7,不妨设AC=1,AB=3,BC=7, 由翻折的性质知：∠FCD=∠FC'D' ,CD沿直线l翻折至AB所在直线， ∴.∠BC'F+∠FC'D'=∠FCD+∠FBA, .∠BC'F=∠FBA, 7 图 ..CF=BF=C'F= 2 过点F作AB的垂线交于点E,如图1. 1 BE=2BC'=1, ·CoS∠ABC BE=1=2 BF 77 2 当点C'在BA的延长线上时，如图2. 根据AC′：AB:BC=1:3:7,不妨设AC'=1,AB=3,BC=7, 图2 第26页 同理得CF=BF=C'F=?. 过点F作AB的垂线交于点E, nC2. BE 2 4 ∴.cos∠ABC= BF=7=7 2 数袋案方号宁 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.2 12.4.55解析：设折断处离地面x尺，根据题意可得：x2+32=(10一x)2, 解得x=4.55. 13.4.8解析：如图2，过A点作AC⊥MN于点C,过O点作OD⊥AC于点D. C M 图2 ,AC∥OM,∠BOM=53°，.∠A=∠BOM=53°. .在Rt△ADO中，∠ADO=90°，AO=3m, ∴.AD=AO·cos∠A=3×cos53°≈1.8(m). .四边形ODCM为矩形，.DC=OM=3m, ∴.AC=AD+DC=1.8+3=4.8(m), 即，点A位于最高，点时到地面的距离为4.8m. 14.(1)24. 2分 (2)10. ………5分 解析：(1).在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=12√2， ∴.BC=WAB2+AC7=24. (2)如图所示，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF, 连接EF,设BD=3x,CE=4x. .∠BAC=90°，.∠B+∠ACB=90 由旋转的性质得到CF=BD=3.x,∠ACF=∠B, ∠DAF=90°，AD=AF, .∠ECF=∠ACB+∠ACF=∠B+∠ACB=90°， ∴.EF=√CE+CFz=5x. ,∠DAE=45°， .∠FAE=∠DAF-∠DAE=45°=∠DAE. 第27页 [AE-AE, 在△DAE和△FAE中，∠FAE=∠DAE, AF=AD, ∴.△DAE≌△FAE(SAS),.DE=FE=5x. .BC=BD+DE+CE=24, .3x+4x+5x=24,∴.x=2, .DE=5.x=5×2=10. 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.(1)证明：，AB2=22+42=4+16=20, AC2=22+12=4+1=5, BC2=32+42=9+16=25. .'.BC2=AB2+AC2, ∠BAC=90°.………4分 (2)解：Sac=ABXAC=-3×√20X5=5. 1 .同一三角形面积相等， ∴.S△BAC= 2BC·AD= -2X5XAD-5, ..AD= 5×2 =2.…8分 16.解：(1)如图，过点A作AE⊥BC,垂足为E, ED 在Rt△ABE中，tanB=3 设AE=4x,则BE=3x,AB=√JAE2+BE=5x. 在aAC中nC-号能， ∴.EC=2AE=8x. .BC=BE+EC=3x+8x=11, .x=1, AB=5x=5X1=5.…………………4分 (2)设DE=b,则BD=3+b=AD 在Rt△ADE中，由勾股定理得， DE2+AE2-AD2, 即b2+42=(3+b)2, 年得6~日即DE- 第28页 AD=6+3=25 , DE 7 .cos∠ADB=AD-25 8分 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）】 17.解：(1).第一行：3=22-1,4=2×2,5=22+1， 第二行：8=32-1,6=2×3,10=32+1， 第三行：15=42-1,8=2×4,17=42+1， .第四行：52-1=24,2×5=10,52+1=26， 即下一组勾股数是：24,10,26. 故答案为24,10,26.…1分 (2).b=2n, a=n2-1,c=n2+1.…5分 .a2=(n2-1)2=n-2n2+1,b2=(2n)2=4n2,c2=(n2+1)2=n4+2n2+1, ∴.a2+b2=c8, ∴.a=n2-1,b=2n,c=n2+1是一组勾股数， 故答案为n2一1，n2+1. ……… 8分 18.解：(1)如图1，连接AC， 在Rt△ABC和Rt△ADE中， BC=√AB+AC=√4+2=25， AE=√AD2+DE=√4+2=25， 按此解锁一次的路径长为： AB+BC+CD+DE+AE=4十2√5+2+2+25=8+4W5.…5分 (2)如图2，答案不唯一 图1 图2 …8分 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.解：(1)如图1，过点A作AG⊥MN于点G DF∥MN, ∴.△ADE△ACB, 能A6即器器 1820’ 解得BC=63. .AB=AC=70cm,AG⊥MN, ·BG= Bc63 2 F2cm,∠ABC=∠ACB. 第29页 P 在 Rt△ABG 中 $$， \cos \angle A B G = \frac { B G } { A B } = \frac { 9 } { 2 0 } = 0 . 4 5 ，$$ A $$\therefore \angle A B C \approx 6 3 ^ { \circ } ，$$ F E D $$\therefore \angle B A C = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle A B C - \angle A C B = 1 8 0 ^ { \circ } - 2 \angle A B C \approx 5 4 ^ { \circ } ，$$ ^{∘}. ....................................................................... 5分 M M B G C N (2)如图2，过点P作 PQ⊥MN 于点Q. 图1 ∵AB=70cm，AP=16cm， ∴BP=AB+AP=70+16=86(cm). $$P _ { A }$$ $$\because \angle A B C \approx 6 3 ^ { \circ } ，$$ A F E $$\therefore \sin \angle A B C = \frac { P Q } { B P } \approx \sin 6 3 ^ { \circ } ，$$ D $$\therefore P Q \approx B P \cdot \sin 6 3 ^ { \circ } \approx 8 6 \times 0 . 8 9 \approx 7 6 . 5 \left( c m \right) .$$ M B Q C N 答：点P到地面的距离约为 76.5cm. ......................... 10分 图2 20.解：(1)由题意得 $$\angle A = 4 5 ^ { \circ } + 1 5 ^ { \circ } = 6 0 ^ { \circ } ， \angle B = 4 5 ^ { \circ } + 3 0 ^ { \circ } = 7 5 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle C = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle A - \angle B = 4 5 ^ { \circ } .$$ ............. ............................... 4分 (2)过点 B 作 BD⊥AC 于点 ， $$\therefore \angle B D A = \angle B D C = 9 0 ^ { \circ } .$$ 北 $$\because \angle B A D = 6 0 ^ { \circ } ， \therefore \angle A B D = 3 0 ^ { \circ } ，$$ c $$\therefore A D = \frac { 1 } { 2 } A B = 2 k m .$$ n、 ............................... 6分 $$6 0 ^ { \circ }$$ Rt△ABD 中 $$， \cos 3 0 ^ { \circ } = \frac { B D } { A B } = \frac { B D } { 4 } = \frac { \sqrt 3 } { 2 } ，$$ B ⋯ 解得 $$B D = 2 \sqrt 3 .$$ ..............................................… 8分 D 15 $$\because \angle C = 4 5 ^ { \circ } ，$$ $$4 5 ^ { \circ }$$ 。 $$\therefore C D = B D = 2 \sqrt 3 k m ，$$ $$\overrightarrow { A }$$ $$\therefore A C = A D + C D = \left( 2 + 2 \sqrt 3 \right) k m .$$ 答：A，C两地的距离为 $$\left( 2 + 2 \sqrt 3 \right) k m .$$ ........................................................ 10分 六、(本题满分12分) 21.解：(1)着火点C受洒水影响. 理由：如图，过点C作 CD⊥AB 于点D. ^{∘} C 由题意知 AC=600m，BC=800m，AB=1000m. $$\because A C ^ { 2 } + B C ^ { 2 } = 6 0 0 ^ { 2 } + 8 0 0 ^ { 2 } = 1 0 0 0 ^ { 2 } ， A B ^ { 2 } = 1 0 0 0 ^ { 2 } ，$$ A EDF B $$\therefore A C ^ { 2 } + B C ^ { 2 } = A B ^ { 2 } ，$$ ∴△ABC 是直角三角形， $$\therefore S _ { \triangle A B C } = \frac { 1 } { 2 } A C \cdot B C = \frac { 1 } { 2 } C D \cdot A B ，$$ $$\therefore C D = \frac { A C \cdot B C } { A B } = \frac { 6 0 0 \times 8 0 0 } { 1 0 0 0 } = 4 8 0 \left( m \right) .$$ ∵飞机中心周围500 m以内都会受到洒水影响， 第30页 着火点C受洒水影响.…6分 (2)当EC=FC=500m时，飞机正好能喷到着火点C. .CD⊥AB, ED-2EF. 在Rt△CDE中，ED=√WEC2-CD7=√5002-480=140(m), ∴.EF=280m ,飞机的速度为10m/s, ∴.280÷10=28(s). .28s>13s, .着火点C能被扑灭 答：着火点C能被扑灭. ……12分 七、（本题满分12分) 22.解：(1)由题意得DE⊥EC, 在Rt△DEC中，CD=6m,∠DCE=30°， DE=号CD=3(m∴DE的长为3m 3分 (2)由题意得BA⊥EA, 在Rt△DEC中，DE=3m,∠DCE=30°， ∴.CE=√3DE=3√3(m).… …5分 在Rt△ABC中，设AB=hm, ∠BCA=45°，.AC= AB =h(m), tan45° ∴.AE=EC+AC=(3√3+h)m, ∴.线段EA的长为(3√3十h)m.… …7分 过点D作DF⊥AB,垂足为F, D27.9 30人45 H E A 由题意得DF=EA=(3√3+h)m,DE=FA=3m. AB=hm,.BF=AB-AF=(h-3)m.…9分 在Rt△BDF中，.∠BDF=27°， ∴.BF=DF·tan27≈0.5(3√3+h)m, 10分 .h-3=0.5(3√3+h), 解得h=3√3+6≈11， 第31页 .AB=11m. 答：塔AB的高度约为11m. …12分 八、（本题满分14分） 23.解：(1)如图1， .AB=AC,AD平分∠BAC, .AD⊥BC AD 23 D 在Rt△ABD中，AB= cos∠BAD cos30° 3 图1 ∴.AC=AB= 23 3. 两暖之和为AB+AC=1,两腰之积为D:AC-25后4 3 3 3 故答紧为1号 …3分 如图2， .AB=AC,AD平分∠BAC, .AD⊥BC 在Rt△ABD中，AB= AD 1 D cos∠BAD cos a 图2 ..AB+AC= 2,AB·AC=。 1 cos a cos'a .AB+AC=2√AB·AC. 故答案为AB十AC=2√AB·AC.…5分 (2)AB+AC=√3AB·AC. 证明：如图3，过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,过点C 作CG⊥AB于点G, G309 则DE=AD·sin∠BAD=1Xsin30°- 2 ·AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,DF=DE= B D 2 图3 在R1△ACG中，CG=AC·sin∠BAC=AC·sin60°=5 AC. :S△ABC=S△ABD十S△ACD, 1 1 √3AB·AC=AB+AC.… …10分 (3)补全图形如图4所示， A 设∠A=a, .BD=AD,∴.∠ABD=∠A=a, M ∴.∠BDC=∠ABD+∠A=2a. .BD=BC,.∠BCD=∠BDC=2a. E .AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB=2a. HN C 第32页 图4 .∠A+∠ABC+∠ACB=180°， .a+2a+2a=180°，解得：a=36°， ∴.∠A=∠ABD=∠CBD=36°. 如图4，过点E作EF⊥AB于点F,EH⊥BC于点H,过点N作NG⊥AB于点G. .'S△BMN=S△BEM+S△BEN, 2BM·NG-BM,EF+2BN·EH. .'∠ABD=∠CBD,EF⊥AB,EH⊥BC,∴.EF=EH, .BM·BN·sin72°=(BM+BN)·EH, :sin72°_BM+BN1 H-BM·BN=BM+BN EH E=sin∠CBD=sin36°， .EH=BE·sin36°， MB B 3 1 sin 72 ,BE为定长，sin36°和sin72°为定值， sin 72 BEn3为定值，即成十六为定值，分 第33页