利用导数证明不等式问题 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

利用导数证明不等式问题讲义 利用导数证明不等式问题讲义 知识点解析 一、核心解题原理 利用导数证明不等式的核心是将不等式证明转化为函数单调性、极值、最值的研究，本质是借助导数的几何意义（函数切线斜率）判断函数的增减趋势，通过确定函数在指定区间的最值，建立函数值的不等关系，从而推导出原不等式。 核心依据： 1. 若函数在区间上可导，且，则在上单调递增；若，则在上单调递减。 2. 若在处取得区间上的最小值，则对，有；若取得最大值，则。 3. 若要证（），等价于证（），只需证在上的最小值大于0。 二、通用解题思路（四步核心法） 第一步：构造辅助函数（最关键步骤） 将原不等式进行等价变形，移项使一侧为0，另一侧即为辅助函数，原则： - 简单不等式：直接移项，如证（），构造； - 含参数不等式：将参数与变量分离，构造关于变量的单函数； - 双边不等式：分别构造两个辅助函数，或转化为中间量搭桥； - 对称不等式（如，证）：可构造单变量函数，或利用单调性放缩。 第二步：求导分析单调性 对辅助函数求一阶导数，化简后，判断其在目标区间内的符号： 1. 若符号直接可判断（如），直接得出的单调性； 2. 若符号无法直接判断，对再次求导（二阶导数），通过分析的单调性，再结合的端点值/零点确定的符号； 3. 若有零点，求出零点，将目标区间划分为子区间，分别判断各子区间内的符号，得到的单调区间。 第三步：求辅助函数的最值/极值 根据的单调性，求出其在目标区间内的最值（端点值、极值点处的函数值）： 1. 若在区间上单调递增，则（开区间需验证极限）； 2. 若在区间上单调递减，则； 3. 若在内有唯一极值点，则该极值点必为最值点（导数证明不等式中，极值点多为最小值点/最大值点），计算即可。 第四步：结合最值证原不等式 若在目标区间的最小值，则，原不等式成立； 若的最大值，则，原不等式成立。 三、解题关键技巧与注意事项 核心技巧 1. 辅助函数的简化：构造函数时，可先对原不等式化简（如取对数、通分、提公因子），减少求导次数，如证（），可取对数得，构造； 1. 二阶导数的应用：当一阶导数符号不明时，二阶导数是“判断一阶导数单调性的工具”，无需关注二阶导数的实际意义，仅需其符号； 1. 端点效应：若不等式在区间端点处取等号，构造的辅助函数在端点处的函数值必为0，此时只需证函数在区间内单调递增/递减； 1. 极限补充：若目标区间为开区间（如），需验证函数在端点处的极限（如），结合单调性证结论。 注意事项 1. 辅助函数的唯一性：同一不等式可构造多个不同的辅助函数，选择求导后形式最简单的即可，无需拘泥于一种形式； 1. 导数符号的判断：化简时，优先因式分解，便于找到零点和判断符号，避免保留复杂的分式/根式； 1. 等号的验证：明确不等式的等号成立条件（如在处取等），避免遗漏等号； 1. 区间的限定：导数的单调性与区间紧密相关，需严格在目标区间内分析，不可扩大/缩小区间。 例题分析 例1．（25-26高二下·湖北武汉·月考）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求的取值范围； (3)证明：对任意正整数，都有. 例2．（25-26高二下·江苏苏州·月考）已知函数，. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，证明：； (3)若，，对任意的，恒成立，求的最大值. 例3．（2026·青海海东·二模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，，求的取值范围； (3)证明：，． 例4．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知函数，其中a为常数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围； (3)设，求证：当时，. 变式训练 变式1．（25-26高二下·重庆·月考）已知 (1)若存在极值点，求的取值范围 (2)若时，对均有成立，求实数的取值范围． (3)设，证明：． 变式2．（25-26高二下·山东青岛·月考）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 变式3．（2026·浙江嘉兴·二模）已知函数． (1)当时，求在上的最大值； (2)当时，若对任意的实数m，直线与曲线恰有一个公共点，求实数b的取值范围； (3)若．证明：当时，． 变式4．（2026·福建厦门·二模）设函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 实战演练 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数，的图象在点处的切线方程为. (1)求a，b的值； (2)当时，求证：. 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数． (1)若恰有两个零点，求实数的取值范围； (2)当时，证明：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $利用导数证明不等式问题讲义 利用导数证明不等式问题讲义 知识点解析 一、核心解题原理 利用导数证明不等式的核心是将不等式证明转化为函数单调性、极值、最值的研究，本质是借助导数的几何意义（函数切线斜率）判断函数的增减趋势，通过确定函数在指定区间的最值，建立函数值的不等关系，从而推导出原不等式。 核心依据： 1. 若函数在区间上可导，且，则在上单调递增；若，则在上单调递减。 2. 若在处取得区间上的最小值，则对，有；若取得最大值，则。 3. 若要证（），等价于证（），只需证在上的最小值大于0。 二、通用解题思路（四步核心法） 第一步：构造辅助函数（最关键步骤） 将原不等式进行等价变形，移项使一侧为0，另一侧即为辅助函数，原则： - 简单不等式：直接移项，如证（），构造； - 含参数不等式：将参数与变量分离，构造关于变量的单函数； - 双边不等式：分别构造两个辅助函数，或转化为中间量搭桥； - 对称不等式（如，证）：可构造单变量函数，或利用单调性放缩。 第二步：求导分析单调性 对辅助函数求一阶导数，化简后，判断其在目标区间内的符号： 1. 若符号直接可判断（如），直接得出的单调性； 2. 若符号无法直接判断，对再次求导（二阶导数），通过分析的单调性，再结合的端点值/零点确定的符号； 3. 若有零点，求出零点，将目标区间划分为子区间，分别判断各子区间内的符号，得到的单调区间。 第三步：求辅助函数的最值/极值 根据的单调性，求出其在目标区间内的最值（端点值、极值点处的函数值）： 1. 若在区间上单调递增，则（开区间需验证极限）； 2. 若在区间上单调递减，则； 3. 若在内有唯一极值点，则该极值点必为最值点（导数证明不等式中，极值点多为最小值点/最大值点），计算即可。 第四步：结合最值证原不等式 若在目标区间的最小值，则，原不等式成立； 若的最大值，则，原不等式成立。 三、解题关键技巧与注意事项 核心技巧 1. 辅助函数的简化：构造函数时，可先对原不等式化简（如取对数、通分、提公因子），减少求导次数，如证（），可取对数得，构造； 1. 二阶导数的应用：当一阶导数符号不明时，二阶导数是“判断一阶导数单调性的工具”，无需关注二阶导数的实际意义，仅需其符号； 1. 端点效应：若不等式在区间端点处取等号，构造的辅助函数在端点处的函数值必为0，此时只需证函数在区间内单调递增/递减； 1. 极限补充：若目标区间为开区间（如），需验证函数在端点处的极限（如），结合单调性证结论。 注意事项 1. 辅助函数的唯一性：同一不等式可构造多个不同的辅助函数，选择求导后形式最简单的即可，无需拘泥于一种形式； 1. 导数符号的判断：化简时，优先因式分解，便于找到零点和判断符号，避免保留复杂的分式/根式； 1. 等号的验证：明确不等式的等号成立条件（如在处取等），避免遗漏等号； 1. 区间的限定：导数的单调性与区间紧密相关，需严格在目标区间内分析，不可扩大/缩小区间。 例题分析 例1．（25-26高二下·湖北武汉·月考）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求的取值范围； (3)证明：对任意正整数，都有. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析. 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）由分析需满足条件，得到，再说明时不满足条件； （3）结合（2）得对恒成立，令（），则，再累加求和即可证明. 【详解】（1）当时，， 所以，，， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）当时，若单调递减，则满足条件， 因此需在恒成立，即在恒成立， 所以 设， 则当时，恒成立（当且仅当时取等号）， 所以在单调递增，所以， 所以，得； 当时，，， 所以存在，， 则当时，，单调递增，此时，不满足条件， 综上可知，实数的取值范围为. （3）由（2）知，当时，对任意恒成立， 所以对恒成立，当且仅当时等号成立， 令（），则，即， 所以，，，，，， 累加得： 所以，证毕. 例2．（25-26高二下·江苏苏州·月考）已知函数，. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，证明：； (3)若，，对任意的，恒成立，求的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义计算求解； （2）分，两种情况讨论，当时，利用导数判断函数的单调性即可得证； （3）利用导数求函数的最小值，可得，转化为，构造函数，利用导数求最大值即可. 【详解】（1）当时，，， 则切线斜率，， 所以切线方程为，即， （2）当时，只需证明，， 当时，，，此时成立， 当时，令，， 令，则， 因为在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增， 因为，所以时，， 所以在区间上单调递增， 所以， 所以在区间上单调递增，， 所以， 综上可得成立. （3）任意的，恒成立，只需要， 又是增函数，，，， 故由零点存在性定理可知，，使得， 此时，由题设及可知，，解得， 当，，故单调递减， 当，，单调递增， 所以，取得极小值也是最小值，所以， 所以，得， 则， 令， 得到，得（舍去）或， 当，0单调递增，当，，单调递减， 所以时，取得极大值也是最大值， 所以，故的最大值是. 例3．（2026·青海海东·二模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，，求的取值范围； (3)证明：，． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）求导得，分析可知，，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，验证对任意的能否恒成立，即可得出实数的取值范围； （3）利用导数证明出不等式对任意的恒成立，令，结合放缩法得出，再利用累加法结合不等式的基本性质可证得所证不等式成立. 【详解】（1）当时，，则，所以，， 故当时，曲线在点处的切线方程. （2）因为，则，则且， 则，， 令，其中，则， 易知函数在上单调递增， ①当时，即当时，对任意的，， 函数在上单调递增，则对任意的，， 此时函数在上单调递增，故对任意的，，符合题意； ②当时，即当时，对任意的，， 所以在上单调递减，则对任意的，， 此时函数在上单调递减，故对任意的，，不符合题意； ③当时，因为函数在上单调递增， 且，，则， 由零点存在定理可知，存在，使得， 当时，，即函数在上单调递减， 故当时，，即函数在上单调递减， 所以，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. （3）先证明对任意的恒成立， 构造函数，其中，则， 易知函数在上单调递减， 所以， 所以函数在上单调递增，所以， 故对任意的，，令，则， 故， 所以， 故原不等式得证. 例4．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知函数，其中a为常数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围； (3)设，求证：当时，. 【答案】(1)函数的单调递增区间为，，单调递减区间为 (2) (3)证明见详解 【分析】（1）求导，根据导数的符号判断函数的单调区间； （2）根据题意分析可知，利用导数分析可知在内单调递减，结合恒成立问题运算求解即可； （3）令，利用导数分析的单调性可得，结合，可得，即可得结果. 【详解】（1）当时，则的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）因为， 若，当趋近于时，趋近于，不合题意，所以， 因为， 且，则，，则， 可知在内单调递减，则， 可得，解得， 所以实数a的取值范围为. （3）令， 则， 因为，，则，， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则， 因为，则，可得， 即，所以当时，. 变式训练 变式1．（25-26高二下·重庆·月考）已知 (1)若存在极值点，求的取值范围 (2)若时，对均有成立，求实数的取值范围． (3)设，证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见详解. 【分析】（1）转化为导函数有变号零点，利用判别式求解即可； （2）参变分离，构造函数，利用四阶导数逐层讨论即可求出的最值，进而可得的范围； （3）根据函数的单调性得，然后令，结合等比数列求和公式即可得证. 【详解】（1）， 因为存在极值点，所以存在变号零点， 所以，解得或， 所以的取值范围为. （2）因为，所以， 记，则， 因为， 所以为偶函数，记， 则，记， 则，记， 则，所以为增函数， 所以， 所以为减函数， 所以， 所以为减函数， 故，即当时 因为为偶函数，所以在上单调递增，此时， 综上，当时，，单调递减， 所以， 所以，即实数的取值范围为 （3）由（2）知，，即，当且仅当时等号成立， 令，因为，所以， 所以， 因为 ， 所以，证毕. 变式2．（25-26高二下·山东青岛·月考）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 【答案】(1)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； (2)证明见解析 【分析】（1）求导函数，按照和分类讨论，利用导函数的正负情况即可得解； （2）结合（1）得到的最大值，即证，然后构造函数，利用导数法证明即可. 【详解】（1）由题函数定义域为，， 则当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得， 所以时单调递增，时单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）当时，由（1）可知有最大值为， 故要证，只需证，即证， 设，则， 所以时单调递增，时单调递减； 所以对任意恒成立，因为， 所以，故原不等式得证. 变式3．（2026·浙江嘉兴·二模）已知函数． (1)当时，求在上的最大值； (2)当时，若对任意的实数m，直线与曲线恰有一个公共点，求实数b的取值范围； (3)若．证明：当时，． 【答案】(1)1 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，利用导数求的单调性和最值； （2）原题意等价于方程仅有一个解，令，可知在R上为单调函数，且值域为R，分类讨论的符号，结合导数应用运算求解； （3）根据题意结合（1）中结论分析可知，分和两种情况，利用导数结合三角函数的有界性分析证明. 【详解】（1）当时，则，， 可知在单调递减，所以在上的最大值为. （2）当时，， 令，即，可得， 原题意等价于方程仅有一个解， 令，则， 因为对任意实数m，方程都仅有一个解， 可知在R上为单调函数，且值域为R， 令，则， 因为当趋近于时，趋近于，则恒成立， （i）当时，则，可知在R上单调递减，值域为R，满足题意； （ii）当时，当时，；当时，； 可知在单调递减，在单调递增，则， 当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于； 可知存在唯一零点， 当时，，即；当时，，即； 可知在单调递增，在单调递减，不符合题意； （iii）当时，当时，；当时，； 可知在单调递增，在单调递减， 则，解得， 当时，在定义域内单调递减， 当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于； 可知值域为R，符合题意； 综上所述：实数b的取值范围为． （3）当时，， 若证，即证， 因为，，则， 由（1）可知：，即，则 可得， 若证，即证， （i）当时，则，可得， 且，则，可得，所以； （ii）当时，则，可得， 整理可得， 令，则， 因为，则， 可知在上单调递增，， 且，可得，所以； 综上所述：时，. 变式4．（2026·福建厦门·二模）设函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增； (2)证明见解析. 【分析】（1）先求出导函数，再对分情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）由（1）可知当时，的最小值为，令，利用导数得到的最小值为， 所以，即证得. 【详解】（1）函数的导数为， 当时，恒成立，故，所以在上单调递增； 当时，令 ，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. （2）由（1）知，当时，在处取得最小值， 因此，对任意，有. 只需证明 ，即 令，. 求导得， ，故在上单调递增. 由知，当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增. 所以在处取得最小值. 因此，即成立，等号当且时取得. 实战演练 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数，的图象在点处的切线方程为. (1)求a，b的值； (2)当时，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数来求函数在某点处的切线方程，结合已知条件即可求解； （2）利用作差构造函数，求导来判断单调性，然后求出最小值即可得证. 【详解】（1）因为，， 所以， 即得在点处的切线方程为， 由题意可知：切线方程为，两方程等价，所以，， 综上可得：； （2）证明：设，则，令得. 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 即，所以. 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数． (1)若恰有两个零点，求实数的取值范围； (2)当时，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）分、，结合导数讨论其单调性，再利用零点存在性定理可得，且，解出即可得； （2），构造函数、，利用导数研究两函数单调性后可得最值，从而可得时，，，即可得证. 【详解】（1）由题得， 当时，，在上单调递减， 最多有一个零点，不符合题意； 当时，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又时，时，， 所以只需，解得， 故实数的取值范围是； （2）当时，． 令，则， 令，得，当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 所以当时，； 令，则，令，得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，因为，所以当时，； 故当时，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $