2026年中考数学圆解答题专题：切线的证明以及性质的运用

2026年中考数学圆解答题专题：切线的证明以及性质的运用 一、解答题 1.如图，点P是⊙0外一点，P0交⊙0于点B(PB>BO) (1)请用尺规按下列步骤作图：（不写作法，保留作图痕迹） ①画线段P0的垂直平分线，交P0于点A;②在⊙O上找一点C(点C在PO)上方，使AC=AP;③画射线 PC (2)求证：PC是⊙O的切线； (③)在I)(2)问的条件下，若PC=310eosP0C=罗，求点C到P0的距离. 2.如图，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=4,∠ACB=90°，⊙O经过A,C两点，交AB于点D,C0 的延长线交AB于点F,DE‖CF交BC于点E. (1)求证：DE为⊙O的切线； (2)若tanLCFD=2,求线段BD的长. 试卷第1页，共9页 3.如图，AB为⊙O的直径，AC、CD为⊙O的弦，AB与CD交于点E,CF⊥DB的延长线于点F, ∠ABD=2LBAC. D (1)求证：CF为⊙O的切线： (2)若AC=4V5,DF=2CF,求EB的长. 4.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC的平分线交⊙O于点D,DE⊥AC于点E. E D (1)求证：DE是⊙O的切线： (2)延长ED,AB交于点P,连接0E交AD于点G.若OF=5,sinAFE=5,求OG长. 5.如图，以△ABC的边AB为直径作圆，过圆心O作OD⊥BC,交BC于点E,交圆O于点F,连接BD, 已知∠D=30°，点C为AF的中点， F (I)求证：DB为圆O的切线； (②)若DF=2,点P为直径AB上的一个动点，求PE+PC的最小值？ 试卷第2页，共9页 6.如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B,AD是⊙O的弦，ADI‖OC,延长CD、BA相交于点 E D B 0 (1)求证：CE是⊙O的切线； (2)若A恰好是OE的中点，AD=3,求阴影部分的面积.（结果保留π） 7.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠EAC=∠CAB,直线CD⊥AE于点D,交AB的延长线于点 F E D B (1)求证：直线CD为⊙O的切线： (2)当tanF=2CD=2时，求BF的长. 8.如图，△ABC内接于⊙O,AB是直径，切线PC切⊙O于C,交BA的延长线于点P,OF II BC交AC于点 E,交PC于点F; D (1)求证：AF是⊙O的切线； (2)若AC=8,∠B=30°，求阴影部分的面积. 试卷第3页，共9页 9.如图，在△ABC中，∠A=90°，AC=8,BC=10. B (1)请用无刻度的直尺和圆规作∠B的平分线，交AC于点O,以点O为圆心，OA的长为半径作⊙0（保留作图 痕迹，不写作法)； (2)请判断⊙O与直线BC的位置关系为； (3)求(1)中所作的⊙0的半径. 10.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O为BC边上一点，已知⊙O过点B且经过AC边上的点D, AD=AB,连接DO并延长，交⊙O于点E,连接AE. D (1)求证：AD为⊙O的切线： (2)若an-AED=CA=4,求⊙0的半径. 11.如图，AC是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A,过点A作OP的垂线，交⊙O于B,连PB, A D E C B (1)求证：PB是⊙O切线： (②)连接PC,交AB于E,若tanzAP0(=,OD=3,求CE的长. 试卷第4页，共9页 12.如图，点O为圆心，AB为半圆的直径，在⊙0上取一点C,延长AB至点D,连接DC,∠1=∠2，过 点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E. E D (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若BD=4,⊙O的半径为6，求AE的长. 13.如图，△ABC内接于⊙O,BC为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，连接OD,交AC于点M. A (I)请用无刻度的直尺和圆规作直线DE,使得DE II AC,且交BC的延长线于点E(保留作图痕迹，不写作 法) (2)求证：DE是⊙O的切线； (3)若AB=6,BC=10,求DE的长. 14.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上， 且∠CBF=CAB (I)求证：BE=CE; (2)判断直线BF与⊙O的位置关系： (3)若AB=10,si/CBF=号求BF的长. 试卷第5页，共9页 15.如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，AB<AD. D (1)求作⊙B,使得⊙B与AC相切于点E;(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)射线BE交AD于F,若AF=BE,求sinACB的值. 16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E是边AB上一点，以BE为直径的半圆O交AC于点D,连接ED 并延长，交BC的延长线于点F,且BF=BE,连接BD. B (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)若LA=30°，BC=9,求阴影部分的面积. 17.如图，AB是⊙O的直径，直线CE与⊙O相切于点C,过点A作AD⊥CE于点D. B E D (1)求证：△ABC一△ACD; (2)若⊙0的半径为4，LACE=30°，求图中阴影部分的面积. 试卷第6页，共9页 18.如图，在Rt△ABC中，D是AB的中点. (1)点O为AC上一点，A,D两点均在⊙O上，请用无刻度的直尺和圆规作出⊙0（保留作图痕迹，不写作 法)； (2)连接0D,若CD与⊙0相切于点D,AC=4,求⊙O的半径. 19.如图，在△ABC中，点C在以AB为直径的半圆O上，过点C作半圆O的切线交AB延长线于点D,AE垂直 于DC的延长线于点E,交半圆O于点F,连接CF. E B D (I)求证：∠BAC=∠ECF; (2)若AE=3,DE=4, ①求半圆0的半径； ②若P是AC上一点，连接PO,PB,求PO+PB的最小值. 20.如图，点A为⊙0外一点，过点A作⊙0切线与⊙0相切于点P,连接P0并延长交⊙0于点B,连 接AB交⊙O于点C,连接OA交⊙O于点D,连接DP,且LOAP=∠DPA, B (I)求证：P0=PD; (2)若AC=V5,求⊙0的半径. 试卷第7页，共9页 21.如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A,过B点作BCIIOD交⊙O于点C,连接OC、AC,AC 交OD于点E. 的 A (I)求证：△COE一△ABC; (2)若AB=2,AD=V3,求图中阴影部分的面积. 22.如图，在△ABC中，LABC=90°，⊙0经过点A,与边AB,AC分别交于点E,D,且BC与⊙O相切， 切点为点F。 B F D (I)求证：AF平分∠BAC: (2)若BE=1,CD=2,求AD的长. 23.如图，⊙O是四边形ACBD的外接圆，AB是⊙O的直径，AC=CD,CE为⊙O的切线，连接DB并延长 交CE于点E. (1)求证：BC平分LABE; (2)求LE的度数. 24.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，连接OC、BC,OC⊥AB,点D为劣弧BC的中点，过点D作⊙O 试卷第8页，共9页 的切线DE交AB的延长线于点E.点F在半径OA上，连接DF. F E (I)求证：BC IIDE; (2)若an-DFB=0F=2,求DF的长. 试卷第9页，共9页