第16章　二次根式 习题课件 2025-2026学年沪科版数学八年级下册

16.2　二次根式的运算 第4课时　二次根式的混合运算 第16章　二次根式 01 新知梳理 02 基础过关 03 能力进阶 目 录 04 思维拓展 在二次根式的运算中，实数的 和 同样适用. 运算性质　 运算法则　 返回目录 1. 计算（2 ＋ ）× 的结果是（　C　） A. 4 B. 6 C. 2 ＋2 D. 4 ＋2 2. （2025•安庆太湖二模）化简（ －2）（ ＋2）的结果是 （　A　） A. －1 B. 1 C. ＋2 D. － －2 C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 3. （2025•合肥蜀山段考）若（2＋ ）2＝a＋b （a，b为有理 数），则a＋b的值为（　D　） A. 6 B. 9 C. 11 D. 11 D 4. 计算： （1） （2024•威海） － × ＝ 　－2 　； （2） × ＝ ⁠. －2 　 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 5. 计算： （1） （2024•甘肃） － × ； 解：原式＝3 －3 ＝0 （2） × ＋ ÷ ； 解：原式＝4 × ＋4 ÷ ＝6＋8＝14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （3） （2025•合肥庐阳期中） ×（ ＋ ）－ ； 解：原式＝ ＋3－2 ＝3－ （4） （2025•亳州利辛期中） ×（ － ）－（ － ）2. 解：原式＝5－ × －（2－2 ＋3）＝5－5 －5＋2 ＝－ 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 6. （整体思想）（2025•六安霍邱段考）已知m＝2 －1，n＝2 ＋ 1，求下面各代数式的值. （1） m2n＋mn2； 解：由题意，得m＋n＝2 －1＋2 ＋1＝4 ，mn＝（2 －1） （2 ＋1）＝8－1＝7. （1） 原式＝mn（m＋n）＝7×4 ＝28 （2） m2＋n2－mn. 解： （2） 原式＝（m＋n）2－3mn＝（4 ）2－3×7＝32－21＝11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 7. 已知一个长方形的长为 ＋ ，宽为 － .求这个长方形的周 长和面积. 解：根据题意，得长方形的周长为2×（ ＋ ＋ － ）＝ 2×2 ＝4 ，长方形的面积为（ ＋ ）（ － ）＝3－2＝ 1.∴ 这个长方形的周长为4 ，面积为1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 8. （2025•合肥蜀山期中）估计 ×（ ＋ ）的值在（　B　） A. 3到4之间 B. 4到5之间 C. 5到6之间 D. 6到7之间 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 9. （新情境•游戏活动）（2025•合肥段考）老师设计了一个“接力游 戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算.如图，老师把题目交给 一名同学，他完成一步解答后交给第二名同学，依次进行，最后完成计 算.规则是每人只能看到前一人传过来的式子.接力中，自己负责的式子 计算错误的是（　B　） B A. 小明和小丽 B. 小丽和小红 C. 小红和小亮 D. 小丽和小亮 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 10. （2025•合肥包河段考）计算（2＋ ）2 022×（2－ ）2 021的结果 是 ⁠. 11. （2025•安庆潜山期中）计算： 2＋ 　 （1） × ＋（ ＋1）（ －1）； 解：原式＝1＋2－1＝2 （2） （ －2 ）× －6 ； 解：原式＝ －2 －6× ＝3 －2×3 －3 ＝－6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （3） （ －1）（ ＋1）＋（1－ ）2＋｜2－ ｜； 解：原式＝5－1＋1－2 ＋5＋ －2＝8－ （4） ＋（2 025－π）0－｜－2 ｜＋ . 解：原式＝2 ＋1－2 ＋2＝3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 12. （教材变式）（2024•蚌埠蚌山模拟）已知x＝ ，y＝ ， 求下面式子的值. （1） x2y＋xy2； 解：∵ x＝ ＝ ＝9＋4 ，y＝ ＝ ＝9－4 ，∴ x＋y＝18，xy＝1. （1） x2y＋xy2＝xy（x＋y）＝18 （2） ＋ . 解： （2） ＋ ＝ ＝ ＝ ＝322 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 13. 已知三角形的周长为（5 ＋2 ）cm，面积为（20 ＋4 ） cm2，两边的长分别为  cm和  cm.求： （1） 该三角形第三边的长； 解：（1） ∵ 三角形的周长为（5 ＋2 ）cm，两边的长分别为  cm和  cm，∴ 第三边的长为（5 ＋2 ）－ － ＝5 ＋2 －3 －2 ＝2 （cm） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 该三角形第三边上的高. 解： （2） ∵ 三角形的面积为（20 ＋4 ）cm2， ∴ 第三边上的高为 ＝ ＝（4 ＋4）cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 $第16章总结提升 第16章　二次根式 01 体系构建 02 考点突破 03 素养提升 目 录 返回目录 考点一　二次根式的概念 1. （2025•合肥瑶海期末）下列各式中，一定是二次根式的为 （　C　） A. B. C. D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 考点二　二次根式有意义的条件 2. （2025•安庆期中）要使二次根式 有意义，字母x必须满足的 条件是（　D　） A. x≥ B. x＞ C. x≤ D. x≤ 3. 若要使代数式 有意义，则a的取值范围是 ⁠. D a≥0且a≠2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 考点三　最简二次根式 4. （2025•合肥蜀山期中）下列二次根式是最简二次根式的为 （　C　） A. B. C. D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 考点四　同类二次根式 5. （2025•合肥段考）下列各式中，与2 是同类二次根式的为 （　D　） A. B. C. D. 6. 若 与最简二次根式3 能够合并，则a＝ ⁠. D 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 考点五　二次根式的运算 7. 下列计算正确的是（　B　） A. ＋ ＝ B. ÷3＝ C. ＝－2 D. （ － ）2＝3－2 8. （2025•合肥一模）计算： × －（－1）0＝ ⁠. B 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 9. 计算： （1） （－ ）2＋ ＋ ； 解：原式＝2＋2 ＋ ＝2 ＋ （2） 2 ＋ －2 ＋4 ； 解：原式＝2 ＋5－2×2 ＋4 ＝2 ＋5－4 ＋4 ＝2 ＋5 （3） （ － ）（ ＋ ）－ ÷ . 解：原式＝（ ）2－（ ）2－ ＝5－2－2＝1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 10. （2025•亳州期中）已知m＝ － ，n＝ ＋ ，求mn3－ m3n的值. 解：∵ mn＝（ － ）（ ＋ ）＝5－3＝2，m＋n＝ － ＋ ＋ ＝2 ，n－m＝ ＋ －（ － ）＝2 ，∴ mn3 －m3n＝mn（n2－m2）＝mn（n＋m）（n－m）＝2×2 ×2 ＝8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 11. （2025•滁州定远三模）在数轴上表示函数y＝ 的自变量x的取 值范围，下列选项正确的是（　C　） A B C D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 12. （2025•六安霍邱段考）估计（4 ＋ ）× 的值在（　C　） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 13. （2024•六安舒城联考）按如图所示的运算程序，若输入数字 “3”，则输出的结果是（　D　） A. 3 －1 B. 3－5 C. 6 －3 D. 5－4 第13题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 14. （新考法•新定义题）（2024•池州模拟）对于任意两个不相等的正 数a，b，定义一种运算“※”：a※b＝ ，例如：5※2＝ ＝ ，则9※3＝ 　 　. 15. 已知 ＋ ＝4，则a－ 的值是 　±8 　. 16. （新考法•结论开放题）从－ ， ， 中任意选两个数，分别 填在算式 （□＋○）2÷ 里面的“□”与“○”中，计算该算式的结 果是 （只需写出一种结果）. 　 ±8 　 答案不唯一，如 －2 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 17. 计算： （1） （2025•合肥瑶海期中） － ÷ ＋（3－ ）（3＋ ）； 解：原式＝4 － ＋9－3＝4 －3 ＋6＝ ＋6 （2） （ － ）2＋ × － ÷ . 解：原式＝2－2 ＋3＋ ×4 －4＝2－2 ＋3＋2 －4＝1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 18. 已知x＝ ，y＝ ，求下面式子的值. （1） x2＋3xy＋y2； 解：∵ x＝ ＝ ＋3，y＝ ＝ －3，∴ x＋y＝2 ，xy＝1. （1） x2＋3xy＋y2＝（x＋y）2＋xy＝（2 ）2＋1＝41 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 （2） － . 解： （2） － ＝ － . ∵ x－2＝ ＋3－2＝ ＋1＞0，y＋1＝ －3＋1＝ －2＞0，∴ 原式＝ － ＝ － ＝ ＝ ＝－6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 19. 解决问题：若a＝ ，求2a2－8a＋1的值.小娟是这样分析与解 答的： ∵ a＝ ＝ ＝2－ ， ∴ a－2＝－ . ∴ （a－2）2＝3. ∴ a2－4a＋4＝3. ∴ a2－4a＝－1. ∴ 2a2－8a＋1＝2（a2－4a）＋1＝2×（－1）＋1＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 请根据小娟的分析解答过程，解决以下问题： （1） 计算： ＋ ＋ ＋…＋ . 解：（1） 原式＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ×（ －1＋ － ＋ － ＋…＋ － ）＝ ×（ －1）＝5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 （2） 已知a＝ . ① 求3a2－6a＋1的值； 解： （2） ① ∵ a＝ ＝ ＝ ＋1， ∴ a－1＝ .∴ （a－1）2＝2.∴ a2－2a＋1＝2.∴ a2－2a＝1. ∴ 3a2－6a＋1＝3（a2－2a）＋1＝3×1＋1＝4 ② 直接写出代数式的值：a3－3a2＋a＋1＝ ；2a2－5a＋ ＋2 ＝ ⁠. 0　 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 $16.2　二次根式的运算 第1课时　二次根式的乘法 第16章　二次根式 01 新知梳理 02 基础过关 03 能力进阶 目 录 04 思维拓展 1. 二次根式的性质3：如果a≥0，b≥0，那么有 • ＝ 　 　. 2. 性质3也可以写成 ＝ 　 • 　（a≥0，b≥0）. 　 • 　 返回目录 1. （2025•兰州）计算 × 的结果是（　B　） A. 6 B. C. D. 1 2. （易错题）若 ＝ • ，则a的取值范围是 （　A　） A. a≥3 B. a≥0 C. 0≤a≤3 D. a为一切正实数 B A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 3. 射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v＝ 进行计算，其中 a为子弹的加速度，s为枪筒的长.如果a＝5×105 m/s2，s＝0.64 m，那 么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（　D　） A. 0.4×103 m/s B. 0.8×103 m/s C. 4×102 m/s D. 8×102 m/s D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 4. 下列运算正确的是（　D　） A. 3 ×4 ＝12 B. ＝ × ＝（－3）×（－5）＝15 C. －3 ＝ ＝6 D. ＝ ＝5 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 5. 化简： （1） ＝ 　2 　； （2） ＝ 　2 　. 6. （教材变式）计算： （1） （2025•广西） × ＝ 　 　； （2） × ＝ ⁠； （3） × ＝ 　4 　. 2 　 2 　 　 3　 4 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 7. （新考向•跨学科）“海阔千江辏，风翻大浪随.”海浪的大小与风速 和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为wp＝ ，其中 wP为风压（kN/m2），v为风速（m/s）.当风压为0.25 kN/m2时，估计 风速为 m/s. 20　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 8. 张老师在计算机上设计了一个长方形图案，已知长方形的长是  cm，宽是  cm.他又想设计一个面积与其相等的圆形图案，请你帮 助张老师求出这个圆形图案的半径. 解：设这个圆形图案的半径为r cm.根据题意，得πr2＝ × ，即πr2＝ ，解得r2＝70，即r＝ （负值舍 去）.∴ 这个圆形图案的半径为  cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 9. 做一个底面积为24 cm2，长、宽、高的比为4∶2∶1的长方体.求： （1） 这个长方体的长、宽、高； 解：（1） ∵ 长方体的长、宽、高的比为4∶2∶1，∴ 设这个长方体的高是x cm，则长是4x cm，宽是2x cm.根据题意，得4x•2x＝24，解得x＝ （负值舍去）.∴ 4x＝4 ，2x＝2 ，即这个长方体的长、 宽、高分别为4  cm，2  cm，  cm （2） 这个长方体的表面积. 解：（2） （4 ×2 ＋ ×4 ＋2 × ）×2＝（24＋12＋ 6）×2＝84（cm2），∴ 这个长方体的表面积是84 cm2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 10. （2025•滁州期末） × －2的结果在（　B　） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 11. （新考向•数学文化）海伦——秦九韶公式告诉我们：若三角形的三 边长分别为a，b，c，记p＝ （a＋b＋c），则三角形的面积可以表 示为S＝ .现已知一个三角形的三边长 分别为7，8，9，则这个三角形的面积为（　D　） A. 12 B. 12 C. 12 D. 12 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 12. 已知a，b满足 ＋ ＝0，则 • 的值为 （　B　） A. B. 5 C. D. 2－ B 13. （2025•蚌埠段考）若 • 的值是一个整数，则正整数a的最小 值是 ⁠. 14. 已知一个长方体的长为4 ，宽为2 ，高为 ，则这个长 方体的体积为 ⁠. 2　 144 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 （1） × × ； 解：－5 （2） × × . 解：2 15. 计算： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 16. 将一个底面为30 cm×30 cm的长方体玻璃容器装满水，现将一部分 水倒入一个底面为正方形、高为10 cm的长方体铁桶中.当铁桶装满水 时，玻璃容器中的水面下降了20 cm.铁桶的底面边长是多少厘米（玻璃 容器壁和铁桶壁的厚度忽略不计）？ 解：设铁桶的底面边长是x cm.根据题意，得10x2＝30×30×20，解得 x＝30 （负值舍去）.∴ 铁桶的底面边长是30  cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 17. （新考法•探究题）有下列等式： 第1个等式：2 ＝ ；第2个等式：3 ＝ ； 第3个等式：4 ＝ …… （1） 观察上述3个等式的规律，猜想第5个等式并进行验证； 解：（1） 猜想：第5个等式为6 ＝ 　验证：右边＝ ＝ ＝ ＝ ＝ × ＝6 ＝左边 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 （2） 写出用字母n（n为正整数，且n≥2）表示的等式，并写出证明 过程. 解： （2） 第（n－1）个等式为n• ＝ 　右边＝ ＝ ＝ ＝ ＝ • ＝ n• ＝左边 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 $16.2　二次根式的运算 第3课时　二次根式的加减 第16章　二次根式 01 新知梳理 02 基础过关 03 能力进阶 目 录 04 思维拓展 1. 几个二次根式化成 以后，如果它们的 ⁠ 相同，那么这样的二次根式称为同类二次根式. 2. 二次根式相加减，先把各个二次根式化成 ，再 把 合并.合并同类二次根式与合并同类项类似. 最简二次根式　 被开方数 最简二次根式　 同类二次根式　 返回目录 1. 下列二次根式中，与 是同类二次根式的为（　C　） A. B. C. D. 2. （教材变式）（2025•安庆太湖期中）下列计算正确的是（　A　） A. － ＝ B. ＋ ＝ C. 4 －4 ＝1 D. 3＋2 ＝5 C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 3. 已知 ≈1.414，则计算2 －3 －99 的结果大约是 （　A　） A. －141.4 B. －100 C. 141.4 D. －0.014 14 4. 计算： （1）（2025•安庆一模） ＋ ＝ 　3 　； （2）（2025•自贡） －3 ＝ ⁠. A 3 　 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 5. （2025•六安霍邱期末）若2 与最简二次根式5 是同类二次根 式，则a＝ ⁠. 6. 若一个三角形的边长分别为 ，3 和4 ，则它的周长 为 ⁠. 2　 9 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 7. 计算： （1） 3 ＋7 －5 ； 解：原式＝9 ＋14 －20 ＝3 （2） 5 －9 ＋ ； 解：原式＝10 －9× ＋ ×4 ＝10 －3 ＋2 ＝9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 （3） ＋ ＋ －15 ； 解：原式＝2 ＋3 ＋ －5 ＝ （4） － ； 解：原式＝3 －2× －2 －2× ＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 （5） － －2 ＋ ＋ ； 解：原式＝ －3 －2× ＋2 ＋ ×5 ＝ －3 － ＋ 2 ＋ ＝ － （6） －（ － ）. 解：原式＝ － － ＋ ＝－ ＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 8. （2025•安庆期末）若 ＋ ＝ ，则a和b的值不可能是 （　D　） A. a＝2，b＝2 B. a＝ ，b＝ C. a＝0，b＝8 D. a＝4，b＝2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 9. （分类讨论思想）如果等腰三角形的边长分别为 和6 ，那么这 个三角形的周长为（　A　） A. 8 或7 B. 7 C. 5 或6 D. 8 10. 如果 与3 的和是14 ，那么a的值为（　C　） A. 28 B. 30 C. 31 D. 35 A C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 11. （2025•淮北期中）若 ＋ ＝5 ，则x的值为 ⁠. 12. （数形结合思想）如图，数轴上从左到右依次有D，C，A，B四 点，点A，B分别表示1和 ，点C到点D的距离与点B到点A的距离 相等，设点C表示的数为x.当点D表示的数为－2 时，x的值是⁠ ⁠. 第12题 18　 － －1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 13. （教材变式）计算代数式 －（ － ）的近似值为 ⁠ （精确到0.01， ≈1.732）. 14. 计算： （1） － ； 解：原式＝ ＋ － － ＝－ （2） － － ＋ － ＋ － . 解：原式＝－ － ＋3 － ＋3 －2 ＝2 5.20　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 15. 已知一个长方形的长是  m，宽是  m.求这个长方形的周长 （精确到0.1 m， ≈1.732）. 解：这个长方形的周长为2×（ ＋ ）＝2×（3 ＋2 ）＝ 10 ≈17.3（m） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 16. 如图，要用栅栏围成两个相邻的正方形羊圈，它们的面积分别为 32 m2和50 m2.求栅栏的总长度. 第16题 解：根据题意，得3× ＋4× ＝12 ＋20 ＝32 （m）. ∴ 栅栏的总长度为32  m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 $16.1　二次根式及其性质 第16章　二次根式 01 新知梳理 02 基础过关 03 能力进阶 目 录 04 思维拓展 1. 二次根式：形如 的式子叫作二次根式. 2. 二次根式的性质1：（ ）2＝ （a≥0）. 3. 二次根式的性质2： ＝｜a｜＝ 4. 二次根式 有意义的条件： ⁠. （a≥0）　 a　 a≥0　 5. 是一个 数，只有当a 0时， ＝（ ）2＝a才 成立. 6. 若几个非负数之和等于0，则每个非负数 ⁠. 非负　 ≥　 都等于0　 返回目录 1. 下列各式中，一定属于二次根式的为（　D　） A. B. C. D. 2. （2025•连云港）若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 （　D　） A. x≤1 B. x≥1 C. x≤－1 D. x≥－1 3. （2025•合肥瑶海期末）计算 的值为（　D　） A. ±7 B. －7 C. D. 7 D D D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回目录 4. 若 ＝4－a，则a的取值范围是（　B　） A. a＜4 B. a≤4 C. a＞4 D. a≥4 5. （2025•蚌埠期末）计算：（－ ）2＝ ⁠. 6. （易错题）（2025•淮北三模）若代数式 有意义，则实数x的取 值范围是 ⁠. 7. （易错题）化简 的结果为 ⁠. B 5　 x≤3且x≠0　 π－3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回目录 8. （教材变式）求下列各式的值： （1） 2； （2） 2； 解： 解：100 （3） （－ ）2； （4） （± ）2. 解：20.24 解：63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回目录 9. （教材变式）先化简，再求值： ，其中x＝－2. 解：原式＝ ＝｜2x＋1｜.当x＝－2时，原式＝｜2×（－ 2）＋1｜＝3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回目录 10. 已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简： － . 解：由三角形的三边关系，得5－3＜c＜5＋3，即2＜c＜8.∴ 原式＝ － ＝｜c－2｜－ ｜c－8｜＝c－2－ （8 －c）＝ c－6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回目录 11. 能使式子－ 有意义的实数x有（　B　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 12. 已知 是二次根式，且值为2，则（－m）n的算术平方根为 （　D　） A. 2 B. C. 4 D. 6 13. （2025•安庆岳西段考）计算（ ）2＋ 的结果是 （　D　） A. 1 B. －1 C. 2x－5 D. 5－2x B D D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回目录 14. （2025•齐齐哈尔）若代数式 ＋（x－2 025）0有意义，则实数x 的取值范围是 ⁠. 15. （数形结合思想）（2025•淮北濉溪期中）实数a在数轴上的位置如 图所示，则 ＋ ＝ ⁠. 第15题 x＞3且x≠2 025　 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回目录 16. 已知y＝ － ＋3，则x－y＝ 　 　. 17. 请判断是否存在整数a，使它同时满足下列三个条件：① 二次根式 和 均有意义；② 的值仍为整数；③ 若b＝ ，则 也是整数.若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由. 解：存在　由条件①，可得 解得13≤a≤20.∴ 整数a的 取值可能为13，14，15，16，17，18，19，20.其中符合条件②的整数 只有16，同时符合条件③，∴ a的值为16 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回目录 18. 已知 ＋ ＝0，在实数范围内分解因式：6xa2 －3y. 解：根据题意，得 解得 ∴ 6xa2－3y＝4a2－3＝（2a＋ ）（2a－ ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回目录 19. 一名同学在作业本上做了这样一道题：“当a＝■ 时，试求（ ） 2＋ 的值.”其中 ■ 是被墨水弄污的，该同学求得的答案为 .该同学的答案是否正确？请说明理由. 解：该同学的答案不正确　理由：（ ）2＋ ＝a＋｜a －1｜.∵ 有意义，∴ a≥0.当a≥1时，原式＝a＋a－1＝2a－ 1≥1；当0≤a＜1时，原式＝a－a＋1＝1.∴ 在满足条件的范围内，不 论a取何值，原式都大于或等于1，不可能为 .∴ 该同学的答案不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回目录 20. 若a，b，c满足｜a－4｜＋ ＋ ＋ － ＝0，求 的值. 解：由题意，得 解得d＝3.∴ 等式变形为｜a－4｜＋ ＋ ＝0.∴ a－4＝0，2＋b＝0，c－5＝0，解得a＝ 4，b＝－2，c＝5.∴ ＝ ＝ ＝7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回目录 $第16章 二次根式 小专题（一) 二次根式化简求值的技巧 类型一整体代入法 1.(2025合肥蜀山段考)已知x=2十√3，y=2-V3,求下面式子 的值. (1)x2-y2; 解：（1)，'x+y=2+V3+2-V3=4,x-y=2+V3-(2- V3)=2V3,∴.x2-y2=(x+y)(x-y)=4×2V3=8V3 23456 (2) 1+ 11 解：(2).x+y=4,y=（2+V3)(2-V3)=1, +=安=4 23456 (2025安庆怀宁期中）已知x= 1 2. 3-2N2’y= 3+2V2, 求下面式子 的值. (1)x2y-xy2; 解：.x= 3十2√2 3-2V2 (3-2V2)(3十2√2) =3+2V2,y=, 3+2√2 3-2V2 (3-22) =3-2√2，.y=（3+2V2) （3-2√2)= (3十2√2) 1,x+y=3+2V2+3-2V2=6,x-y=3+2V2-（3-2√2)= 4v2. (1)x2y-x2=y(x-y)=1×4V2=4V2 23456 (2)x2-xy+y2. 解：（2)x2-y+y2=（x+y)2-3xy=62-3×1=33 23456 3.若5+V11的小数部分为a,5一V11的小数部分为b,求a2一b2的 值. 解：根据题意，得a=5+V11一8=√11一3，b=5一V11一1=4一 √11.∴.a+b=V11-3+4-V11=1,a-b=(V11-3)-(4 V11)=2v11-7.∴.a2-b2=(a+b)(a-b)=2√11-7 12456 4. (易瑞题)若4十6=-6，b-7,求层+ 的值 解：.a十b=-6,b=7,∴.a<0,b<0. +=- ab _ab=- (a十b)va匝=--6xv7=6v7 b ab 7 2356 类型二 分组法 5.计算： (1)(√2+v3+1)(√2-v3+1): 解：原式=（√2+1）2一（√5）2=2+2√2+1一3=22 (2) (3V2+V48+5)(V18一4v5一5). 解：原式=(3√2+4√3+5) (3√2-4√3-5)=(3√2)2- (4√3+5)2=18-(48+40V3+25)=-40V3-55 12346 类型三 分类讨论法 6.我们规定，若a+b=2,则称a与b是关于1的平衡数 (1) 若3与x是关于1的平衡数，5一V2与y是关于1的平衡衡数，求x,y 的值： 解：（1)·3与x是关于1的平衡数，.3十x=2,解得x=一1.，'5 一√2与y是关于1的平衡数，∴.5-V2+y=2,解得y=一3+V2 12345 (2)若(m+V3)(1-v3)=一2n+3(√3一1)，判断m+√3 与5n一√3是否是关于1的平衡数. 解：（2)'(m+3)（1-V3)=-2n+3(√3-1) .m-V3m+V3-3=-2n+3V3-3..m+2n-2v5-V3m=0. ①当m和n均为有理数时，则有m十2n=0,一2一m=0,解得m= 2,n=1.当m=-2,n=1时，m+V3+5n-V3=-2+V3+5- V3=3≠2，∴.m+V5与5n一v3不是关于1的平衡数.②当m和n中一 个是有理数，另一个是无理数时，m+V3+5n-V3=m+5n, 1 2 416.2　二次根式的运算 第2课时　二次根式的除法 第16章　二次根式 01 新知梳理 02 基础过关 03 能力进阶 目 录 04 思维拓展 1. 二次根式的性质4：如果a≥0，b＞0，那么有 ＝ 　 　. 2. 性质4也可以写成 ＝ 　 　（a≥0，b＞0）. 3. 把分母中的 去掉的过程就是分母有理化. 4. 满足下面两个条件的二次根式就是最简二次根式：（1） 被开方数不 含 ；（2） 被开方数中不含 的因数或因式. 　 　 根号　 分母　 能开得尽方　 返回目录 1. （2025•合肥包河期末）下列二次根式中，是最简二次根式的为 （　A　） A. B. C. D. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 2. 阅读以下运算过程： ＝ ＝ ， ＝ ＝ .数学上将这 种把分母中的根号去掉的过程叫作“分母有理化”，则化简 的结果是 （　C　） A. 2 B. 6 C. D. 3. 已知一个长方形的面积是 ，一边长是 ，则另一边长是 （　B　） A. 12 B. 2 C. D. 3 C B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 4. 下列各式计算正确的是（　C　） A. ＝ ＝ ＝ B. ＝ ＝2 C. ÷ ＝ D. ＝5 C 5. （2025•阜阳临泉期末）计算： ＝ 　2 　. 2 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 （1） ÷ ＝ ⁠； （2） ÷ ＝ 　3 　； （3） ÷（－ ）＝ 　－3 　； （4） 9 ÷ ＝ 　 　. 6　 3 　 －3 　 　 6. （教材变式）计算： 7. 方程 x＝ 的解是 ⁠. x＝3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 8. 化简或计算： （1） ； （2） ； 解： 解：3 （3） － ÷ ； （4） ； 解：－ 解：2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 （5） ÷9 ；　　 解：原式＝ × × ＝ ×2 ＝ 　　 （6） 5 ÷2 ÷ . 解：原式＝ × ＝ ×2 ＝5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 9. 化简式子 （m＞0）时，三名同学给出各自的方法，小明的方 法： ＝ ＝ ＝ ；小亮的方法： ＝ ＝ ； 小丽的方法： ＝ ＝ ＝ .下列说法正确的是（　C　） C A. 小明、小亮的方法正确，小丽的方法不正确 B. 小明、小丽的方法正确，小亮的方法不正确 C. 小明、小亮、小丽的方法都正确 D. 小明、小丽、小亮的方法都不正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 10. （新情境•环保意识）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为. 据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似 满足公式t＝ （不考虑风速的影响）.记从25 m高空抛物到落地所需 时间为t1 s，从50 m高空抛物到落地所需时间为t2 s，则 的值为 （　A　） A. B. C. D. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 11. （易错题）如果 ＝a， ＝b，那么 用含a，b的代数式 可以表示为 ⁠. 12. 已知某长方体的体积为36，长为 ，宽为 ，则高为 　 　. 13. 已知m为正整数，若 是整数，则根据 ＝ ＝3 可知m的最小值为3×7＝21.设n为正整 数，若 是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 ⁠. 　 　 3　 75　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 14. （2025•安庆岳西段考）计算： （1） ÷ × ； 解：原式＝ ＝ ＝ ＝ （2） × ÷2 . 解：原式＝3 ×5 ÷2 ＝15 ÷2 ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 15. （新情境•现实生活）如图，将一根细线的上端固定，下端系一个小 球，让这个小球来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t（单位：s） 与细线的长度l（单位：m）之间满足关系t＝2π . （1） 当细线的长度为0.6 m时，小球来回摆动一次所 用的时间是多少（参考数据： ≈2.45，π≈3）？ 解：（1） 根据题意，得l＝0.6，∴ t＝2π ≈2×3× ＝ 6× ≈ ＝1.47.∴ 小球来回摆动一次所用的时间是1.47 s 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 （2） 当小球来回摆动一次所用的时间为3π s时，求此时细线的长度. 解：（2） 根据题意，得t＝3π，∴ 3π＝2π ，解得l＝22.5. ∴ 此时细线的长度是22.5 m 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 $