第16章　二次根式 习题 2025-2026学年沪科版八年级数学下册

第2课时　 二次根式的除法 Ⅰ 目 录 CONTENTS 固本夯基 1 综合运用 2 拓广探索 3 知识点一：二次根式的除法 1．下列计算正确的是( ) A.÷＝ B. C.÷＝ D.÷5＝ 2．若×＝6，则a＝ . B 12 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 3．计算： (1)÷；　　　 (2)÷； (3)； (4)÷. 解：原式＝. 解：原式＝. 解：原式＝. 解：原式＝8. 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 知识点二：商的算术平方根的性质 4．化简的结果为 ( ) A. B. C. D. C 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 5．若＝ 成立，则x的取值范围为( ) A．x≥0 B．x≥0 或x<1 C．x<1 D．0≤x<1 D 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 6．化简： (1)＝＝ ； (2)＝＝ ＝ . 9 16 25 4 9 4 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 7．化简： (1)； (2)； (3)； (4)(x>0)． 解：原式＝. 解：原式＝. 解：原式＝. 解：原式＝. 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 知识点三：分母有理化 8．分母有理化： (1)＝ ；(2) ＝ . 知识点四：最简二次根式 9．下列式子中，为最简二次根式的是( ) A. B. C. D. B 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 10．把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2). 解：＝ ＝× ＝4. 解：＝＝ ＝. 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 知识点五：比较二次根式的大小 11．比较大小(用“>”“<”或“＝”填空)． (1)3 2； (2)5 6. > < 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 12．已知ab>0，a＋b<0，有下列各式：①＝；②·＝1；③÷＝－b.其中正确的是( ) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ B 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 13．(河北中考)若a＝，b＝，则的值为( ) A．2 B．4 C. D. 14．比较大小(用“>”“<”或“＝”填空)． (1)－3 －2； (2) . A < > 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 15．下列二次根式中，哪些是最简二次根式？把不是最简二次根式的化成最简二次根式． (1) ； (2)； (3)； (4)(a>－2)． 解：(2)是最简二次根式． (1)原式＝. (3)原式＝4. (4)原式＝＝(a＋2). 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 16．计算： (1) ； (2)3×÷2； (3). 解：原式＝ ＝. 解：原式＝÷2 ＝. 解：原式＝×× ＝× ＝. 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 17．【注重学习过程】阅读下面的解题过程，根据要求回答下列问题． 化简：(b<a<0)． 解：原式＝ ① ＝② ＝a·③ ＝.④ 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 (1)上述解答过程从哪一步开始出现错误？ 答： (填对应序号)； (2)错误的原因是什么？ ② 解：(2)化简时未考虑b－a的符号． 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 (3)请你写出正确的解题过程． (3)∵b<a，∴b－a<0. ∴＝a－b. 原式＝＝·(a－b) ＝－a·(-) ＝. 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 $第16章　二次根式 16．1　二次根式及其性质 Ⅰ 目 录 CONTENTS 固本夯基 1 综合运用 2 拓广探索 3 知识点一：二次根式的概念及有意义的条件 1．下列各式中是二次根式的是 （ ） A. B. C. D. A 固本夯基 综合运用 拓广探索 2．小红说：“因为4的算术平方根为2，即＝2，所以不是二次根式．”则她的说法对吗？ (选填“对”或“不对”)． 3．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 . 4．若 意义，则x的取值范围是 . 不对 x≥－1 x>2 固本夯基 综合运用 拓广探索 知识点二：()2＝a(a≥0) 5．式子()2＝a－1成立的条件是 ( ) A．a<1 B．a≠1 C．a≥1 D．a≤1 6．计算： (1)(－)2＝ ； (2)()2＝ ； C 3 0.36 固本夯基 综合运用 拓广探索 (3)()2＝ ； (4)(－4)2＝ ； (5)()2＝ . 32 固本夯基 综合运用 拓广探索 7．把下列正数写成一个数的平方的形式： (1)； (2)3.5. 解：原式＝(±)2 解：原式＝(±)2 固本夯基 综合运用 拓广探索 知识点三：＝|a|＝ 8．某物体在某推力的作用下运动，且运动的距离s(单位：m)与运动时间t2(t的单位：s)成正比例关系，当s＝45时，t＝3.则用含s的代数式表示t为t ；当s＝45时，物体运动的时间为 s. t＝(s≥0) 3 固本夯基 综合运用 拓广探索 9．求下列各式的值： (1))2＝ ；(2)(＝ ； (3)＝ ；(4)－＝ ； (5)＝ . 1 π－3.14 -0.025 2- 固本夯基 综合运用 拓广探索 10．先化简，再求值：＋|1－a|，其中a＝2. 解：原式＝2＋|1－a| ＝|a－3|＋|1－a|. 当a＝2时， 原式＝|2－3|＋|1－2| ＝1＋1 ＝2. 固本夯基 综合运用 拓广探索 11．若|x＋2|＋(y－3)2＋＝0，则z(x＋y)的值为( ) A．－4 B．4 C．4或－4 D．20或－20 C 固本夯基 综合运用 拓广探索 12．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋的结果是( ) A．－2a＋b B．2a－b C．－b D．b A 固本夯基 综合运用 拓广探索 13．在实数范围内因式分解： (1)x2－8＝ ； (2)4x2－7＝ ． 14．如果 是整数，那么正整数m的值为 . (x－)(x＋) (2x＋)(2x－) 2 固本夯基 综合运用 拓广探索 15．先阅读，再回答问题： 当x是怎样的实数时，二次根式有意义？ 解：由x(x－3)≥0及乘法法则，得 或所以x≥3或x≤0. 因此，当x≥3或x≤0时，在实数范围内有意义． 体会上述解题思想后，请解答：当x是怎样的实数时，二次根式 有意义？ 固本夯基 综合运用 拓广探索 解：由≥0及除法法则，得 或 ∴x≥1或x<－2. 因此，当x≥1或x<－2时， 在实数范围内有意义． 固本夯基 综合运用 拓广探索 16．你见过像，，…这样的根式吗？这一类根式叫作复合二次根式，有些复合二次根式可以化简，如： ＝＝ ＝＝. 用上述方法化简：. 固本夯基 综合运用 拓广探索 解：＝ ＝ ＝ ＝. 固本夯基 综合运用 拓广探索 $16．2.2　二次根式的加减 第1课时　二次根式的加减 Ⅰ 目 录 CONTENTS 固本夯基 1 综合运用 2 拓广探索 3 知识点一：同类二次根式 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是( ) A. B. C. D. C 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 2．在下列二次根式中：2，， , 4，. (1)能与合并的是 ； (2)能与合并的是 ，. 3．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a＝ . 4 1 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 4．化简下列二次根式，并判断它们是不是同类二次根式． (1)和2； (2)和. 解：∵＝4， 2＝6， ∴和2是同类二次根式． 解：∵＝，＝， ∴ 是同类二次根式． 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 知识点二：二次根式的加减运算 5．下列运算中正确的是( ) A.＋3＝3 B．4－＝4 C.＋＝ D．3－＝2 6．(哈尔滨中考)计算＋3的结果是 . 7．计算－＋的近似值为 (≈2.449，结果保留小数点后两位)． D 2 11.02 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 8．计算： (1)＋； (2)－； 解：原式＝＋2＝3. 解：原式＝－ ＝－. 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 (3)－(2＋)； (4)－6－. 解：原式＝－4－ ＝－3－. 解：原式＝－2－3 ＝－4. 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 9．若的整数部分为x，小数部分为y，则x－y的值是( ) A．3－3 B. C．1 D．3 C 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 10．若两个最简二次根式与是同类二次根式，则ab＝ . 11．如图，在数轴上表示－1，－ 的对应点分别是A和B，若点A是线段BC的中点，则点C表示的实数为 . 15 －2 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 12．【新定义问题】对任意的正数m，n，定义运算“*”：m*n＝ 计算(3*2)＋(8*12)的结果为 . 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 13．计算： (1)－－|－|； (2)－(-)； 解：原式＝3－3－2＋ ＝4－5. 解：原式＝－×2＋×2 ＝3. 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 (3)(3-)－(-). 解：原式＝－－＋ ＝－. 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 14．已知m，n是有理数，且(＋2)m＋(3－2)n＋7＝0，求m，n的值． 解：∵m，n是有理数，且(＋2)m＋(3－2)n＋7＝0. ∴m＋2m＋3n－2n＝－7， 则(m－2n)＋2m＋3n＝－7， ∵m，n是有理数， ∴解得 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 15．【运算能力】 (1)计算：|1－|＋|－|＋|－|＋…＋|－； 解：(1)原式＝－1＋－＋－＋…＋－ ＝－1. 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 (2)已知a＋b＝－6，ab＝8，求＋的值． 解：∵a＋b＝－6，ab＝8， ∴＋＝＋ ＝＋ ＝ ＝. 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 $16．2 　二次根式的运算 16．2.1　二次根式的乘除 第1课时　二次根式的乘法 Ⅰ 目 录 CONTENTS 固本夯基 1 综合运用 2 拓广探索 3 知识点一：二次根式的乘法 1．对于二次根式的乘法运算，一般地，有·＝.该运算法则成立的条件是( ) A．a>0，b>0 B．a<0，b<0 C．a≤0，b≤0 D．a≥0，b≥0 D 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 2．下列各数中，与的积为有理数的是 ( ) A. B．3 C．2 D．2－ 3．一个长方形的长和宽分别是，，则它的面积是 . C 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 4．计算： (1)×＝ ； (2)×＝ ； (3)×＝ ； (4)3×2＝ . 9 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 5．计算： (1)×； (2)－×； 解：原式＝＝＝. 解：原式＝－＝－＝－. 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 (3)－×2； (4)×3×2. 解：原式＝－2＝－6. 解：原式＝3×6＝18. 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 知识点二：积的算术平方根的性质 6．射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v＝ 进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a＝5×105 m/s2，s＝0.64 m，那么子弹射出枪口时的速度(用科学记数法表示)为 ( ) A．0.4×103 m/s B．0.8×103 m/s C．4×102 m/s D．8×102 m/s D 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 7．根据二次根式的性质，若＝·，则a的取值范围是( ) A．a≤5 B．a≥0 C．0≤a≤5 D．a≥5 C 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 8．化简： (1)； (2). 解：原式＝ ＝10. 解：原式＝7 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 9．设 ＝a，＝b，则× 可以表示为 ( ) A. B．10ab C. D. 10．把a根号外的因式移入根号内，得到的结果为 ( ) A. B.C．－ D．－ C D 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 11．【开放性问题】若计算×m的结果为正整数，则无理数m的值可以是 (写出一个符合条件的即可)． 12．观察分析下列数据：0，－，，－3，2，－，3，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是 .(结果需化简) (答案不唯一) -3 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 13．计算： (1) 解：原式＝ ＝ ＝4×2×3×7×3 ＝504. 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 (2)； (3)×(－)×(-). 解：原式＝ ＝ ＝4. 解：原式＝ ＝60. 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 14．小星在课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是 cm，宽是 cm，他又想设计一个面积与该长方形相等的圆，请帮助他求出圆的半径． 解：设圆的半径为r cm.根据题意，得 πr2＝×. ∵×＝＝70π， ∴πr2＝70π，∴r2＝70. ∵r>0，∴r＝. ∴圆的半径为 cm. 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 15．有如下一串二次根式： ①，②，③， ④，… (1)求①②③④的值； (2)仿照①②③④，写出第⑤个二次根式； (3)仿照①②③④⑤，写出第 n 个二次根式，并化简． 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 解：(1)①原式＝＝3；②原式＝＝15； ③原式＝＝35；④原式＝＝63. (2)第⑤个二次根式为＝99. (3)第 n 个二次根式为. 　 ＝ ＝ ＝(2n－1)(2n＋1)． 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 $第2课时　 二次根式的混合运算 Ⅰ 目 录 CONTENTS 固本夯基 1 综合运用 2 拓广探索 3 知识点一：乘法公式在二次根式运算中的应用 1．下列各式中与2－ 的积是有理数的是( ) A．2＋ B．2－C. D．－ 2．计算： (1)(＋)(－)＝ ； (2)(－)2＝ . A 1 7-2 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 3．计算： (1)(＋3)2； (2)(＋)(－)； 解：原式＝23＋6. 解：原式＝3. 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 (3)(＋2)2－(2＋)(2－)． 解：原式＝7＋4－(4－5) ＝8＋4. 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 知识点二：二次根式的混合运算 4．计算－× 的结果是( ) A．0 B. C．3 D. 5．(重庆中考)估计(＋)的值应在( ) A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 B C 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 6．计算： (1)×(-)； (2)(4－3)÷2； 解：原式＝－ ＝2－ ＝. 解：原式＝2－. 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 (3)×－6÷； (4)(＋2)(1－)． 解：原式＝×2－× ＝3－2 ＝. 解：原式＝2＋－3－2＝－1－. 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 易错点：错用运算法则进行运算 7．乐乐在计算÷(+)时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算： 解：原式＝÷＋÷＝×＋×＝3＋5. 她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程． 解：不正确．原式＝÷＝ ＝. 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 8．若要在(5－) 的“ ”中填上一个运算符号，使计算结果最大，则这个运算符号应该填( ) A．＋ B．－ C．× D．÷ 9．已知a＝＋2，b＝－2，则代数式＋的值为( ) A．24 B．22 C．20 D．18 C D 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 10．计算： (1)(－2)(＋2)＋(-)2； 解：原式＝2－4＋2－2＋ ＝－. 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 (2)(＋－)(－－)； 解：原式＝[(－)＋][(－)－] ＝(－)2－()2 ＝(8－4)－3 ＝5－4. 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 (3)－－. 解：原式＝4＋－(＋)－(3－) ＝4＋－－－3＋ ＝1. 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 11．解下列方程或方程组： (1)x＋3＝5； 解：方程的解为x＝. 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 (2) 解：方程组的解为 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 12．阅读下面材料： 将边长分别为a，a＋，a＋2，a＋3的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4. 则 S2－S1＝(a＋)2－a2＝[(a＋)＋a]·[(a＋)－a]＝(2a＋)· ＝b＋2a. 例如：当a＝1，b＝3时，S2－S1＝3＋2. 根据以上材料解答下列问题： (1)当a＝1，b＝3时，S3－S2＝ ，S4－S3＝ ； 9＋2 15＋2 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 (2)当a＝1，b＝3时，把边长为a＋n的正方形面积记作Sn＋1，其中n是正整数，从(1)中的计算结果，你能猜出Sn＋1－Sn等于多少吗？并说明理由． 解：(2)Sn＋1－Sn＝6n－3＋2. 理由：Sn＋1－Sn ＝(1＋n)2－[1＋(n－1)]2 ＝[2＋(2n－1)]× ＝3(2n－1)＋2 ＝6n－3＋2. 固本夯基 返回目录 综合运用 拓广探索 $